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7.如果关于$x$的方程$\frac{2x+m}{x-1}=1$的解是正数，那么$m$的取值范围是
【点拨】先解分式方程(用含$m$的式子表示$x$)，再根据解为正数和最简公分母不为零列不等式组解答。
$m＜-1且m≠-2$
。【点拨】先解分式方程(用含$m$的式子表示$x$)，再根据解为正数和最简公分母不为零列不等式组解答。
答案
7. $m＜-1且m≠-2$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们按以下思路思考：首先这是分式方程，第一步需要先将分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出x的值；其次题目要求方程的解是正数，因此x的取值要大于0；最后要注意分式方程的分母不能为0，否则方程无意义，所以还要保证x≠1，结合这两个条件列不等式求解，就能得到m的取值范围。
【解析】
首先解方程$\frac{2x+m}{x-1}=1$：
1. 去分母，两边同时乘以最简公分母$x-1$（注意$x≠1$），得：
$2x + m = x - 1$
2. 移项合并同类项，解得：
$x = -m -1$
接下来根据题意列不等式：
① 因为方程的解是正数，所以$x＞0$，即：
$-m -1 ＞ 0$
解得：$m ＜ -1$
② 因为分式分母不能为0，所以$x≠1$，即：
$-m -1 ≠ 1$
解得：$m ≠ -2$
综合两个条件，可得m的取值范围是$m ＜ -1$且$m ≠ -2$。
【答案】
$m＜-1且m≠-2$
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；一元一次不等式求解
【点评】
本题属于分式方程与不等式结合的常规题型，解题的易错点是容易遗漏分式分母不为0的限制条件，导致多算m的可取范围，求解此类问题时一定要注意验证分式方程的解要使原方程有意义。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们按以下思路思考：首先这是分式方程，第一步需要先将分式方程转化为整式方程，用含m的代数式表示出x的值；其次题目要求方程的解是正数，因此x的取值要大于0；最后要注意分式方程的分母不能为0，否则方程无意义，所以还要保证x≠1，结合这两个条件列不等式求解，就能得到m的取值范围。
【解析】
首先解方程$\frac{2x+m}{x-1}=1$：
1. 去分母，两边同时乘以最简公分母$x-1$（注意$x≠1$），得：
$2x + m = x - 1$
2. 移项合并同类项，解得：
$x = -m -1$
接下来根据题意列不等式：
① 因为方程的解是正数，所以$x＞0$，即：
$-m -1 ＞ 0$
解得：$m ＜ -1$
② 因为分式分母不能为0，所以$x≠1$，即：
$-m -1 ≠ 1$
解得：$m ≠ -2$
综合两个条件，可得m的取值范围是$m ＜ -1$且$m ≠ -2$。
【答案】
$m＜-1且m≠-2$
【知识点】
分式方程的解法；分式有意义的条件；一元一次不等式求解
【点评】
本题属于分式方程与不等式结合的常规题型，解题的易错点是容易遗漏分式分母不为0的限制条件，导致多算m的可取范围，求解此类问题时一定要注意验证分式方程的解要使原方程有意义。
【难度系数】
0.6
8. (1)当$a=$
(2)【T8(1)变式】当$x=$
$\frac{1}{7}$
时,关于$x$的方程$\dfrac{ax}{a-1}-\dfrac{2}{x-1}=1$的解与方程$\dfrac{x-4}{x}=3$的解相同.(2)【T8(1)变式】当$x=$
$\frac{5}{6}$
时,$\dfrac{x}{x-5}-2$与$\dfrac{x+1}{x}$互为相反数.答案
8. (1)$\frac{1}{7}$ (2)$\frac{5}{6}$
解析
【分析】
(1) 先求解无参数的分式方程$\dfrac{x-4}{x}=3$，得到它的解后，利用两个方程解相同的条件，将解代入含参数$a$的分式方程，转化为关于$a$的一元一次方程求解，最后注意检验分式方程的分母不为0。
(2) 根据互为相反数的两个数和为0的性质，列出对应的分式方程，通过去分母转化为整式方程求解，最后检验解是否使原方程分母不为0。
【解析】
(1) 解方程$\dfrac{x-4}{x}=3$：
两边同乘$x$去分母得：$x-4=3x$
移项合并同类项得：$-2x=4$
解得：$x=-2$
检验：当$x=-2$时，$x≠0$，故$x=-2$是该方程的解。
将$x=-2$代入$\dfrac{ax}{a-1}-\dfrac{2}{x-1}=1$得：
