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1. 二次函数$y=2(x-1)^2+3$的最小值是（
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
D
）A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案
1.D
解析
【分析】
要解决这道题，首先明确给出的二次函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$，解题思路分两步：第一步判断二次函数的开口方向，由$a$的正负决定，$a＞0$时抛物线开口向上，顶点为最低点，函数存在最小值；第二步确定顶点的纵坐标$k$，最小值就是$k$的取值。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）：
1. 本题中$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为顶点的纵坐标值；
2. 该函数的顶点纵坐标$k=3$，因此函数的最小值为3。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数最值的基础考查题，熟练掌握顶点式中参数$a$、$k$的意义，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先明确给出的二次函数是顶点式$y=a(x-h)^2+k$，解题思路分两步：第一步判断二次函数的开口方向，由$a$的正负决定，$a＞0$时抛物线开口向上，顶点为最低点，函数存在最小值；第二步确定顶点的纵坐标$k$，最小值就是$k$的取值。
【解析】
对于二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a≠0$）：
1. 本题中$a=2＞0$，因此抛物线开口向上，函数有最小值，最小值为顶点的纵坐标值；
2. 该函数的顶点纵坐标$k=3$，因此函数的最小值为3。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次函数顶点式的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数最值的基础考查题，熟练掌握顶点式中参数$a$、$k$的意义，即可快速得出结果。
【难度系数】
0.9
2.若点$(-2,y_1),(3,y_2),(7,y_3)$都在二次函数$y=-(x-2)^2+1$的图象上，则$y_1,y_2,y_3$的大小关系为（
A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
C
）A.$y_1＞y_2＞y_3$
B.$y_1＞y_3＞y_2$
C.$y_2＞y_1＞y_3$
D.$y_3＞y_2＞y_1$
答案
2.C
解析
【分析】
要比较三个点的函数值大小，首先分析二次函数$y=-(x-2)^2+1$的图象性质：该函数是顶点式，$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，开口向下的抛物线上的点，横坐标距离对称轴越近，对应的函数值越大。因此我们只需要计算三个点的横坐标到对称轴$x=2$的距离，比较距离大小即可判断$y_1,y_2,y_3$的大小关系，也可以直接将横坐标代入函数计算出对应的$y$值再比较。
【解析】
方法一：利用二次函数性质判断
已知二次函数$y=-(x-2)^2+1$，其中$a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$。
开口向下的抛物线上，点的横坐标到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大。
分别计算三个点横坐标到$x=2$的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离：$|-2-2|=4$
点$(3,y_2)$到对称轴的距离：$|3-2|=1$
点$(7,y_3)$到对称轴的距离：$|7-2|=5$
$\because1＜4＜5$，$\therefore y_2＞y_1＞y_3$。
方法二：代入计算比较
将三个点的横坐标分别代入函数解析式：
当$x=-2$时，$y_1=-(-2-2)^2+1=-16+1=-15$
当$x=3$时，$y_2=-(3-2)^2+1=-1+1=0$
当$x=7$时，$y_3=-(7-2)^2+1=-25+1=-24$
$\because0＞-15＞-24$，$\therefore y_2＞y_1＞y_3$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数值比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，两种解题方法都可使用，利用开口方向和点到对称轴的距离判断的方法更快捷，熟练掌握二次函数顶点式的图象性质能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要比较三个点的函数值大小，首先分析二次函数$y=-(x-2)^2+1$的图象性质：该函数是顶点式，$a=-1＜0$，因此抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$，开口向下的抛物线上的点，横坐标距离对称轴越近，对应的函数值越大。因此我们只需要计算三个点的横坐标到对称轴$x=2$的距离，比较距离大小即可判断$y_1,y_2,y_3$的大小关系，也可以直接将横坐标代入函数计算出对应的$y$值再比较。
