1 [2025 扬州]如图,在平面直角坐标系中,二次函数 $y=-x^2-2x+3$ 的图象(记为 $G_1$)与 $x$ 轴交于点 $A,B$,与 $y$ 轴交于点 $C$,二次函数 $y=x^2+bx+c$ 的图象(记为 $G_2$)经过点 $A,C$.直线 $x=t$ 与两个图象 $G_1,G_2$ 分别交于点 $M,N$,与 $x$ 轴交于点 $P$.
(1) 求 $b,c$ 的值;
(2) 当点 $P$ 在线段 $AO$ 上时,求 $MN$ 长的最大值.

1. (1) 在 $y=-x^2-2x+3$ 中,令 $y=0$,得 $x=-3$ 或 $x=1$,
$\therefore A(-3,0),B(1,0)$. 令 $x=0$,得 $y=3$,$\therefore C(0,3)$. $\because$ 点 $A(-3,0),C(0,3)$ 在抛物线 $y=x^2+bx+c$ 上, $\therefore \begin{cases}c=3,\\9-3b+c=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=4,\\c=3\end{cases}$
(2) 由(1)知,图象 $G_2$ 对应的函数表达式为 $y=x^2+4x+3$. $\because$ 直线 $x=t$ 与图象 $G_1,G_2$ 分别交于点 $M,N$,与 $x$ 轴交于点 $P$,$P(t,0)$,$M(t,-t^2-2t+3)$,$N(t,t^2+4t+3)$. $\because$ 点 $P$ 在线段 $AO$ 上, $\therefore -3≤ t≤ 0$. $\therefore MN=-t^2-2t+3-(t^2+4t+3)=-2t^2-6t=-2(t+\dfrac{3}{2})^2+\dfrac{9}{2}$. $\because -2＜0$, $\therefore$ 当 $t=-\dfrac{3}{2}$ 时,$MN$ 的长取得最大值,$MN$ 长的最大值为 $\dfrac{9}{2}$

2 如图,在平面直角坐标系中,抛物线$y=-x^2+bx+c$与$x$轴交于$A$,$B$两点,与$y$轴交于点$C$,且点$A$的坐标为$(-1,0)$,点$C$的坐标为$(0,5)$.
(1) 求该抛物线对应的函数表达式;
(2) 若$P$是第一象限内抛物线上一动点,当点$P$到直线$BC$的距离最大时,求点$P$的坐标.

2. (1) $\because$ 点 $A(-1,0),C(0,5)$ 在抛物线 $y=-x^2+bx+c$ 上,
$\therefore \begin{cases}-1-b+c=0,\\c=5,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=4,\\c=5.\end{cases}$ $\therefore$ 抛物线对应的函数表达式为 $y=-x^2+4x+5$
(2) 如图,过点 $P$ 作 $PD⊥ x$ 轴于点 $D$,交 $BC$ 于点 $Q$,作 $PH⊥ BC$ 于点 $H$. 在 $y=-x^2+4x+5$ 中,令 $y=0$,得 $-x^2+4x+5=0$,解得 $x=5$ 或 $x=-1$,$\therefore B(5,0)$.
$\because C(0,5)$,$\therefore OB=OC$. $\therefore △ BOC$ 是等腰直角三角形.
$\therefore ∠ CBO=45°$. $\because PD⊥ x$ 轴, $\therefore ∠ BQD=45°=∠ PQH$.
$\therefore △ PHQ$ 是等腰直角三角形. $\therefore PQ=\sqrt{2}PH$. $\therefore$ 当 $PQ$ 最长时,$PH$ 也最长. 设直线 $BC$ 对应的函数表达式为 $y=kx+5$,
$\because$ 直线 $BC$ 过点 $B(5,0)$,$\therefore 0=5k+5$,解得 $k=-1$. $\therefore$ 直线 $BC$ 对应的函数表达式为 $y=-x+5$. 设 $P(m,-m^2+4m+5)$, $0＜m＜5$,则 $Q(m,-m+5)$,$\therefore PQ=y_P-y_Q=(-m^2+4m+5)-(-m+5)=-m^2+5m=-(m-\dfrac{5}{2})^2+\dfrac{25}{4}$. $\because -1＜0$,
$\therefore$ 当 $m=\dfrac{5}{2}$ 时,$PQ$ 最长,为 $\dfrac{25}{4}$,此时 $PH$ 也最长,即点 $P$ 到直线 $BC$ 的距离最大,则 $x_P=\dfrac{5}{2}$,$y_P=-(\dfrac{5}{2})^2+4×\dfrac{5}{2}+5=\dfrac{35}{4}$.
$\therefore P(\dfrac{5}{2},\dfrac{35}{4})$