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10.【教材P145习题T7变式】通分：
(1)$x-y,\frac{2y^2}{x+y}$；
(2)$\frac{2}{3a-9},\frac{1}{a^2 $
$ 9},\frac{9}{a^2 -6a +9}$；
(1)$x-y,\frac{2y^2}{x+y}$；
(2)$\frac{2}{3a-9},\frac{1}{a^2 $
$ 9},\frac{9}{a^2 -6a +9}$；答案
10. (1)解: $x-y=\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}=\frac{x^2 - y^2}{x+y}$ ,$\frac{2y^2}{x+y}=\frac{2y^2}{x+y}$.
(2)解:最简公分母是 $3(a-3)^2(a+3)$，$\frac{2}{3a-9}=\frac{2(a-3)(a+3)}{3(a-3)^2(a+3)}$，$\frac{1}{a^2 -9}=\frac{3(a-3)}{3(a+3)(a-3)^2}$，$\frac{9}{a^2 -6a +9}=\frac{27(a+3)}{3(a-3)^2(a+3)}$.
(2)解:最简公分母是 $3(a-3)^2(a+3)$，$\frac{2}{3a-9}=\frac{2(a-3)(a+3)}{3(a-3)^2(a+3)}$，$\frac{1}{a^2 -9}=\frac{3(a-3)}{3(a+3)(a-3)^2}$，$\frac{9}{a^2 -6a +9}=\frac{27(a+3)}{3(a-3)^2(a+3)}$.
解析
【分析】
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将每个分式的分子分母同乘适当的整式，使分母统一为最简公分母。
(1) 两个式子中，x-y是整式，可看作分母为1的分式，另一个分式的分母为x+y，因此最简公分母为x+y，只需将x-y的分子分母同乘(x+y)，利用平方差公式化简分子即可完成通分。
(2) 首先对三个分式的分母因式分解：$3a-9=3(a-3)$，$a^2-9=(a+3)(a-3)$，$a^2-6a+9=(a-3)^2$。确定最简公分母时，系数取各分母系数的最小公倍数3，相同因式取最高次幂，其中$(a-3)$最高次为2次，$(a+3)$最高次为1次，因此最简公分母为$3(a-3)^2(a+3)$，再将每个分式的分子分母同乘各自分母缺少的因式即可。
【解析】
(1) 最简公分母为$x+y$：
将整式$x-y$看作分母为1的分式，分子分母同乘$x+y$，得$x-y=\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}=\frac{x^2 - y^2}{x+y}$；$\frac{2y^2}{x+y}$分母已经是最简公分母，无需变形。
(2) 先分解各分母，可得最简公分母是$3(a-3)^2(a+3)$：
$\frac{2}{3a-9}$的分母缺少因式$(a-3)(a+3)$，分子分母同乘该式，得$\frac{2}{3a-9}=\frac{2(a-3)(a+3)}{3(a-3)^2(a+3)}$；
$\frac{1}{a^2-9}$的分母缺少因式$3(a-3)$，分子分母同乘该式，得$\frac{1}{a^2 -9}=\frac{3(a-3)}{3(a+3)(a-3)^2}$；
$\frac{9}{a^2-6a+9}$的分母缺少因式$3(a+3)$，分子分母同乘该式，得$\frac{9}{a^2 -6a +9}=\frac{27(a+3)}{3(a-3)^2(a+3)}$。
【答案】
(1) $x-y=\frac{x^2 - y^2}{x+y}$ ,$\frac{2y^2}{x+y}=\frac{2y^2}{x+y}$；
(2)最简公分母是 $3(a-3)^2(a+3)$，$\frac{2}{3a-9}=\frac{2(a-3)(a+3)}{3(a-3)^2(a+3)}$，$\frac{1}{a^2 -9}=\frac{3(a-3)}{3(a+3)(a-3)^2}$，$\frac{9}{a^2 -6a +9}=\frac{27(a+3)}{3(a-3)^2(a+3)}$。
【知识点】
