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1. (2025 宜宾)如图,AB是$\odot O$的弦,半径$OC ⊥ AB$于点D.若$AB=8,OC=5$,则OD的长是 (
A.3
B.2
C.6
D.$\frac{5}{2}$
第1题图 第2题图
A
)A.3
B.2
C.6
D.$\frac{5}{2}$
第1题图 第2题图
答案
1. A
解析
【分析】
要计算OD的长度，可按以下思路推导：首先题目给出半径OC垂直于弦AB，满足垂径定理的应用条件，我们先连接半径OA，可知OA和OC都是圆的半径，长度相等为5；再根据垂径定理，垂直于弦的半径会平分弦，即可求出弦AB一半的长度；最后在得到的直角三角形ODA中，运用勾股定理就能求出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵OC是⊙O的半径，
∴OA=OC=5，
∵OC⊥AB，AB=8，根据垂径定理可得：
$AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，且$∠ ODA=90°$，
在$Rt△ ODA$中，由勾股定理得：
$OD^2 + AD^2 = OA^2$，
代入数值计算：$OD^2 + 4^2 = 5^2$，
即$OD^2=25-16=9$，
∵OD为线段长度，为正数，
∴$OD=3$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆中线段计算的基础题型，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解，解题时要注意运用圆的半径都相等这一隐含条件。
【难度系数】
0.8
要计算OD的长度，可按以下思路推导：首先题目给出半径OC垂直于弦AB，满足垂径定理的应用条件，我们先连接半径OA，可知OA和OC都是圆的半径，长度相等为5；再根据垂径定理，垂直于弦的半径会平分弦，即可求出弦AB一半的长度；最后在得到的直角三角形ODA中，运用勾股定理就能求出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵OC是⊙O的半径，
∴OA=OC=5，
∵OC⊥AB，AB=8，根据垂径定理可得：
$AD=BD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，且$∠ ODA=90°$，
在$Rt△ ODA$中，由勾股定理得：
$OD^2 + AD^2 = OA^2$，
代入数值计算：$OD^2 + 4^2 = 5^2$，
即$OD^2=25-16=9$，
∵OD为线段长度，为正数，
∴$OD=3$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理，勾股定理
【点评】
本题属于圆中线段计算的基础题型，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理求解，解题时要注意运用圆的半径都相等这一隐含条件。
【难度系数】
0.8
2. 如图，OA,OB,OC都是$\odot O$的半径，AC,OB交于点D.若$AD=CD=8$，$OD=6$，则BD的长为（
A.5
B.4
C.3
D.2
B
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
2. B
解析
【分析】首先观察图形，OA、OC都是$\odot O$的半径，因此$△ OAC$是等腰三角形，已知$AD=CD$，根据等腰三角形三线合一的性质可推出$OB⊥ AC$，得到直角三角形$ODA$；接下来在直角三角形中利用勾股定理求出半径$OA$的长度，$OB$和$OA$同为圆的半径长度相等，最后用$OB$的长度减去$OD$的长度即可得到$BD$的长。
【解析】
解：$\because OA$、$OC$均为$\odot O$的半径，$\therefore OA=OC$，即$△ OAC$是等腰三角形
又$\because AD=CD$，$\therefore OB⊥ AC$（等腰三角形三线合一），即$∠ ODA=90°$
在$\mathrm{Rt}△ ODA$中，$AD=8$，$OD=6$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
$\because OB$是$\odot O$的半径，$\therefore OB=OA=10$
$\therefore BD=OB-OD=10-6=4$
【答案】B
【知识点】等腰三角形三线合一；勾股定理；圆的半径性质
【点评】本题属于基础几何题，解题的核心是先利用等腰三角形的性质得到垂直关系，再结合勾股定理和圆的半径性质计算线段长度，对基础性质的熟练掌握是快速解题的关键。
【难度系数】0.7
【解析】
解：$\because OA$、$OC$均为$\odot O$的半径，$\therefore OA=OC$，即$△ OAC$是等腰三角形
又$\because AD=CD$，$\therefore OB⊥ AC$（等腰三角形三线合一），即$∠ ODA=90°$
在$\mathrm{Rt}△ ODA$中，$AD=8$，$OD=6$，由勾股定理得：
$OA=\sqrt{AD^2+OD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$
$\because OB$是$\odot O$的半径，$\therefore OB=OA=10$
$\therefore BD=OB-OD=10-6=4$
【答案】B
【知识点】等腰三角形三线合一；勾股定理；圆的半径性质
【点评】本题属于基础几何题，解题的核心是先利用等腰三角形的性质得到垂直关系，再结合勾股定理和圆的半径性质计算线段长度，对基础性质的熟练掌握是快速解题的关键。
【难度系数】0.7
