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10.(1)如图1,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$D$是$BC$的中点,点$E$在$AD$上。求证:$BE=CE$。
(2)如图2,若$BE$的延长线交$AC$于点$F$,且$BF⊥ AC$,垂足为$F$,$∠ BAC=45°$,原题设其他条件不变。求证:$△ AEF≌△ BCF$。
(2)如图2,若$BE$的延长线交$AC$于点$F$,且$BF⊥ AC$,垂足为$F$,$∠ BAC=45°$,原题设其他条件不变。求证:$△ AEF≌△ BCF$。
答案
10. 证明:(1)
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴∠BAE=∠CAE。在△ABE和△ACE中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAE=∠ CAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAE(SAS),
∴BE=CE。
(2)
∵∠BAC=45°,BF⊥AF,
∴△ABF为等腰直角三角形,
∴AF=BF。
∵AB=AC,点D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠EAF+∠C=90°。
∵BF⊥AC,
∴∠CBF+∠C=90°,
∴∠EAF=∠CBF,在△AEF和△BCF中,AF=BF,∠AFE=∠BFC=90°,
∴△AEF≌△BCF(ASA)。
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴∠BAE=∠CAE。在△ABE和△ACE中,
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAE=∠ CAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAE(SAS),
∴BE=CE。
(2)
∵∠BAC=45°,BF⊥AF,
∴△ABF为等腰直角三角形,
∴AF=BF。
∵AB=AC,点D是BC的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠EAF+∠C=90°。
∵BF⊥AC,
∴∠CBF+∠C=90°,
∴∠EAF=∠CBF,在△AEF和△BCF中,AF=BF,∠AFE=∠BFC=90°,
∴△AEF≌△BCF(ASA)。
解析
【分析】
(1) 要证$BE=CE$，可通过证明$△ ABE$和$△ ACE$全等推导。已知$AB=AC$，$D$是$BC$中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AD$平分$∠ BAC$，即$∠ BAE=∠ CAE$，再结合公共边$AE$，满足SAS全等判定条件，即可证得全等，进而得到对应边$BE=CE$。
(2) 要证$△ AEF≌△ BCF$，先找相等的边和角：首先由$∠ BAC=45°$、$BF⊥ AC$，可判定$△ ABF$是等腰直角三角形，推出$AF=BF$；再根据等腰三角形三线合一得$AD⊥ BC$，结合$BF⊥ AC$，利用同角的余角相等可证$∠ EAF=∠ CBF$，再加一组直角相等，满足ASA全等判定条件，即可证得两三角形全等。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB=AC$，$D$是$BC$的中点，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$，即$∠ BAE=∠ CAE$。
在$△ ABE$和$△ ACE$中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAE=∠ CAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BE=CE$。
(2) 证明：
$\because ∠ BAC=45°$，$BF⊥ AC$，
$\therefore △ ABF$为等腰直角三角形，
$\therefore AF=BF$。
$\because AB=AC$，点$D$是$BC$的中点，
$\therefore AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ EAF+∠ C=90°$。
$\because BF⊥ AC$，
$\therefore ∠ CBF+∠ C=90°$，
$\therefore ∠ EAF=∠ CBF$。
在$△ AEF$和$△ BCF$中，
$\begin{cases} ∠ EAF=∠ CBF, \\ AF=BF, \\ ∠ AFE=∠ BFC=90°, \end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ BCF(\mathrm{ASA})$。
