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1. 下列等式从左到右的变形中属于因式分解的是（
A.$(x+1)(x-1)=x^2-1$
B.$6ab=2a · 3b$
C.$x^2-2x+1=x(x-1)+1$
D.$x^2-8x+16=(x-4)^2$
D
）.A.$(x+1)(x-1)=x^2-1$
B.$6ab=2a · 3b$
C.$x^2-2x+1=x(x-1)+1$
D.$x^2-8x+16=(x-4)^2$
答案
1. D
解析
【分析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需抓住3个核心要点：①变形的对象是多项式；②变形结果是几个整式的积的形式；③变形前后等式恒成立。接下来逐一对照要点分析每个选项即可得出答案。
【解析】
根据因式分解的定义逐个判断选项：
选项A：左边是两个整式的积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆运算，不属于因式分解；
选项B：左边的6ab是单项式，不是多项式，因式分解的变形对象必须是多项式，不属于因式分解；
选项C：右边是$x(x-1)$与1的和，为和的形式，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解；
选项D：左边是多项式$x^2-8x+16$，右边是整式$(x-4)$的平方，即两个$(x-4)$相乘的形式，完全符合因式分解的定义，属于因式分解。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确把握因式分解的变形对象、结果形式两个核心判断标准，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免混淆两种变形。
【难度系数】
0.8
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需抓住3个核心要点：①变形的对象是多项式；②变形结果是几个整式的积的形式；③变形前后等式恒成立。接下来逐一对照要点分析每个选项即可得出答案。
【解析】
根据因式分解的定义逐个判断选项：
选项A：左边是两个整式的积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆运算，不属于因式分解；
选项B：左边的6ab是单项式，不是多项式，因式分解的变形对象必须是多项式，不属于因式分解；
选项C：右边是$x(x-1)$与1的和，为和的形式，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解；
选项D：左边是多项式$x^2-8x+16$，右边是整式$(x-4)$的平方，即两个$(x-4)$相乘的形式，完全符合因式分解的定义，属于因式分解。
综上，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确把握因式分解的变形对象、结果形式两个核心判断标准，注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免混淆两种变形。
【难度系数】
0.8
2. 下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是（
A.$x^2 + x + 1$
B.$x^2 + 2x - 1$
C.$x^2 - 1$
D.$x^2 - 6x + 9$
D
）.A.$x^2 + x + 1$
B.$x^2 + 2x - 1$
C.$x^2 - 1$
D.$x^2 - 6x + 9$
答案
2. D
解析
【分析】
要判断哪个式子能用完全平方公式因式分解，首先需要明确完全平方公式因式分解的适用条件：完全平方公式的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对应的多项式需要满足3个要求：①是三项式；②有两项为同号的平方项，可写成两个数（或整式）的平方和形式；③第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负。接下来按照这个标准逐一判断选项即可。
【解析】
首先回忆完全平方公式因式分解的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的三项式，可以分解为$(a\pm b)^2$的形式。
对各选项逐一分析：
选项A：$x^2+x+1$是三项式，平方项为$x^2$和$1^2$，两项乘积的2倍应为$\pm2x$，但中间项是$x$，不符合要求，不能用完全平方公式分解；
选项B：$x^2+2x-1$是三项式，两个平方项$x^2$和$-1$符号相反，不满足平方项同号的要求，不能用完全平方公式分解；
选项C：$x^2-1$是二项式，不符合完全平方公式需要三项式的要求，它属于平方差公式的适用形式；
选项D：$x^2-6x+9$可以写成$x^2 - 2· x·3 + 3^2$，完全符合$a^2-2ab+b^2$的结构，可分解为$(x-3)^2$，能用完全平方公式因式分解。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题考查完全平方公式因式分解的适用条件，解题关键是牢记完全平方公式对应的多项式结构特征，注意区分完全平方公式和平方差公式的适用场景，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
要判断哪个式子能用完全平方公式因式分解，首先需要明确完全平方公式因式分解的适用条件：完全平方公式的形式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，对应的多项式需要满足3个要求：①是三项式；②有两项为同号的平方项，可写成两个数（或整式）的平方和形式；③第三项是这两个数（或整式）乘积的2倍，符号可正可负。接下来按照这个标准逐一判断选项即可。
