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3. 定义一种运算“☆”，其规则为$a☆b=a^{-b}$，根据这个规则计算$2☆3$的值是________。
答案
解：
根据运算规则$a☆b=a^{-b}$，代入$a=2$，$b=3$，得
$2☆3=2^{-3}$
$=\frac{1}{2^3}$
$=\frac{1}{8}$
根据运算规则$a☆b=a^{-b}$，代入$a=2$，$b=3$，得
$2☆3=2^{-3}$
$=\frac{1}{2^3}$
$=\frac{1}{8}$
解析
【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：第一步先读懂题目给出的运算规则“$a☆b=a^{-b}$”，明确运算中两个数的对应关系；第二步将所求式子$2☆3$中的2对应规则里的$a$，3对应规则里的$b$，代入得到幂的形式；第三步利用负整数指数幂的运算法则计算出最终结果即可。
【解析】
根据给定的运算规则$a☆b=a^{-b}$，代入$a=2$，$b=3$，得：
$2☆3=2^{-3}$
根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），计算得：
$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
新定义运算、负整数指数幂运算
【点评】
本题侧重考查基础运算能力，只要准确理解新运算的对应规则，牢记负整数指数幂的运算性质，就能轻松求解。
【难度系数】
0.9
本题是新定义运算类题目，解题思路如下：第一步先读懂题目给出的运算规则“$a☆b=a^{-b}$”，明确运算中两个数的对应关系；第二步将所求式子$2☆3$中的2对应规则里的$a$，3对应规则里的$b$，代入得到幂的形式；第三步利用负整数指数幂的运算法则计算出最终结果即可。
【解析】
根据给定的运算规则$a☆b=a^{-b}$，代入$a=2$，$b=3$，得：
$2☆3=2^{-3}$
根据负整数指数幂的运算法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），计算得：
$2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$
【答案】
$\frac{1}{8}$
【知识点】
新定义运算、负整数指数幂运算
【点评】
本题侧重考查基础运算能力，只要准确理解新运算的对应规则，牢记负整数指数幂的运算性质，就能轻松求解。
【难度系数】
0.9
4. 计算下列各式，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式.
(1) $(a^{-1}b^{2})^{3}$；
(2) $(a^{-2}b^{2}) · (a^{2}b^{-2})^{-3}$.
(1) $(a^{-1}b^{2})^{3}$；
(2) $(a^{-2}b^{2}) · (a^{2}b^{-2})^{-3}$.
答案
解：
(1) 原式$=(a^{-1})^3 · (b^2)^3$
$=a^{-3}b^6$
$=\dfrac{b^6}{a^3}$
(2) 原式$=(a^{-2}b^2) · (a^{2})^{-3} · (b^{-2})^{-3}$
$=a^{-2}b^2 · a^{-6}b^{6}$
$=a^{-8}b^8$
$=\dfrac{b^8}{a^8}$
(1) 原式$=(a^{-1})^3 · (b^2)^3$
$=a^{-3}b^6$
$=\dfrac{b^6}{a^3}$
(2) 原式$=(a^{-2}b^2) · (a^{2})^{-3} · (b^{-2})^{-3}$
$=a^{-2}b^2 · a^{-6}b^{6}$
$=a^{-8}b^8$
$=\dfrac{b^8}{a^8}$
解析
【分析】
解决本题需要熟练运用整数指数幂的相关运算法则，解题思路如下：①积的乘方运算：需将积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；②幂的乘方运算：遵循“底数不变，指数相乘”的规则；③同底数幂相乘：遵循“底数不变，指数相加”的规则；④最后根据负整数指数幂的意义（$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$，$a≠0$，$p$为正整数），将结果化为只含正整数指数幂的形式。
第(1)题先利用积的乘方法则展开，再计算幂的乘方，最后转化负指数即可；第(2)题先计算后项的乘方运算，再利用同底数幂的乘法法则计算，最后转化负指数得到结果。
