7. 如果$a=-1^2$，$b=(3-π)^0$，$c=(-\frac{1}{10})^{-1}$，那么$a,b,c$的大小关系为（）.

A.$a=b＞c$
B.$b＞a＞c$
C.$c＞b=a$
D.$c＞a＞b$

B

【分析】
要比较a、b、c的大小，首先需要根据整数指数幂的相关运算规则，分别计算出a、b、c的具体数值，再按照有理数大小比较的规则排序，最后匹配对应选项即可。计算时要注意区分$-1^2$和$(-1)^2$的运算顺序，以及零指数幂、负整数指数幂的运算要求。
【解析】
第一步：计算a的值：
乘方运算优先于负号运算，因此$a=-1^2=-1$；
第二步：计算b的值：
根据零指数幂的规则：任何非0数的0次幂都等于1，因为$3-π≠0$，所以$b=(3-π)^0=1$；
第三步：计算c的值：
根据负整数指数幂的规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数），因此$c=(-\frac{1}{10})^{-1}=\frac{1}{(-\frac{1}{10})^1}=-10$；
第四步：比较大小：
$1＞-1＞-10$，即$b＞a＞c$。
【答案】
B
【知识点】
零指数幂运算，负整数指数幂运算，有理数大小比较
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查整数指数幂的运算规则，解题的易错点是容易忽略负号与乘方的运算顺序，以及负整数指数幂的运算变形，只要熟练掌握相关运算规则就能快速求解。
【难度系数】
0.7

8. 在算式$(-3)□(-4)^{-2} · \left| -\dfrac{1}{5} \right|$中的“”里填入一个运算符号，使得它的结果最小().

A.+
B.-
C.×
D.÷

D

【分析】要找出使算式结果最小的运算符号，首先先化简算式中固定的负整数指数幂和绝对值，再将四个选项的运算符号分别代入计算结果，最后比较四个结果的大小即可。解题步骤：第一步先计算$(-4)^{-2}$和$\left| -\dfrac{1}{5} \right|$的值；第二步依次代入四个运算符号算出对应结果；第三步比较结果大小，确定最小结果对应的选项。
【解析】先化简固定运算部分：
1. 负整数指数幂计算：$(-4)^{-2}=\dfrac{1}{(-4)^2}=\dfrac{1}{16}$
2. 绝对值化简：$\left| -\dfrac{1}{5} \right|=\dfrac{1}{5}$
分别代入四个运算符号计算：
A. 填入“$+$”时：
原式$=(-3)+\dfrac{1}{16}×\dfrac{1}{5}=-3+\dfrac{1}{80}=-\dfrac{239}{80}=-2.9875$
B. 填入“$-$”时：
原式$=(-3)-\dfrac{1}{16}×\dfrac{1}{5}=-3-\dfrac{1}{80}=-\dfrac{241}{80}=-3.0125$
C. 填入“$×$”时：
原式$=(-3)×\dfrac{1}{16}×\dfrac{1}{5}=-\dfrac{3}{80}=-0.0375$
D. 填入“$÷$”时：
原式$=(-3)÷\dfrac{1}{16}×\dfrac{1}{5}=(-3)×16×\dfrac{1}{5}=-\dfrac{48}{5}=-9.6$
比较结果大小：$-9.6 ＜ -3.0125 ＜ -2.9875 ＜ -0.0375$，可知填入“$÷$”时结果最小。
【答案】D
【知识点】负整数指数幂运算；绝对值化简；有理数大小比较
【点评】本题考查有理数的混合运算，解题核心是熟练掌握负整数指数幂的运算法则、绝对值性质，按照运算顺序准确计算各情况的结果再比较即可，注意负数比较大小时，绝对值越大的负数数值越小。
【难度系数】0.7

9.已知实数$a,b$满足$(a-2)^2 + |b+1| = 0$，则$a^b=$

$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$

【分析】
解题时首先观察已知等式的特征：等式是平方项与绝对值的和为0。我们已学过平方数和绝对值都具有非负性（即取值≥0），根据非负数的性质：若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0，因此可以分别列方程求出a、b的取值，再结合负整数指数幂的运算法则代入计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵ 平方数和绝对值均为非负数，即$(a-2)^2≥0$，$|b+1|≥0$，且$(a-2)^2 + |b+1| = 0$
∴ 可得：
$\begin{cases}a-2=0 \\b+1=0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}a=2 \\b=-1\end{cases}$
根据负整数指数幂的运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），代入得：
$a^b=2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
非负数的性质；负整数指数幂的运算
【点评】
本题是基础运算题，核心考点是非负数的性质和负整数指数幂的计算规则，熟练掌握上述两个知识点即可快速求解。
【难度系数】
0.9

10.若$(x-1)^0 - (3x-6)^{-2}$有意义，则x的取值范围是.