$\dfrac{-2a}{a-1}-\dfrac{2}{-2-1}=1$，化简得$\dfrac{-2a}{a-1}+\dfrac{2}{3}=1$
移项得$\dfrac{-2a}{a-1}=\dfrac{1}{3}$
两边同乘$3(a-1)$（$a≠1$）去分母得：$-6a=a-1$
移项合并得：$-7a=-1$
解得：$a=\dfrac{1}{7}$
检验：当$a=\dfrac{1}{7}$时，$a-1≠0$，符合题意。
(2) 由题意得：$\dfrac{x}{x-5}-2 + \dfrac{x+1}{x}=0$
两边同乘$x(x-5)$（$x≠0$且$x≠5$）去分母得：
$x^2 - 2x(x-5) + (x+1)(x-5)=0$
展开化简：$x^2-2x^2+10x+x^2-4x-5=0$
合并同类项得：$6x-5=0$
解得：$x=\dfrac{5}{6}$
检验：当$x=\dfrac{5}{6}$时，$x(x-5)≠0$，是原方程的解。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{7}$；(2)$\dfrac{5}{6}$
【知识点】
分式方程求解，相反数的性质，同解方程的应用
【点评】
本题是分式方程的基础应用题型，解题核心是先根据题意列出对应的方程，再按分式方程的求解步骤计算，特别要注意解完后必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.7
(1) 先求解无参数的分式方程$\dfrac{x-4}{x}=3$，得到它的解后，利用两个方程解相同的条件，将解代入含参数$a$的分式方程，转化为关于$a$的一元一次方程求解，最后注意检验分式方程的分母不为0。
(2) 根据互为相反数的两个数和为0的性质，列出对应的分式方程，通过去分母转化为整式方程求解，最后检验解是否使原方程分母不为0。
【解析】
(1) 解方程$\dfrac{x-4}{x}=3$：
两边同乘$x$去分母得：$x-4=3x$
移项合并同类项得：$-2x=4$
解得：$x=-2$
检验：当$x=-2$时，$x≠0$，故$x=-2$是该方程的解。
将$x=-2$代入$\dfrac{ax}{a-1}-\dfrac{2}{x-1}=1$得：
$\dfrac{-2a}{a-1}-\dfrac{2}{-2-1}=1$，化简得$\dfrac{-2a}{a-1}+\dfrac{2}{3}=1$
移项得$\dfrac{-2a}{a-1}=\dfrac{1}{3}$
两边同乘$3(a-1)$（$a≠1$）去分母得：$-6a=a-1$
移项合并得：$-7a=-1$
解得：$a=\dfrac{1}{7}$
检验：当$a=\dfrac{1}{7}$时，$a-1≠0$，符合题意。
(2) 由题意得：$\dfrac{x}{x-5}-2 + \dfrac{x+1}{x}=0$
两边同乘$x(x-5)$（$x≠0$且$x≠5$）去分母得：
$x^2 - 2x(x-5) + (x+1)(x-5)=0$
展开化简：$x^2-2x^2+10x+x^2-4x-5=0$
合并同类项得：$6x-5=0$
解得：$x=\dfrac{5}{6}$
检验：当$x=\dfrac{5}{6}$时，$x(x-5)≠0$，是原方程的解。
【答案】
(1)$\dfrac{1}{7}$；(2)$\dfrac{5}{6}$
【知识点】
分式方程求解，相反数的性质，同解方程的应用
【点评】
本题是分式方程的基础应用题型，解题核心是先根据题意列出对应的方程，再按分式方程的求解步骤计算，特别要注意解完后必须检验，排除增根。
【难度系数】
0.7
9.【新中考·新运算型阅读理解题】对于两个非零式子，定义一种新的运算：$x@y=\frac{1}{x}+\frac{x}{y}$。若：$x@(x-1)=1$，则$x=$
$\frac{1}{2}$
。答案
9. $\frac{1}{2}$
解析
【分析】
解题时首先要准确理解新定义运算“@”的规则，将$x@(x-1)$按照规则转化为常规的分式表达式，进而列出分式方程；再按照分式方程的求解步骤去分母、解整式方程，最后一定要检验所得的根是否使原分式的分母不为0，排除增根得到最终答案。
【解析】
根据新运算的定义$x@y=\frac{1}{x}+\frac{x}{y}$，可得：
$x@(x-1)=\frac{1}{x}+\frac{x}{x-1}$
已知$x@(x-1)=1$，因此列分式方程：
$\frac{1}{x}+\frac{x}{x-1}=1$
方程两边同时乘以最简公分母$x(x-1)$（$x≠0$且$x≠1$）去分母得：
$x-1 + x^2 = x(x-1)$
展开右边并整理：
