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“两点的所有连线中，
“两点的所有连线中，
线段
最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。答案
线段 垂线段
解析
【分析】
本题考查和最短路径相关的两个基础几何结论，解题时只需回忆课本对应的基础公理与性质即可：第一个空对应两点之间各类连线的长度比较规律，第二个空对应直线外一点到直线上各点的线段长度比较规律，直接匹配已学结论就能完成填空。
【解析】
1. 两点的所有连线包含曲线、折线、线段等多种类型，根据几何基本公理，其中线段的长度最小，因此第一个空填“线段”；
2. 连接直线外一点与直线上各点的线段包含斜线段、垂线段等类型，根据点到直线的距离相关性质，其中垂线段的长度最小，因此第二个空填“垂线段”。
【答案】
线段 垂线段
【知识点】
两点连线性质；垂线段性质；最短路径基础
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考察对几何基础公理、性质的记忆掌握情况，是后续解决各类最短路径实际应用问题的必备基础，掌握课本基础概念即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
本题考查和最短路径相关的两个基础几何结论，解题时只需回忆课本对应的基础公理与性质即可：第一个空对应两点之间各类连线的长度比较规律，第二个空对应直线外一点到直线上各点的线段长度比较规律，直接匹配已学结论就能完成填空。
【解析】
1. 两点的所有连线包含曲线、折线、线段等多种类型，根据几何基本公理，其中线段的长度最小，因此第一个空填“线段”；
2. 连接直线外一点与直线上各点的线段包含斜线段、垂线段等类型，根据点到直线的距离相关性质，其中垂线段的长度最小，因此第二个空填“垂线段”。
【答案】
线段 垂线段
【知识点】
两点连线性质；垂线段性质；最短路径基础
【点评】
本题属于基础概念识记题，主要考察对几何基础公理、性质的记忆掌握情况，是后续解决各类最短路径实际应用问题的必备基础，掌握课本基础概念即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
1.(1)【教材P94任务1改编】A,B两个小镇在河流的同侧,随着居民用水量的增加,现需要在河边$l$上修建一个自来水厂$P$,分别向两个小镇供水.要使所用水管总长度最短,则下列图形中,自来水厂$P$的位置正确的是 (
(2)【T1(1)变式】如图,$A,B$在直线$l$异侧,在直线$l$上取一点$P$,使$PA+PB$最小.
B
)(2)【T1(1)变式】如图,$A,B$在直线$l$异侧,在直线$l$上取一点$P$,使$PA+PB$最小.
答案
1.(1) B
1.(2) 解:如图,点P即为所求。
解析
【分析】
(1) 对于直线同侧两点找直线上一点使到两点距离和最短的问题，思考路径如下：首先利用轴对称的性质，将同侧两点转化为异侧两点，此时直线上任意一点到其中一个点和它的对称点的距离相等，就可以把两段距离的和转化为异侧两点到该点的距离和，再根据“两点之间线段最短”，连接异侧的两个点，与直线的交点就是所求点的位置。
(2) 对于直线异侧两点找直线上一点使到两点距离和最短的问题，直接根据“两点之间线段最短”，连接两点，线段与直线的交点就是所求点，此时两段距离和就是两点之间线段的长度，为最小值。
【解析】
(1) 已知A、B在直线l同侧，要使PA+PB最短：
① 作点A关于直线l的对称点A'，由轴对称性质可知，对l上任意一点P都有PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB；
② 根据两点之间线段最短，当点P在A'B与l的交点处时，PA'+PB=A'B，取得最小值，因此该交点就是自来水厂P的位置，对应选项为B。
(2) 已知A、B在直线l异侧：
根据两点之间线段最短，连接AB，线段AB与直线l的交点即为所求点P，此时PA+PB=AB，是PA+PB的最小值。
【答案】
(1) B
(2) 解:如图,点P即为所求。
【知识点】
最短路径作图，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题考查最短路径的两类基础题型，核心解题思路是将同侧点通过轴对称转化为异侧点，再结合两点之间线段最短的原理确定点的位置，是最短路径问题的基础内容，掌握这两类题型是解决复杂最短路径问题的前提。
【难度系数】
0.8
(1) 对于直线同侧两点找直线上一点使到两点距离和最短的问题，思考路径如下：首先利用轴对称的性质，将同侧两点转化为异侧两点，此时直线上任意一点到其中一个点和它的对称点的距离相等，就可以把两段距离的和转化为异侧两点到该点的距离和，再根据“两点之间线段最短”，连接异侧的两个点，与直线的交点就是所求点的位置。