【解析】
首先回忆完全平方公式因式分解的结构特征：形如$a^2\pm2ab+b^2$的三项式，可以分解为$(a\pm b)^2$的形式。
对各选项逐一分析：
选项A：$x^2+x+1$是三项式，平方项为$x^2$和$1^2$，两项乘积的2倍应为$\pm2x$，但中间项是$x$，不符合要求，不能用完全平方公式分解；
选项B：$x^2+2x-1$是三项式，两个平方项$x^2$和$-1$符号相反，不满足平方项同号的要求，不能用完全平方公式分解；
选项C：$x^2-1$是二项式，不符合完全平方公式需要三项式的要求，它属于平方差公式的适用形式；
选项D：$x^2-6x+9$可以写成$x^2 - 2· x·3 + 3^2$，完全符合$a^2-2ab+b^2$的结构，可分解为$(x-3)^2$，能用完全平方公式因式分解。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题考查完全平方公式因式分解的适用条件，解题关键是牢记完全平方公式对应的多项式结构特征，注意区分完全平方公式和平方差公式的适用场景，属于基础概念考查题。
【难度系数】
0.8
3. $6x^3y^2 - 3x^2y^3$分解因式时，应提取的公因式是（
A.$3xy$
B.$3x^2y$
C.$3x^2y^3$
D.$3x^2y^2$
D
）.A.$3xy$
B.$3x^2y$
C.$3x^2y^3$
D.$3x^2y^2$
答案
3. D
解析
【分析】
要确定多项式分解因式时应提取的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步对相同字母取次数最低的幂，最后将三部分相乘即为公因式。本题中先看系数6和3，最大公约数是3；再看相同字母，两项都含x和y；x的次数分别为3和2，最低次是2，取$x^2$；y的次数分别为2和3，最低次是2，取$y^2$，组合即可得到公因式。
【解析】
1. 确定系数的最大公约数：6和3的最大公约数为3；
2. 确定公共字母：多项式两项都含有字母x、y；
3. 确定公共字母的最低次幂：x的最低次幂为$x^2$，y的最低次幂为$y^2$；
4. 组合得到公因式为$3x^2y^2$，因此选D。
【答案】D
【知识点】
公因式的确定；因式分解
【点评】
本题考查提取公因式法中公因式的确定，属于基础考题，熟练掌握公因式的确定规则就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
要确定多项式分解因式时应提取的公因式，需按照公因式的确定规则逐步推导：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找各项都含有的相同字母，第三步对相同字母取次数最低的幂，最后将三部分相乘即为公因式。本题中先看系数6和3，最大公约数是3；再看相同字母，两项都含x和y；x的次数分别为3和2，最低次是2，取$x^2$；y的次数分别为2和3，最低次是2，取$y^2$，组合即可得到公因式。
【解析】
1. 确定系数的最大公约数：6和3的最大公约数为3；
2. 确定公共字母：多项式两项都含有字母x、y；
3. 确定公共字母的最低次幂：x的最低次幂为$x^2$，y的最低次幂为$y^2$；
4. 组合得到公因式为$3x^2y^2$，因此选D。
【答案】D
【知识点】
公因式的确定；因式分解
【点评】
本题考查提取公因式法中公因式的确定，属于基础考题，熟练掌握公因式的确定规则就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9
4. 下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（
A.$a^2 - b^2$
B.$16a^2 - b^2$
C.$-a^2 + 25b^2$
D.$-9 - a^2$
D
）.A.$a^2 - b^2$
B.$16a^2 - b^2$
C.$-a^2 + 25b^2$
D.$-9 - a^2$
答案
4. D
解析
【分析】
要判断哪个式子不能用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的结构特征：适用的多项式是二项式，两项都可以写成某个整式的平方，且两项的符号相反。我们只需要逐个对照这个特征判断每个选项即可。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，需满足二项式、两项均为平方形式、两项符号相反三个条件。
选项A：$a^2 - b^2$，满足平方差公式的结构特征，可分解为$(a+b)(a-b)$，不符合题意；
选项B：$16a^2 - b^2 = (4a)^2 - b^2$，满足平方差公式的结构特征，可分解为$(4a+b)(4a-b)$，不符合题意；
选项C：$-a^2 + 25b^2 = (5b)^2 - a^2$，满足平方差公式的结构特征，可分解为$(5b+a)(5b-a)$，不符合题意；
选项D：$-9 - a^2 = -(9 + a^2)$，两项符号相同，不满足平方差公式的结构特征，不能用平方差公式分解因式，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题核心考查平方差公式分解因式的适用条件，解题的关键是准确掌握平方差公式的结构特点，逐项验证即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