分式通分，因式分解，最简公分母确定
【点评】
本题属于分式通分的常规题型，重点考查对分式基本性质的应用，解题的关键是正确对分母因式分解，准确确定最简公分母，整式通分时可将其看作分母为1的分式处理。
【难度系数】
0.8
通分的核心是先确定各分式的最简公分母，再根据分式的基本性质，将每个分式的分子分母同乘适当的整式，使分母统一为最简公分母。
(1) 两个式子中，x-y是整式，可看作分母为1的分式，另一个分式的分母为x+y，因此最简公分母为x+y，只需将x-y的分子分母同乘(x+y)，利用平方差公式化简分子即可完成通分。
(2) 首先对三个分式的分母因式分解：$3a-9=3(a-3)$，$a^2-9=(a+3)(a-3)$，$a^2-6a+9=(a-3)^2$。确定最简公分母时，系数取各分母系数的最小公倍数3，相同因式取最高次幂，其中$(a-3)$最高次为2次，$(a+3)$最高次为1次，因此最简公分母为$3(a-3)^2(a+3)$，再将每个分式的分子分母同乘各自分母缺少的因式即可。
【解析】
(1) 最简公分母为$x+y$：
将整式$x-y$看作分母为1的分式，分子分母同乘$x+y$，得$x-y=\frac{(x-y)(x+y)}{x+y}=\frac{x^2 - y^2}{x+y}$；$\frac{2y^2}{x+y}$分母已经是最简公分母，无需变形。
(2) 先分解各分母，可得最简公分母是$3(a-3)^2(a+3)$：
$\frac{2}{3a-9}$的分母缺少因式$(a-3)(a+3)$，分子分母同乘该式，得$\frac{2}{3a-9}=\frac{2(a-3)(a+3)}{3(a-3)^2(a+3)}$；
$\frac{1}{a^2-9}$的分母缺少因式$3(a-3)$，分子分母同乘该式，得$\frac{1}{a^2 -9}=\frac{3(a-3)}{3(a+3)(a-3)^2}$；
$\frac{9}{a^2-6a+9}$的分母缺少因式$3(a+3)$，分子分母同乘该式，得$\frac{9}{a^2 -6a +9}=\frac{27(a+3)}{3(a-3)^2(a+3)}$。
【答案】
(1) $x-y=\frac{x^2 - y^2}{x+y}$ ,$\frac{2y^2}{x+y}=\frac{2y^2}{x+y}$；
(2)最简公分母是 $3(a-3)^2(a+3)$，$\frac{2}{3a-9}=\frac{2(a-3)(a+3)}{3(a-3)^2(a+3)}$，$\frac{1}{a^2 -9}=\frac{3(a-3)}{3(a+3)(a-3)^2}$，$\frac{9}{a^2 -6a +9}=\frac{27(a+3)}{3(a-3)^2(a+3)}$。
【知识点】
分式通分，因式分解，最简公分母确定
【点评】
本题属于分式通分的常规题型，重点考查对分式基本性质的应用，解题的关键是正确对分母因式分解，准确确定最简公分母，整式通分时可将其看作分母为1的分式处理。
【难度系数】
0.8
11. 先化简，再求值：
(1) $\dfrac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - y^2}$，其中 $x=2, y=3$；
(2) $\dfrac{2x^2 - 2y^2}{x^2 + 2xy + y^2}$，其中 $x+y=2, x-y=\dfrac{1}{2}$。
(1) $\dfrac{x^2 - 2xy + y^2}{x^2 - y^2}$，其中 $x=2, y=3$；
(2) $\dfrac{2x^2 - 2y^2}{x^2 + 2xy + y^2}$，其中 $x+y=2, x-y=\dfrac{1}{2}$。
答案
11. (1)解:原式 $=\frac{(x-y)^2}{(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x+y}$. 当 $x=2,y=3$ 时，原式 $=\frac{x-y}{x+y}=-\frac{1}{5}$；
(2)解:原式 $=\frac{2(x+y)(x-y)}{(x+y)^2}=\frac{2(x-y)}{x+y}$. 当 $x+y=2,x-y=\frac{1}{2}$ 时，原式 $=\frac{2× \frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{2}$.