3. 数学活动课上,同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径,小明的解决方案是:在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB的垂直平分线CD交AB于点D,交$\overset{\frown}{AB}$于点C,测出AB = 40 cm,CD = 10 cm,则圆形工件的半径为 (
A.50 cm
B.35 cm
C.25 cm
D.20 cm
C
)A.50 cm
B.35 cm
C.25 cm
D.20 cm
答案
3. C
解析
【分析】
遇到残缺圆求半径的问题，首先结合垂径定理思考：垂直于弦的直径平分弦，且弦的垂直平分线必然经过圆心。我们可以先设圆的半径为r，连接圆心与点A得到半径，即可构造出直角三角形，三边分别可以用r和已知长度表示，再利用勾股定理列方程就能求出半径。
【解析】
解：设该残缺圆形工件的圆心为O，半径为$r$ cm，连接OA。
∵ CD是AB的垂直平分线，
∴ 圆心O在直线CD上，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20$（cm），
由图可得$OD=OC-CD=(r-10)$ cm，
在$Rt△ OAD$中，根据勾股定理得：$OA^2=AD^2+OD^2$，
即 $r^2=20^2+(r-10)^2$，
展开得：$r^2=400+r^2-20r+100$，
移项化简得：$20r=500$，
解得：$r=25$。
即圆形工件的半径为25 cm。
【答案】C
【知识点】垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质
【点评】本题是垂径定理在实际几何测量中的典型应用，解题的核心是构造直角三角形，结合方程思想求解，是圆相关计算的基础常考题型。
【难度系数】0.7
遇到残缺圆求半径的问题，首先结合垂径定理思考：垂直于弦的直径平分弦，且弦的垂直平分线必然经过圆心。我们可以先设圆的半径为r，连接圆心与点A得到半径，即可构造出直角三角形，三边分别可以用r和已知长度表示，再利用勾股定理列方程就能求出半径。
【解析】
解：设该残缺圆形工件的圆心为O，半径为$r$ cm，连接OA。
∵ CD是AB的垂直平分线，
∴ 圆心O在直线CD上，$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×40=20$（cm），
由图可得$OD=OC-CD=(r-10)$ cm，
在$Rt△ OAD$中，根据勾股定理得：$OA^2=AD^2+OD^2$，
即 $r^2=20^2+(r-10)^2$，
展开得：$r^2=400+r^2-20r+100$，
移项化简得：$20r=500$，
解得：$r=25$。
即圆形工件的半径为25 cm。
【答案】C
【知识点】垂径定理，勾股定理，线段垂直平分线的性质
【点评】本题是垂径定理在实际几何测量中的典型应用，解题的核心是构造直角三角形，结合方程思想求解，是圆相关计算的基础常考题型。
【难度系数】0.7
4. 如图,在半径为5的$\odot O$中,弦$AB=8$,点$P$是弦$AB$上一动点,则$OP$的最小值为
3
。答案
4. 3
解析
【分析】
要找到动点P在弦AB上时OP的最小值，首先回忆点到直线的距离性质：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，因此当OP垂直于AB时，OP的长度最小。求解这个最短长度时，可连接半径OA，利用垂径定理得到垂足平分弦AB，再在直角三角形中用勾股定理计算OP的长度即可。
【解析】
过点O作OP⊥AB于点P，根据“垂线段最短”可知，此时OP的长度为最小值。
连接OA，
∵ OP⊥AB，AB=8，根据垂径定理，
∴ $AP = \frac{1}{2}AB = 4$，
又
∵⊙O的半径OA=5，
∴ 在Rt△OPA中，由勾股定理得：
$OP = \sqrt{OA^2 - AP^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$
即OP的最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
垂线段最短；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段最值的典型基础题，解题的核心是先根据垂线段最短确定OP取最小值的位置，再结合垂径定理和勾股定理计算即可，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
要找到动点P在弦AB上时OP的最小值，首先回忆点到直线的距离性质：直线外一点到直线上所有点的连线中，垂线段最短，因此当OP垂直于AB时，OP的长度最小。求解这个最短长度时，可连接半径OA，利用垂径定理得到垂足平分弦AB，再在直角三角形中用勾股定理计算OP的长度即可。
【解析】
过点O作OP⊥AB于点P，根据“垂线段最短”可知，此时OP的长度为最小值。
连接OA，
∵ OP⊥AB，AB=8，根据垂径定理，
∴ $AP = \frac{1}{2}AB = 4$，
又
∵⊙O的半径OA=5，
∴ 在Rt△OPA中，由勾股定理得：
$OP = \sqrt{OA^2 - AP^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3$
即OP的最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
垂线段最短；垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段最值的典型基础题，解题的核心是先根据垂线段最短确定OP取最小值的位置，再结合垂径定理和勾股定理计算即可，解题思路清晰，难度不大。
【难度系数】
0.7
5. 如图,两个圆都以点O为圆心.求证:AC = BD. 
