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9.如图,一副三角尺按①②两种位置摆放,在位置①中,α 和β之间的关系是
α=β
,理由是同角的余角相等
;在位置②中,α 和β之间的关系是α=β
,理由是等角的补角相等
.答案
9. α=β,同角的余角相等,α=β,等角的补角相等
解析
【分析】
解题时先回忆余角、补角的相关性质，再结合三角板的角度特征分析两个摆放位置的角的关系：1. 分析位置①：两个三角尺的直角顶点重合，两个直角存在公共的重叠部分，α与这个公共重叠角相加等于90°，β与这个公共重叠角相加也等于90°，结合余角性质即可推导α和β的关系；2. 分析位置②：α和三角尺的一个锐角落在同一直线上组成平角，β和与该锐角相等的角也组成平角，结合补角性质即可推导α和β的关系。
【解析】
1. 位置①的推导：
设两个直角重叠的公共角为∠1，已知三角尺的直角为90°，可得：
$α + ∠ 1 = 90°$，$β + ∠ 1 = 90°$
α和β都是∠1的余角，根据同角的余角相等，可推出$α=β$。
2. 位置②的推导：
设两个三角尺相等的锐角为∠2，已知平角为180°，可得：
$α + ∠ 2 = 180°$，$β + ∠ 2 = 180°$
α和β都是相等角∠2的补角，根据等角的补角相等，可推出$α=β$。
【答案】
$α=β$，同角的余角相等；$α=β$，等角的补角相等
【知识点】
余角的性质，补角的性质
【点评】
本题结合三角板的摆放考查余角和补角的性质，解题关键是找到两个角共同关联的中间角，属于基础题型，熟练掌握余补角的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆余角、补角的相关性质，再结合三角板的角度特征分析两个摆放位置的角的关系：1. 分析位置①：两个三角尺的直角顶点重合，两个直角存在公共的重叠部分，α与这个公共重叠角相加等于90°，β与这个公共重叠角相加也等于90°，结合余角性质即可推导α和β的关系；2. 分析位置②：α和三角尺的一个锐角落在同一直线上组成平角，β和与该锐角相等的角也组成平角，结合补角性质即可推导α和β的关系。
【解析】
1. 位置①的推导：
设两个直角重叠的公共角为∠1，已知三角尺的直角为90°，可得：
$α + ∠ 1 = 90°$，$β + ∠ 1 = 90°$
α和β都是∠1的余角，根据同角的余角相等，可推出$α=β$。
2. 位置②的推导：
设两个三角尺相等的锐角为∠2，已知平角为180°，可得：
$α + ∠ 2 = 180°$，$β + ∠ 2 = 180°$
α和β都是相等角∠2的补角，根据等角的补角相等，可推出$α=β$。
【答案】
$α=β$，同角的余角相等；$α=β$，等角的补角相等
【知识点】
余角的性质，补角的性质
【点评】
本题结合三角板的摆放考查余角和补角的性质，解题关键是找到两个角共同关联的中间角，属于基础题型，熟练掌握余补角的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8
10.若一个角是其补角的$\frac{1}{4}$，则这个角的度数为
36°
.答案
10. 36°
解析
【分析】
首先回忆补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。我们可以设这个角的度数为未知数，根据“这个角的度数=它的补角的度数×$\frac{1}{4}$”的等量关系列方程，求解即可得到这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$x$，则它的补角的度数为$(180° - x)$。
根据题意列方程：
$x=\frac{1}{4}(180° - x)$
两边同时乘4，得：
$4x=180° - x$
移项、合并同类项，得：
$5x=180°$
解得：
$x=36°$
【答案】
$36°$
【知识点】
补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握补角的概念，准确找到题目中的等量关系，运用方程思想求解即可。
【难度系数】
0.8
首先回忆补角的定义：若两个角的和为180°，则这两个角互为补角。我们可以设这个角的度数为未知数，根据“这个角的度数=它的补角的度数×$\frac{1}{4}$”的等量关系列方程，求解即可得到这个角的度数。
【解析】
设这个角的度数为$x$，则它的补角的度数为$(180° - x)$。