【解析】
(1) 原式$=(a^{-1})^3 · (b^2)^3$
$=a^{-3}b^6$
$=\dfrac{b^6}{a^3}$
(2) 原式$=(a^{-2}b^2) · (a^{2})^{-3} · (b^{-2})^{-3}$
$=a^{-2}b^2 · a^{-6}b^{6}$
$=a^{-2+(-6)}b^{2+6}$
$=a^{-8}b^8$
$=\dfrac{b^8}{a^8}$
【答案】
(1) $\dfrac{b^6}{a^3}$；(2) $\dfrac{b^8}{a^8}$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，负整数指数幂化简
【点评】
本题属于整数指数幂运算的基础题型，核心考查幂的基本运算规则的应用，解题时需注意指数运算的符号变化，熟练掌握各类幂的运算性质，最后确保结果符合只含正整数指数幂的要求即可。
【难度系数】
0.85
解决本题需要熟练运用整数指数幂的相关运算法则，解题思路如下：①积的乘方运算：需将积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；②幂的乘方运算：遵循“底数不变，指数相乘”的规则；③同底数幂相乘：遵循“底数不变，指数相加”的规则；④最后根据负整数指数幂的意义（$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}$，$a≠0$，$p$为正整数），将结果化为只含正整数指数幂的形式。
第(1)题先利用积的乘方法则展开，再计算幂的乘方，最后转化负指数即可；第(2)题先计算后项的乘方运算，再利用同底数幂的乘法法则计算，最后转化负指数得到结果。
【解析】
(1) 原式$=(a^{-1})^3 · (b^2)^3$
$=a^{-3}b^6$
$=\dfrac{b^6}{a^3}$
(2) 原式$=(a^{-2}b^2) · (a^{2})^{-3} · (b^{-2})^{-3}$
$=a^{-2}b^2 · a^{-6}b^{6}$
$=a^{-2+(-6)}b^{2+6}$
$=a^{-8}b^8$
$=\dfrac{b^8}{a^8}$
【答案】
(1) $\dfrac{b^6}{a^3}$；(2) $\dfrac{b^8}{a^8}$
【知识点】
积的乘方运算，幂的乘方运算，负整数指数幂化简
【点评】
本题属于整数指数幂运算的基础题型，核心考查幂的基本运算规则的应用，解题时需注意指数运算的符号变化，熟练掌握各类幂的运算性质，最后确保结果符合只含正整数指数幂的要求即可。
【难度系数】
0.85
5. 已知整数 $ a $ 满足 $ (\frac{1}{8})^{-a}=8^0×4^{-3}×2^3 $，试求 $ a $ 的值.
答案
解：先化简等式右侧：
$8^0=1$，$4^{-3}=(2^2)^{-3}=2^{-6}$，
因此右侧$=1× 2^{-6}× 2^3=2^{-6+3}=2^{-3}$。
再化简等式左侧：
$\frac{1}{8}=2^{-3}$，因此左侧$=(2^{-3})^{-a}=2^{3a}$。
由此可得$2^{3a}=2^{-3}$，底数相同则指数相等：
$3a=-3$，
解得$a=-1$。
$8^0=1$，$4^{-3}=(2^2)^{-3}=2^{-6}$，
因此右侧$=1× 2^{-6}× 2^3=2^{-6+3}=2^{-3}$。
再化简等式左侧：
$\frac{1}{8}=2^{-3}$，因此左侧$=(2^{-3})^{-a}=2^{3a}$。
由此可得$2^{3a}=2^{-3}$，底数相同则指数相等：
$3a=-3$，
解得$a=-1$。
解析
【分析】
本题是利用整数指数幂的运算性质求参数的值，解题思路如下：首先观察等式两边的底数都可以转化为以2为底的幂，因此我们先分别化简等式的左右两边，将其统一为同底数幂的形式，再根据“同底数幂相等时，指数相等”的性质列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
先化简等式右侧：
根据零指数幂的性质，$8^0=1$；
将4转化为$2^2$，根据幂的乘方运算规则，$4^{-3}=(2^2)^{-3}=2^{-6}$；
再根据同底数幂的乘法规则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此右侧$=1× 2^{-6}× 2^3=2^{-6+3}=2^{-3}$。
再化简等式左侧：
将$\frac{1}{8}$转化为$2^{-3}$，根据幂的乘方运算规则，左侧$=(2^{-3})^{-a}=2^{(-3)×(-a)}=2^{3a}$。