解：
要使$(x-1)^0 - (3x-6)^{-2}$有意义，需满足两部分都有意义：
1. 对于零指数幂$(x-1)^0$，底数不能为0：
$x-1≠0$，解得$x≠1$。
2. 对于负整数指数幂$(3x-6)^{-2}$，底数不能为0：
$3x-6≠0$，解得$x≠2$。
综上，$x$的取值范围是$x≠1$且$x≠2$。

【分析】
要判断式子有意义的x的取值范围，首先观察式子由零指数幂和负整数指数幂两部分组成，需保证两部分各自都有意义。回忆相关性质：①零指数幂$a^0$有意义的前提是底数$a≠0$；②负整数指数幂$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（p为正整数）有意义的前提也是底数$a≠0$。因此只需分别令两个幂的底数不等于0，解出x的范围后取公共部分即可。
【解析】
要使$(x-1)^0 - (3x-6)^{-2}$有意义，需满足两个部分均有意义：
1. 对于零指数幂$(x-1)^0$，底数不能为0：
$x-1≠0$，解得$x≠1$
2. 对于负整数指数幂$(3x-6)^{-2}$，底数不能为0：
$3x-6≠0$，移项得$3x≠6$，解得$x≠2$
综上，x的取值范围是$x≠1$且$x≠2$。
【答案】
$x≠1$且$x≠2$
【知识点】
零指数幂的意义；负整数指数幂的意义
【点评】
本题考查整数指数幂有意义的限制条件，解题时需要逐一分析式子中每类运算的适用要求，不要遗漏任何一个底数不为0的限制，容易出现漏记负整数指数幂底数要求的错误。
【难度系数】
0.75

11. 计算:
(1) $8ab^{2}c÷(-4a^{-2}bc^{-1})·(-\dfrac{1}{3}ab^{-3})^{2}$;
(2) $(\dfrac{a^{-2}-b^{-2}}{a^{-1}-b^{-1}})^{2}·(a^{-1}+b^{-1})^{-2}$.

解：
(1) 先计算乘方运算：
$(-\dfrac{1}{3}ab^{-3})^2 = \dfrac{1}{9}a^2b^{-6}$
原式$=8ab^2c ÷ (-4a^{-2}bc^{-1}) · \dfrac{1}{9}a^2b^{-6}$
$=[8÷(-4)×\dfrac{1}{9}] · a^{1-(-2)+2} · b^{2-1-6} · c^{1-(-1)}$
$=-\dfrac{2}{9}a^5b^{-5}c^2$
$=-\dfrac{2a^5c^2}{9b^5}$
(2) 由平方差公式因式分解得：
$a^{-2}-b^{-2}=(a^{-1})^2-(b^{-1})^2=(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1})$
原式$=[\dfrac{(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1})}{a^{-1}-b^{-1}}]^2 · (a^{-1}+b^{-1})^{-2}$
$=(a^{-1}+b^{-1})^2 · (a^{-1}+b^{-1})^{-2}$
$=(a^{-1}+b^{-1})^{2-2}$
$=(a^{-1}+b^{-1})^0$
$=1$