(2) 对于直线异侧两点找直线上一点使到两点距离和最短的问题，直接根据“两点之间线段最短”，连接两点，线段与直线的交点就是所求点，此时两段距离和就是两点之间线段的长度，为最小值。
【解析】
(1) 已知A、B在直线l同侧，要使PA+PB最短：
① 作点A关于直线l的对称点A'，由轴对称性质可知，对l上任意一点P都有PA=PA'，因此PA+PB=PA'+PB；
② 根据两点之间线段最短，当点P在A'B与l的交点处时，PA'+PB=A'B，取得最小值，因此该交点就是自来水厂P的位置，对应选项为B。
(2) 已知A、B在直线l异侧：
根据两点之间线段最短，连接AB，线段AB与直线l的交点即为所求点P，此时PA+PB=AB，是PA+PB的最小值。
【答案】
(1) B
(2) 解:如图,点P即为所求。
【知识点】
最短路径作图，轴对称的性质，两点之间线段最短
【点评】
本题考查最短路径的两类基础题型，核心解题思路是将同侧点通过轴对称转化为异侧点，再结合两点之间线段最短的原理确定点的位置，是最短路径问题的基础内容，掌握这两类题型是解决复杂最短路径问题的前提。
【难度系数】
0.8
2. 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),点B(4,3).
(1)点C是x轴上的一个动点,当AC+BC的值最小时,画出点C的位置.
(2)下列依据中,有在(1)中用到的是
(填序号)
①角的平分线上的点到角的两边的距离相等;②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;③两点之间线段最短.
(1)点C是x轴上的一个动点,当AC+BC的值最小时,画出点C的位置.
(2)下列依据中,有在(1)中用到的是
②③
.(填序号)
①角的平分线上的点到角的两边的距离相等;②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;③两点之间线段最短.
答案
2.(1) 如图所示。
2.(2) ②③
解析
【分析】
(1) 本题是平面直角坐标系中的最短路径问题，要在x轴上找C使AC+BC最小：由于点A、B都在x轴上方，直接求两条线段和的最小值无法直接用线段性质，因此先作点A关于x轴的对称点A'，根据轴对称的性质，x轴上任意点C都满足AC=A'C，可将AC+BC转化为A'C+BC；再根据两点之间线段最短，连接A'B，A'B与x轴的交点即为所求的点C，此时AC+BC的值最小。
(2) 分析解题用到的依据：由对称得到AC=A'C，用到了线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；由A'C+BC的最小值为A'B的长度，用到了两点之间线段最短，因此对应②③。
【解析】
(1) 解题步骤：
① 作点A(1,1)关于x轴的对称点A'，得A'的坐标为(1,-1)；
② 用直尺连接A'B，线段A'B与x轴的交点即为所求的点C，作图结果如图所示。
(2) 解题过程中，x轴是线段AA'的垂直平分线，点C在x轴上，因此AC=A'C，用到了依据②；要使A'C+BC的值最小，根据两点之间线段最短，可知A'B与x轴的交点C满足A'C+BC=A'B（最小值），用到了依据③。本题未用到角平分线的性质，因此选②③。
【答案】
(1) 如图所示。
(2) ②③
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，线段的性质
【点评】
本题考查最短路径的常规考法，核心是通过轴对称将同侧两条线段的和转化为异侧线段的和，再结合线段的性质求最小值，解题思路具有通用性，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 本题是平面直角坐标系中的最短路径问题，要在x轴上找C使AC+BC最小：由于点A、B都在x轴上方，直接求两条线段和的最小值无法直接用线段性质，因此先作点A关于x轴的对称点A'，根据轴对称的性质，x轴上任意点C都满足AC=A'C，可将AC+BC转化为A'C+BC；再根据两点之间线段最短，连接A'B，A'B与x轴的交点即为所求的点C，此时AC+BC的值最小。
(2) 分析解题用到的依据：由对称得到AC=A'C，用到了线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；由A'C+BC的最小值为A'B的长度，用到了两点之间线段最短，因此对应②③。
【解析】
(1) 解题步骤：
① 作点A(1,1)关于x轴的对称点A'，得A'的坐标为(1,-1)；
② 用直尺连接A'B，线段A'B与x轴的交点即为所求的点C，作图结果如图所示。
(2) 解题过程中，x轴是线段AA'的垂直平分线，点C在x轴上，因此AC=A'C，用到了依据②；要使A'C+BC的值最小，根据两点之间线段最短，可知A'B与x轴的交点C满足A'C+BC=A'B（最小值），用到了依据③。本题未用到角平分线的性质，因此选②③。
