1. 分母中含有的方程叫作分式方程。

1. 未知数

【分析】
这道题考查分式方程的基本定义，解题时先回忆分式方程与整式方程的核心区别：整式方程的分母仅含常数不含未知数，而分式方程的核心判定标准就是分母中存在未知数，直接对应定义内容就能得到答案。
【解析】
根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程，因此空缺处应填写“未知数”。
【答案】
未知数
【知识点】
分式方程的定义
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，主要考查对核心定义的掌握情况，只要准确记忆相关概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9

2. 解分式方程的一般方法和步骤:(1)去，方程两边同乘以，化成整式方程;(2)解;(3).

2. 分母 最简公分母 整式 检验

【分析】
本题考查分式方程求解步骤的基础识记，解题时回忆解分式方程的完整流程即可：首先要把分式方程转化为我们熟悉的整式方程，转化的方法是去分母，即两边同乘各分母的最简公分母；接着求解转化得到的整式方程；最后由于去分母过程可能产生增根，必须增加检验步骤，对应空缺逐一填写即可。
【解析】
解分式方程的一般方法和步骤：
(1)去分母，方程两边同乘以最简公分母，消去所有分母，将分式方程化成整式方程；
(2)解转化后得到的整式方程；
(3)检验：判断整式方程的解是否为原分式方程的解，排除增根。
因此四个空缺依次对应填写即可。
【答案】
分母；最简公分母；整式；检验
【知识点】
解分式方程的步骤；去分母方法；分式方程验根
【点评】
本题属于基础概念题，直接考察分式方程求解的核心步骤，是求解分式方程的必备基础知识，需牢记检验是解分式方程必不可少的步骤，避免出现增根导致解题错误。
【难度系数】
0.9

3.检验的方法:将整式方程的解代入，若最简公分母的值不为，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

3. 最简公分母 0

【分析】
我们可以从分式方程增根的产生原因来梳理解题思路：分式方程转化为整式方程时，需要给方程两边同时乘最简公分母，若所乘的最简公分母为0，此时原分式方程中的分式无意义，得到的解就不是原分式方程的解（即增根）。因此检验分式方程的解时，只需要将整式方程的解代入最简公分母，判断它的值是否为0即可。
【解析】
解分式方程的检验步骤为：将整式方程求得的解代入最简公分母判断：如果最简公分母的值不为0，说明该解没有使原分式方程的任意一个分母为0，是原分式方程的解；如果最简公分母的值为0，说明该解会让原分式无意义，属于增根，不是原分式方程的解。因此两个空依次填入“最简公分母”“0”。
【答案】
最简公分母；0
【知识点】
分式方程的检验；增根的概念
【点评】
本题考查分式方程检验的基础规则，属于概念识记类题目，是解分式方程的必备知识点，需熟练掌握检验的操作方法和判断标准。
【难度系数】
0.9

1.【概念辨析】下列方程中，是分式方程的是（）

A.$\frac{1}{3} - \frac{x}{5} = 0$
B.$\frac{1}{x} = \frac{5}{x+3}$
C.$\frac{x+2}{π} = 1$
D.$x = 2x -5$

1. B

【分析】
解这道题首先要明确分式方程的核心判定标准：分母中含有未知数的方程叫做分式方程，反之分母不含未知数的为整式方程。解题时只需逐个排查每个选项的分母是否含有未知数即可，需注意π是固定数值的常数，不属于未知数，不要误判。
【解析】
首先回忆分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程，我们逐个分析选项：
A选项：$\frac{1}{3} - \frac{x}{5} = 0$的分母为3和5，均为常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
B选项：$\frac{1}{x} = \frac{5}{x+3}$的分母为$x$和$x+3$，都含有未知数$x$，符合分式方程的定义；
C选项：$\frac{x+2}{π} = 1$的分母为π，π是常数，不含未知数，属于整式方程，不符合要求；
D选项：$x = 2x -5$没有分母，属于整式方程，不符合要求。
综上，符合要求的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的定义，整式方程的判断，常数π的属性
【点评】
本题是基础概念辨析题，解题关键是掌握分式方程的判定特征，做题时要注意区分常数和未知数，避免误将π当作未知数错选C。
【难度系数】
0.9

2. 解分式方程$\frac{2}{x-3} -1 = \frac{3}{3-x}$，去分母后正确的是（）

A.$2-(x-3)=-3$
B.$2-x-3=-3$
C.$2-(3-x)=3$
D.$2-3-x=3$

2. A

【分析】
解决这类分式方程去分母的题目，思路分为两步：第一步先确定最简公分母，观察本题的两个分母$x-3$和$3-x$，可知$3-x=-(x-3)$，因此最简公分母为$x-3$；第二步给方程的每一项都乘以最简公分母，注意不要漏乘不含分母的项，同时注意分母变号带来的符号变化，最后将得到的式子和选项对比即可选出正确答案。
【解析】
首先对原方程的分母进行变形：$\frac{3}{3-x}=\frac{3}{-(x-3)}=-\frac{3}{x-3}$，原方程可改写为：
$\frac{2}{x-3} -1 = -\frac{3}{x-3}$
方程两边同时乘以最简公分母$x-3$，每一项都要参与乘法运算：
$\frac{2}{x-3} × (x-3) + (-1) × (x-3) = -\frac{3}{x-3} × (x-3)$
约分计算后可得：$2-(x-3)=-3$，与选项A一致。
【答案】
A
【知识点】
1. 分式方程去分母 2. 最简公分母确定
【点评】
本题是分式方程变形的基础题，易错点有两个：一是去分母时漏乘不含分母的常数项，二是处理互为相反数的分母时符号计算错误，解题时要牢记每一项都乘公分母，变形时逐一核对符号即可避免出错。
【难度系数】
0.8