$x-1 + x^2 = x^2 -x$
移项、合并同类项：
$2x = 1$
解得：$x=\frac{1}{2}$
检验：将$x=\frac{1}{2}$代入$x(x-1)$，得$\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-1)=-\frac{1}{4}≠0$，因此$x=\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
新定义运算、解分式方程、分式方程验根
【点评】
本题将新定义运算与分式方程结合考查，核心是正确转化新运算为常规方程，解题时需注意分式方程必须验根，整体考察形式灵活但难度不高。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确理解新定义运算“@”的规则，将$x@(x-1)$按照规则转化为常规的分式表达式，进而列出分式方程；再按照分式方程的求解步骤去分母、解整式方程，最后一定要检验所得的根是否使原分式的分母不为0，排除增根得到最终答案。
【解析】
根据新运算的定义$x@y=\frac{1}{x}+\frac{x}{y}$，可得：
$x@(x-1)=\frac{1}{x}+\frac{x}{x-1}$
已知$x@(x-1)=1$，因此列分式方程：
$\frac{1}{x}+\frac{x}{x-1}=1$
方程两边同时乘以最简公分母$x(x-1)$（$x≠0$且$x≠1$）去分母得：
$x-1 + x^2 = x(x-1)$
展开右边并整理：
$x-1 + x^2 = x^2 -x$
移项、合并同类项：
$2x = 1$
解得：$x=\frac{1}{2}$
检验：将$x=\frac{1}{2}$代入$x(x-1)$，得$\frac{1}{2}×(\frac{1}{2}-1)=-\frac{1}{4}≠0$，因此$x=\frac{1}{2}$是原分式方程的解。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
新定义运算、解分式方程、分式方程验根
【点评】
本题将新定义运算与分式方程结合考查，核心是正确转化新运算为常规方程，解题时需注意分式方程必须验根，整体考察形式灵活但难度不高。
【难度系数】
0.7
10.解分式方程：$\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}$
答案
10. 解:方程两边乘$(x-1)(x+2)$,得$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$.解得$x=1$.检验:当$x=1$时,$(x-1)(x+2)=0$. $∴$原分式方程无解.
解析
【分析】
解分式方程的思路是先把分式方程转化为整式方程再求解，最后必须检验根是否有效。首先观察方程的分母，可得最简公分母为$(x-1)(x+2)$，方程两边同时乘最简公分母即可消去分母得到整式方程；接下来解整式方程得到未知数的取值；最后将所得的根代入最简公分母检验，若公分母为0，说明该根是增根，原分式方程无解，若公分母不为0，则该根是原方程的解。
【解析】
解：方程两边乘$(x-1)(x+2)$，得
$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$
展开并整理左边：
$x^2+2x-(x^2+x-2)=3$
$x+2=3$
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$(x-1)(x+2)=0$，因此$x=1$不是原分式方程的解。
$∴$原分式方程无解。
【答案】
原分式方程无解
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题，解题时要注意去分母时不要漏乘常数项，切勿忘记验根步骤，增根不是原分式方程的根，出现增根时原方程无解。
【难度系数】
0.7
解分式方程的思路是先把分式方程转化为整式方程再求解，最后必须检验根是否有效。首先观察方程的分母，可得最简公分母为$(x-1)(x+2)$，方程两边同时乘最简公分母即可消去分母得到整式方程；接下来解整式方程得到未知数的取值；最后将所得的根代入最简公分母检验，若公分母为0，说明该根是增根，原分式方程无解，若公分母不为0，则该根是原方程的解。
【解析】
解：方程两边乘$(x-1)(x+2)$，得
$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$
展开并整理左边：
$x^2+2x-(x^2+x-2)=3$
$x+2=3$
解得$x=1$。