要判断哪个式子不能用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的结构特征：适用的多项式是二项式，两项都可以写成某个整式的平方，且两项的符号相反。我们只需要逐个对照这个特征判断每个选项即可。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$m^2 - n^2 = (m+n)(m-n)$，需满足二项式、两项均为平方形式、两项符号相反三个条件。
选项A：$a^2 - b^2$，满足平方差公式的结构特征，可分解为$(a+b)(a-b)$，不符合题意；
选项B：$16a^2 - b^2 = (4a)^2 - b^2$，满足平方差公式的结构特征，可分解为$(4a+b)(4a-b)$，不符合题意；
选项C：$-a^2 + 25b^2 = (5b)^2 - a^2$，满足平方差公式的结构特征，可分解为$(5b+a)(5b-a)$，不符合题意；
选项D：$-9 - a^2 = -(9 + a^2)$，两项符号相同，不满足平方差公式的结构特征，不能用平方差公式分解因式，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题核心考查平方差公式分解因式的适用条件，解题的关键是准确掌握平方差公式的结构特点，逐项验证即可快速得出结论。
【难度系数】
0.8
5. 已知实数$a$，$b$满足$a+b=6$，$ab=7$，则$a^2b+ab^2$的值为（
A.1
B.13
C.21
D.42
D
）。A.1
B.13
C.21
D.42
答案
5. D
解析
【分析】
首先观察所求代数式$a^2b+ab^2$的结构，两项均含有公因式$ab$，因此可先通过提公因式法对代数式因式分解，分解后可整理为$ab(a+b)$的形式，恰好题干已经给出$a+b$和$ab$的取值，直接将数值整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，简化计算过程。
【解析】
解：对所求代数式进行因式分解：
$a^2b + ab^2 = ab · a + ab · b = ab(a+b)$
已知$a+b=6$，$ab=7$，将其代入上式可得：
原式$=7 × 6 = 42$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题为基础题型，解题关键是熟练掌握提公因式法分解因式，灵活运用整体代入的思想求值，无需单独计算$a$、$b$的数值，可有效降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.8
首先观察所求代数式$a^2b+ab^2$的结构，两项均含有公因式$ab$，因此可先通过提公因式法对代数式因式分解，分解后可整理为$ab(a+b)$的形式，恰好题干已经给出$a+b$和$ab$的取值，直接将数值整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的具体值，简化计算过程。
【解析】
解：对所求代数式进行因式分解：
$a^2b + ab^2 = ab · a + ab · b = ab(a+b)$
已知$a+b=6$，$ab=7$，将其代入上式可得：
原式$=7 × 6 = 42$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，代数式求值，整体代入思想
【点评】
本题为基础题型，解题关键是熟练掌握提公因式法分解因式，灵活运用整体代入的思想求值，无需单独计算$a$、$b$的数值，可有效降低计算量，避免出错。
【难度系数】
0.8
6. 计算$100^2 - 2 × 100 × 99 + 99^2$的结果为（
A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$
A
）。A.1
B.$-1$
C.2
D.$-2$
答案
6. A
解析
【分析】
首先观察待计算的算式结构，发现算式包含100的平方、99的平方，还有2倍的100乘99的项，且中间的乘积项符号为负，完全符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2$的结构特征，因此可以直接套用完全平方差公式简化计算，无需分别计算各项数值再硬算，能有效提升计算效率和准确率。
【解析】
根据完全平方差公式：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，
在算式$100^2 - 2 × 100 × 99 + 99^2$中，$a=100$，$b=99$，代入公式可得：
原式$=(100 - 99)^2 = 1^2 = 1$。
因此本题答案选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方差公式、整式简便运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活运用公式简化计算，避免直接计算大数乘积带来的繁琐和失误。
【难度系数】
0.9
首先观察待计算的算式结构，发现算式包含100的平方、99的平方，还有2倍的100乘99的项，且中间的乘积项符号为负，完全符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2$的结构特征，因此可以直接套用完全平方差公式简化计算，无需分别计算各项数值再硬算，能有效提升计算效率和准确率。
【解析】
根据完全平方差公式：$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$，
在算式$100^2 - 2 × 100 × 99 + 99^2$中，$a=100$，$b=99$，代入公式可得：
原式$=(100 - 99)^2 = 1^2 = 1$。
因此本题答案选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方差公式、整式简便运算
【点评】