3. 分式方程$\frac{1}{x-5}=1$的解是 （）

A.$x=6$
B.$x=-6$
C.$x=5$
D.$x=-5$

3. A

【分析】
解分式方程的核心思路是先把分式方程转化为整式方程求解，最后必须检验所得的解是否让原分式的分母不为0，避免出现增根。针对本题，我们可以先通过两边同乘分母的方式去分母，将方程转化为学过的一元一次方程，再解一元一次方程，最后验证解的合理性即可。
【解析】
解：首先明确分式有意义的前提：$x-5≠0$，即$x≠5$。
1. 去分母：方程两边同时乘以$(x-5)$，可得：
$1=x-5$
2. 解一元一次方程：移项得$x=1+5$，计算得$x=6$。
3. 检验：把$x=6$代入原方程的分母$x-5$，得$6-5=1≠0$，再代入原方程验证，左边$=\frac{1}{6-5}=1$，右边$=1$，左边等于右边，所以$x=6$是原分式方程的解。
【答案】
A
【知识点】
分式方程求解，一元一次方程解法，分式方程验根
【点评】
本题是分式方程的基础考查题，重点考察分式方程的标准解题步骤，解题时要牢记最后必须检验解是否使原分式有意义，掌握基础解题步骤即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9

4.已知关于$x$的方程$\frac{10}{x+k} - \frac{3}{x} = 1$的解为$x=3$，则$k$的值是。

4. 2

【分析】
要求k的值，首先回忆方程解的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解。因此我们可以把已知的解x=3代入原方程，原方程就会转化为仅含有未知数k的方程，再求解这个方程就能得到k的值，最后要注意验证分母不为0，保证分式有意义。
【解析】
解：
∵$x=3$是方程$\frac{10}{x+k} - \frac{3}{x} = 1$的解
∴将$x=3$代入原方程，可得：
$\frac{10}{3+k} - \frac{3}{3} = 1$
化简得：$\frac{10}{3+k} - 1 = 1$
移项得：$\frac{10}{3+k} = 2$
两边同时乘$3+k$（$3+k≠0$）得：
$10 = 2(3+k)$
去括号：$10 = 6 + 2k$
移项、合并同类项：$2k = 4$
系数化为1：$k=2$
检验：当$k=2$时，分母$3+k=5≠0$，符合分式有意义的要求，结果成立。
【答案】
2
【知识点】
方程的解的意义；一元一次方程的解法；分式有意义的条件
【点评】
本题是基础题型，核心考查方程解的应用，解题的关键是通过代入已知解，将求参数的问题转化为常规解方程问题，计算量小，解题时注意验证分式分母不为0即可。
【难度系数】
0.9

5.(1)(答题模板)解分式方程：
$\frac{2}{x+1}+\frac{3}{x-1}=\frac{6}{x^2-1}.$
解:方程两边同乘以最简公分母________，
得$\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_.$
解得$x=\_\_\_\_\_\_.$
检验:当$x=\_\_\_\_\_\_$时，
最简公分母$\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_.$
所以原分式方程$\_\_\_\_\_\_.$
(2)【教材 P166 练习变式】解下列方程:
①$\frac{3}{x-1}=\frac{2}{x};$
②$\frac{1}{x-1}+1=\frac{3}{2x-2}.$

5.(1) $(x-1)(x+1)$ $2(x-1)+3(x+1)$ $6$ $1$ $1$ $(x+1)(x-1)$ $0$ 无解
(2)①解:方程两边同乘$x(x-1)$,得$3x=2(x-1)$,解得$x=-2$.检验:当$x=-2$时,$x(x-1)≠0$,$∴$原分式方程的解是$x=-2$;
②解:方程两边同乘$2(x-1)$,得$2+2x-2=3$.解得$x=\frac{3}{2}$.检验:当$x=\frac{3}{2}$时,$2(x-1)≠0$.$∴$原方程的解是$x=\frac{3}{2}$.