【解析】
方法一：利用二次函数性质判断
已知二次函数$y=-(x-2)^2+1$，其中$a=-1＜0$，$\therefore$抛物线开口向下，对称轴为直线$x=2$。
开口向下的抛物线上，点的横坐标到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大。
分别计算三个点横坐标到$x=2$的距离：
点$(-2,y_1)$到对称轴的距离：$|-2-2|=4$
点$(3,y_2)$到对称轴的距离：$|3-2|=1$
点$(7,y_3)$到对称轴的距离：$|7-2|=5$
$\because1＜4＜5$，$\therefore y_2＞y_1＞y_3$。
方法二：代入计算比较
将三个点的横坐标分别代入函数解析式：
当$x=-2$时，$y_1=-(-2-2)^2+1=-16+1=-15$
当$x=3$时，$y_2=-(3-2)^2+1=-1+1=0$
当$x=7$时，$y_3=-(7-2)^2+1=-25+1=-24$
$\because0＞-15＞-24$，$\therefore y_2＞y_1＞y_3$。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数值比较
【点评】
本题是二次函数性质的基础应用题，两种解题方法都可使用，利用开口方向和点到对称轴的距离判断的方法更快捷，熟练掌握二次函数顶点式的图象性质能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
3. 在平面直角坐标系中，与抛物线$y=-2(x+3)^2+4$关于$x$轴对称的抛物线对应的函数解析式为
$y=2(x+3)^2-4$
。答案
3.$y=2(x+3)^2-4$
解析
【分析】
解决这道题我们可以用两种符合九年级知识的思路：①利用关于x轴对称的点的坐标规律：两点关于x轴对称时横坐标相同，纵坐标互为相反数，通过坐标代入推导新解析式；②结合二次函数顶点式的特点：先确定原抛物线的顶点坐标、开口方向，对称后抛物线的顶点和原顶点关于x轴对称，开口方向相反、二次项系数绝对值不变，可直接写出新的顶点式，两种方法都清晰易懂。
【解析】
方法一（坐标代入法）：
设所求抛物线上任意一点的坐标为$(x,y)$，则该点关于x轴对称的点$(x,-y)$在原抛物线上。
把$(x,-y)$代入原抛物线解析式$y=-2(x+3)^2+4$，可得：
$-y=-2(x+3)^2+4$
等式两边同时乘$-1$整理得：
$y=2(x+3)^2-4$
方法二（顶点变换法）：
原抛物线$y=-2(x+3)^2+4$为顶点式，其顶点坐标为$(-3,4)$，二次项系数$a=-2$，开口向下。
关于x轴对称的抛物线，顶点与原顶点关于x轴对称，即新顶点为$(-3,-4)$；开口方向与原抛物线相反，因此新二次项系数为原系数的相反数，即$a=2$。
将$a=2$和新顶点坐标代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$，得：
$y=2(x+3)^2-4$
【答案】
$y=2(x+3)^2-4$
【知识点】
关于x轴对称的点的特征；二次函数顶点式；二次函数图象变换
【点评】
本题是二次函数轴对称变换的基础题型，两种解题思路都很常用，既可以用坐标代换的通用方法求解，也可以结合顶点式的特点快速得出结果，熟练掌握对称前后二次函数开口方向、顶点的变化规律能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
解决这道题我们可以用两种符合九年级知识的思路：①利用关于x轴对称的点的坐标规律：两点关于x轴对称时横坐标相同，纵坐标互为相反数，通过坐标代入推导新解析式；②结合二次函数顶点式的特点：先确定原抛物线的顶点坐标、开口方向，对称后抛物线的顶点和原顶点关于x轴对称，开口方向相反、二次项系数绝对值不变，可直接写出新的顶点式，两种方法都清晰易懂。
【解析】
方法一（坐标代入法）：
设所求抛物线上任意一点的坐标为$(x,y)$，则该点关于x轴对称的点$(x,-y)$在原抛物线上。
把$(x,-y)$代入原抛物线解析式$y=-2(x+3)^2+4$，可得：
$-y=-2(x+3)^2+4$
等式两边同时乘$-1$整理得：
$y=2(x+3)^2-4$
方法二（顶点变换法）：
原抛物线$y=-2(x+3)^2+4$为顶点式，其顶点坐标为$(-3,4)$，二次项系数$a=-2$，开口向下。
关于x轴对称的抛物线，顶点与原顶点关于x轴对称，即新顶点为$(-3,-4)$；开口方向与原抛物线相反，因此新二次项系数为原系数的相反数，即$a=2$。
将$a=2$和新顶点坐标代入顶点式$y=a(x-h)^2+k$，得：
$y=2(x+3)^2-4$
【答案】
$y=2(x+3)^2-4$
【知识点】
关于x轴对称的点的特征；二次函数顶点式；二次函数图象变换