本题属于基础运算题，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的结构特征，灵活运用公式简化计算，避免直接计算大数乘积带来的繁琐和失误。
【难度系数】
0.9
7. 如果多项式$x^2 - mx -42$因式分解为$(x-6)(x+7)$，则$m$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$13$
D.$-13$
A
）.A.$-1$
B.$1$
C.$13$
D.$-13$
答案
7. A
解析
【分析】
要确定m的值，我们可以利用因式分解与整式乘法是互逆运算的关系，先将因式分解的结果$(x-6)(x+7)$通过多项式乘法展开为二次三项式，再将展开后的式子和原式$x^2 - mx -42$的对应项系数对比，即可建立关于m的方程，求解得到m的值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的法则展开$(x-6)(x+7)$：
$\begin{aligned}(x-6)(x+7)&=x· x + x·7 -6· x -6×7\\&=x^2 +7x -6x -42\\&=x^2 +x -42\end{aligned}$
由题意可知$x^2 -mx -42 = x^2 +x -42$，两个多项式相等则对应项的系数相等，因此一次项系数满足：
$-m = 1$
解得$m=-1$
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式；因式分解与整式乘法的互逆性；对应项系数相等
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用因式分解和整式乘法的互逆关系解题，运算过程中要注意符号的处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
要确定m的值，我们可以利用因式分解与整式乘法是互逆运算的关系，先将因式分解的结果$(x-6)(x+7)$通过多项式乘法展开为二次三项式，再将展开后的式子和原式$x^2 - mx -42$的对应项系数对比，即可建立关于m的方程，求解得到m的值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式的法则展开$(x-6)(x+7)$：
$\begin{aligned}(x-6)(x+7)&=x· x + x·7 -6· x -6×7\\&=x^2 +7x -6x -42\\&=x^2 +x -42\end{aligned}$
由题意可知$x^2 -mx -42 = x^2 +x -42$，两个多项式相等则对应项的系数相等，因此一次项系数满足：
$-m = 1$
解得$m=-1$
【答案】
A
【知识点】
多项式乘多项式；因式分解与整式乘法的互逆性；对应项系数相等
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用因式分解和整式乘法的互逆关系解题，运算过程中要注意符号的处理，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
8. 将多项式$4x^2+1$加上一项，使它能化成$(a+b)^2$的形式，以下是四名学生所加的项，其中错误的是（
A.$4x$
B.$-4x$
C.$4x^4$
D.$2x$
D
）.A.$4x$
B.$-4x$
C.$4x^4$
D.$2x$
答案
8. D
解析
【分析】
解题的核心是掌握完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，展开式包含两个同号的平方项，以及一个$\pm2$倍的两底数乘积项。我们可以将已知的$4x^2$和$1$看作完全平方式中的两个平方项，推导缺失的乘积项；也可以补充新的平方项，将原式补成完全平方式，再逐一验证选项即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐个验证选项：
1. 加$4x$时：$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$，符合$(a+b)^2$的形式，A正确；
2. 加$-4x$时：$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$，符合$(a+b)^2$的形式，B正确；
3. 加$4x^4$时：$4x^4+4x^2+1=(2x^2+1)^2$，符合$(a+b)^2$的形式，C正确；
4. 加$2x$时：$4x^2+2x+1$无法变形为$(a+b)^2$的形式，D错误。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；整式变形
【点评】
本题重点考查对完全平方公式结构的理解，解题时既可以根据公式推导需要补充的项，也可以用代入法验证，注意完全平方公式包含和、差两种情况，避免漏判。
【难度系数】
0.8
解题的核心是掌握完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，展开式包含两个同号的平方项，以及一个$\pm2$倍的两底数乘积项。我们可以将已知的$4x^2$和$1$看作完全平方式中的两个平方项，推导缺失的乘积项；也可以补充新的平方项，将原式补成完全平方式，再逐一验证选项即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐个验证选项：
1. 加$4x$时：$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$，符合$(a+b)^2$的形式，A正确；
2. 加$-4x$时：$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$，符合$(a+b)^2$的形式，B正确；