【分析】
(1) 含整数指数幂的混合运算遵循“先乘方，再乘除”的运算顺序：第一步先计算乘方项$(-\frac{1}{3}ab^{-3})^2$，再将剩余的乘除运算按从左到右的顺序计算，计算时系数、相同字母的幂分别单独运算，同底数幂相除底数不变指数相减，相乘底数不变指数相加，最后把负指数幂转化为正指数幂即可。
(2) 观察式子分子$a^{-2}-b^{-2}$符合平方差公式的结构，先利用平方差公式对分子因式分解，约分简化括号内的分式后，再结合幂的乘方、同底数幂的运算规则计算，最后利用零指数幂的性质得到结果。
【解析】
(1) 先计算乘方运算：
$(-\dfrac{1}{3}ab^{-3})^2 = \dfrac{1}{9}a^2b^{-6}$
原式$=8ab^2c ÷ (-4a^{-2}bc^{-1}) · \dfrac{1}{9}a^2b^{-6}$
分别计算系数、各字母的指数：
$=[8÷(-4)×\dfrac{1}{9}] · a^{1-(-2)+2} · b^{2-1-6} · c^{1-(-1)}$
$=-\dfrac{2}{9}a^5b^{-5}c^2$
将负指数化为正指数：
$=-\dfrac{2a^5c^2}{9b^5}$
(2) 先利用平方差公式因式分解分子：
$a^{-2}-b^{-2}=(a^{-1})^2-(b^{-1})^2=(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1})$（隐含条件：$a≠0,b≠0,a≠b$）
代入原式约分：
原式$=[\dfrac{(a^{-1}-b^{-1})(a^{-1}+b^{-1})}{a^{-1}-b^{-1}}]^2 · (a^{-1}+b^{-1})^{-2}$
$=(a^{-1}+b^{-1})^2 · (a^{-1}+b^{-1})^{-2}$
根据同底数幂运算规则：
$=(a^{-1}+b^{-1})^{2-2}$
$=(a^{-1}+b^{-1})^0$
根据零指数幂性质：
$=1$
【答案】
(1) $-\dfrac{2a^5c^2}{9b^5}$；(2) $1$
【知识点】
整数指数幂运算、平方差公式、零指数幂性质
【点评】
本题考查整数指数幂的综合运算，解题时要严格遵循运算顺序，优先处理乘方运算，遇到可因式分解的代数式先分解约分可大幅降低计算量，运算过程中要注意指数的加减规则，以及负指数幂、零指数幂的成立条件，避免出现符号、指数计算错误。
【难度系数】
0.7

12.（运算能力）对实数$ a,b $，定义运算☆如下：
$ a☆b=\begin{cases}a^b & (a＞b,a≠0), \\a^{-b} & (a≤b,a≠0),\end{cases} $
例如$ 2☆3=2^{-3}=\dfrac{1}{8} $. 计算：$ [2☆(-4)]☆1=\_\_\_\_\_\_ $.

解：
先计算括号内的运算：
∵ $2 ＞ -4$，
∴ $2☆(-4) = 2^{-4} = \dfrac{1}{2^4} = \dfrac{1}{16}$。
再计算后续运算：
∵ $\dfrac{1}{16} ＜ 1$，
∴ $\dfrac{1}{16}☆1 = (\dfrac{1}{16})^{-1} = 16$。
最终结果：$\boldsymbol{16}$

【分析】
本题是新定义运算类题目，解题时首先要明确☆运算的规则：先比较参与运算的两个数a、b的大小，再根据大小关系选择对应的幂运算公式计算；运算顺序遵循有理数混合运算顺序，先算括号内的部分，再算括号外的部分。第一步先计算2☆(-4)，先比较2和-4的大小，选择对应公式算出结果，第二步再将所得结果与1进行☆运算，再次比较大小选公式计算即可得到最终结果。
【解析】
首先计算括号内的$2☆(-4)$：
$\because 2 ＞ -4$，符合$a＞b(a≠0)$的运算规则，
$\therefore 2☆(-4)=2^{-4}=\dfrac{1}{2^4}=\dfrac{1}{16}$。
接下来计算$\dfrac{1}{16}☆1$：
$\because \dfrac{1}{16} ＜ 1$，符合$a≤b(a≠0)$的运算规则，
$\therefore \dfrac{1}{16}☆1=(\dfrac{1}{16})^{-1}=16$。
【答案】
$\boldsymbol{16}$
【知识点】
新定义运算，负整数指数幂，实数大小比较
【点评】
本题重点考查对新定义运算规则的理解运用和负整数指数幂的计算能力，解题的核心是先准确把握运算规则，每次运算前先比较两个数的大小再选择对应的运算公式，计算时注意负整数指数幂的运算法则不要用错。
【难度系数】
0.7

