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15.已知点O为直线AB上一点,过点O作射线OC,∠BOC=104°.
(1)如图①,∠AOC=
(2)如图②,过点O作射线OE,使∠COE=90°,作∠AOC的平分线OD,求∠AOE和∠DOE的度数;
(3)在(2)的条件下,请过点O作射线OP,使∠BOP与∠AOD互余,则∠COP=
(1)如图①,∠AOC=
76°
;(2)如图②,过点O作射线OE,使∠COE=90°,作∠AOC的平分线OD,求∠AOE和∠DOE的度数;
(3)在(2)的条件下,请过点O作射线OP,使∠BOP与∠AOD互余,则∠COP=
52°或156°
.答案
15. (1) 76° (2)∠AOE=14°,∠DOE=52°；(3) 52°或156°.
解析
【分析】
(1) 利用平角的定义，直线AB上的点O构成平角∠AOB=180°，用180°减去已知的∠BOC即可求出∠AOC的度数。
(2) 先根据∠COE=90°和第一问求出的∠AOC，计算∠AOE的度数；再利用角平分线的定义求出∠AOD的度数，将∠AOD和∠AOE相加即可得到∠DOE的度数。
(3) 先根据互余的定义求出∠BOP的度数，再分两种情况讨论射线OP的位置：①OP在∠BOC内部，②OP在直线AB下方，分别计算两种情况下∠COP的度数即可。
【解析】
(1)
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB=180°，
∴ ∠AOC=∠AOB - ∠BOC=180° - 104°=76°。
(2) 由(1)知∠AOC=76°，
∵ ∠COE=90°，
∴ ∠AOE=∠COE - ∠AOC=90° - 76°=14°，
∵ OD平分∠AOC，
∴ ∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×76°=38°，
∴ ∠DOE=∠AOD + ∠AOE=38° + 14°=52°。
(3) 由(2)知∠AOD=38°，
∵ ∠BOP与∠AOD互余，
∴ ∠BOP + ∠AOD=90°，
∴ ∠BOP=90° - 38°=52°，
分两种情况：
① 当OP在∠BOC内部时，∠COP=∠BOC - ∠BOP=104° - 52°=52°；
② 当OP在直线AB下方时，∠COP=∠BOC + ∠BOP=104° + 52°=156°。
综上，∠COP的度数为52°或156°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{76°}$；(2) $\boldsymbol{∠ AOE=14°}$，$\boldsymbol{∠ DOE=52°}$；(3) $\boldsymbol{52°}$或$\boldsymbol{156°}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，余角的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础综合题，解题关键是熟练掌握平角、角平分线、互余的相关性质，第三问需要注意分类讨论射线OP的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.65
(1) 利用平角的定义，直线AB上的点O构成平角∠AOB=180°，用180°减去已知的∠BOC即可求出∠AOC的度数。
(2) 先根据∠COE=90°和第一问求出的∠AOC，计算∠AOE的度数；再利用角平分线的定义求出∠AOD的度数，将∠AOD和∠AOE相加即可得到∠DOE的度数。
(3) 先根据互余的定义求出∠BOP的度数，再分两种情况讨论射线OP的位置：①OP在∠BOC内部，②OP在直线AB下方，分别计算两种情况下∠COP的度数即可。
【解析】
(1)
∵ 点O在直线AB上，
∴ ∠AOB=180°，
∴ ∠AOC=∠AOB - ∠BOC=180° - 104°=76°。
(2) 由(1)知∠AOC=76°，
∵ ∠COE=90°，
∴ ∠AOE=∠COE - ∠AOC=90° - 76°=14°，
∵ OD平分∠AOC，
∴ ∠AOD=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$×76°=38°，
∴ ∠DOE=∠AOD + ∠AOE=38° + 14°=52°。
(3) 由(2)知∠AOD=38°，
∵ ∠BOP与∠AOD互余，
∴ ∠BOP + ∠AOD=90°，
∴ ∠BOP=90° - 38°=52°，
分两种情况：
① 当OP在∠BOC内部时，∠COP=∠BOC - ∠BOP=104° - 52°=52°；
② 当OP在直线AB下方时，∠COP=∠BOC + ∠BOP=104° + 52°=156°。
综上，∠COP的度数为52°或156°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{76°}$；(2) $\boldsymbol{∠ AOE=14°}$，$\boldsymbol{∠ DOE=52°}$；(3) $\boldsymbol{52°}$或$\boldsymbol{156°}$
【知识点】
平角的定义，角平分线的定义，余角的定义
【点评】
本题属于角度计算的基础综合题，解题关键是熟练掌握平角、角平分线、互余的相关性质，第三问需要注意分类讨论射线OP的位置，避免漏解。
【难度系数】
0.65
16.实践操作:三角尺中的数学问题.
(1)如图①,将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起,∠ACB=∠DCH=90°.
①若∠BCH=34°,则∠ACD=
②猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系,并说明理由.
(2)如图②,两个同样的直角三角尺,将它们60°的锐角顶点A重合在一起,∠ACB=∠AEF=90°,直接写出∠CAF与∠EAB之间的数量关系.
(1)如图①,将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起,∠ACB=∠DCH=90°.
①若∠BCH=34°,则∠ACD=
146°
;若∠ACD=132°,则∠BCH=48°
;②猜想∠ACD与∠BCH之间的数量关系,并说明理由.