3. 加$4x^4$时：$4x^4+4x^2+1=(2x^2+1)^2$，符合$(a+b)^2$的形式，C正确；
4. 加$2x$时：$4x^2+2x+1$无法变形为$(a+b)^2$的形式，D错误。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；整式变形
【点评】
本题重点考查对完全平方公式结构的理解，解题时既可以根据公式推导需要补充的项，也可以用代入法验证，注意完全平方公式包含和、差两种情况，避免漏判。
【难度系数】
0.8
9. 已知 $ n $ 是正整数，则下列数中一定能整除 $(2n+5)^2 -9$ 的是（
A.3
B.4
C.5
D.6
B
）.A.3
B.4
C.5
D.6
答案
9. B
解析
【分析】
观察式子$(2n+5)^2 -9$，发现其符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此可以先利用平方差公式对原式因式分解，再化简分解后的式子，判断哪个选项是原式的固定因数即可，也可通过代入特殊正整数n验证排除错误选项。
【解析】
方法一：因式分解法
根据平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}(2n+5)^2 -9&=(2n+5)^2 -3^2\\&=(2n+5+3)(2n+5-3)\\&=(2n+8)(2n+2)\\&=2(n+4)×2(n+1)\\&=4(n+4)(n+1)\end{aligned}$
因为n是正整数，所以$(n+4)(n+1)$是整数，即原式是4的整数倍，因此一定能被4整除。
方法二：特殊值验证法
取$n=1$，原式=$(2×1+5)^2-9=49-9=40$，40不能被3、6整除，排除A、D；
取$n=2$，原式=$(2×2+5)^2-9=81-9=72$，72不能被5整除，排除C。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用，整除的判定
【点评】
本题解题核心是利用平方差公式对多项式因式分解，进而判断整除性，熟练掌握公式结构是解题关键，特殊值代入法可快速验证排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
观察式子$(2n+5)^2 -9$，发现其符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此可以先利用平方差公式对原式因式分解，再化简分解后的式子，判断哪个选项是原式的固定因数即可，也可通过代入特殊正整数n验证排除错误选项。
【解析】
方法一：因式分解法
根据平方差公式因式分解：
$\begin{aligned}(2n+5)^2 -9&=(2n+5)^2 -3^2\\&=(2n+5+3)(2n+5-3)\\&=(2n+8)(2n+2)\\&=2(n+4)×2(n+1)\\&=4(n+4)(n+1)\end{aligned}$
因为n是正整数，所以$(n+4)(n+1)$是整数，即原式是4的整数倍，因此一定能被4整除。
方法二：特殊值验证法
取$n=1$，原式=$(2×1+5)^2-9=49-9=40$，40不能被3、6整除，排除A、D；
取$n=2$，原式=$(2×2+5)^2-9=81-9=72$，72不能被5整除，排除C。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式，因式分解的应用，整除的判定
【点评】
本题解题核心是利用平方差公式对多项式因式分解，进而判断整除性，熟练掌握公式结构是解题关键，特殊值代入法可快速验证排除错误选项，降低解题难度。
【难度系数】
0.7
10. 不论a为何实数，多项式$a^2 + 4a + 5$的值一定是（
A.正数
B.负数
C.零
D.不能确定
A
）.A.正数
B.负数
C.零
D.不能确定
答案
10. A
解析
【分析】
要判断多项式$a^2 + 4a + 5$的取值范围，可利用完全平方公式对多项式进行配方，将其转化为“完全平方式+常数”的形式，再结合平方的非负性判断整体的正负性。具体思路为：先对含a的二次项、一次项配方，再合并常数项，最后根据平方的非负性推导整个式子的取值范围。
【解析】
对多项式进行配方变形：
$\begin{aligned}a^2 + 4a +5&=a^2 +4a +4 +1\\&=(a+2)^2 +1\end{aligned}$
∵ 不论a取何实数，平方的结果具有非负性，即$(a+2)^2≥0$
∴ $(a+2)^2 +1 ≥ 0+1=1＞0$
因此该多项式的值一定是正数。
【答案】
A
【知识点】
1.配方法的应用 2.偶次方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查完全平方公式的灵活运用以及非负性质的应用，熟练掌握配方的方法是解决这类代数式取值判断问题的关键。
【难度系数】
0.85
要判断多项式$a^2 + 4a + 5$的取值范围，可利用完全平方公式对多项式进行配方，将其转化为“完全平方式+常数”的形式，再结合平方的非负性判断整体的正负性。具体思路为：先对含a的二次项、一次项配方，再合并常数项，最后根据平方的非负性推导整个式子的取值范围。
【解析】
对多项式进行配方变形：
$\begin{aligned}a^2 + 4a +5&=a^2 +4a +4 +1\\&=(a+2)^2 +1\end{aligned}$
∵ 不论a取何实数，平方的结果具有非负性，即$(a+2)^2≥0$
∴ $(a+2)^2 +1 ≥ 0+1=1＞0$
因此该多项式的值一定是正数。
【答案】
A
【知识点】
1.配方法的应用 2.偶次方的非负性
【点评】
本题属于基础题型，核心考查完全平方公式的灵活运用以及非负性质的应用，熟练掌握配方的方法是解决这类代数式取值判断问题的关键。
【难度系数】
0.85