【点评】
本题是二次函数轴对称变换的基础题型，两种解题思路都很常用，既可以用坐标代换的通用方法求解，也可以结合顶点式的特点快速得出结果，熟练掌握对称前后二次函数开口方向、顶点的变化规律能大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
4.若抛物线$y=-2(x+m-1)^2 -3m +6$（$m$为常数）的顶点在第二象限，则$m$的取值范围是
$1＜m＜2$
。答案
4.$1＜m＜2$
解析
【分析】
解题思路：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，先从给定的抛物线解析式中提取出顶点的横、纵坐标；再根据第二象限内点的坐标特征（横坐标小于0，纵坐标大于0），列出关于$m$的一元一次不等式组；最后解不等式组，取两个解集的公共部分即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
将给定抛物线$y=-2(x+m-1)^2 -3m +6$变形为标准顶点式：
$y=-2[x-(1-m)]^2 + (-3m +6)$
因此该抛物线的顶点坐标为$(1-m, -3m+6)$。
因为顶点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标＜0，纵坐标＞0，因此列不等式组：
$\begin{cases}1-m ＜ 0&① \\-3m +6 ＞ 0&②\end{cases}$
解不等式①：移项得$m＞1$；
解不等式②：移项得$-3m ＞ -6$，两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$m＜2$。
所以不等式组的解集为$1＜m＜2$。
【答案】
$1＜m＜2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 象限点的坐标特征
3. 解一元一次不等式组
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查顶点式下顶点坐标的求解，结合坐标特征转化为不等式问题求解，解题时注意不要搞反顶点横坐标的符号，解负系数不等式时要记得改变不等号方向。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的顶点坐标为$(h,k)$，先从给定的抛物线解析式中提取出顶点的横、纵坐标；再根据第二象限内点的坐标特征（横坐标小于0，纵坐标大于0），列出关于$m$的一元一次不等式组；最后解不等式组，取两个解集的公共部分即可得到$m$的取值范围。
【解析】
对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
将给定抛物线$y=-2(x+m-1)^2 -3m +6$变形为标准顶点式：
$y=-2[x-(1-m)]^2 + (-3m +6)$
因此该抛物线的顶点坐标为$(1-m, -3m+6)$。
因为顶点在第二象限，第二象限内的点满足横坐标＜0，纵坐标＞0，因此列不等式组：
$\begin{cases}1-m ＜ 0&① \\-3m +6 ＞ 0&②\end{cases}$
解不等式①：移项得$m＞1$；
解不等式②：移项得$-3m ＞ -6$，两边同时除以$-3$，不等号方向改变，得$m＜2$。
所以不等式组的解集为$1＜m＜2$。
【答案】
$1＜m＜2$
【知识点】
1. 二次函数顶点式性质
2. 象限点的坐标特征
3. 解一元一次不等式组
【点评】
本题是二次函数基础题型，核心考查顶点式下顶点坐标的求解，结合坐标特征转化为不等式问题求解，解题时注意不要搞反顶点横坐标的符号，解负系数不等式时要记得改变不等号方向。
【难度系数】
0.8
5. 将抛物线$y=x^2$先向右平移1个单位长度，再向上平移$m(m＞0)$个单位长度后，得到的抛物线交$y$轴于点$A(0,5)$，则$m$的值为
4
。答案
5.4
解析
【分析】
解决本题首先要掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，先根据平移规则写出平移后的抛物线解析式，再利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将y轴交点A的坐标代入解析式，建立关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
1. 根据抛物线平移规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”，将抛物线$y=x^2$向右平移1个单位长度，得到解析式为$y=(x-1)^2$；再向上平移$m(m＞0)$个单位长度，得到平移后的抛物线解析式为：$y=(x-1)^2 + m$。
2. 已知平移后的抛物线交y轴于点$A(0,5)$，将$x=0$、$y=5$代入上述解析式：
$5=(0-1)^2 + m$
化简得：$5=1+m$
解得：$m=4$
【答案】
4
【知识点】
抛物线平移规律，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，核心是牢记平移口诀准确写出变换后的函数解析式，再代入点的坐标求解参数，解题时注意“左加右减”是针对自变量x进行加减，不要混淆平移方向。
