1. 现有一个标准的视力表，它以能否分辨出表中“E”的开口朝向为依据，该表要求的测试距离为5米，若把表中的“E”都缩小为原来的$\frac{3}{5}$，要使测试的标准不变，求测试距离.

1. 如图，令点O为测试点，CD为原测试表，AB为改后测试表，OD为原测试距离，OB为改后测试距离. 由题意，得△OAB∽△OCD，
$\therefore\frac{AB}{CD}=\frac{OB}{OD}=\frac{3}{5}$.
又OD=5米，
∴OB=3米.
故测试距离为3米.

【分析】
要解决这道题，首先要明确测试标准不变的含义：测试点看“E”的视角不变，即两个“E”的端点与测试点的连线夹角相等。由此可构造两个直角三角形：测试点O、缩小后“E”的两端点A、B构成△OAB，测试点O、原“E”的两端点C、D构成△OCD。两个三角形有公共角∠O，且AB、CD都垂直于测试距离所在的直线OD，因此△OAB与△OCD相似。再结合相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的“E”的缩放比例和原测试距离，即可求出新的测试距离。
【解析】
令点O为测试点，CD为原测试表上“E”的高度，AB为缩小后“E”的高度，OD为原测试距离，OB为改后测试距离。
由题意得AB⊥OD，CD⊥OD，
∴∠ABO=∠D=90°，
又
∵∠O为公共角，
∴△OAB∽△OCD（两角分别相等的两个三角形相似），
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OB}{OD}$。
已知“E”缩小为原来的$\frac{3}{5}$，即$\frac{AB}{CD}=\frac{3}{5}$，原测试距离OD=5米，
将OD=5代入比例式得：$\frac{OB}{5}=\frac{3}{5}$，
解得OB=3米。
【答案】
测试距离为3米。

【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际生活中的典型应用，解题关键是抓住“测试标准不变即视角相等”的隐含条件，推导出两个三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的关系列式求解，贴合生活场景，能很好地考查知识的应用能力。
【难度系数】
0.8

2. 已知点 C,D 是线段 AB 的黄金分割点，$AB=10$，求线段 AC 与 CD 的长.

2.
∵点C,D是线段AB的黄金分割点，
$\therefore AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=5\sqrt{5}-5$，$BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×AB=5\sqrt{5}-5$，
$\therefore AD=AB-BD=15-5\sqrt{5}$，
$\therefore CD=AC-AD=5\sqrt{5}-5-(15-5\sqrt{5})=10\sqrt{5}-20$.

【分析】
解题思路可按以下步骤梳理：首先回忆黄金分割的定义：线段的黄金分割点将线段分为两段，较长段与全线段的长度比为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。结合本题线段上点的顺序A-D-C-B，可知AC是靠近A侧的较长黄金分割段，BD是靠近B侧的较长黄金分割段。我们先根据黄金分割的比值算出AC、BD的长度，再通过线段和差关系求出AD的长度，最后用AC减去AD即可得到CD的长度。
【解析】
∵点C,D是线段AB的黄金分割点，
∴较长线段与全线段的比值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，代入$AB=10$可得：
$AC=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=\frac{\sqrt{5}-1}{2}×10=5\sqrt{5}-5$，
同理$BD=\frac{\sqrt{5}-1}{2}AB=5\sqrt{5}-5$，
∴$AD=AB-BD=10-(5\sqrt{5}-5)=15-5\sqrt{5}$，
∴$CD=AC-AD=(5\sqrt{5}-5)-(15-5\sqrt{5})=10\sqrt{5}-20$。
【答案】
$AC=5\sqrt{5}-5$，$CD=10\sqrt{5}-20$
【知识点】
黄金分割的定义、线段的和差计算
【点评】
本题重点考查黄金分割定义的应用，解题关键是结合点的位置准确找到黄金分割对应的较长线段，再通过线段和差关系推导未知线段长度，要注意避免混淆黄金分割的比值、或弄错线段之间的和差关系。
【难度系数】
0.6

3. 如图,已知直线 $ l_1,l_2,l_3 $ 分别交直线 $ l_4 $ 于点 $ A,B,C $,交直线 $ l_5 $ 于点 $ D,E,F $,且 $ l_1// l_2// l_3 $.
(1)如果 $ AB=4,BC=8,EF=12 $,求 $ DE $ 的长;
(2)如果 $ DE:EF=2:3,AB=6 $,求 $ AC $ 的长.

3. (1)
∵$l_1//l_2//l_3$，$AB=4,BC=8$，
$\therefore\frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$.
又EF=12，$\therefore DE=\frac{1}{2}EF=6$.
(2)
∵$l_1//l_2//l_3$，
$\therefore\frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，
$\therefore BC=\frac{3}{2}AB=\frac{3}{2}×6=9$，
$\therefore AC=AB+BC=6+9=15$.