【答案】
(1) $BE=CE$得证；
(2) $△ AEF≌△ BCF$得证。
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考察等腰三角形性质和全等三角形的证明，解题关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，结合全等判定定理找准对应相等的边、角，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$BE=CE$，可通过证明$△ ABE$和$△ ACE$全等推导。已知$AB=AC$，$D$是$BC$中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AD$平分$∠ BAC$，即$∠ BAE=∠ CAE$，再结合公共边$AE$，满足SAS全等判定条件，即可证得全等，进而得到对应边$BE=CE$。
(2) 要证$△ AEF≌△ BCF$，先找相等的边和角：首先由$∠ BAC=45°$、$BF⊥ AC$，可判定$△ ABF$是等腰直角三角形，推出$AF=BF$；再根据等腰三角形三线合一得$AD⊥ BC$，结合$BF⊥ AC$，利用同角的余角相等可证$∠ EAF=∠ CBF$，再加一组直角相等，满足ASA全等判定条件，即可证得两三角形全等。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB=AC$，$D$是$BC$的中点，
$\therefore AD$平分$∠ BAC$，即$∠ BAE=∠ CAE$。
在$△ ABE$和$△ ACE$中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAE=∠ CAE, \\ AE=AE, \end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ ACE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore BE=CE$。
(2) 证明：
$\because ∠ BAC=45°$，$BF⊥ AC$，
$\therefore △ ABF$为等腰直角三角形，
$\therefore AF=BF$。
$\because AB=AC$，点$D$是$BC$的中点，
$\therefore AD⊥ BC$，
$\therefore ∠ EAF+∠ C=90°$。
$\because BF⊥ AC$，
$\therefore ∠ CBF+∠ C=90°$，
$\therefore ∠ EAF=∠ CBF$。
在$△ AEF$和$△ BCF$中，
$\begin{cases} ∠ EAF=∠ CBF, \\ AF=BF, \\ ∠ AFE=∠ BFC=90°, \end{cases}$
$\therefore △ AEF≌△ BCF(\mathrm{ASA})$。
【答案】
(1) $BE=CE$得证；
(2) $△ AEF≌△ BCF$得证。
【知识点】
等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础证明题，核心考察等腰三角形性质和全等三角形的证明，解题关键是熟练运用等腰三角形三线合一的性质，结合全等判定定理找准对应相等的边、角，熟练掌握相关定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
11. 根据图中的对话内容，解决下列问题：
(1)赵小明求出的多边形的内角和为2014°，李佳怡为什么说不可能？
(2)赵小明求的是几边形的内角和？他多加的那个外角是多少度呢？
(1)赵小明求出的多边形的内角和为2014°，李佳怡为什么说不可能？
(2)赵小明求的是几边形的内角和？他多加的那个外角是多少度呢？
答案
解：
(1) 任意多边形的内角和公式为$(n-2) × 180°$（$n \ge 3$，且n为整数），因此多边形的内角和一定是$180°$的整数倍。
因为$2014° ÷ 180° = 11······34°$，$2014°$不是$180°$的整数倍，所以这个多边形的内角和不可能为$2014°$。
(2) 设这个多边形的边数为n，由多加的外角度数满足$0° ＜ x ＜ 180°$，可得：
$2014° - 180° ＜ (n-2) × 180° ＜ 2014°$
解得：$12.19 ＜ n ＜ 13.19$
因为n是正整数，所以$n=13$，即赵小明求的是十三边形的内角和。
多加的外角度数为：
$2014° - (13-2) × 180° = 2014° - 1980° = 34°$
答：赵小明求的是十三边形的内角和，他多加的那个外角是$34°$。
(1) 任意多边形的内角和公式为$(n-2) × 180°$（$n \ge 3$，且n为整数），因此多边形的内角和一定是$180°$的整数倍。