【分析】
解分式方程的核心思路是将分式方程转化为整式方程求解，通用步骤为：①先确定各分式的最简公分母，方程两边同乘最简公分母去掉分母，得到整式方程；②解所得的整式方程；③检验：把整式方程的解代入最简公分母，若公分母不为0，则该解是原分式方程的解，若公分母为0，则该解是增根，原分式方程无解。
本题(1)是分式方程的解题模板训练，先将分母$x^2-1$因式分解即可得到最简公分母，按步骤运算后检验即可判断解的情况；(2)的两个方程同理，先找对应最简公分母，按上述步骤求解即可，注意不要遗漏检验环节。
【解析】
(1) 因式分解得$x^2-1=(x+1)(x-1)$，因此最简公分母为$(x+1)(x-1)$。
方程两边同乘$(x+1)(x-1)$，得$2(x-1)+3(x+1)=6$，
去括号合并得$5x+1=6$，解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，最简公分母$(x+1)(x-1)=(1+1)(1-1)=0$，因此$x=1$是增根，原分式方程无解。
(2)① 方程$\frac{3}{x-1}=\frac{2}{x}$的最简公分母为$x(x-1)$，方程两边同乘$x(x-1)$，得$3x=2(x-1)$，
去括号移项得$3x-2x=-2$，解得$x=-2$。
检验：当$x=-2$时，$x(x-1)=(-2)×(-3)=6≠0$，因此$x=-2$是原分式方程的解。
② 因式分解得$2x-2=2(x-1)$，最简公分母为$2(x-1)$，方程两边同乘$2(x-1)$，得$2+2(x-1)=3$，
去括号合并得$2x=3$，解得$x=\frac{3}{2}$。
检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$2(x-1)=2×\frac{1}{2}=1≠0$，因此$x=\frac{3}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
5.(1) $(x-1)(x+1)$ $2(x-1)+3(x+1)$ $6$ $1$ $1$ $(x+1)(x-1)$ $0$ 无解
(2)①解:方程两边同乘$x(x-1)$,得$3x=2(x-1)$,解得$x=-2$.检验:当$x=-2$时,$x(x-1)≠0$,$∴$原分式方程的解是$x=-2$;
②解:方程两边同乘$2(x-1)$,得$2+2x-2=3$.解得$x=\frac{3}{2}$.检验:当$x=\frac{3}{2}$时,$2(x-1)≠0$.$∴$原方程的解是$x=\frac{3}{2}$.
【知识点】
分式方程的解法、分式方程的验根、最简公分母的确定
【点评】
本题考查分式方程的常规求解方法，重点是掌握去分母化整式方程、解整式方程、检验三个核心步骤，其中检验是解分式方程必不可少的环节，避免将增根误认为原方程的解，属于基础题型，需要熟练掌握解题规范。
【难度系数】
0.7

6.【新课标·过程纠错】小明解方程$\frac{1}{x} - \frac{x-2}{x} = 1$的过程如下所示.
解:方程两边乘$x$,得$1-(x-2)=1$. …… ①
去括号,得$1-x-2=1$. …………………… ②
合并同类项,得$-x-1=1$. ………………… ③
移项,得$-x=2$. …………………………… ④
系数化为1,得$x=-2$. …………………… ⑤
∴原方程的解为$x=-2$. ………………… ⑥
(1)以上解方程从第步开始出错,错误的原因是;
(2)小明的解答过程缺少的必要步骤是;
(3)此方程的解是.

6.(1)① 去分母时,常数项漏乘最简公分母 (2)检验 (3)$x=\frac{3}{2}$

【分析】
本题考查分式方程的求解纠错，解题时先回忆分式方程的标准求解步骤：去分母（每一项都乘最简公分母，避免漏乘）、去括号（注意符号变化）、移项合并、系数化为1、检验（排除增根）。对照小明的步骤逐一排查：首先检查去分母步骤，发现右边常数项未乘公分母，可确定出错步骤；再根据分式方程的要求，可知缺少验根步骤；最后按照正确步骤重新求解即可得到正确解。
【解析】
(1) 观察步骤①：方程两边乘最简公分母$x$时，右边的常数项$1$也需要乘$x$，小明仅给左边乘了$x$，右边$1$漏乘，因此第①步开始出错，错误原因是去分母时，常数项漏乘最简公分母。
(2) 分式方程去分母后会转化为整式方程，可能产生增根，因此求解后必须检验解是否使原分式的分母为0，小明的解答缺少检验步骤。
(3) 正确求解过程如下：
方程两边乘$x$（$x≠0$），得$1-(x-2)=x$，
去括号，得$1 - x + 2 = x$，
合并同类项，得$3 - x = x$，
移项，得$3 = 2x$，
系数化为1，得$x=\frac{3}{2}$，
检验：当$x=\frac{3}{2}$时，$x≠0$，因此$x=\frac{3}{2}$是原方程的解。
【答案】
(1)①，去分母时，常数项漏乘最简公分母；(2)检验；(3)$x=\frac{3}{2}$
【知识点】
分式方程的解法，去括号法则，分式方程验根
【点评】
本题围绕分式方程的求解设置易错点排查，重点考查学生对分式方程求解步骤的掌握程度，去分母漏乘项、去括号符号错误、忘记验根都是解分式方程的常见易错点，熟练掌握规范解题步骤就能轻松应对这类题型。
【难度系数】
0.7