(2)解:原式 $=\frac{2(x+y)(x-y)}{(x+y)^2}=\frac{2(x-y)}{x+y}$. 当 $x+y=2,x-y=\frac{1}{2}$ 时，原式 $=\frac{2× \frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
这两道题均为分式化简求值类问题，解题思路为先对分式的分子、分母分别进行因式分解，再约去分子分母的公因式得到最简分式，最后将已知条件代入最简分式计算结果即可。第(1)题用完全平方公式分解分子，平方差公式分解分母；第(2)题分子先提取公因式再用平方差公式分解，分母用完全平方公式分解，且第(2)题可直接整体代入已知的$x+y$和$x-y$的值，无需单独求解$x$、$y$，计算更简便。
【解析】
(1) 对分子分母因式分解后约分：
原式$=\frac{(x-y)^2}{(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x+y}$
将$x=2,y=3$代入最简分式：
原式$=\frac{2-3}{2+3}=-\frac{1}{5}$
(2) 对分子分母因式分解后约分：
原式$=\frac{2(x^2-y^2)}{(x+y)^2}=\frac{2(x+y)(x-y)}{(x+y)^2}=\frac{2(x-y)}{x+y}$
将$x+y=2,x-y=\frac{1}{2}$整体代入：
原式$=\frac{2×\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $-\frac{1}{5}$；(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
因式分解，分式约分，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，核心是熟练运用乘法公式对分子分母因式分解，约分过程要注意保证约去的公因式不为0；第(2)题运用整体代入的思想可避免求解$x$、$y$的步骤，大幅简化计算。
【难度系数】
0.8
这两道题均为分式化简求值类问题，解题思路为先对分式的分子、分母分别进行因式分解，再约去分子分母的公因式得到最简分式，最后将已知条件代入最简分式计算结果即可。第(1)题用完全平方公式分解分子，平方差公式分解分母；第(2)题分子先提取公因式再用平方差公式分解，分母用完全平方公式分解，且第(2)题可直接整体代入已知的$x+y$和$x-y$的值，无需单独求解$x$、$y$，计算更简便。
【解析】
(1) 对分子分母因式分解后约分：
原式$=\frac{(x-y)^2}{(x+y)(x-y)}=\frac{x-y}{x+y}$
将$x=2,y=3$代入最简分式：
原式$=\frac{2-3}{2+3}=-\frac{1}{5}$
(2) 对分子分母因式分解后约分：
原式$=\frac{2(x^2-y^2)}{(x+y)^2}=\frac{2(x+y)(x-y)}{(x+y)^2}=\frac{2(x-y)}{x+y}$
将$x+y=2,x-y=\frac{1}{2}$整体代入：
原式$=\frac{2×\frac{1}{2}}{2}=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $-\frac{1}{5}$；(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
因式分解，分式约分，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，核心是熟练运用乘法公式对分子分母因式分解，约分过程要注意保证约去的公因式不为0；第(2)题运用整体代入的思想可避免求解$x$、$y$的步骤，大幅简化计算。
【难度系数】
0.8
12. 甲工程队完成一项工程需要$(2a - 6)$天，乙工程队完成这项工程要比甲工程队多8天，写出甲、乙两队每天完成的工作量的式子。若两式的分母不同，则将两个式子进行通分。
03 素养练 学科素养培育
03 素养练 学科素养培育
答案
12. 解:甲队每天完成的工作量为 $\frac{1}{2a-6}$，乙队每天完成的工作量为 $\frac{1}{2a-6+8}=\frac{1}{2a+2}$，$\because$ 最简公分母是 $2(a-3)(a+1)$，$\therefore \frac{1}{2a-6}=\frac{1 · (a+1)}{2(a-3) · (a+1)}=\frac{a+1}{2(a-3)(a+1)}$,$\frac{1}{2a+2}=\frac{1 · (a-3)}{2(a+1) · (a-3)}=\frac{a-3}{2(a-3)(a+1)}$.