【难度系数】
0.8
解决本题首先要掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”，先根据平移规则写出平移后的抛物线解析式，再利用“函数图象上的点的坐标满足函数解析式”的性质，将y轴交点A的坐标代入解析式，建立关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
1. 根据抛物线平移规律：“左加右减自变量，上加下减常数项”，将抛物线$y=x^2$向右平移1个单位长度，得到解析式为$y=(x-1)^2$；再向上平移$m(m＞0)$个单位长度，得到平移后的抛物线解析式为：$y=(x-1)^2 + m$。
2. 已知平移后的抛物线交y轴于点$A(0,5)$，将$x=0$、$y=5$代入上述解析式：
$5=(0-1)^2 + m$
化简得：$5=1+m$
解得：$m=4$
【答案】
4
【知识点】
抛物线平移规律，二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于二次函数平移的基础题型，核心是牢记平移口诀准确写出变换后的函数解析式，再代入点的坐标求解参数，解题时注意“左加右减”是针对自变量x进行加减，不要混淆平移方向。
【难度系数】
0.8
6. 二次函数$y=(x+1)^2 -4$的部分图象如图所示，当$-2≤ x≤2$时，$y$的最大值与最小值的差为
9
。答案
6.9
解析
【分析】
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。本题先确定二次函数的开口方向、对称轴，再判断对称轴是否在给定区间$-2≤ x≤2$内：开口向上时，顶点处取得最小值，最大值为区间内离对称轴最远的点对应的函数值，最后计算最大值与最小值的差即可。
【解析】
对于二次函数$y=(x+1)^2-4$：
1. 确定基本性质：$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$。
2. 求最小值：对称轴$x=-1$在区间$-2≤ x≤2$内，开口向上，因此当$x=-1$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=-4$。
3. 求最大值：分别计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=(-2+1)^2-4=1-4=-3$；
当$x=2$时，$y=(2+1)^2-4=9-4=5$。
比较得$y_{\mathrm{最大}}=5$。
4. 计算差值：$5 - (-4)=9$。
【答案】
9
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数区间最值
【点评】
本题考查二次函数给定区间内的最值求解，解题核心是先明确抛物线的开口方向和对称轴位置，结合区间范围判断最值对应的自变量取值，掌握顶点式的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数顶点式$y=a(x-h)^2+k$的性质：$a$决定开口方向，对称轴为直线$x=h$，顶点坐标为$(h,k)$。本题先确定二次函数的开口方向、对称轴，再判断对称轴是否在给定区间$-2≤ x≤2$内：开口向上时，顶点处取得最小值，最大值为区间内离对称轴最远的点对应的函数值，最后计算最大值与最小值的差即可。
【解析】
对于二次函数$y=(x+1)^2-4$：
1. 确定基本性质：$a=1＞0$，抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-1$，顶点坐标为$(-1,-4)$。
2. 求最小值：对称轴$x=-1$在区间$-2≤ x≤2$内，开口向上，因此当$x=-1$时，$y$取得最小值，$y_{\mathrm{最小}}=-4$。
3. 求最大值：分别计算区间端点的函数值：
当$x=-2$时，$y=(-2+1)^2-4=1-4=-3$；
当$x=2$时，$y=(2+1)^2-4=9-4=5$。
比较得$y_{\mathrm{最大}}=5$。
4. 计算差值：$5 - (-4)=9$。
【答案】
9
【知识点】
二次函数顶点式性质，二次函数区间最值
【点评】
本题考查二次函数给定区间内的最值求解，解题核心是先明确抛物线的开口方向和对称轴位置，结合区间范围判断最值对应的自变量取值，掌握顶点式的相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.7
7.若抛物线$y=(x-h)^2 + k$（$h,k$为常数）与$x$轴只有一个公共点，且抛物线过点$A(m,n),B(m-8,n)$，则$n=$
16
.答案
7.16
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：①抛物线与x轴只有一个公共点，说明顶点在x轴上，可得k=0，简化解析式；②点A、B纵坐标相同，说明两点关于抛物线的对称轴对称，结合对称轴为x=h，可求出h与m的数量关系；最后将点A代入化简后的解析式，即可求出n的值。
【解析】
