登录
6.（多选题）下列说法正确的是(
A.$-4$是16的一个平方根
B.16的平方根是4
C.$(-4)^2$的算术平方根是$-4$
D.$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$
AD
)。A.$-4$是16的一个平方根
B.16的平方根是4
C.$(-4)^2$的算术平方根是$-4$
D.$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$
答案
AD
解析
【分析】
解题的核心是准确掌握平方根、算术平方根的定义与性质，按照"先化简运算式，再结合定义判断"的思路逐个分析选项：首先明确①正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫算术平方根，算术平方根恒为非负数；②$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是a的算术平方根，结果为非负数；对带平方、带根号的式子先计算出结果，再判断对应说法是否正确。
【解析】
首先明确核心定义：如果$x^2=a$（$a≥0$），那么x叫做a的平方根，记作$\pm\sqrt{a}$；其中正的平方根叫做a的算术平方根，记作$\sqrt{a}$，算术平方根的结果为非负数。
逐个分析选项：
A. 因为$(-4)^2=16$，符合平方根的定义，所以-4是16的一个平方根，该说法正确。
B. 16的平方根是$\pm4$，不只有4，该说法错误。
C. 先计算$(-4)^2=16$，16的算术平方根是4（算术平方根为非负数），不是-4，该说法错误。
D. 先计算$\sqrt{16}=4$，4的平方根是$\pm2$，所以$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$，该说法正确。
综上，正确的选项为AD。
【答案】
AD
【知识点】
平方根的概念；算术平方根的概念；平方根的性质
【点评】
本题是平方根章节的经典易错题，易错点在于容易混淆平方根和算术平方根的概念，同时要注意遇到带平方、带根号的表达式时，要先化简得到最简结果，再判断其平方根或算术平方根，避免概念混淆导致失分。
【难度系数】
0.6
解题的核心是准确掌握平方根、算术平方根的定义与性质，按照"先化简运算式，再结合定义判断"的思路逐个分析选项：首先明确①正数有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫算术平方根，算术平方根恒为非负数；②$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是a的算术平方根，结果为非负数；对带平方、带根号的式子先计算出结果，再判断对应说法是否正确。
【解析】
首先明确核心定义：如果$x^2=a$（$a≥0$），那么x叫做a的平方根，记作$\pm\sqrt{a}$；其中正的平方根叫做a的算术平方根，记作$\sqrt{a}$，算术平方根的结果为非负数。
逐个分析选项：
A. 因为$(-4)^2=16$，符合平方根的定义，所以-4是16的一个平方根，该说法正确。
B. 16的平方根是$\pm4$，不只有4，该说法错误。
C. 先计算$(-4)^2=16$，16的算术平方根是4（算术平方根为非负数），不是-4，该说法错误。
D. 先计算$\sqrt{16}=4$，4的平方根是$\pm2$，所以$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$，该说法正确。
综上，正确的选项为AD。
【答案】
AD
【知识点】
平方根的概念；算术平方根的概念；平方根的性质
【点评】
本题是平方根章节的经典易错题，易错点在于容易混淆平方根和算术平方根的概念，同时要注意遇到带平方、带根号的表达式时，要先化简得到最简结果，再判断其平方根或算术平方根，避免概念混淆导致失分。
【难度系数】
0.6
7. (1) 求$\sqrt{121}$与$\sqrt{169}$的和；
(2) 求$\sqrt{\dfrac{64}{25}}$与$\sqrt{(-2)^2}$的差。
(2) 求$\sqrt{\dfrac{64}{25}}$与$\sqrt{(-2)^2}$的差。
答案
(1) 24 (2) $-\frac{2}{5}$
解析
【分析】