检验：当$x=1$时，$(x-1)(x+2)=0$，因此$x=1$不是原分式方程的解。
$∴$原分式方程无解。
【答案】
原分式方程无解
【知识点】
分式方程的解法，分式方程的验根
【点评】
本题属于分式方程求解的基础题，解题时要注意去分母时不要漏乘常数项，切勿忘记验根步骤，增根不是原分式方程的根，出现增根时原方程无解。
【难度系数】
0.7
11.【新中考·解题方法型阅读理解题】先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解为$x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$；
方程$x+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$的解为$x_1=3,x_2=\frac{1}{3}$；
方程$x+\frac{1}{x}=4+\frac{1}{4}$的解为$x_1=4,x_2=\frac{1}{4}$；
……
（1）观察上述方程的解，猜想方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}$的解是
（2）请根据上述方程及其解的特征，对方程$y+\frac{2y+5}{y+2}=\frac{26}{5}$进行变形，并写出方程的解。
方程$x+\frac{1}{x}=2+\frac{1}{2}$的解为$x_1=2,x_2=\frac{1}{2}$；
方程$x+\frac{1}{x}=3+\frac{1}{3}$的解为$x_1=3,x_2=\frac{1}{3}$；
方程$x+\frac{1}{x}=4+\frac{1}{4}$的解为$x_1=4,x_2=\frac{1}{4}$；
……
（1）观察上述方程的解，猜想方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}$的解是
$x_1=c,x_2=\frac{m}{c}$
；（2）请根据上述方程及其解的特征，对方程$y+\frac{2y+5}{y+2}=\frac{26}{5}$进行变形，并写出方程的解。
答案
11.(1)$x_1=c,x_2=\frac{m}{c}$;(2)方程变形,得$y+\frac{2y+4+1}{y+2}=\frac{26}{5}$.$y+2+\frac{1}{y+2}=5+\frac{1}{5}$.可得$y+2=5$或$y+2=\frac{1}{5}$.解得$y_1=3,y_2=-\frac{9}{5}$.
解析
【分析】
（1）观察给出的方程和解的特征：方程左边均为$x$加$x$分之常数，右边均为一个数加该数分之同一个常数，对应解一个是右边的常数项，另一个是该常数分之分子的常数，由此可直接猜想目标方程的解。
（2）求解给出的分式方程时，先将左边的分式变形：把分子$2y+5$拆分为$2(y+2)+1$，化简分式后将左边整理为“$(y+2)+\frac{1}{y+2}$”的形式，再把右边$\frac{26}{5}$拆为$5+\frac{1}{5}$，即可匹配前面的方程模型，直接套用规律求解。
【解析】
（1）根据已知方程的规律：$x+\frac{1}{x}=a+\frac{1}{a}$的解为$x_1=a,x_2=\frac{1}{a}$，类比可得方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{m}{c}$。
（2）对原方程变形：
首先拆分左边分式的分子：$\frac{2y+5}{y+2}=\frac{2(y+2)+1}{y+2}=2+\frac{1}{y+2}$，
代入原方程得：$y+2+\frac{1}{y+2}=\frac{26}{5}$，
整理为：$y+2+\frac{1}{y+2}=5+\frac{1}{5}$，
根据（1）的规律可得：$y+2=5$或$y+2=\frac{1}{5}$，
分别求解：
当$y+2=5$时，$y_1=3$；
当$y+2=\frac{1}{5}$时，$y_2=\frac{1}{5}-2=-\frac{9}{5}$。
经检验，$y_1=3$、$y_2=-\frac{9}{5}$均为原方程的解。
【答案】
(1)$x_1=c,x_2=\frac{m}{c}$；(2)变形为$y+2+\frac{1}{y+2}=5+\frac{1}{5}$，解为$y_1=3,y_2=-\frac{9}{5}$
【知识点】
规律探究，分式化简，分式方程求解
【点评】
本题属于阅读理解类规律探究题，需要先从示例中归纳出通用规律，再通过分式变形将陌生方程转化为符合规律的形式求解，侧重考查归纳推理能力和知识迁移能力，掌握分式拆分技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