解析
【分析】
解这道题首先明确工程问题的基本逻辑：将总工作量看作单位“1”，工作效率=总工作量÷工作时间。第一步先根据甲的工作时间求出乙的工作时间，分别写出甲乙两队工作效率的分式；第二步对两个分式通分，先把两个分母因式分解，确定最简公分母，再根据分式的基本性质，给两个分式的分子、分母同乘对应的整式，让分母统一为最简公分母即可。
【解析】
将这项工程的总工作量看作单位“1”：
1. 计算甲队每天的工作量：
甲队完成工程需要$(2a-6)$天，因此甲队每天完成的工作量为 $\frac{1}{2a-6}$。
2. 计算乙队每天的工作量：
乙队完成工程比甲队多8天，因此乙的工作时间为$(2a-6)+8=2a+2$天，乙队每天完成的工作量为 $\frac{1}{2a+2}$。
3. 对两个分式通分：
先对分母因式分解：$2a-6=2(a-3)$，$2a+2=2(a+1)$，可得最简公分母为$2(a-3)(a+1)$。
根据分式的基本性质通分：
$\frac{1}{2a-6}=\frac{1·(a+1)}{2(a-3)·(a+1)}=\frac{a+1}{2(a-3)(a+1)}$
$\frac{1}{2a+2}=\frac{1·(a-3)}{2(a+1)·(a-3)}=\frac{a-3}{2(a-3)(a+1)}$
【答案】
甲队每天完成的工作量为$\frac{1}{2a-6}$，通分后为$\frac{a+1}{2(a-3)(a+1)}$；乙队每天完成的工作量为$\frac{1}{2a+2}$，通分后为$\frac{a-3}{2(a-3)(a+1)}$。
【知识点】
工程问题公式，分式的通分，提公因式因式分解
【点评】
本题是工程问题和分式运算的结合题型，核心是掌握工作效率的计算方法和分式通分的步骤，通分时要注意先分解分母确定最简公分母，分子要和分母乘相同的整式，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.7
解这道题首先明确工程问题的基本逻辑：将总工作量看作单位“1”，工作效率=总工作量÷工作时间。第一步先根据甲的工作时间求出乙的工作时间，分别写出甲乙两队工作效率的分式；第二步对两个分式通分，先把两个分母因式分解，确定最简公分母，再根据分式的基本性质，给两个分式的分子、分母同乘对应的整式，让分母统一为最简公分母即可。
【解析】
将这项工程的总工作量看作单位“1”：
1. 计算甲队每天的工作量：
甲队完成工程需要$(2a-6)$天，因此甲队每天完成的工作量为 $\frac{1}{2a-6}$。
2. 计算乙队每天的工作量：
乙队完成工程比甲队多8天，因此乙的工作时间为$(2a-6)+8=2a+2$天，乙队每天完成的工作量为 $\frac{1}{2a+2}$。
3. 对两个分式通分：
先对分母因式分解：$2a-6=2(a-3)$，$2a+2=2(a+1)$，可得最简公分母为$2(a-3)(a+1)$。
根据分式的基本性质通分：
$\frac{1}{2a-6}=\frac{1·(a+1)}{2(a-3)·(a+1)}=\frac{a+1}{2(a-3)(a+1)}$
$\frac{1}{2a+2}=\frac{1·(a-3)}{2(a+1)·(a-3)}=\frac{a-3}{2(a-3)(a+1)}$
【答案】
甲队每天完成的工作量为$\frac{1}{2a-6}$，通分后为$\frac{a+1}{2(a-3)(a+1)}$；乙队每天完成的工作量为$\frac{1}{2a+2}$，通分后为$\frac{a-3}{2(a-3)(a+1)}$。
【知识点】
工程问题公式，分式的通分，提公因式因式分解
【点评】
本题是工程问题和分式运算的结合题型，核心是掌握工作效率的计算方法和分式通分的步骤，通分时要注意先分解分母确定最简公分母，分子要和分母乘相同的整式，避免漏乘出错。
【难度系数】
0.7
13.【新中考·新定义型阅读理解题】小学里，把分子比分母小的数叫做真分数.类似的，在分式中，对于只含有一个字母的分式，把分子中字母的次数小于分母中字母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式.对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式.如：$\frac{x^2 - 2}{x - 2} = \frac{x^2 - 4 + 2}{x - 2} = \frac{x^2 - 4}{x - 2} + \frac{2}{x - 2} = x + 2 + \frac{2}{x - 2}$.
(1)下列分式中，属于真分式的是 (
(2)将假分式$\frac{m^2 + 3}{m + 1}$化成整式与真分式的和的形式.
(1)下列分式中，属于真分式的是 (
C
)(2)将假分式$\frac{m^2 + 3}{m + 1}$化成整式与真分式的和的形式.
答案
13. (1) C (2)解: $\frac{m^2 + 3}{m + 1}=\frac{m^2 - 1 + 4}{m + 1}=\frac{m^2 - 1}{m + 1}+\frac{4}{m + 1}=m-1+\frac{4}{m+1}$.