因为左右两边相等，底数相同则指数相等，可得方程：
$3a=-3$
解得$a=-1$。
【答案】
$a=-1$
【知识点】
整数指数幂运算；幂的乘方；同底数幂乘法
【点评】
本题核心考查整数指数幂的相关运算性质，解题的关键是将等式两侧统一为同底数幂的形式，进而转化为一元一次方程求解，熟练掌握各类指数幂的运算法则是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8
本题是利用整数指数幂的运算性质求参数的值，解题思路如下：首先观察等式两边的底数都可以转化为以2为底的幂，因此我们先分别化简等式的左右两边，将其统一为同底数幂的形式，再根据“同底数幂相等时，指数相等”的性质列出关于a的一元一次方程，解方程即可求出a的值。
【解析】
先化简等式右侧：
根据零指数幂的性质，$8^0=1$；
将4转化为$2^2$，根据幂的乘方运算规则，$4^{-3}=(2^2)^{-3}=2^{-6}$；
再根据同底数幂的乘法规则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此右侧$=1× 2^{-6}× 2^3=2^{-6+3}=2^{-3}$。
再化简等式左侧：
将$\frac{1}{8}$转化为$2^{-3}$，根据幂的乘方运算规则，左侧$=(2^{-3})^{-a}=2^{(-3)×(-a)}=2^{3a}$。
因为左右两边相等，底数相同则指数相等，可得方程：
$3a=-3$
解得$a=-1$。
【答案】
$a=-1$
【知识点】
整数指数幂运算；幂的乘方；同底数幂乘法
【点评】
本题核心考查整数指数幂的相关运算性质，解题的关键是将等式两侧统一为同底数幂的形式，进而转化为一元一次方程求解，熟练掌握各类指数幂的运算法则是解决此类问题的基础。
【难度系数】
0.8
1. (1)(2025昆明期中)要使代数式$(5-x)^0$有意义，则$x$的取值范围是________；
(2)若代数式$(x-3)^{-1}$有意义，则$x$的取值范围是________。
(2)若代数式$(x-3)^{-1}$有意义，则$x$的取值范围是________。
答案
(1) $\boldsymbol{x ≠ 5}$；(2) $\boldsymbol{x ≠ 3}$
解析
【分析】
解决本题的核心是明确两类整数指数幂有意义的条件：①零指数幂规定：任何不等于0的数的0次幂等于1，因此零指数幂有意义的前提是底数不为0；②负整数指数幂规定：任何不等于0的数的-p（p为正整数）次幂，等于这个数p次幂的倒数，因此负整数指数幂有意义的前提也是底数不为0。我们只需要分别让两个代数式的底数不等于0，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 要使$(5-x)^0$有意义，根据零指数幂的定义，底数不能为0，可得：
$5-x≠0$
解得 $x≠5$
(2) 要使$(x-3)^{-1}$有意义，根据负整数指数幂的定义，底数不能为0，可得：
$x-3≠0$
解得 $x≠3$
【答案】
(1) $x ≠ 5$；(2) $x ≠ 3$
【知识点】
零指数幂的意义、负整数指数幂的意义
【点评】
本题属于整数指数幂的基础题型，解题的关键是牢记零指数幂和负整数指数幂有意义时底数均不能为0，易错点是忽略底数的限制条件，错误认为任意数的0次幂或负整数次幂都有意义。
【难度系数】
0.9
解决本题的核心是明确两类整数指数幂有意义的条件：①零指数幂规定：任何不等于0的数的0次幂等于1，因此零指数幂有意义的前提是底数不为0；②负整数指数幂规定：任何不等于0的数的-p（p为正整数）次幂，等于这个数p次幂的倒数，因此负整数指数幂有意义的前提也是底数不为0。我们只需要分别让两个代数式的底数不等于0，解不等式即可得到x的取值范围。
【解析】
(1) 要使$(5-x)^0$有意义，根据零指数幂的定义，底数不能为0，可得：
$5-x≠0$
解得 $x≠5$
(2) 要使$(x-3)^{-1}$有意义，根据负整数指数幂的定义，底数不能为0，可得：
$x-3≠0$
解得 $x≠3$
【答案】
(1) $x ≠ 5$；(2) $x ≠ 3$
【知识点】
零指数幂的意义、负整数指数幂的意义
【点评】
本题属于整数指数幂的基础题型，解题的关键是牢记零指数幂和负整数指数幂有意义时底数均不能为0，易错点是忽略底数的限制条件，错误认为任意数的0次幂或负整数次幂都有意义。
【难度系数】
0.9
2. 计算:
(1)$3^{-2} =$ ；
(2)$(\sqrt{3} - 1)^0 =$ ；
(3)$(-\dfrac{1}{2})^{-1} =$ .