（1）观察给出的方程和解的特征：方程左边均为$x$加$x$分之常数，右边均为一个数加该数分之同一个常数，对应解一个是右边的常数项，另一个是该常数分之分子的常数，由此可直接猜想目标方程的解。
（2）求解给出的分式方程时，先将左边的分式变形：把分子$2y+5$拆分为$2(y+2)+1$，化简分式后将左边整理为“$(y+2)+\frac{1}{y+2}$”的形式，再把右边$\frac{26}{5}$拆为$5+\frac{1}{5}$，即可匹配前面的方程模型，直接套用规律求解。
【解析】
（1）根据已知方程的规律：$x+\frac{1}{x}=a+\frac{1}{a}$的解为$x_1=a,x_2=\frac{1}{a}$，类比可得方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}$的解为$x_1=c,x_2=\frac{m}{c}$。
（2）对原方程变形：
首先拆分左边分式的分子：$\frac{2y+5}{y+2}=\frac{2(y+2)+1}{y+2}=2+\frac{1}{y+2}$，
代入原方程得：$y+2+\frac{1}{y+2}=\frac{26}{5}$，
整理为：$y+2+\frac{1}{y+2}=5+\frac{1}{5}$，
根据（1）的规律可得：$y+2=5$或$y+2=\frac{1}{5}$，
分别求解：
当$y+2=5$时，$y_1=3$；
当$y+2=\frac{1}{5}$时，$y_2=\frac{1}{5}-2=-\frac{9}{5}$。
经检验，$y_1=3$、$y_2=-\frac{9}{5}$均为原方程的解。
【答案】
(1)$x_1=c,x_2=\frac{m}{c}$；(2)变形为$y+2+\frac{1}{y+2}=5+\frac{1}{5}$，解为$y_1=3,y_2=-\frac{9}{5}$
【知识点】
规律探究，分式化简，分式方程求解
【点评】
本题属于阅读理解类规律探究题，需要先从示例中归纳出通用规律，再通过分式变形将陌生方程转化为符合规律的形式求解，侧重考查归纳推理能力和知识迁移能力，掌握分式拆分技巧是解题的关键。
【难度系数】
0.7
1.若关于$x$的分式方程$\frac{x+m}{x-2}+\frac{1}{2-x}=3$有增根，则$m$的值是
$-1$
。答案
1. $-1$
解析
【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先明确增根的性质：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，同时会使原分式方程的分母为0。解题思路如下：第一步，先找原方程可能的增根，令分母为0求出对应的x值；第二步，将原分式方程去分母转化为整式方程；第三步，把增根代入整式方程，即可求出参数m的值。
【解析】
1. 确定增根：原分式方程的分母为$x-2$和$2-x$，令分母为0，即$x-2=0$，解得$x=2$，因此该分式方程的增根为$x=2$。
2. 去分母化为整式方程：先将原方程变形，$\frac{1}{2-x}=-\frac{1}{x-2}$，原方程可写为$\frac{x+m}{x-2}-\frac{1}{x-2}=3$；方程两边同时乘最简公分母$x-2$，得：$x+m-1=3(x-2)$。
3. 代入增根求m：把$x=2$代入上述整式方程，得$2+m-1=3×(2-2)$，化简得$m+1=0$，解得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程的解法
【点评】
本题是分式方程增根应用的基础题，解题核心是掌握增根的两个特征，按照固定步骤求解即可，注意去分母时的符号变化，避免计算错误即可得分。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程有增根求参数的问题，首先明确增根的性质：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，同时会使原分式方程的分母为0。解题思路如下：第一步，先找原方程可能的增根，令分母为0求出对应的x值；第二步，将原分式方程去分母转化为整式方程；第三步，把增根代入整式方程，即可求出参数m的值。
【解析】
1. 确定增根：原分式方程的分母为$x-2$和$2-x$，令分母为0，即$x-2=0$，解得$x=2$，因此该分式方程的增根为$x=2$。
2. 去分母化为整式方程：先将原方程变形，$\frac{1}{2-x}=-\frac{1}{x-2}$，原方程可写为$\frac{x+m}{x-2}-\frac{1}{x-2}=3$；方程两边同时乘最简公分母$x-2$，得：$x+m-1=3(x-2)$。