【分析】
本题考查平行线分线段成比例定理的应用，解题思路如下：(1)已知三条直线$l_1// l_2// l_3$截两条直线$l_4$、$l_5$，根据平行线分线段成比例定理，截得的对应线段成比例，即$DE$与$EF$的比等于$AB$与$BC$的比，代入已知的$AB$、$BC$、$EF$的数值，即可求出$DE$的长度；(2)同样利用平行线分线段成比例定理，由$DE:EF$的比值得到$AB:BC$的比值，结合已知$AB$的长度求出$BC$的长，再根据$AC$是$AB$与$BC$的和，计算得到$AC$的长度。
【解析】
(1) $\because l_1// l_2// l_3$，
根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}$，
已知$AB=4,BC=8,EF=12$，代入得$\frac{DE}{12}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$，
解得$DE=\frac{1}{2}×12=6$。
(2) $\because l_1// l_2// l_3$，
根据平行线分线段成比例定理，得$\frac{DE}{EF}=\frac{AB}{BC}=\frac{2}{3}$，
已知$AB=6$，代入得$\frac{6}{BC}=\frac{2}{3}$，
解得$BC=\frac{3×6}{2}=9$，
$\therefore AC=AB+BC=6+9=15$。
【答案】
(1) $DE=6$；(2) $AC=15$
【知识点】
平行线分线段成比例定理；比例运算；线段和差计算
【点评】
本题是平行线分线段成比例定理的基础应用题型，解题的核心是准确找到两条被截直线上的对应线段，正确列出比例式求解，掌握定理即可轻松作答。
【难度系数】
0.8

4. (朝阳中考)如图，AC是$\odot O$的直径，弦BD交AC于点E，F为BD延长线上一点，$∠ DAF=∠ B$.
(1)求证：AF是$\odot O$的切线；
(2)若$\odot O$的半径为5，AD是$△ AEF$的中线，且$AD=6$，求AE的长.

4. (1)
∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°.
∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAC=90°，
∴∠CAF=90°，
∴OA⊥AF.
∵OA是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线.
(2)如图，过点D作DH⊥AC于点H.
∵⊙O的半径为5，
∴AC=10.
∵∠AHD=∠ADC，
∠DAH=∠CAD，
∴△ADH∽△ACD，
$\therefore\frac{AD}{AC}=\frac{AH}{AD}$，
$\therefore AH=\frac{AD^2}{AC}=\frac{36}{10}=\frac{18}{5}$.
∵AD是△AEF的中线，∠EAF=90°，
∴AD=ED，$\therefore AE=2AH=\frac{36}{5}$.
一题多解 (2)过点D作DH⊥AC于点H.
∵⊙O的半径为5，
∴AC=10.
∵∠AHD=∠ADC，∠DAH=∠CAD，
∴△ADH∽△ACD，
$\therefore\frac{AD}{AC}=\frac{AH}{AD}$，$\therefore AH=\frac{AD^2}{AC}=\frac{18}{5}$.
∵∠EHD=∠EAF，∠DEH=∠FEA，
∴△EHD∽△EAF，
$\therefore\frac{EH}{EA}=\frac{ED}{EF}$.
∵AD是△AEF的中线，
$\therefore\frac{ED}{EF}=\frac{1}{2}=\frac{EH}{EA}$，
∴AE=2EH，$\therefore AE=2AH=\frac{36}{5}$.

【分析】
(1) 要证明AF是⊙O的切线，根据切线的判定定理，需证明OA⊥AF，即∠CAF=90°。首先由AC是直径可得直径所对圆周角∠ADC=90°，推出∠ACD+∠DAC=90°；再结合同弧所对圆周角相等得∠ACD=∠B，结合已知∠DAF=∠B，等量代换即可证得∠CAF=90°，完成切线证明。
(2) 要求AE的长，先作辅助线DH⊥AC于H。已知⊙O半径为5得AC=10，结合公共角∠DAH=∠CAD、两个直角相等可证△ADH∽△ACD，通过相似比求出AH的长度；再根据AD是Rt△AEF的中线，可得AD=DE，即△ADE为等腰三角形，由等腰三角形三线合一可知H是AE中点，因此AE=2AH，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°。
∵同弧AD所对的圆周角相等，
∴∠ACD=∠B，
又
∵∠B=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAC=90°，即∠CAF=90°，
∴OA⊥AF。
∵OA是⊙O的半径，
∴AF是⊙O的切线。
(2) 解：如图，过点D作DH⊥AC于点H。
∵⊙O的半径为5，
∴AC=2×5=10。
∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，
∴△ADH∽△ACD，
∴$\frac{AD}{AC}=\frac{AH}{AD}$，
∴$AH=\frac{AD^2}{AC}=\frac{6^2}{10}=\frac{36}{10}=\frac{18}{5}$。
∵AD是△AEF的中线，∠EAF=90°，
∴直角三角形斜边中线等于斜边的一半，即AD=ED，
∴△ADE为等腰三角形，DH⊥AE，由三线合一得H为AE中点，
∴$AE=2AH=2×\frac{18}{5}=\frac{36}{5}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) AE的长为$\frac{36}{5}$。

【知识点】
切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的常规综合题，既考查了切线判定、圆周角定理等基础知识点，也结合相似三角形、等腰三角形性质考查线段求解，解题的关键是合理利用角的等量代换和辅助线构造相似三角形，是中考圆章节的高频考查题型。
【难度系数】
0.65