(1)$3^{-2} =$ ；
(2)$(\sqrt{3} - 1)^0 =$ ；
(3)$(-\dfrac{1}{2})^{-1} =$ .
答案
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{9}}$；(2) $\boldsymbol{1}$；(3) $\boldsymbol{-2}$。
解析
【分析】
这三道题均考查整数指数幂的相关运算，解题前先明确对应运算法则：①负整数指数幂：任何不等于0的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数）；②零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即$a^0=1$（$a≠0$）。解题时先确认底数不为0，再对应代入法则计算即可。
【解析】
(1) 根据负整数指数幂运算法则，底数3≠0，因此：
$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$
(2) 根据零指数幂运算法则，底数$\sqrt{3}-1\approx0.732≠0$，因此：
$(\sqrt{3}-1)^0=1$
(3) 根据负整数指数幂运算法则，底数$-\frac{1}{2}≠0$，因此：
$(-\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^1}=-2$
【答案】
(1)$\frac{1}{9}$；(2)$1$；(3)$-2$
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算
【点评】
本题是整数指数幂的基础运算题，主要考查零指数幂、负整数指数幂运算法则的应用，解题时需注意底数不为0是法则成立的前提，属于幂运算板块的常考基础题型。
【难度系数】
0.85
这三道题均考查整数指数幂的相关运算，解题前先明确对应运算法则：①负整数指数幂：任何不等于0的数的-p（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，p为正整数）；②零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即$a^0=1$（$a≠0$）。解题时先确认底数不为0，再对应代入法则计算即可。
【解析】
(1) 根据负整数指数幂运算法则，底数3≠0，因此：
$3^{-2}=\frac{1}{3^2}=\frac{1}{9}$
(2) 根据零指数幂运算法则，底数$\sqrt{3}-1\approx0.732≠0$，因此：
$(\sqrt{3}-1)^0=1$
(3) 根据负整数指数幂运算法则，底数$-\frac{1}{2}≠0$，因此：
$(-\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^1}=-2$
【答案】
(1)$\frac{1}{9}$；(2)$1$；(3)$-2$
【知识点】
负整数指数幂运算，零指数幂运算
【点评】
本题是整数指数幂的基础运算题，主要考查零指数幂、负整数指数幂运算法则的应用，解题时需注意底数不为0是法则成立的前提，属于幂运算板块的常考基础题型。
【难度系数】
0.85
3. 计算:
(1) (2025 昆明期末) $(π - 4)^0 - (-1)^{2025} + (\frac{1}{2})^{-1}$；
(2) $(2 - π)^0 + |\sqrt{3} - 3| - \sqrt[3]{27} - (-\frac{1}{2})^{-2}$。
(1) (2025 昆明期末) $(π - 4)^0 - (-1)^{2025} + (\frac{1}{2})^{-1}$；
(2) $(2 - π)^0 + |\sqrt{3} - 3| - \sqrt[3]{27} - (-\frac{1}{2})^{-2}$。
答案
解：
(1) 原式$=1 - (-1) + 2$
$=1 + 1 + 2$
$=4$
(2) 原式$=1 + (3 - \sqrt{3}) - 3 - 4$
$=1 + 3 - \sqrt{3} - 3 - 4$
$=-3 - \sqrt{3}$
(1) 原式$=1 - (-1) + 2$
$=1 + 1 + 2$
$=4$
(2) 原式$=1 + (3 - \sqrt{3}) - 3 - 4$
$=1 + 3 - \sqrt{3} - 3 - 4$
$=-3 - \sqrt{3}$
解析
【分析】
这两道题属于实数的混合运算题，解题时先根据对应运算法则分别计算每一个运算项，再按照有理数加减法则合并结果即可。具体思考逻辑：①先回忆零指数幂规则：任何非零数的0次幂都等于1；②负整数指数幂规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），即非零数的负整数次幂等于其正整数次幂的倒数；③再处理乘方、绝对值、立方根运算，去绝对值前先判断绝对值内部的正负，去括号时注意符号变化，最后合并所有项得到结果。