1. 由抛物线$y=(x-h)^2 + k$与x轴只有一个公共点，可知抛物线的顶点$(h,k)$在x轴上，因此$k=0$，抛物线解析式简化为$y=(x-h)^2$。
2. 已知点$A(m,n)$、$B(m-8,n)$纵坐标相同，因此两点关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线$x=h$，则对称轴是两点横坐标的中点：
$h=\frac{m+(m-8)}{2}=m-4$
整理得$m-h=4$。
3. 将点$A(m,n)$代入$y=(x-h)^2$，可得：
$n=(m-h)^2=4^2=16$
【答案】
16
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称性；抛物线与x轴交点特征
【点评】
本题综合考查二次函数的核心性质，解题的关键是抓住“与x轴只有一个交点即顶点在x轴”“纵坐标相同的点关于对称轴对称”这两个核心突破口，将未知量之间的关系转化为可代入计算的形式，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：①抛物线与x轴只有一个公共点，说明顶点在x轴上，可得k=0，简化解析式；②点A、B纵坐标相同，说明两点关于抛物线的对称轴对称，结合对称轴为x=h，可求出h与m的数量关系；最后将点A代入化简后的解析式，即可求出n的值。
【解析】
1. 由抛物线$y=(x-h)^2 + k$与x轴只有一个公共点，可知抛物线的顶点$(h,k)$在x轴上，因此$k=0$，抛物线解析式简化为$y=(x-h)^2$。
2. 已知点$A(m,n)$、$B(m-8,n)$纵坐标相同，因此两点关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线$x=h$，则对称轴是两点横坐标的中点：
$h=\frac{m+(m-8)}{2}=m-4$
整理得$m-h=4$。
3. 将点$A(m,n)$代入$y=(x-h)^2$，可得：
$n=(m-h)^2=4^2=16$
【答案】
16
【知识点】
二次函数顶点式性质；二次函数对称性；抛物线与x轴交点特征
【点评】
本题综合考查二次函数的核心性质，解题的关键是抓住“与x轴只有一个交点即顶点在x轴”“纵坐标相同的点关于对称轴对称”这两个核心突破口，将未知量之间的关系转化为可代入计算的形式，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
8.如图,在平面直角坐标系中,直线 $y=-\dfrac{3}{2}x+3$ 与x轴、y轴分别交于点C,D,
抛物线 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+k$ 经过点D,且交x轴于A,B两点.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)点P为抛物线的顶点,连接AD,DP,CP.求四边形ACPD的面积.
抛物线 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+k$ 经过点D,且交x轴于A,B两点.
(1)求抛物线对应的函数解析式.
(2)点P为抛物线的顶点,连接AD,DP,CP.求四边形ACPD的面积.
答案
8.【解】(1)把 $x=0$ 代入 $y=-\dfrac{3}{2}x+3,$得 $y=3.$
$\therefore D(0,3).$
$\because$ 抛物线 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+k$ 经过点 $D,$
$\therefore -\dfrac{1}{4}×(0-2)^2+k=3.$ 解得 $k=4.$
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4.$
(2)抛物线 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$ 的顶点 $P$ 的坐标为 $(2,4).$
把 $y=0$ 代入 $y=-\dfrac{3}{2}x+3,$得 $x=2.$
$\therefore C(2,0).$
$\therefore PC⊥ x$ 轴,$PC=4.$
如图,过点 $D$ 作 $DE⊥ PC,$垂足为 $E,$则 $DE=2.$
$\therefore S_{△ CDP}=\dfrac{1}{2}PC · DE=\dfrac{1}{2}×4×2=4.$
把 $y=0$ 代入 $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4,$得 $-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4=0.$ 解得 $x_1=-2,x_2=6.$
$\therefore A(-2,0),B(6,0).$
$\therefore AC=4.$
由(1)知 $D(0,3),$
$\therefore OD=3.$
$\therefore S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}AC · DO=\dfrac{1}{2}×4×3=6.$