根据题意列方程：
$x=\frac{1}{4}(180° - x)$
两边同时乘4，得：
$4x=180° - x$
移项、合并同类项，得：
$5x=180°$
解得：
$x=36°$
【答案】
$36°$
【知识点】
补角的定义；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟练掌握补角的概念，准确找到题目中的等量关系，运用方程思想求解即可。
【难度系数】
0.8
11.一个角的补角比它的余角的3倍大$10°$,则这个角的度数为
50°
.答案
11. 50°
解析
【分析】
我们可以采用方程思想求解本题：第一步先设这个角的度数为x，第二步根据余角、补角的定义，分别用含x的式子表示出这个角的余角和补角，第三步根据题干“补角比余角的3倍大10°”的等量关系列一元一次方程，最后解方程即可得到该角的度数。
【解析】
设这个角的度数为x。
根据余角定义，该角的余角为$90° - x$；
根据补角定义，该角的补角为$180° - x$。
由题意可列方程：
$180° - x = 3(90° - x) + 10°$
展开等号右侧：$180° - x = 270° - 3x + 10°$
移项合并同类项：$2x = 100°$
解得：$x = 50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
余角和补角；一元一次方程的应用
【点评】
本题是余角补角相关的基础典型题，核心是熟练掌握余角补角的概念，结合方程思想将文字等量关系转化为数学方程求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
我们可以采用方程思想求解本题：第一步先设这个角的度数为x，第二步根据余角、补角的定义，分别用含x的式子表示出这个角的余角和补角，第三步根据题干“补角比余角的3倍大10°”的等量关系列一元一次方程，最后解方程即可得到该角的度数。
【解析】
设这个角的度数为x。
根据余角定义，该角的余角为$90° - x$；
根据补角定义，该角的补角为$180° - x$。
由题意可列方程：
$180° - x = 3(90° - x) + 10°$
展开等号右侧：$180° - x = 270° - 3x + 10°$
移项合并同类项：$2x = 100°$
解得：$x = 50°$
【答案】
$50°$
【知识点】
余角和补角；一元一次方程的应用
【点评】
本题是余角补角相关的基础典型题，核心是熟练掌握余角补角的概念，结合方程思想将文字等量关系转化为数学方程求解，计算难度较低。
【难度系数】
0.8
12.将两个三角尺的直角顶点在如图所示的位置重合，若$∠ AOD=108°$,则$∠ BOC=$
72°
。答案
12. 72°
解析
【分析】
首先明确两个直角三角尺的直角顶点重合，可得∠AOB和∠COD均为90°。解题时可以先通过∠AOD的度数求出∠BOD的度数，再利用∠COD是直角，用90°减去∠BOD即可得到∠BOC的度数；也可利用两个直角之和等于∠AOD与∠BOC之和的关系直接计算，核心是理清图中各角的和差关系。
【解析】
解：由题意得，$∠ AOB = ∠ COD = 90°$。
$\because ∠ AOD = ∠ AOB + ∠ BOD$，$∠ AOD=108°$，
$\therefore ∠ BOD = ∠ AOD - ∠ AOB = 108° - 90° = 18°$。
又$\because ∠ COD = ∠ BOC + ∠ BOD = 90°$，
$\therefore ∠ BOC = 90° - ∠ BOD = 90° - 18° = 72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
1. 角的和差计算 2. 直角的定义
【点评】
本题是角的运算的基础题型，解题关键是准确识别图形中各个角的数量关系，熟练运用直角的性质和角的和差规则即可求解，考查基础运算能力和图形观察能力。
【难度系数】
0.8
首先明确两个直角三角尺的直角顶点重合，可得∠AOB和∠COD均为90°。解题时可以先通过∠AOD的度数求出∠BOD的度数，再利用∠COD是直角，用90°减去∠BOD即可得到∠BOC的度数；也可利用两个直角之和等于∠AOD与∠BOC之和的关系直接计算，核心是理清图中各角的和差关系。
【解析】
解：由题意得，$∠ AOB = ∠ COD = 90°$。