【解析】
(1) 分别计算各项：
因$π-4≠0$，故$(π-4)^0=1$；2025是奇数，故$(-1)^{2025}=-1$；$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1 - (-1) + 2\\&=1 + 1 + 2\\&=4\end{aligned}$
(2) 分别计算各项：
因$2-π≠0$，故$(2-π)^0=1$；因$\sqrt{3}＜3$，故$|\sqrt{3}-3|=3-\sqrt{3}$；$\sqrt[3]{27}=3$；$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=4$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1 + (3 - \sqrt{3}) - 3 - 4\\&=1 + 3 - \sqrt{3} - 3 - 4\\&=-3 - \sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{-3 - \sqrt{3}}$
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算；实数混合运算
【点评】
本题是实数运算的基础题，解题核心是熟练掌握各类基本运算的法则，计算过程中要特别注意负整数指数幂的运算、去绝对值和去括号时的符号变化，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
这两道题属于实数的混合运算题，解题时先根据对应运算法则分别计算每一个运算项，再按照有理数加减法则合并结果即可。具体思考逻辑：①先回忆零指数幂规则：任何非零数的0次幂都等于1；②负整数指数幂规则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），即非零数的负整数次幂等于其正整数次幂的倒数；③再处理乘方、绝对值、立方根运算，去绝对值前先判断绝对值内部的正负，去括号时注意符号变化，最后合并所有项得到结果。
【解析】
(1) 分别计算各项：
因$π-4≠0$，故$(π-4)^0=1$；2025是奇数，故$(-1)^{2025}=-1$；$(\frac{1}{2})^{-1}=\frac{1}{\frac{1}{2}}=2$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1 - (-1) + 2\\&=1 + 1 + 2\\&=4\end{aligned}$
(2) 分别计算各项：
因$2-π≠0$，故$(2-π)^0=1$；因$\sqrt{3}＜3$，故$|\sqrt{3}-3|=3-\sqrt{3}$；$\sqrt[3]{27}=3$；$(-\frac{1}{2})^{-2}=\frac{1}{(-\frac{1}{2})^2}=4$。
代入原式计算：
$\begin{aligned}原式&=1 + (3 - \sqrt{3}) - 3 - 4\\&=1 + 3 - \sqrt{3} - 3 - 4\\&=-3 - \sqrt{3}\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{4}$；(2) $\boxed{-3 - \sqrt{3}}$
【知识点】
零指数幂运算；负整数指数幂运算；实数混合运算
【点评】
本题是实数运算的基础题，解题核心是熟练掌握各类基本运算的法则，计算过程中要特别注意负整数指数幂的运算、去绝对值和去括号时的符号变化，避免因符号错误丢分。
【难度系数】
0.7
4. 计算$(a^{-2})^{3}(ab^{2})^{-2}$，并把结果化为只含有正整数指数幂的形式为（）。
A.$\dfrac{1}{a^{6}b^{4}}$
B.$\dfrac{b^{4}}{a^{6}}$
C.$\dfrac{b^{4}}{a^{8}}$
D.$\dfrac{1}{a^{8}b^{4}}$
A.$\dfrac{1}{a^{6}b^{4}}$
B.$\dfrac{b^{4}}{a^{6}}$
C.$\dfrac{b^{4}}{a^{8}}$
D.$\dfrac{1}{a^{8}b^{4}}$
答案
D
解析
【分析】
解决本题需要依次运用幂的相关运算法则：首先回忆幂的乘方法则、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则以及负整数指数幂转化为正整数指数幂的规则。第一步先分别计算两个乘方式子的结果，第二步将两个结果相乘，合并同底数幂的指数，第三步把负指数幂转化为只含正整数指数幂的形式，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据幂的运算法则分步计算：