答案
证明:如图,过点O作$OE ⊥ AB$于点E,则OE垂直平分CD,AB.
$\therefore CE = DE,AE = BE.$
$\therefore AE - CE = BE - DE,即AC = BD.$
解析
【分析】
要证明$AC=BD$，观察线段关系可得$AC=AE-CE$，$BD=BE-DE$，因此只需证$AE=BE$、$CE=DE$即可。根据垂径定理，过圆心作弦的垂线可平分弦，因此过点O作AB的垂线，就能同时得到大圆弦AB、小圆弦CD的中点，再通过线段差的等量代换即可推出待证结论。
【解析】
证明：过点O作$OE ⊥ AB$于点E，根据垂径定理，OE同时垂直平分大圆的弦AB和小圆的弦CD，
$\therefore CE = DE$，$AE = BE$，
$\therefore AE - CE = BE - DE$，
即$AC=BD$。
【答案】
证明:如图,过点O作$OE ⊥ AB$于点E,则OE垂直平分CD,AB.
$\therefore CE = DE,AE = BE.$
$\therefore AE - CE = BE - DE,即AC = BD.$
【知识点】
垂径定理；线段和差计算
【点评】
本题是垂径定理的基础典型题，作垂直于弦的垂线段是圆类题型的常见辅助线，结合垂径定理得到相等线段后，通过等量代换即可完成证明，需熟练掌握这类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.8
要证明$AC=BD$，观察线段关系可得$AC=AE-CE$，$BD=BE-DE$，因此只需证$AE=BE$、$CE=DE$即可。根据垂径定理，过圆心作弦的垂线可平分弦，因此过点O作AB的垂线，就能同时得到大圆弦AB、小圆弦CD的中点，再通过线段差的等量代换即可推出待证结论。
【解析】
证明：过点O作$OE ⊥ AB$于点E，根据垂径定理，OE同时垂直平分大圆的弦AB和小圆的弦CD，
$\therefore CE = DE$，$AE = BE$，
$\therefore AE - CE = BE - DE$，
即$AC=BD$。
【答案】
证明:如图,过点O作$OE ⊥ AB$于点E,则OE垂直平分CD,AB.
$\therefore CE = DE,AE = BE.$
$\therefore AE - CE = BE - DE,即AC = BD.$
【知识点】
垂径定理；线段和差计算
【点评】
本题是垂径定理的基础典型题，作垂直于弦的垂线段是圆类题型的常见辅助线，结合垂径定理得到相等线段后，通过等量代换即可完成证明，需熟练掌握这类辅助线的构造思路。
【难度系数】
0.8
6.（分类讨论）已知$\odot O$的半径为5，弦$AB// CD$，$AB=6$，$CD=8$，则$AB$与$CD$间的距离为（
A.1
B.7
C.1或7
D.3或4
C
）A.1
B.7
C.1或7
D.3或4
答案
6. C
解析
【分析】
求解两条平行弦的距离时，首先要考虑两条弦与圆心的相对位置，存在两种情况：①两条弦在圆心的同侧；②两条弦在圆心的异侧，需分类讨论避免漏解。解题时可过圆心作两条弦的垂线，结合垂径定理得到半弦长，再在直角三角形中用勾股定理计算两条弦的弦心距，最后根据位置关系求和或作差得到两弦的距离。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，连接OA、OC。
∵AB//CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD。
由垂径定理得：$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$。
在Rt△AOE中，OA=5，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$。
在Rt△COF中，OC=5，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2 - CF^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$。
分两种情况讨论：
①当AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD的距离为$OE-OF=4-3=1$；
②当AB、CD在圆心O的异侧时，AB与CD的距离为$OE+OF=4+3=7$。
综上，AB与CD间的距离为1或7。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略两条平行弦在圆心异侧的情况，解题时要全面考虑平行弦与圆心的位置关系，结合几何定理准确计算，避免漏解。
【难度系数】
0.7
求解两条平行弦的距离时，首先要考虑两条弦与圆心的相对位置，存在两种情况：①两条弦在圆心的同侧；②两条弦在圆心的异侧，需分类讨论避免漏解。解题时可过圆心作两条弦的垂线，结合垂径定理得到半弦长，再在直角三角形中用勾股定理计算两条弦的弦心距，最后根据位置关系求和或作差得到两弦的距离。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，延长EO交CD于点F，连接OA、OC。
∵AB//CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD。