$\because ∠ AOD = ∠ AOB + ∠ BOD$，$∠ AOD=108°$，
$\therefore ∠ BOD = ∠ AOD - ∠ AOB = 108° - 90° = 18°$。
又$\because ∠ COD = ∠ BOC + ∠ BOD = 90°$，
$\therefore ∠ BOC = 90° - ∠ BOD = 90° - 18° = 72°$。
【答案】
$72°$
【知识点】
1. 角的和差计算 2. 直角的定义
【点评】
本题是角的运算的基础题型，解题关键是准确识别图形中各个角的数量关系，熟练运用直角的性质和角的和差规则即可求解，考查基础运算能力和图形观察能力。
【难度系数】
0.8
13.已知∠α与∠β互补，有下列说法：
①若∠α是锐角，则∠β一定是钝角；
②若∠γ+∠α=180°，则∠β=∠γ；
③若∠1=$\frac{1}{2}$∠α，∠2=$\frac{1}{2}$∠β，则∠1与∠2互余。
其中正确的说法是
①若∠α是锐角，则∠β一定是钝角；
②若∠γ+∠α=180°，则∠β=∠γ；
③若∠1=$\frac{1}{2}$∠α，∠2=$\frac{1}{2}$∠β，则∠1与∠2互余。
其中正确的说法是
①②③
.(填序号)答案
13. ①②③
解析
【分析】
首先根据补角的定义，明确∠α与∠β的和为180°，再结合余角、补角的定义和性质，逐个对3个说法进行验证即可判断正误。
【解析】
已知∠α与∠β互补，根据补角定义可得：$∠α + ∠β = 180°$。
1. 验证说法①：
若∠α是锐角，则$0° ＜ ∠α ＜ 90°$，因此$∠β = 180° - ∠α$，可得$90° ＜ ∠β ＜ 180°$，即∠β是钝角，故①正确。
2. 验证说法②：
若$∠\gamma + ∠α = 180°$，说明∠γ也是∠α的补角，根据“同角的补角相等”，可得$∠β = ∠\gamma$，故②正确。
3. 验证说法③：
已知$∠1 = \frac{1}{2}∠α$，$∠2 = \frac{1}{2}∠β$，那么$∠1 + ∠2 = \frac{1}{2}(∠α + ∠β) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，根据余角定义，可知∠1与∠2互余，故③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
①②③
【知识点】
补角的定义；补角的性质；余角的定义
【点评】
本题主要考查余角、补角的相关概念和性质，解决此类问题的关键是熟练掌握互余、互补的数量关系，逐一判断每个说法即可。
【难度系数】
0.8
首先根据补角的定义，明确∠α与∠β的和为180°，再结合余角、补角的定义和性质，逐个对3个说法进行验证即可判断正误。
【解析】
已知∠α与∠β互补，根据补角定义可得：$∠α + ∠β = 180°$。
1. 验证说法①：
若∠α是锐角，则$0° ＜ ∠α ＜ 90°$，因此$∠β = 180° - ∠α$，可得$90° ＜ ∠β ＜ 180°$，即∠β是钝角，故①正确。
2. 验证说法②：
若$∠\gamma + ∠α = 180°$，说明∠γ也是∠α的补角，根据“同角的补角相等”，可得$∠β = ∠\gamma$，故②正确。
3. 验证说法③：
已知$∠1 = \frac{1}{2}∠α$，$∠2 = \frac{1}{2}∠β$，那么$∠1 + ∠2 = \frac{1}{2}(∠α + ∠β) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$，根据余角定义，可知∠1与∠2互余，故③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
①②③
【知识点】
补角的定义；补角的性质；余角的定义
【点评】
本题主要考查余角、补角的相关概念和性质，解决此类问题的关键是熟练掌握互余、互补的数量关系，逐一判断每个说法即可。
【难度系数】
0.8
14.如图，直线AB，CD相交于点O，OF平分∠AOE，∠DOF＝90°。
(1)∠AOD的补角有
(2)若∠AOE＝120°，求∠BOC的度数。
(1)∠AOD的补角有
∠AOC,∠BOD,∠DOE
，∠BOD的余角有∠AOF,∠EOF
；(2)若∠AOE＝120°，求∠BOC的度数。
答案
14. (1)∠AOC,∠BOD,∠DOE；∠AOF,∠EOF.
(2)∠BOC=150°.
(2)∠BOC=150°.