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ACPD}=S_{△ ACD}+S_{△ CDP}=6+4=10.$
解析
【分析】
(1) 求解抛物线解析式需先确定未知参数k的值：已知抛物线经过直线与y轴的交点D，先令直线解析式中x=0求出D点坐标，再将D点坐标代入抛物线解析式即可求出k，得到抛物线的函数解析式。
(2) 不规则四边形ACPD的面积可采用割补法计算，将其分割为$△ ACD$和$△ CDP$两个三角形，分别计算面积后求和即可。首先要确定各相关点坐标：令直线解析式y=0得C点坐标，由抛物线顶点式直接得顶点P坐标，令抛物线解析式y=0解方程得A点坐标；再分别计算两个三角形的面积，相加即为四边形的面积。
【解析】
(1) 把$x=0$代入$y=-\dfrac{3}{2}x+3$，得$y=3$，$\therefore D(0,3)$。
$\because$ 抛物线$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+k$经过点$D$，
$\therefore -\dfrac{1}{4}×(0-2)^2+k=3$，解得$k=4$，
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$。
(2) 抛物线$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$的顶点$P$的坐标为$(2,4)$。
把$y=0$代入$y=-\dfrac{3}{2}x+3$，得$x=2$，$\therefore C(2,0)$，则$PC⊥ x$轴，$PC=4$。
过点$D$作$DE⊥ PC$，垂足为$E$，则$DE=2$，
$\therefore S_{△ CDP}=\dfrac{1}{2}PC · DE=\dfrac{1}{2}×4×2=4$。
把$y=0$代入$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$，得$-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4=0$，解得$x_1=-2,x_2=6$，$\therefore A(-2,0)$，则$AC=2-(-2)=4$。
由(1)知$D(0,3)$，$\therefore OD=3$，
$\therefore S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}AC · DO=\dfrac{1}{2}×4×3=6$。
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ACPD}=S_{△ ACD}+S_{△ CDP}=6+4=10$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$
(2) $10$
【知识点】
二次函数解析式确定，割补法求面积，函数交点坐标求解
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的常规题型，重点考查函数与坐标轴交点的求法、顶点式二次函数的性质，以及不规则图形面积的计算方法，解题关键是准确求出各相关点坐标，合理分割不规则图形。
【难度系数】
0.7
(1) 求解抛物线解析式需先确定未知参数k的值：已知抛物线经过直线与y轴的交点D，先令直线解析式中x=0求出D点坐标，再将D点坐标代入抛物线解析式即可求出k，得到抛物线的函数解析式。
(2) 不规则四边形ACPD的面积可采用割补法计算，将其分割为$△ ACD$和$△ CDP$两个三角形，分别计算面积后求和即可。首先要确定各相关点坐标：令直线解析式y=0得C点坐标，由抛物线顶点式直接得顶点P坐标，令抛物线解析式y=0解方程得A点坐标；再分别计算两个三角形的面积，相加即为四边形的面积。
【解析】
(1) 把$x=0$代入$y=-\dfrac{3}{2}x+3$，得$y=3$，$\therefore D(0,3)$。
$\because$ 抛物线$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+k$经过点$D$，
$\therefore -\dfrac{1}{4}×(0-2)^2+k=3$，解得$k=4$，
$\therefore$ 抛物线对应的函数解析式为$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$。
(2) 抛物线$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$的顶点$P$的坐标为$(2,4)$。
把$y=0$代入$y=-\dfrac{3}{2}x+3$，得$x=2$，$\therefore C(2,0)$，则$PC⊥ x$轴，$PC=4$。
过点$D$作$DE⊥ PC$，垂足为$E$，则$DE=2$，
$\therefore S_{△ CDP}=\dfrac{1}{2}PC · DE=\dfrac{1}{2}×4×2=4$。
