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1.如图1，利用图形面积关系推导a，b之间关系为
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
。答案
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
2.(2026·洪山)从图2到图3的变化过程中可以发现的公式是
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
.答案
$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
3.已知$x^2 - y^2 = 8, x^2 - z^2 =5$,则$(x+y)(y+z)(z+x)(x-y)(z-x)(y-z)$的值为（
A.80
B.40
C.120
D.20
C
）A.80
B.40
C.120
D.20
答案
C
4.计算：
(1)$(-x-y)(y-x)$；
(2)$(2x+1)(-2x+1)$；
(3)$(x+1)(x-1)-x^2$；
(4)$(x-5)(x+5)-(x-1)(-x-1)$；
(5)$(m+1)(m-1)(m^2+1)$；
(6)$(a+b)(a-b)+b(a+2b)-ab$。
(1)$(-x-y)(y-x)$；
(2)$(2x+1)(-2x+1)$；
(3)$(x+1)(x-1)-x^2$；
(4)$(x-5)(x+5)-(x-1)(-x-1)$；
(5)$(m+1)(m-1)(m^2+1)$；
(6)$(a+b)(a-b)+b(a+2b)-ab$。
答案
(1)原式=$-(x+y)(y-x)=-(y^2 - x^2)=x^2 - y^2$；
(2)原式=$(1+2x)(1-2x)=1-4x^2$；
(3)原式=$(x^2 - 1)-x^2=-1$；
(4)原式=$(x^2 - 25)-(-1+x)(-1-x)=x^2 - 25-(1-x^2)=2x^2 - 26$；
(5)原式=$(m^2 - 1)(m^2 + 1)=m^4 - 1$；
(6)原式=$a^2 - b^2 + ab + 2b^2 - ab=a^2 + b^2$。
(2)原式=$(1+2x)(1-2x)=1-4x^2$；
(3)原式=$(x^2 - 1)-x^2=-1$；
(4)原式=$(x^2 - 25)-(-1+x)(-1-x)=x^2 - 25-(1-x^2)=2x^2 - 26$；
(5)原式=$(m^2 - 1)(m^2 + 1)=m^4 - 1$；
(6)原式=$a^2 - b^2 + ab + 2b^2 - ab=a^2 + b^2$。
5.先化简,再求值:$(x+2y)(x-2y)-(2x-y)(-2x-y)$,其中$x=8,y=-8$.
答案
原式=$x^2 - 4y^2 - [(-y)^2 - (2x)^2]=5x^2 - 5y^2$，
当$x=8,y=-8$时，原式=0。
当$x=8,y=-8$时，原式=0。
6.求证:对任意正整数$n,(3n+1)(3n-1)-(3-n)(3+n)$的值都是10的倍数.
答案
证明:原式=$(3n)^2 - 1^2 - (9 - n^2)=10n^2 - 10=10(n^2 - 1)$，
∴原式是10的倍数。
∴原式是10的倍数。
7.(教材P118T8变式)$(x-1)(x+1)=$
$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=$
你发现的规律是
运用上述规律计算:$2^9+2^8+2^7+\dots+2+1$.
$x^2 - 1$
,$(x-1)(x^2+x+1)=$$x^3 - 1$
,$(x-1)(x^3+x^2+x+1)=$
$x^4 - 1$
.你发现的规律是
$(x-1)(x^n+x^{n-1}+\dots+1)=x^{n+1}-1$
.运用上述规律计算:$2^9+2^8+2^7+\dots+2+1$.
答案
$x^2 - 1$ $x^3 - 1$ $x^4 - 1$
$(x-1)(x^n+x^{n-1}+\dots+1)=x^{n+1}-1$
解:$2^9+2^8+2^7+\dots+2+1=(2-1)(2^9+2^8+\dots+2+1)=2^{10}-1$。
$(x-1)(x^n+x^{n-1}+\dots+1)=x^{n+1}-1$
解:$2^9+2^8+2^7+\dots+2+1=(2-1)(2^9+2^8+\dots+2+1)=2^{10}-1$。