3. 代入增根求m：把$x=2$代入上述整式方程，得$2+m-1=3×(2-2)$，化简得$m+1=0$，解得$m=-1$。
【答案】
$-1$
【知识点】
分式方程的增根；分式方程的解法
【点评】
本题是分式方程增根应用的基础题，解题核心是掌握增根的两个特征，按照固定步骤求解即可，注意去分母时的符号变化，避免计算错误即可得分。
【难度系数】
0.7
2.【新中考·结论开放】若想让关于$x$的分式方程$\frac{2}{x-4}=3+\frac{m}{4-x}$没有增根，则$m$的值为
$1$(答案不唯一)
（填一个）。答案
2. $1$(答案不唯一)
解析
【分析】
要解决分式方程没有增根的问题，首先要明确增根的含义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，同时会使原分式方程的分母为0。解题思路如下：①先确定原分式方程可能的增根，令分母为0可得可能的增根为x=4；②将分式方程去分母转化为整式方程；③先计算方程有增根时对应的m值，只要m不等于该值，方程就没有增根，任选一个符合条件的m值即可。
【解析】
1. 确定可能的增根：原方程分母为$x-4$和$4-x$，令$x-4=0$，解得$x=4$，因此该方程的增根只能是$x=4$。
2. 去分母化为整式方程：方程两边同时乘最简公分母$(x-4)$，注意$\frac{m}{4-x}=-\frac{m}{x-4}$，去分母后得：
$2 = 3(x-4) - m$
3. 计算有增根时m的取值：若方程有增根$x=4$，将$x=4$代入上述整式方程，得$2 = 3×(4-4) - m$，解得$m=-2$。
4. 确定无增根的m值：当$m≠ -2$时，原分式方程没有增根，因此可选择$m=1$（任意不等于-2的数均可）。
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
分式方程的增根；分式方程求解
【点评】
本题属于结论开放类题型，核心考查对分式方程增根概念的理解，解题的关键是先求出方程产生增根时对应的参数值，再取不等于该值的任意数值即可，解题逻辑清晰，不易失分。
【难度系数】
0.7
要解决分式方程没有增根的问题，首先要明确增根的含义：增根是分式方程去分母后得到的整式方程的根，同时会使原分式方程的分母为0。解题思路如下：①先确定原分式方程可能的增根，令分母为0可得可能的增根为x=4；②将分式方程去分母转化为整式方程；③先计算方程有增根时对应的m值，只要m不等于该值，方程就没有增根，任选一个符合条件的m值即可。
【解析】
1. 确定可能的增根：原方程分母为$x-4$和$4-x$，令$x-4=0$，解得$x=4$，因此该方程的增根只能是$x=4$。
2. 去分母化为整式方程：方程两边同时乘最简公分母$(x-4)$，注意$\frac{m}{4-x}=-\frac{m}{x-4}$，去分母后得：
$2 = 3(x-4) - m$
3. 计算有增根时m的取值：若方程有增根$x=4$，将$x=4$代入上述整式方程，得$2 = 3×(4-4) - m$，解得$m=-2$。
4. 确定无增根的m值：当$m≠ -2$时，原分式方程没有增根，因此可选择$m=1$（任意不等于-2的数均可）。
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
分式方程的增根；分式方程求解
【点评】
本题属于结论开放类题型，核心考查对分式方程增根概念的理解，解题的关键是先求出方程产生增根时对应的参数值，再取不等于该值的任意数值即可，解题逻辑清晰，不易失分。
【难度系数】
0.7
3.(1)若关于$x$的分式方程$\frac{2}{x}=\frac{m}{2x+1}$无解，则$m$的值是（
A. 0
B. 4或6
C. 6
D. 0或4
(2)【T3(1)变式】若关于$x$的分式方程$\frac{m+x}{2-x}+\frac{3}{x-2}=1$有解，则实数$m$应满足的条件是（
A. $m=-1$
B. $m≠-1$
C. $m=1$
D. $m≠1$
D
）A. 0
B. 4或6
C. 6
D. 0或4
(2)【T3(1)变式】若关于$x$的分式方程$\frac{m+x}{2-x}+\frac{3}{x-2}=1$有解，则实数$m$应满足的条件是（
D
）A. $m=-1$
B. $m≠-1$
C. $m=1$
D. $m≠1$
答案
3. (1) D (2) D
解析
【分析】
分式方程无解或有解类问题的通用解题思路：①先确定原分式方程的增根，即让原方程分母为0的x的取值；②将分式方程去分母转化为整式方程；③结合解的要求分类讨论：若方程无解，需考虑整式方程本身无解，或整式方程的解为增根两种情况；若方程有解，则要求整式方程的解不是增根，且整式方程本身有解。