解析
【分析】
(1) 首先准确理解题干给出的真分式定义：只含有一个字母的分式中，分子的字母次数小于分母的字母次数的是真分式。接下来分别统计四个选项分子、分母的字母次数，对比后即可选出符合要求的真分式。
(2) 假分式化为整式与真分式的和，核心方法是将分子凑成能被分母整除的部分加剩余部分：观察分母是$m+1$，联想到平方差公式$m^2-1=(m+1)(m-1)$，因此把分子$m^2+3$改写为$(m^2-1)+4$，再将分式拆分为两部分，能整除的部分约分化为整式，剩余部分就是真分式，合并即可得到结果。
【解析】
(1) 根据真分式的定义逐一判断：
选项A：分子$x^2$中$x$的次数为2，分母$x-1$中$x$的次数为1，$2＞1$，属于假分式，不符合要求；
选项B：分子$x-1$中$x$的次数为1，分母$x+1$中$x$的次数为1，次数相等，不属于真分式，不符合要求；
选项C：分子是常数3，$x$的次数为0，分母$2x-1$中$x$的次数为1，$0＜1$，属于真分式，符合要求；
选项D：分子$x^2+1$中$x$的次数为2，分母$x^2-1$中$x$的次数为2，次数相等，不属于真分式，不符合要求。
综上，(1)选C。
(2) 对$\frac{m^2 + 3}{m + 1}$拆分化简：
先将分子变形为含分母因式的形式：$m^2+3=(m^2-1)+4=(m+1)(m-1)+4$
代入原式拆分得：
$\frac{m^2 + 3}{m + 1}=\frac{(m+1)(m-1)+4}{m + 1}=\frac{(m+1)(m-1)}{m+1}+\frac{4}{m+1}=m-1+\frac{4}{m+1}$
【答案】
(1) $\mathrm{C}$；(2) $m-1+\frac{4}{m+1}$
【知识点】
真分式的定义、分式的化简、因式分解
【点评】
本题属于新定义类题型，既考查对新定义的阅读理解能力，也考查分式的运算能力。解题的关键是准确把握真分式的定义，掌握假分式拆分时“凑分母因式”的技巧，运算难度较低，侧重基础能力的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 首先准确理解题干给出的真分式定义：只含有一个字母的分式中，分子的字母次数小于分母的字母次数的是真分式。接下来分别统计四个选项分子、分母的字母次数，对比后即可选出符合要求的真分式。
(2) 假分式化为整式与真分式的和，核心方法是将分子凑成能被分母整除的部分加剩余部分：观察分母是$m+1$，联想到平方差公式$m^2-1=(m+1)(m-1)$，因此把分子$m^2+3$改写为$(m^2-1)+4$，再将分式拆分为两部分，能整除的部分约分化为整式，剩余部分就是真分式，合并即可得到结果。
【解析】
(1) 根据真分式的定义逐一判断：
选项A：分子$x^2$中$x$的次数为2，分母$x-1$中$x$的次数为1，$2＞1$，属于假分式，不符合要求；
选项B：分子$x-1$中$x$的次数为1，分母$x+1$中$x$的次数为1，次数相等，不属于真分式，不符合要求；
选项C：分子是常数3，$x$的次数为0，分母$2x-1$中$x$的次数为1，$0＜1$，属于真分式，符合要求；
选项D：分子$x^2+1$中$x$的次数为2，分母$x^2-1$中$x$的次数为2，次数相等，不属于真分式，不符合要求。
综上，(1)选C。
(2) 对$\frac{m^2 + 3}{m + 1}$拆分化简：
先将分子变形为含分母因式的形式：$m^2+3=(m^2-1)+4=(m+1)(m-1)+4$
代入原式拆分得：
$\frac{m^2 + 3}{m + 1}=\frac{(m+1)(m-1)+4}{m + 1}=\frac{(m+1)(m-1)}{m+1}+\frac{4}{m+1}=m-1+\frac{4}{m+1}$
【答案】
(1) $\mathrm{C}$；(2) $m-1+\frac{4}{m+1}$
【知识点】
真分式的定义、分式的化简、因式分解
【点评】
本题属于新定义类题型，既考查对新定义的阅读理解能力，也考查分式的运算能力。解题的关键是准确把握真分式的定义，掌握假分式拆分时“凑分母因式”的技巧，运算难度较低，侧重基础能力的考查。
【难度系数】
0.7