1. 计算幂的乘方：$(a^{-2})^3 = a^{-2×3} = a^{-6}$
2. 计算积的乘方：$(ab^2)^{-2} = a^{-2} · (b^2)^{-2} = a^{-2} · b^{2×(-2)} = a^{-2}b^{-4}$
3. 计算同底数幂的乘法：
$\begin{aligned}(a^{-2})^3(ab^2)^{-2}&=a^{-6} · a^{-2}b^{-4}\\&=a^{-6+(-2)} · b^{-4}\\&=a^{-8}b^{-4}\end{aligned}$
4. 转化为正整数指数幂：根据$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$a^{-8}b^{-4}=\frac{1}{a^8b^4}$
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，负指数幂化简
【点评】
本题是整数指数幂运算的常规基础题，核心考查幂的运算法则的应用，解题时要注意指数运算的符号准确性，熟练掌握各类幂的运算规则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
解决本题需要依次运用幂的相关运算法则：首先回忆幂的乘方法则、积的乘方法则、同底数幂的乘法法则以及负整数指数幂转化为正整数指数幂的规则。第一步先分别计算两个乘方式子的结果，第二步将两个结果相乘，合并同底数幂的指数，第三步把负指数幂转化为只含正整数指数幂的形式，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：根据幂的运算法则分步计算：
1. 计算幂的乘方：$(a^{-2})^3 = a^{-2×3} = a^{-6}$
2. 计算积的乘方：$(ab^2)^{-2} = a^{-2} · (b^2)^{-2} = a^{-2} · b^{2×(-2)} = a^{-2}b^{-4}$
3. 计算同底数幂的乘法：
$\begin{aligned}(a^{-2})^3(ab^2)^{-2}&=a^{-6} · a^{-2}b^{-4}\\&=a^{-6+(-2)} · b^{-4}\\&=a^{-8}b^{-4}\end{aligned}$
4. 转化为正整数指数幂：根据$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），可得$a^{-8}b^{-4}=\frac{1}{a^8b^4}$
【答案】
D
【知识点】
幂的乘方运算，积的乘方运算，负指数幂化简
【点评】
本题是整数指数幂运算的常规基础题，核心考查幂的运算法则的应用，解题时要注意指数运算的符号准确性，熟练掌握各类幂的运算规则即可快速准确求解。
【难度系数】
0.8
5. 下列计算:①$1^{-3}=0.0001$；②$0.0001^{0}=1$；③$(-x)^{3}÷(-x)^{5}=-x^{-2}$；④$3a^{-2}=\frac{1}{3a^{2}}$；⑤$(-a)^{3m}÷a^{m}=(-1)^{m}a^{2m}$. 其中正确的有.(填序号)
答案
解：
逐一验证各计算：
① $1^{-3}=\frac{1}{1^3}=1≠0.0001$，计算错误；
② 非零实数的0次幂等于1，$0.0001≠0$，故$0.0001^0=1$，计算正确；
③ $(-x)^3÷(-x)^5=(-x)^{3-5}=(-x)^{-2}=\frac{1}{(-x)^2}=x^{-2}≠ -x^{-2}$，计算错误；
④ $3a^{-2}=3·\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a^2}≠\frac{1}{3a^2}$，计算错误；
⑤ $(-a)^{3m}÷ a^m=(-1)^{3m}a^{3m}÷ a^m=(-1)^{3m}a^{2m}$，由于$3m$与$m$奇偶性相同，因此$(-1)^{3m}=(-1)^m$，故原式$=(-1)^m a^{2m}$，计算正确。
其中正确的有$\boldsymbol{②⑤}$。
逐一验证各计算：
① $1^{-3}=\frac{1}{1^3}=1≠0.0001$，计算错误；
② 非零实数的0次幂等于1，$0.0001≠0$，故$0.0001^0=1$，计算正确；
③ $(-x)^3÷(-x)^5=(-x)^{3-5}=(-x)^{-2}=\frac{1}{(-x)^2}=x^{-2}≠ -x^{-2}$，计算错误；
④ $3a^{-2}=3·\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a^2}≠\frac{1}{3a^2}$，计算错误；