由垂径定理得：$AE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×6=3$，$CF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×8=4$。
在Rt△AOE中，OA=5，由勾股定理得：
$OE=\sqrt{OA^2 - AE^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{16}=4$。
在Rt△COF中，OC=5，由勾股定理得：
$OF=\sqrt{OC^2 - CF^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$。
分两种情况讨论：
①当AB、CD在圆心O的同侧时，AB与CD的距离为$OE-OF=4-3=1$；
②当AB、CD在圆心O的异侧时，AB与CD的距离为$OE+OF=4+3=7$。
综上，AB与CD间的距离为1或7。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；分类讨论思想
【点评】
本题的易错点是忽略两条平行弦在圆心异侧的情况，解题时要全面考虑平行弦与圆心的位置关系，结合几何定理准确计算，避免漏解。
【难度系数】
0.7
7.(应用能力)唐代桨轮船是原始形态的轮船.如图,某桨轮船的轮子被水面截得的弦AB长为6 m,轮子的吃水深度CD为1.5 m,求该桨轮船的轮子半径.
答案
7. 解:如图,连接OB.
$\because OC ⊥ AB,AB = 6 \ \mathrm{m},$
$\therefore BD = \frac{1}{2}AB = 3(\ \mathrm{m}).$
$\because CD = 1.5 \ \mathrm{m},设OB = OC = r \ \mathrm{m},$
$\therefore OD = (r - 1.5)\mathrm{m}.$
在$\mathrm{Rt}△BOD$中,由勾股定理,得
$r^2 = (r - 1.5)^2 + 3^2.$
解得$r = 3.75.$
答:该桨轮船的轮子半径为3.75 m.
解析
【分析】
本题是圆的实际应用问题，看到圆中垂直于弦的线段，优先考虑垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。我们可以通过连接半径OB构造直角三角形，将已知的弦长AB、吃水深度CD和未知的半径放到同一个直角三角形中，再利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
如图，连接OB，
∵ OC⊥AB，AB = 6 m，
∴ 由垂径定理得BD = $\frac{1}{2}$AB = 3 m，
∵ CD = 1.5 m，设轮子半径OB = OC = r m，
∴ OD = OC - CD = (r - 1.5) m，
在Rt△BOD中，根据勾股定理，有OB² = OD² + BD²，
代入数据得：$r^2 = (r - 1.5)^2 + 3^2$，
展开计算：$r^2 = r^2 - 3r + 2.25 + 9$，
化简得3r = 11.25，解得r = 3.75。
【答案】
7. 解:如图,连接OB.
$\because OC ⊥ AB,AB = 6 \ \mathrm{m},$
$\therefore BD = \frac{1}{2}AB = 3(\ \mathrm{m}).$
$\because CD = 1.5 \ \mathrm{m},设OB = OC = r \ \mathrm{m},$
$\therefore OD = (r - 1.5)\mathrm{m}.$
在$\mathrm{Rt}△BOD$中,由勾股定理,得
$r^2 = (r - 1.5)^2 + 3^2.$
解得$r = 3.75.$
答:该桨轮船的轮子半径为3.75 m.
【知识点】
垂径定理；勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题将实际生活中的桨轮船轮子问题转化为圆的几何计算问题，侧重考查垂径定理和勾股定理的综合运用，是典型的几何实际应用类基础题，有助于培养学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.75
本题是圆的实际应用问题，看到圆中垂直于弦的线段，优先考虑垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。我们可以通过连接半径OB构造直角三角形，将已知的弦长AB、吃水深度CD和未知的半径放到同一个直角三角形中，再利用勾股定理列方程求解即可得到半径长度。
【解析】
如图，连接OB，
∵ OC⊥AB，AB = 6 m，
∴ 由垂径定理得BD = $\frac{1}{2}$AB = 3 m，
∵ CD = 1.5 m，设轮子半径OB = OC = r m，
∴ OD = OC - CD = (r - 1.5) m，
在Rt△BOD中，根据勾股定理，有OB² = OD² + BD²，
代入数据得：$r^2 = (r - 1.5)^2 + 3^2$，
展开计算：$r^2 = r^2 - 3r + 2.25 + 9$，
化简得3r = 11.25，解得r = 3.75。
【答案】
7. 解:如图,连接OB.