(1)本题中分式方程的增根为x=0、x=-$\frac{1}{2}$，去分母得到整式方程后，分别对应两种无解的情况计算m的取值即可；
(2)本题中分式方程的增根为x=2，去分母求出整式方程的解后，令解不等于增根即可求出m的取值条件。
【解析】
(1) 对于分式方程$\frac{2}{x}=\frac{m}{2x+1}$：
步骤1：确定增根：令分母为0，得x=0，2x+1=0即x=-$\frac{1}{2}$，即增根可能为x=0或x=-$\frac{1}{2}$；
步骤2：去分母得整式方程：两边同乘x(2x+1)，得$2(2x+1)=mx$，整理得$(4-m)x=-2$；
步骤3：分情况讨论无解的条件：
① 若整式方程本身无解：当4-m=0即m=4时，方程变为$0=-2$，等式不成立，整式方程无解，对应原分式方程无解，符合要求；
② 若整式方程的解为原分式方程的增根：
将x=0代入$(4-m)x=-2$，得$0=-2$，不成立，排除；
将x=-$\frac{1}{2}$代入$(4-m)x=-2$，得$(4-m)×(-\frac{1}{2})=-2$，解得m=0，此时解为增根，原分式方程无解，符合要求；
综上，m的值为0或4，选D。
(2) 对于分式方程$\frac{m+x}{2-x}+\frac{3}{x-2}=1$：
步骤1：确定增根：令分母x-2=0，得x=2，即增根为x=2；
步骤2：去分母得整式方程：两边同乘(x-2)，得$-(m+x)+3=x-2$，去括号整理得$-2x=m-5$，解得$x=\frac{5-m}{2}$；
步骤3：根据方程有解的条件计算：
方程有解则解不能为增根，即$\frac{5-m}{2}≠2$，解得$m≠1$，选D。
【答案】
(1)D；(2)D
【知识点】
1.分式方程的增根 2.解分式方程 3.分式方程解的判定
【点评】
这两道题是分式方程解的判定类的典型考题，解题核心是明确增根的意义，需注意分式方程无解时不仅要考虑解为增根的情况，还要考虑去分母后的整式方程本身无解的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
分式方程无解或有解类问题的通用解题思路：①先确定原分式方程的增根，即让原方程分母为0的x的取值；②将分式方程去分母转化为整式方程；③结合解的要求分类讨论：若方程无解，需考虑整式方程本身无解，或整式方程的解为增根两种情况；若方程有解，则要求整式方程的解不是增根，且整式方程本身有解。
(1)本题中分式方程的增根为x=0、x=-$\frac{1}{2}$，去分母得到整式方程后，分别对应两种无解的情况计算m的取值即可；
(2)本题中分式方程的增根为x=2，去分母求出整式方程的解后，令解不等于增根即可求出m的取值条件。
【解析】
(1) 对于分式方程$\frac{2}{x}=\frac{m}{2x+1}$：
步骤1：确定增根：令分母为0，得x=0，2x+1=0即x=-$\frac{1}{2}$，即增根可能为x=0或x=-$\frac{1}{2}$；
步骤2：去分母得整式方程：两边同乘x(2x+1)，得$2(2x+1)=mx$，整理得$(4-m)x=-2$；
步骤3：分情况讨论无解的条件：
① 若整式方程本身无解：当4-m=0即m=4时，方程变为$0=-2$，等式不成立，整式方程无解，对应原分式方程无解，符合要求；
② 若整式方程的解为原分式方程的增根：
将x=0代入$(4-m)x=-2$，得$0=-2$，不成立，排除；
将x=-$\frac{1}{2}$代入$(4-m)x=-2$，得$(4-m)×(-\frac{1}{2})=-2$，解得m=0，此时解为增根，原分式方程无解，符合要求；
综上，m的值为0或4，选D。
(2) 对于分式方程$\frac{m+x}{2-x}+\frac{3}{x-2}=1$：
步骤1：确定增根：令分母x-2=0，得x=2，即增根为x=2；
步骤2：去分母得整式方程：两边同乘(x-2)，得$-(m+x)+3=x-2$，去括号整理得$-2x=m-5$，解得$x=\frac{5-m}{2}$；
步骤3：根据方程有解的条件计算：
方程有解则解不能为增根，即$\frac{5-m}{2}≠2$，解得$m≠1$，选D。
【答案】
(1)D；(2)D
【知识点】
1.分式方程的增根 2.解分式方程 3.分式方程解的判定
【点评】
这两道题是分式方程解的判定类的典型考题，解题核心是明确增根的意义，需注意分式方程无解时不仅要考虑解为增根的情况，还要考虑去分母后的整式方程本身无解的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