⑤ $(-a)^{3m}÷ a^m=(-1)^{3m}a^{3m}÷ a^m=(-1)^{3m}a^{2m}$，由于$3m$与$m$奇偶性相同，因此$(-1)^{3m}=(-1)^m$，故原式$=(-1)^m a^{2m}$，计算正确。
其中正确的有$\boldsymbol{②⑤}$。
解析
【分析】
本题考查整数指数幂的相关运算，解题时需先回忆负整数指数幂、零指数幂、同底数幂除法的运算法则，再逐个验证5个计算是否符合对应法则，最终选出正确的序号即可。
【解析】
我们逐一验证每个计算：
① 根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），得$1^{-3}=\frac{1}{1^3}=1≠0.0001$，故①计算错误；
② 根据零指数幂法则$a^0=1$（$a≠0$），因为$0.0001≠0$，所以$0.0001^0=1$，故②计算正确；
③ 根据同底数幂除法法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为整数），得$(-x)^3÷(-x)^5=(-x)^{3-5}=(-x)^{-2}=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=x^{-2}≠-x^{-2}$，故③计算错误；
④ 根据负整数指数幂法则，$3a^{-2}=3×\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a^2}≠\frac{1}{3a^2}$，故④计算错误；
⑤ 先将$(-a)^{3m}$变形为$(-1)^{3m}·a^{3m}$，再计算除法：$(-a)^{3m}÷a^m=(-1)^{3m}a^{3m}÷a^m=(-1)^{3m}a^{3m-m}=(-1)^{3m}a^{2m}$，因为$3m$和$m$的奇偶性相同，所以$(-1)^{3m}=(-1)^m$，即原式$=(-1)^ma^{2m}$，故⑤计算正确。
综上，正确的是②⑤。
【答案】
②⑤
【知识点】
1. 负整数指数幂运算
2. 零指数幂运算
3. 同底数幂的除法
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础综合题，易错点在于：负整数指数幂的系数处理、同底数幂除法的符号判断、负数乘方的奇偶性规律，解题时需严格按照法则逐一推导，避免想当然出错。
【难度系数】
0.6
本题考查整数指数幂的相关运算，解题时需先回忆负整数指数幂、零指数幂、同底数幂除法的运算法则，再逐个验证5个计算是否符合对应法则，最终选出正确的序号即可。
【解析】
我们逐一验证每个计算：
① 根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），得$1^{-3}=\frac{1}{1^3}=1≠0.0001$，故①计算错误；
② 根据零指数幂法则$a^0=1$（$a≠0$），因为$0.0001≠0$，所以$0.0001^0=1$，故②计算正确；
③ 根据同底数幂除法法则$a^m÷a^n=a^{m-n}$（$a≠0$，$m、n$为整数），得$(-x)^3÷(-x)^5=(-x)^{3-5}=(-x)^{-2}=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=x^{-2}≠-x^{-2}$，故③计算错误；
④ 根据负整数指数幂法则，$3a^{-2}=3×\frac{1}{a^2}=\frac{3}{a^2}≠\frac{1}{3a^2}$，故④计算错误；
⑤ 先将$(-a)^{3m}$变形为$(-1)^{3m}·a^{3m}$，再计算除法：$(-a)^{3m}÷a^m=(-1)^{3m}a^{3m}÷a^m=(-1)^{3m}a^{3m-m}=(-1)^{3m}a^{2m}$，因为$3m$和$m$的奇偶性相同，所以$(-1)^{3m}=(-1)^m$，即原式$=(-1)^ma^{2m}$，故⑤计算正确。
综上，正确的是②⑤。
【答案】
②⑤
【知识点】
1. 负整数指数幂运算
2. 零指数幂运算
3. 同底数幂的除法
【点评】
本题是整数指数幂运算的基础综合题，易错点在于：负整数指数幂的系数处理、同底数幂除法的符号判断、负数乘方的奇偶性规律，解题时需严格按照法则逐一推导，避免想当然出错。
【难度系数】
0.6
6. 计算:
(1) $(x^2 y^{-1})^2 · (x^{-1} y^2)^3 ÷ (-x^{-1} y)^4$;
(2) $(-\dfrac{1}{2}a)^{-3} · (-3a^2 b^{-3})^{-2}$.
(1) $(x^2 y^{-1})^2 · (x^{-1} y^2)^3 ÷ (-x^{-1} y)^4$;
(2) $(-\dfrac{1}{2}a)^{-3} · (-3a^2 b^{-3})^{-2}$.