解析
【分析】
(1) 求解本题首先明确余角、补角的定义：和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角。先找∠AOD的补角：直线AB、CD相交于O，邻补角和为180°，可先找到∠BOD、∠AOC；再结合OF平分∠AOE、∠DOF=90°的条件，推导可得∠DOE也和∠AOD和为180°。再找∠BOD的余角：结合平角为180°、∠DOF=90°，可推出∠AOF和∠BOD和为90°，再根据角平分线性质可知∠EOF=∠AOF，也为∠BOD的余角。
(2) 第二问先利用角平分线的性质求出∠AOF的度数，再结合平角180°、∠DOF=90°求出∠BOD的度数，最后根据邻补角和为180°即可求出∠BOC的度数。
【解析】
(1) ① 互为补角的两个角和为180°：
∵ 直线AB、CD交于点O，
∴ ∠AOD+∠BOD=180°，∠AOD+∠AOC=180°，即∠BOD、∠AOC是∠AOD的补角；
∵ OF平分∠AOE，
∴ ∠AOF=∠EOF，
又
∵ ∠DOF=90°，即∠EOF+∠EOD=90°，且∠AOF+∠AOD+∠BOD=180°，
推导可得∠AOD+∠DOE=180°，故∠DOE也是∠AOD的补角；
② 互为余角的两个角和为90°：
∵ ∠DOF=90°，
∴ ∠AOF+∠BOD=180°-∠DOF=90°，
又
∵ ∠AOF=∠EOF，
∴ ∠EOF+∠BOD=90°，即∠AOF、∠EOF是∠BOD的余角。
(2) 解：
∵ OF平分∠AOE，∠AOE=120°，
∴ $∠ AOF=\frac{1}{2}∠ AOE=\frac{1}{2}×120°=60°$，
∵ ∠DOF=90°，且A、O、B共线，平角为180°，
∴ $∠ BOD=180°-∠ AOF-∠ DOF=180°-60°-90°=30°$，
∵ C、O、D共线，∠BOC与∠BOD互为邻补角，
∴ $∠ BOC=180°-∠ BOD=180°-30°=150°$。
【答案】
(1) $∠ AOC,∠ BOD,∠ DOE$；$∠ AOF,∠ EOF$
(2) $∠ BOC=150°$
【知识点】
余角与补角的定义，角平分线的性质，邻补角的性质
【点评】
本题重点考查角度的识别与计算，需要结合图形理清各个角之间的和差关系，熟练运用余角、补角、角平分线的相关性质即可求解，注意不要漏写第一问中符合条件的角。
【难度系数】
0.7
(1) 求解本题首先明确余角、补角的定义：和为90°的两个角互为余角，和为180°的两个角互为补角。先找∠AOD的补角：直线AB、CD相交于O，邻补角和为180°，可先找到∠BOD、∠AOC；再结合OF平分∠AOE、∠DOF=90°的条件，推导可得∠DOE也和∠AOD和为180°。再找∠BOD的余角：结合平角为180°、∠DOF=90°，可推出∠AOF和∠BOD和为90°，再根据角平分线性质可知∠EOF=∠AOF，也为∠BOD的余角。
(2) 第二问先利用角平分线的性质求出∠AOF的度数，再结合平角180°、∠DOF=90°求出∠BOD的度数，最后根据邻补角和为180°即可求出∠BOC的度数。
【解析】
(1) ① 互为补角的两个角和为180°：
∵ 直线AB、CD交于点O，
∴ ∠AOD+∠BOD=180°，∠AOD+∠AOC=180°，即∠BOD、∠AOC是∠AOD的补角；
∵ OF平分∠AOE，
∴ ∠AOF=∠EOF，
又
∵ ∠DOF=90°，即∠EOF+∠EOD=90°，且∠AOF+∠AOD+∠BOD=180°，
推导可得∠AOD+∠DOE=180°，故∠DOE也是∠AOD的补角；
② 互为余角的两个角和为90°：
∵ ∠DOF=90°，
∴ ∠AOF+∠BOD=180°-∠DOF=90°，
又
∵ ∠AOF=∠EOF，
∴ ∠EOF+∠BOD=90°，即∠AOF、∠EOF是∠BOD的余角。
(2) 解：
∵ OF平分∠AOE，∠AOE=120°，
∴ $∠ AOF=\frac{1}{2}∠ AOE=\frac{1}{2}×120°=60°$，
∵ ∠DOF=90°，且A、O、B共线，平角为180°，
∴ $∠ BOD=180°-∠ AOF-∠ DOF=180°-60°-90°=30°$，
∵ C、O、D共线，∠BOC与∠BOD互为邻补角，
∴ $∠ BOC=180°-∠ BOD=180°-30°=150°$。
【答案】
(1) $∠ AOC,∠ BOD,∠ DOE$；$∠ AOF,∠ EOF$
(2) $∠ BOC=150°$
【知识点】
余角与补角的定义，角平分线的性质，邻补角的性质
【点评】
本题重点考查角度的识别与计算，需要结合图形理清各个角之间的和差关系，熟练运用余角、补角、角平分线的相关性质即可求解，注意不要漏写第一问中符合条件的角。
【难度系数】
0.7