本题分为两小问，均考查算术平方根的计算及有理数的加减运算。解题思路是先根据算术平方根的定义，分别算出每个根号的化简结果，再按照题目要求做加法或减法运算即可。注意计算算术平方根时结果为非负数，根号内含有乘方的要先计算乘方再开方。
【解析】
(1) 先分别计算两个算术平方根：
因为$11^2=121$，所以$\sqrt{121}=11$；
因为$13^2=169$，所以$\sqrt{169}=13$；
两者的和为$11+13=24$。
(2) 先分别计算两个算术平方根：
因为$(\frac{8}{5})^2=\frac{64}{25}$，所以$\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac{8}{5}$；
先计算根号内的乘方：$(-2)^2=4$，又因为$2^2=4$，所以$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$；
两者的差为$\frac{8}{5}-2=\frac{8}{5}-\frac{10}{5}=-\frac{2}{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{24}$；(2) $\boxed{-\dfrac{2}{5}}$
【知识点】
算术平方根的计算；有理数的加减运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握算术平方根的化简方法，计算时要注意先化简根号内的式子，再准确开方，最后按照有理数运算法则计算结果，避免因开方错误导致失分。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，均考查算术平方根的计算及有理数的加减运算。解题思路是先根据算术平方根的定义，分别算出每个根号的化简结果，再按照题目要求做加法或减法运算即可。注意计算算术平方根时结果为非负数，根号内含有乘方的要先计算乘方再开方。
【解析】
(1) 先分别计算两个算术平方根：
因为$11^2=121$，所以$\sqrt{121}=11$；
因为$13^2=169$，所以$\sqrt{169}=13$；
两者的和为$11+13=24$。
(2) 先分别计算两个算术平方根：
因为$(\frac{8}{5})^2=\frac{64}{25}$，所以$\sqrt{\frac{64}{25}}=\frac{8}{5}$；
先计算根号内的乘方：$(-2)^2=4$，又因为$2^2=4$，所以$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$；
两者的差为$\frac{8}{5}-2=\frac{8}{5}-\frac{10}{5}=-\frac{2}{5}$。
【答案】
(1) $\boxed{24}$；(2) $\boxed{-\dfrac{2}{5}}$
【知识点】
算术平方根的计算；有理数的加减运算
【点评】
本题属于基础运算题，核心是熟练掌握算术平方根的化简方法，计算时要注意先化简根号内的式子，再准确开方，最后按照有理数运算法则计算结果，避免因开方错误导致失分。
【难度系数】
0.8
8. 数学中有一种有趣的数称为“拼方数”，如16的算术平方根是整数4，9的算术平方根是整数3，而16和9这两个数拼成数169，它的算术平方根也是一个整数。你能找到一个“拼方数”吗？请试一试。
答案
49,361
解析
【分析】
首先要明确“拼方数”的满足条件：①两个基础数本身都是完全平方数（即它们的算术平方根为整数）；②将两个基础数的数字按顺序拼接后得到的新数，也必须是完全平方数。解题时可以先列举出较小的完全平方数：1、4、9、16、25、36……，再逐一尝试将两个完全平方数拼接，验证拼接后的数是否为完全平方数即可。
【解析】
我们按思路尝试验证：
1. 取完全平方数4（$\sqrt{4}=2$，是整数）和完全平方数9（$\sqrt{9}=3$，是整数），拼接得到新数49，计算得$\sqrt{49}=7$，7是整数，因此49是符合要求的拼方数。
2. 取完全平方数36（$\sqrt{36}=6$，是整数）和完全平方数1（$\sqrt{1}=1$，是整数），拼接得到新数361，计算得$\sqrt{361}=19$，19是整数，因此361是符合要求的拼方数。
【答案】
49,361
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 完全平方数的概念