答案
解：
(1) 原式$=x^{4}y^{-2} · x^{-3}y^{6} ÷ (x^{-4}y^{4})$
$=x^{4-3+4}y^{-2+6-4}$
$=x^{5}y^{0}$
$=x^{5}$
(2) 原式$=(-\dfrac{1}{2})^{-3}a^{-3} · (-3)^{-2}a^{-4}b^{6}$
$=(-8)a^{-3} · \dfrac{1}{9}a^{-4}b^{6}$
$=-\dfrac{8}{9}a^{-7}b^{6}$
$=-\dfrac{8b^{6}}{9a^{7}}$
(1) 原式$=x^{4}y^{-2} · x^{-3}y^{6} ÷ (x^{-4}y^{4})$
$=x^{4-3+4}y^{-2+6-4}$
$=x^{5}y^{0}$
$=x^{5}$
(2) 原式$=(-\dfrac{1}{2})^{-3}a^{-3} · (-3)^{-2}a^{-4}b^{6}$
$=(-8)a^{-3} · \dfrac{1}{9}a^{-4}b^{6}$
$=-\dfrac{8}{9}a^{-7}b^{6}$
$=-\dfrac{8b^{6}}{9a^{7}}$
解析
【分析】
解题时先回忆整数指数幂的相关运算法则：①幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$；②积的乘方：$(ab)^n=a^n b^n$；③同底数幂相乘：$a^m·a^n=a^{m+n}$；④同底数幂相除：$a^m÷a^n=a^{m-n}$；⑤负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），还有非零数的0次幂等于1。
对于第(1)题，第一步先分别计算三个乘方项，利用积的乘方和幂的乘方法则展开，再按照从左到右的顺序计算同底数幂的乘除，最后化简零指数幂得到结果；
对于第(2)题，同样先利用积的乘方法则展开两个乘方项，单独计算系数的幂次，再计算同底数幂的乘法，最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的分式形式即可。
【解析】
(1) 原式$=x^{4}y^{-2} · x^{-3}y^{6} ÷ (x^{-4}y^{4})$
$=x^{4-3+4}y^{-2+6-4}$
$=x^{5}y^{0}$
$=x^{5}$
(2) 原式$=(-\dfrac{1}{2})^{-3}a^{-3} · (-3)^{-2}a^{-4}b^{6}$
$=(-8)a^{-3} · \dfrac{1}{9}a^{-4}b^{6}$
$=-\dfrac{8}{9}a^{-7}b^{6}$
$=-\dfrac{8b^{6}}{9a^{7}}$
【答案】
(1) $\boxed{x^5}$；(2) $\boxed{-\dfrac{8b^6}{9a^7}}$
【知识点】
1. 整数指数幂运算
2. 积的乘方运算
3. 负指数幂化简
【点评】
本题是整数指数幂的基础运算题，核心考查幂的各类运算法则的应用，解题时需要注意区分不同运算的指数变化规则，尤其要注意负指数幂转换、系数符号和零指数幂的化简，避免因粗心导致运算错误。
【难度系数】
0.7
解题时先回忆整数指数幂的相关运算法则：①幂的乘方：$(a^m)^n=a^{mn}$；②积的乘方：$(ab)^n=a^n b^n$；③同底数幂相乘：$a^m·a^n=a^{m+n}$；④同底数幂相除：$a^m÷a^n=a^{m-n}$；⑤负整数指数幂：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}$（$a≠0$，$p$为正整数），还有非零数的0次幂等于1。
对于第(1)题，第一步先分别计算三个乘方项，利用积的乘方和幂的乘方法则展开，再按照从左到右的顺序计算同底数幂的乘除，最后化简零指数幂得到结果；
对于第(2)题，同样先利用积的乘方法则展开两个乘方项，单独计算系数的幂次，再计算同底数幂的乘法，最后将负整数指数幂转化为正整数指数幂的分式形式即可。
【解析】
(1) 原式$=x^{4}y^{-2} · x^{-3}y^{6} ÷ (x^{-4}y^{4})$
$=x^{4-3+4}y^{-2+6-4}$
$=x^{5}y^{0}$
$=x^{5}$
(2) 原式$=(-\dfrac{1}{2})^{-3}a^{-3} · (-3)^{-2}a^{-4}b^{6}$
$=(-8)a^{-3} · \dfrac{1}{9}a^{-4}b^{6}$
$=-\dfrac{8}{9}a^{-7}b^{6}$
$=-\dfrac{8b^{6}}{9a^{7}}$
【答案】
(1) $\boxed{x^5}$；(2) $\boxed{-\dfrac{8b^6}{9a^7}}$
【知识点】
1. 整数指数幂运算
2. 积的乘方运算
3. 负指数幂化简
【点评】
本题是整数指数幂的基础运算题，核心考查幂的各类运算法则的应用，解题时需要注意区分不同运算的指数变化规则，尤其要注意负指数幂转换、系数符号和零指数幂的化简，避免因粗心导致运算错误。
【难度系数】
0.7