把$y=0$代入$y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$，得$-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4=0$，解得$x_1=-2,x_2=6$，$\therefore A(-2,0)$，则$AC=2-(-2)=4$。
由(1)知$D(0,3)$，$\therefore OD=3$，
$\therefore S_{△ ACD}=\dfrac{1}{2}AC · DO=\dfrac{1}{2}×4×3=6$。
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ACPD}=S_{△ ACD}+S_{△ CDP}=6+4=10$。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{4}(x-2)^2+4$
(2) $10$
【知识点】
二次函数解析式确定，割补法求面积，函数交点坐标求解
【点评】
本题是一次函数与二次函数结合的常规题型，重点考查函数与坐标轴交点的求法、顶点式二次函数的性质，以及不规则图形面积的计算方法，解题关键是准确求出各相关点坐标，合理分割不规则图形。
【难度系数】
0.7
9.6级台阶的侧面示意图如图所示，每级台阶的高和宽都为1，每级台阶凸出的角的顶点记作$T_m$（$m$为1～6的整数），已知$T_1(6,1)$。若$T_1 ∼ T_6$中有4个点落在抛物线$y=-(x-2)^2 +k$与坐标轴围成的封闭图形内（不含边界），则$k$的取值范围为
$7＜k≤11$
。答案
9.$7＜k≤11$
解析
【分析】首先根据台阶高、宽均为1，结合已知T₁的坐标，依次求出T₁~T₆所有点的坐标；再明确点落在抛物线与坐标轴围成的封闭图形内（不含边界）的条件：点的横、纵坐标均为正，且点的纵坐标小于抛物线在该横坐标处的函数值，变形为k需大于该点对应$(x-2)^2+y$的值；最后结合“有4个点落在内部”的要求，确定k的取值边界即可。
【解析】
1. 求各台阶顶点的坐标：
已知每级台阶高和宽都为1，$T_1(6,1)$，向左每移动1个单位、向上移动1个单位得到上一级台阶的顶点，因此可得：
$T_2(5,2)$，$T_3(4,3)$，$T_4(3,4)$，$T_5(2,5)$，$T_6(1,6)$。
2. 转化点在封闭区域内的条件：
点落在抛物线与坐标轴围成的封闭图形内（不含边界），满足$x＞0$，$y＞0$，且$y＜-(x-2)^2+k$，整理得$k＞(x-2)^2+y$。
3. 计算每个点对应$(x-2)^2+y$的值：
$T_1$：$(6-2)^2+1=17$；$T_2$：$(5-2)^2+2=11$；$T_3$：$(4-2)^2+3=7$；$T_4$：$(3-2)^2+4=5$；$T_5$：$(2-2)^2+5=5$；$T_6$：$(1-2)^2+6=7$。
4. 确定k的取值范围：
当$k＞7$时，$T_3、T_4、T_5、T_6$均满足条件，共4个点符合要求；
当$k＞11$时，$T_2$也满足条件，此时符合要求的点共5个，不符合题意；
当$k=11$时，$T_2$的纵坐标等于抛物线在$x=5$处的函数值，点在边界上，不算在内，仍为4个点符合要求；
当$k≤7$时，$T_3、T_6$不满足条件，仅2个点符合要求，不符合题意。
综上可得$7＜k≤11$。
【答案】$\boxed{7＜k≤11}$
【知识点】二次函数的图象性质；点与抛物线的位置关系；不等式的应用
【点评】本题结合台阶场景考查二次函数的性质，解题关键是先求出所有台阶顶点坐标，再将点在区域内的条件转化为不等式关系，需格外注意“不含边界”的要求对端点取值的影响。
【难度系数】0.6
【解析】
1. 求各台阶顶点的坐标：
已知每级台阶高和宽都为1，$T_1(6,1)$，向左每移动1个单位、向上移动1个单位得到上一级台阶的顶点，因此可得：
$T_2(5,2)$，$T_3(4,3)$，$T_4(3,4)$，$T_5(2,5)$，$T_6(1,6)$。
2. 转化点在封闭区域内的条件：
点落在抛物线与坐标轴围成的封闭图形内（不含边界），满足$x＞0$，$y＞0$，且$y＜-(x-2)^2+k$，整理得$k＞(x-2)^2+y$。
3. 计算每个点对应$(x-2)^2+y$的值：
$T_1$：$(6-2)^2+1=17$；$T_2$：$(5-2)^2+2=11$；$T_3$：$(4-2)^2+3=7$；$T_4$：$(3-2)^2+4=5$；$T_5$：$(2-2)^2+5=5$；$T_6$：$(1-2)^2+6=7$。
4. 确定k的取值范围：
当$k＞7$时，$T_3、T_4、T_5、T_6$均满足条件，共4个点符合要求；
当$k＞11$时，$T_2$也满足条件，此时符合要求的点共5个，不符合题意；
当$k=11$时，$T_2$的纵坐标等于抛物线在$x=5$处的函数值，点在边界上，不算在内，仍为4个点符合要求；
当$k≤7$时，$T_3、T_6$不满足条件，仅2个点符合要求，不符合题意。
综上可得$7＜k≤11$。
【答案】$\boxed{7＜k≤11}$
【知识点】二次函数的图象性质；点与抛物线的位置关系；不等式的应用
【点评】本题结合台阶场景考查二次函数的性质，解题关键是先求出所有台阶顶点坐标，再将点在区域内的条件转化为不等式关系，需格外注意“不含边界”的要求对端点取值的影响。
【难度系数】0.6