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是理解新定义的规则，结合已学的算术平方根、完全平方数相关知识，通过简单枚举尝试即可找到答案，能有效考查对概念的理解和运用能力。
【难度系数】
0.7
首先要明确“拼方数”的满足条件：①两个基础数本身都是完全平方数（即它们的算术平方根为整数）；②将两个基础数的数字按顺序拼接后得到的新数，也必须是完全平方数。解题时可以先列举出较小的完全平方数：1、4、9、16、25、36……，再逐一尝试将两个完全平方数拼接，验证拼接后的数是否为完全平方数即可。
【解析】
我们按思路尝试验证：
1. 取完全平方数4（$\sqrt{4}=2$，是整数）和完全平方数9（$\sqrt{9}=3$，是整数），拼接得到新数49，计算得$\sqrt{49}=7$，7是整数，因此49是符合要求的拼方数。
2. 取完全平方数36（$\sqrt{36}=6$，是整数）和完全平方数1（$\sqrt{1}=1$，是整数），拼接得到新数361，计算得$\sqrt{361}=19$，19是整数，因此361是符合要求的拼方数。
【答案】
49,361
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 完全平方数的概念
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是理解新定义的规则，结合已学的算术平方根、完全平方数相关知识，通过简单枚举尝试即可找到答案，能有效考查对概念的理解和运用能力。
【难度系数】
0.7
9. 已有数 4,9,试再写出一个数,使得这三个数中,一个数是另外两个数的乘积的一个平方根。你能写出几个这样的数？请把所有可能的数写下来。
答案
6,−6,$\frac{81}{4}$,$\frac{16}{9}$
解析
【分析】
我们可以先设所求的数为$ x $，根据“一个数是另外两个数乘积的平方根”的要求，共有三种可能的情况：①$ x $是4和9乘积的平方根；②4是9和$ x $乘积的平方根；③9是4和$ x $乘积的平方根。结合平方根的性质：若$ a $是$ b $的平方根，则$ a^2=b $，对三种情况分别列方程求解即可，注意正数的平方根有正负两个，不要漏解。
【解析】
设所求的数为$ x $，分三类情况讨论：
1. 当$ x $是4和9乘积的平方根时：
$ x^2=4×9=36 $
解得$ x=\pm6 $
2. 当4是9和$ x $乘积的平方根时：
$ 4^2=9x $
即$ 16=9x $
解得$ x=\frac{16}{9} $
3. 当9是4和$ x $乘积的平方根时：
$ 9^2=4x $
即$ 81=4x $
解得$ x=\frac{81}{4} $
【答案】
$ 6,-6,\frac{81}{4},\frac{16}{9} $
【知识点】
平方根的定义；分类讨论思想；一元一次方程求解
【点评】
本题重点考查平方根性质的应用，解题的关键是要完整覆盖所有可能的情况，同时注意正数的平方根有正负两个，避免因为漏讨论情况或者忽略负根出现丢解的问题。
【难度系数】
0.6
我们可以先设所求的数为$ x $，根据“一个数是另外两个数乘积的平方根”的要求，共有三种可能的情况：①$ x $是4和9乘积的平方根；②4是9和$ x $乘积的平方根；③9是4和$ x $乘积的平方根。结合平方根的性质：若$ a $是$ b $的平方根，则$ a^2=b $，对三种情况分别列方程求解即可，注意正数的平方根有正负两个，不要漏解。
【解析】
设所求的数为$ x $，分三类情况讨论：
1. 当$ x $是4和9乘积的平方根时：
$ x^2=4×9=36 $
解得$ x=\pm6 $
2. 当4是9和$ x $乘积的平方根时：
$ 4^2=9x $
即$ 16=9x $
解得$ x=\frac{16}{9} $
3. 当9是4和$ x $乘积的平方根时：
$ 9^2=4x $
即$ 81=4x $
解得$ x=\frac{81}{4} $
【答案】
$ 6,-6,\frac{81}{4},\frac{16}{9} $
【知识点】
平方根的定义；分类讨论思想；一元一次方程求解
【点评】
本题重点考查平方根性质的应用，解题的关键是要完整覆盖所有可能的情况，同时注意正数的平方根有正负两个，避免因为漏讨论情况或者忽略负根出现丢解的问题。
【难度系数】
0.6