【答案】
(1) 如图所示。
(2) ②③
【知识点】
最短路径问题，轴对称的性质，线段的性质
【点评】
本题考查最短路径的常规考法，核心是通过轴对称将同侧两条线段的和转化为异侧线段的和，再结合线段的性质求最小值，解题思路具有通用性，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
3. 如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥，使从点A到B的路径A－M－N－B最短的是（假定河的两岸是平行直线，桥要与河岸垂直）（
A.（BM垂直于a）
B.（AM不平行于BN）
C.（AN垂直于b）
D.（AM平行于BN）
D
）A.（BM垂直于a）
B.（AM不平行于BN）
C.（AN垂直于b）
D.（AM平行于BN）
答案
3. D
解析
【分析】
要解决河上造桥使路径最短的问题，首先明确：桥必须与河岸垂直，因此桥的长度是固定不变的，所以总路径最短等价于除桥长外的两段路径AM与BN的和最小。我们可以利用平移的方法，将点A沿垂直河岸的方向平移1个河宽的长度，把分散的两段路径AM、BN转化到同一条折线中，再结合“两点之间线段最短”的原理找到最优的N点位置，最后根据平移和平行四边形的性质推导AM与BN的位置关系。
【解析】
设河的两岸为互相平行的直线a、b，河宽为d，因为桥MN垂直河岸，所以MN=d为定值，总路径长为AM+MN+NB，要使总路径最短，只需AM+NB最小。
将点A沿垂直于河岸的方向平移距离d，得到点A'，则AA'=MN，且AA'//MN，因此四边形AA'NM是平行四边形，可得AM=A'N，且AM//A'N。
根据“两点之间线段最短”，当A'、N、B三点共线时，A'N+NB取得最小值，此时A'N与BN在同一条直线上，结合AM//A'N，可推出AM//BN。
因此满足路径最短的条件是AM平行于BN，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是经典的造桥选址类最短路径问题，核心是通过平移消去固定长度的桥的影响，将问题转化为两点之间线段最短的基础模型，解题时要注意平移前后线段的平行、相等关系的应用。
【难度系数】
0.6
要解决河上造桥使路径最短的问题，首先明确：桥必须与河岸垂直，因此桥的长度是固定不变的，所以总路径最短等价于除桥长外的两段路径AM与BN的和最小。我们可以利用平移的方法，将点A沿垂直河岸的方向平移1个河宽的长度，把分散的两段路径AM、BN转化到同一条折线中，再结合“两点之间线段最短”的原理找到最优的N点位置，最后根据平移和平行四边形的性质推导AM与BN的位置关系。
【解析】
设河的两岸为互相平行的直线a、b，河宽为d，因为桥MN垂直河岸，所以MN=d为定值，总路径长为AM+MN+NB，要使总路径最短，只需AM+NB最小。
将点A沿垂直于河岸的方向平移距离d，得到点A'，则AA'=MN，且AA'//MN，因此四边形AA'NM是平行四边形，可得AM=A'N，且AM//A'N。
根据“两点之间线段最短”，当A'、N、B三点共线时，A'N+NB取得最小值，此时A'N与BN在同一条直线上，结合AM//A'N，可推出AM//BN。
因此满足路径最短的条件是AM平行于BN，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
最短路径问题；平移的性质；平行四边形的判定与性质
【点评】
本题是经典的造桥选址类最短路径问题，核心是通过平移消去固定长度的桥的影响，将问题转化为两点之间线段最短的基础模型，解题时要注意平移前后线段的平行、相等关系的应用。
【难度系数】
0.6
4.如图,在等边△ABC中,点E是AC边的中点,点P是△ABC的中线AD上的动点,且AD=6,则EP+CP的最小值是
6
.答案
4. 6
解析
【分析】
本题属于轴对称最短路径问题，解题思路如下：首先，等边△ABC是轴对称图形，中线AD所在直线是它的一条对称轴，因此点C关于AD的对称点为点B，可将CP转化为BP，此时EP+CP转化为EP+BP；再根据“两点之间线段最短”，可知当B、P、E三点共线时，EP+BP的长度最小，最小值为线段BE的长；最后结合等边三角形中线长度相等的性质，即可求出BE的长度，得到EP+CP的最小值。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，即点C与点B关于直线AD对称，
∴CP=BP，
∴EP+CP=EP+BP。
根据两点之间线段最短，当B、P、E三点共线时，EP+BP的取值最小，最小值为线段BE的长度。
∵E是AC边的中点，
∴BE是等边△ABC中AC边上的中线，
∵等边三角形的三条中线长度相等，已知AD=6，
∴BE=AD=6，
即EP+CP的最小值为6。
【答案】
6