$\because OC ⊥ AB,AB = 6 \ \mathrm{m},$
$\therefore BD = \frac{1}{2}AB = 3(\ \mathrm{m}).$
$\because CD = 1.5 \ \mathrm{m},设OB = OC = r \ \mathrm{m},$
$\therefore OD = (r - 1.5)\mathrm{m}.$
在$\mathrm{Rt}△BOD$中,由勾股定理,得
$r^2 = (r - 1.5)^2 + 3^2.$
解得$r = 3.75.$
答:该桨轮船的轮子半径为3.75 m.
【知识点】
垂径定理；勾股定理；方程思想应用
【点评】
本题将实际生活中的桨轮船轮子问题转化为圆的几何计算问题，侧重考查垂径定理和勾股定理的综合运用，是典型的几何实际应用类基础题，有助于培养学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.75
8. 如图，$△ ABC$中，$AB=4$，$AC=5$，$BC=2$，以点$A$为圆心，$AC$长为半径作$\odot A$，延长$CB$交$\odot A$于点$D$，则$BD$的长为
$\frac{9}{2}$
。答案
8. $\frac{9}{2}$
解析
【分析】
要求BD的长度，我们可以先作辅助线：过圆心A作弦CD的垂线AH，根据垂径定理可知H是CD的中点，即CD=2CH。接下来我们可以设CH的长度为x，利用两个直角三角形△ACH和△ABH的公共直角边AH，结合勾股定理列出关于x的方程，求解得到CH的长度后，就能算出CD的总长度，最后用CD减去BC的长度就得到BD的长度了。
【解析】
过点A作AH⊥CD于点H。
∵CD是⊙A的弦，AH⊥CD，
∴根据垂径定理，DH=CH，即CD=2CH。
设CH=x，在Rt△ACH和Rt△ABH中，由勾股定理得：
$AH^2 = AC^2 - CH^2 = AB^2 - BH^2$
∵$BH = |CH - BC| = |x - 2|$，已知AB=4，AC=5，BC=2，代入得：
$5^2 - x^2 = 4^2 - (x - 2)^2$
展开计算：
$25 - x^2 = 16 - (x^2 - 4x + 4)$
$25 - x^2 = 12 + 4x - x^2$
消去同类项后解得$x=\frac{13}{4}$，
∴$CD=2x=\frac{13}{2}$，
∴$BD=CD - BC=\frac{13}{2} - 2=\frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题型，解题的核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理列方程求解，需要掌握辅助线的构造思路和方程思想的应用。
【难度系数】
0.65
要求BD的长度，我们可以先作辅助线：过圆心A作弦CD的垂线AH，根据垂径定理可知H是CD的中点，即CD=2CH。接下来我们可以设CH的长度为x，利用两个直角三角形△ACH和△ABH的公共直角边AH，结合勾股定理列出关于x的方程，求解得到CH的长度后，就能算出CD的总长度，最后用CD减去BC的长度就得到BD的长度了。
【解析】
过点A作AH⊥CD于点H。
∵CD是⊙A的弦，AH⊥CD，
∴根据垂径定理，DH=CH，即CD=2CH。
设CH=x，在Rt△ACH和Rt△ABH中，由勾股定理得：
$AH^2 = AC^2 - CH^2 = AB^2 - BH^2$
∵$BH = |CH - BC| = |x - 2|$，已知AB=4，AC=5，BC=2，代入得：
$5^2 - x^2 = 4^2 - (x - 2)^2$
展开计算：
$25 - x^2 = 16 - (x^2 - 4x + 4)$
$25 - x^2 = 12 + 4x - x^2$
消去同类项后解得$x=\frac{13}{4}$，
∴$CD=2x=\frac{13}{2}$，
∴$BD=CD - BC=\frac{13}{2} - 2=\frac{9}{2}$。
【答案】
$\frac{9}{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题是圆与三角形结合的典型题型，解题的核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理和勾股定理列方程求解，需要掌握辅助线的构造思路和方程思想的应用。
【难度系数】
0.65