因为$2014° ÷ 180° = 11······34°$，$2014°$不是$180°$的整数倍，所以这个多边形的内角和不可能为$2014°$。
(2) 设这个多边形的边数为n，由多加的外角度数满足$0° ＜ x ＜ 180°$，可得：
$2014° - 180° ＜ (n-2) × 180° ＜ 2014°$
解得：$12.19 ＜ n ＜ 13.19$
因为n是正整数，所以$n=13$，即赵小明求的是十三边形的内角和。
多加的外角度数为：
$2014° - (13-2) × 180° = 2014° - 1980° = 34°$
答：赵小明求的是十三边形的内角和，他多加的那个外角是$34°$。
解析
【分析】
(1) 要判断2014°能否作为多边形内角和，首先回忆多边形内角和公式：n边形内角和为$(n-2)×180°$（n是≥3的整数），因此内角和一定是180°的整数倍，只需验证2014是否为180的整数倍即可。
(2) 已知赵小明多加了一个外角，多边形的外角取值范围是$0°＜外角＜180°$，因此真正的多边形内角和小于2014°，且大于$2014°-180°$，据此列出关于边数n的不等式，求出n的正整数解，再用2014°减去该多边形的内角和，即可得到多加的外角度数。
【解析】
(1) 任意多边形的内角和公式为$(n-2) × 180°$（$n \ge 3$，且n为整数），因此多边形的内角和一定是$180°$的整数倍。
计算得$2014° ÷ 180° = 11······34°$，说明$2014°$不是$180°$的整数倍，因此这个多边形的内角和不可能为$2014°$。
(2) 设这个多边形的边数为n，根据多加的外角度数满足$0° ＜ x ＜ 180°$，可列不等式：
$2014° - 180° ＜ (n-2) × 180° ＜ 2014°$
解不等式：
左边：$1834° ＜ 180°(n-2)$，解得$n＞12.19$
右边：$180°(n-2)＜2014°$，解得$n＜13.19$
因为n是正整数，所以$n=13$，即赵小明求的是十三边形的内角和。
计算多加的外角度数：
$2014° - (13-2) × 180° = 2014° - 1980° = 34°$
【答案】
(1) 因为多边形内角和一定是180°的整数倍，2014°不是180°的整数倍，所以不可能。
(2) 赵小明求的是十三边形的内角和，他多加的那个外角是34°。
【知识点】
多边形内角和公式，多边形外角性质，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活对话场景考查多边形内角和相关知识的应用，解题的核心是抓住多边形内角和为180°整数倍的特征，结合外角的取值范围和边数为正整数的条件求解，能较好地考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
(1) 要判断2014°能否作为多边形内角和，首先回忆多边形内角和公式：n边形内角和为$(n-2)×180°$（n是≥3的整数），因此内角和一定是180°的整数倍，只需验证2014是否为180的整数倍即可。
(2) 已知赵小明多加了一个外角，多边形的外角取值范围是$0°＜外角＜180°$，因此真正的多边形内角和小于2014°，且大于$2014°-180°$，据此列出关于边数n的不等式，求出n的正整数解，再用2014°减去该多边形的内角和，即可得到多加的外角度数。
【解析】
(1) 任意多边形的内角和公式为$(n-2) × 180°$（$n \ge 3$，且n为整数），因此多边形的内角和一定是$180°$的整数倍。
计算得$2014° ÷ 180° = 11······34°$，说明$2014°$不是$180°$的整数倍，因此这个多边形的内角和不可能为$2014°$。
(2) 设这个多边形的边数为n，根据多加的外角度数满足$0° ＜ x ＜ 180°$，可列不等式：
$2014° - 180° ＜ (n-2) × 180° ＜ 2014°$
解不等式：
左边：$1834° ＜ 180°(n-2)$，解得$n＞12.19$
右边：$180°(n-2)＜2014°$，解得$n＜13.19$
因为n是正整数，所以$n=13$，即赵小明求的是十三边形的内角和。
计算多加的外角度数：
$2014° - (13-2) × 180° = 2014° - 1980° = 34°$
【答案】
(1) 因为多边形内角和一定是180°的整数倍，2014°不是180°的整数倍，所以不可能。
(2) 赵小明求的是十三边形的内角和，他多加的那个外角是34°。
【知识点】
多边形内角和公式，多边形外角性质，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活对话场景考查多边形内角和相关知识的应用，解题的核心是抓住多边形内角和为180°整数倍的特征，结合外角的取值范围和边数为正整数的条件求解，能较好地考查知识的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