13.(几何直观)(1)仔细观察如图的图形,利用面积关系写出一个等式:$a^2 + b^2 =$ ;
(2)根据(1)中的等式解决问题:已知$m+n=4, mn=-2$,求$m^2 +n^2$的值;
(3)小明根据(1)中的等式还解决了以下问题:
已知$m+\frac{1}{m}=3$,求$m^2+\frac{1}{m^2}$和$m^3+\frac{1}{m^3}$的值.
小明的解法:
$m^2+\frac{1}{m^2}=(m+\frac{1}{m})^2 -2=3^2 -2=7$.
$\because (m+\frac{1}{m})(m^2+\frac{1}{m^2})=m^3+\frac{1}{m}+m+\frac{1}{m^3}$,
$\therefore m^3+\frac{1}{m^3}=(m+\frac{1}{m})(m^2+\frac{1}{m^2})-(m+\frac{1}{m})=3×7 -3=18$.
请你仔细理解小明的解法,求$m^5 + m^{-5}$的值.

解：
(1) $(a+b)^2 - 2ab$
(2) 已知$m+n=4$，$mn=-2$，代入(1)中的等式：
$m^2 + n^2 = (m+n)^2 - 2mn = 4^2 - 2×(-2) = 16 + 4 = 20$
(3) 由已知可得$m^2+\frac{1}{m^2}=7$，$m^3+\frac{1}{m^3}=18$，
$\because (m^3 + \frac{1}{m^3})(m^2 + \frac{1}{m^2}) = m^5 + m + \frac{1}{m} + \frac{1}{m^5}$，
$\therefore m^5 + \frac{1}{m^5} = (m^3 + \frac{1}{m^3})(m^2 + \frac{1}{m^2}) - (m + \frac{1}{m})$
将$m+\frac{1}{m}=3$，$m^2+\frac{1}{m^2}=7$，$m^3+\frac{1}{m^3}=18$代入上式：
$m^5 + m^{-5} = 18×7 - 3 = 126 - 3 = 123$

【分析】
(1) 观察图形可知，边长为$(a+b)$的大正方形面积为$(a+b)^2$，内部两个空白长方形的面积均为$ab$，总面积是$2ab$，两个阴影正方形的面积和为$a^2+b^2$，根据“大正方形面积=两个阴影正方形面积和+两个空白长方形面积和”，变形即可得到$a^2+b^2$的表达式。
(2) 第二问直接套用第一问推导的完全平方变形公式，把$m+n$、$mn$的值代入计算即可得到$m^2+n^2$的值。
(3) 第三问参考给出的解法思路，要求$m^5+m^{-5}$（即$m^5+\frac{1}{m^5}$），可以将$m^3+\frac{1}{m^3}$与$m^2+\frac{1}{m^2}$相乘，展开后会出现$m^5+\frac{1}{m^5}$和$m+\frac{1}{m}$，移项后把已知的对应值代入计算即可。
【解析】
(1) 大正方形面积为$(a+b)^2$，两个空白长方形面积和为$2ab$，因此$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$。
(2) 将$m+n=4$，$mn=-2$代入上述公式：
$m^2 + n^2 = (m+n)^2 - 2mn = 4^2 - 2×(-2) = 16 + 4 = 20$。
(3) 由已知可得$m+\frac{1}{m}=3$，$m^2+\frac{1}{m^2}=7$，$m^3+\frac{1}{m^3}=18$，
先展开$(m^3 + \frac{1}{m^3})(m^2 + \frac{1}{m^2})$：
$(m^3 + \frac{1}{m^3})(m^2 + \frac{1}{m^2}) = m^5 + m + \frac{1}{m} + \frac{1}{m^5}$，
移项得：
$m^5 + \frac{1}{m^5} = (m^3 + \frac{1}{m^3})(m^2 + \frac{1}{m^2}) - (m + \frac{1}{m})$，
代入数值计算：
$m^5 + m^{-5} = 18×7 - 3 = 126 - 3 = 123$。
【答案】
(1) $(a+b)^2 - 2ab$；(2) $20$；(3) $123$
【知识点】
完全平方公式变形，代数式求值，幂的运算
【点评】
本题依托几何图形推导常用代数变形公式，层层递进设置问题，既考查了几何直观能力，也考查了公式的灵活迁移应用能力，通过类比已给解法求解高次幂代数式的值，能很好地锻炼逻辑推理和代数运算能力。
【难度系数】
0.7