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，解题核心是利用轴对称变换将两条线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合图形的性质求解，熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
本题属于轴对称最短路径问题，解题思路如下：首先，等边△ABC是轴对称图形，中线AD所在直线是它的一条对称轴，因此点C关于AD的对称点为点B，可将CP转化为BP，此时EP+CP转化为EP+BP；再根据“两点之间线段最短”，可知当B、P、E三点共线时，EP+BP的长度最小，最小值为线段BE的长；最后结合等边三角形中线长度相等的性质，即可求出BE的长度，得到EP+CP的最小值。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，
∴AD垂直平分BC，即点C与点B关于直线AD对称，
∴CP=BP，
∴EP+CP=EP+BP。
根据两点之间线段最短，当B、P、E三点共线时，EP+BP的取值最小，最小值为线段BE的长度。
∵E是AC边的中点，
∴BE是等边△ABC中AC边上的中线，
∵等边三角形的三条中线长度相等，已知AD=6，
∴BE=AD=6，
即EP+CP的最小值为6。
【答案】
6
【知识点】
最短路径问题，等边三角形的性质，轴对称的性质
【点评】
本题是最短路径问题的典型考法，解题核心是利用轴对称变换将两条线段的和转化为两点之间的线段长度，再结合图形的性质求解，熟练掌握轴对称的性质和等边三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，DC上的点。当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为
80°
。答案
5. 80°
解析
【分析】要使△AEF的周长最小，可利用轴对称将三边转化为共线线段，属于最短路径中的将军饮马模型。首先作点A关于BC、CD的对称点，连接两对称点，与BC、CD的交点即为周长最小时的E、F；再结合四边形内角和、轴对称的对应角相等的性质，即可求出∠EAF的度数。
【解析】
1. 计算∠BAD的度数：
四边形内角和为360°，已知∠B=∠D=90°，∠C=50°，
∴∠BAD = 360° - ∠B - ∠D - ∠C = 360° - 90° - 90° - 50° = 130°。
2. 确定周长最小时的E、F位置：
分别作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A'A''，与BC交于点E、与CD交于点F，此时△AEF的周长最小，最小值为线段A'A''的长度。
3. 利用轴对称性质推导角度：
根据轴对称的性质，可得∠A' = ∠EAA'，∠A'' = ∠FAA''。
在△AA'A''中，∠A' + ∠A'' = 180° - ∠A'AA'' = 180° - 130° = 50°，
∴∠EAA' + ∠FAA'' = ∠A' + ∠A'' = 50°，
∴∠EAF = ∠BAD - (∠EAA' + ∠FAA'') = 130° - 50° = 80°。
【答案】80°
【知识点】最短路径问题，轴对称的性质，四边形内角和
【点评】本题将最短路径问题与角度计算结合，解题的核心是通过对称将周长最小问题转化为两点之间线段最短的问题，再结合角的等量代换求解，属于中等难度的综合题。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 计算∠BAD的度数：
四边形内角和为360°，已知∠B=∠D=90°，∠C=50°，
∴∠BAD = 360° - ∠B - ∠D - ∠C = 360° - 90° - 90° - 50° = 130°。
2. 确定周长最小时的E、F位置：
分别作点A关于BC的对称点A'，关于CD的对称点A''，连接A'A''，与BC交于点E、与CD交于点F，此时△AEF的周长最小，最小值为线段A'A''的长度。
3. 利用轴对称性质推导角度：
根据轴对称的性质，可得∠A' = ∠EAA'，∠A'' = ∠FAA''。
在△AA'A''中，∠A' + ∠A'' = 180° - ∠A'AA'' = 180° - 130° = 50°，
∴∠EAA' + ∠FAA'' = ∠A' + ∠A'' = 50°，
∴∠EAF = ∠BAD - (∠EAA' + ∠FAA'') = 130° - 50° = 80°。
【答案】80°
【知识点】最短路径问题，轴对称的性质，四边形内角和
【点评】本题将最短路径问题与角度计算结合，解题的核心是通过对称将周长最小问题转化为两点之间线段最短的问题，再结合角的等量代换求解，属于中等难度的综合题。
【难度系数】0.6
6.(趣味数学)如图，EFGH为正方形台球桌面，现有一白球A和一彩球B，应怎样击打白球A，才能使白球A碰到台边EF，EH反弹后能击中彩球B？试画出白球A运动的路线.