(2)如图②,两个同样的直角三角尺,将它们60°的锐角顶点A重合在一起,∠ACB=∠AEF=90°,直接写出∠CAF与∠EAB之间的数量关系.
答案
16. (1)①146°,48° ②猜想:∠ACD+∠BCH=180° (2)∠CAF+∠EAB=120°
解析
【分析】
本题是叠合三角尺的角度计算问题，解题思路如下：
(1)①已知两个叠放的三角尺直角均为90°，求∠ACD或∠BCH时，先利用角的和差关系找到两个角的关联：∠ACD可拆分为∠DCH与∠ACH的和，∠BCH可拆分为∠ACB与∠ACH的差，代入已知角度即可计算；
(1)②推导∠ACD和∠BCH的数量关系时，将两个角都用含公共角∠ACH的式子表示，相加后消去公共角即可得到结论；
(2)两个60°角顶点重合时，同理将∠CAF和∠EAB用含公共角∠CAE的式子表示，相加后消去公共角即可得到数量关系。
【解析】
(1)①已知∠ACB=∠DCH=90°：
当∠BCH=34°时，先求∠ACH=∠ACB - ∠BCH=90°-34°=56°，
则∠ACD=∠DCH + ∠ACH=90°+56°=146°；
当∠ACD=132°时，先求∠ACH=∠ACD - ∠DCH=132°-90°=42°，
则∠BCH=∠ACB - ∠ACH=90°-42°=48°。
②猜想：$\boldsymbol{∠ ACD + ∠ BCH=180°}$，理由如下：
∵$∠ ACD = ∠ DCH + ∠ ACH = 90° + ∠ ACH$，
$∠ BCH = ∠ ACB - ∠ ACH = 90° - ∠ ACH$，
∴$∠ ACD + ∠ BCH = (90° + ∠ ACH) + (90° - ∠ ACH) = 180°$，猜想成立。
(2)由题意得两个三角尺的60°角相等，即$∠ CAB=∠ EAF=60°$：
∵$∠ CAF = ∠ EAF + ∠ CAE$，$∠ EAB = ∠ CAB - ∠ CAE$，
∴$∠ CAF + ∠ EAB = (∠ EAF + ∠ CAE) + (∠ CAB - ∠ CAE) = 60° + 60° = 120°$，
即$∠ CAF + ∠ EAB=120°$。
【答案】
(1)①$146°$，$48°$；②$∠ ACD+∠ BCH=180°$；(2)$∠ CAF+∠ EAB=120°$
【知识点】
角的和差运算；直角的性质；特殊角计算
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，核心是在叠合图形中找准公共角，利用已知的特殊角（直角、60°角）将所求角拆分，通过加减消去公共角得到角度关系，能有效考查学生对角度和差变换的掌握程度。
【难度系数】
0.7
本题是叠合三角尺的角度计算问题，解题思路如下：
(1)①已知两个叠放的三角尺直角均为90°，求∠ACD或∠BCH时，先利用角的和差关系找到两个角的关联：∠ACD可拆分为∠DCH与∠ACH的和，∠BCH可拆分为∠ACB与∠ACH的差，代入已知角度即可计算；
(1)②推导∠ACD和∠BCH的数量关系时，将两个角都用含公共角∠ACH的式子表示，相加后消去公共角即可得到结论；
(2)两个60°角顶点重合时，同理将∠CAF和∠EAB用含公共角∠CAE的式子表示，相加后消去公共角即可得到数量关系。
【解析】
(1)①已知∠ACB=∠DCH=90°：
当∠BCH=34°时，先求∠ACH=∠ACB - ∠BCH=90°-34°=56°，
则∠ACD=∠DCH + ∠ACH=90°+56°=146°；
当∠ACD=132°时，先求∠ACH=∠ACD - ∠DCH=132°-90°=42°，
则∠BCH=∠ACB - ∠ACH=90°-42°=48°。
②猜想：$\boldsymbol{∠ ACD + ∠ BCH=180°}$，理由如下：
∵$∠ ACD = ∠ DCH + ∠ ACH = 90° + ∠ ACH$，
$∠ BCH = ∠ ACB - ∠ ACH = 90° - ∠ ACH$，
∴$∠ ACD + ∠ BCH = (90° + ∠ ACH) + (90° - ∠ ACH) = 180°$，猜想成立。
(2)由题意得两个三角尺的60°角相等，即$∠ CAB=∠ EAF=60°$：
∵$∠ CAF = ∠ EAF + ∠ CAE$，$∠ EAB = ∠ CAB - ∠ CAE$，
∴$∠ CAF + ∠ EAB = (∠ EAF + ∠ CAE) + (∠ CAB - ∠ CAE) = 60° + 60° = 120°$，
即$∠ CAF + ∠ EAB=120°$。
【答案】
(1)①$146°$，$48°$；②$∠ ACD+∠ BCH=180°$；(2)$∠ CAF+∠ EAB=120°$
【知识点】
角的和差运算；直角的性质；特殊角计算
【点评】
本题属于角度计算的常规题型，核心是在叠合图形中找准公共角，利用已知的特殊角（直角、60°角）将所求角拆分，通过加减消去公共角得到角度关系，能有效考查学生对角度和差变换的掌握程度。
【难度系数】
0.7