答案
解:如图所示,作点A关于EF的对称点A',点B关于EH的对称点B'.连接A'B',A'B'与EF,EH的交点N,M即为台球撞击点。
解析
【分析】
这是台球反弹的路径规划问题，本质是利用轴对称解决最短路径问题，解题思路如下：①台球碰撞台边反弹时满足入射角等于反射角，我们可以通过作对称点，把折线运动路径转化为直线段，利用“两点之间线段最短”确定合理路径；②因为白球A先碰撞EF、再碰撞EH后击中B，所以分别作A关于EF的对称点、B关于EH的对称点，将A到EF的路径、B到EH的路径分别转化为对称点到台边的路径，当两个对称点和两个撞击点共线时，刚好符合反弹的角度要求，也满足路径的合理性。
【解析】
步骤1：作点A关于边EF的对称点A'，根据轴对称的性质，对EF上任意一点N，都有AN=A'N，且∠ANF=∠A'NF，符合白球A碰撞EF反弹的角度要求；
步骤2：作点B关于边EH的对称点B'，同理，对EH上任意一点M，都有BM=B'M，且∠BMH=∠B'MH，符合白球碰撞EH反弹后击中B的角度要求；
步骤3：连接A'B'，交EF于点N，交EH于点M；
步骤4：沿A→N→M→B的路线击打白球A，即可满足碰到EF、EH反弹后击中彩球B。
【答案】
如图所示,作点A关于EF的对称点A',点B关于EH的对称点B'.连接A'B',A'B'与EF,EH的交点N,M即为台球撞击点。
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；反射的性质
【点评】
本题结合生活中的台球运动场景考查轴对称的实际应用，需要学生具备将实际问题转化为数学几何模型的能力，解题的核心是通过作对称点将反弹的折线路径转化为直线段，既满足反射的角度规律，又符合路径的逻辑要求。
【难度系数】
0.6
这是台球反弹的路径规划问题，本质是利用轴对称解决最短路径问题，解题思路如下：①台球碰撞台边反弹时满足入射角等于反射角，我们可以通过作对称点，把折线运动路径转化为直线段，利用“两点之间线段最短”确定合理路径；②因为白球A先碰撞EF、再碰撞EH后击中B，所以分别作A关于EF的对称点、B关于EH的对称点，将A到EF的路径、B到EH的路径分别转化为对称点到台边的路径，当两个对称点和两个撞击点共线时，刚好符合反弹的角度要求，也满足路径的合理性。
【解析】
步骤1：作点A关于边EF的对称点A'，根据轴对称的性质，对EF上任意一点N，都有AN=A'N，且∠ANF=∠A'NF，符合白球A碰撞EF反弹的角度要求；
步骤2：作点B关于边EH的对称点B'，同理，对EH上任意一点M，都有BM=B'M，且∠BMH=∠B'MH，符合白球碰撞EH反弹后击中B的角度要求；
步骤3：连接A'B'，交EF于点N，交EH于点M；
步骤4：沿A→N→M→B的路线击打白球A，即可满足碰到EF、EH反弹后击中彩球B。
【答案】
如图所示,作点A关于EF的对称点A',点B关于EH的对称点B'.连接A'B',A'B'与EF,EH的交点N,M即为台球撞击点。
【知识点】
轴对称的性质；最短路径问题；反射的性质
【点评】
本题结合生活中的台球运动场景考查轴对称的实际应用，需要学生具备将实际问题转化为数学几何模型的能力，解题的核心是通过作对称点将反弹的折线路径转化为直线段，既满足反射的角度规律，又符合路径的逻辑要求。
【难度系数】
0.6
