1. 如图，AC和BD相交于O点，$OA=OD$. 要利用“SAS”证明$△ AOB ≌ △ DOC$，需增加的条件是.

解：
已知 $OA=OD$，
$\because$ $∠ AOB$ 和 $∠ DOC$ 是对顶角，
$\therefore$ $∠ AOB=∠ DOC$。
根据“SAS”三角形全等判定规则，还需要补充这组等角的另一组夹边对应相等，即 $OB=OC$，此时满足：
$\begin{cases}OA=OD \\∠ AOB=∠ DOC \\OB=OC\end{cases}$
即可证得 $△ AOB ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$。
需增加的条件是 $\boldsymbol{OB=OC}$。

【分析】
首先明确题目要求用“SAS”判定$△ AOB≌△ DOC$，先回忆“SAS”的判定规则：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。先梳理现有已知条件：已知$OA=OD$，同时AC和BD相交于O点，$∠ AOB$和$∠ DOC$是对顶角，根据对顶角性质可得$∠ AOB=∠ DOC$。此时已经具备一组边相等、一组夹角相等，缺少该夹角的另一组对应边相等，补充这组边相等即可满足“SAS”判定要求。
【解析】
已知$OA=OD$，
$\because$$∠ AOB$和$∠ DOC$是对顶角，
$\therefore$$∠ AOB=∠ DOC$。
根据“SAS”三角形全等判定规则，还需要补充这组等角的另一组夹边对应相等，即$OB=OC$，此时满足：
$\begin{cases}OA=OD \\∠ AOB=∠ DOC \\OB=OC\end{cases}$
即可证得$△ AOB ≌ △ DOC(\mathrm{SAS})$。
【答案】
$OB=OC$
【知识点】
对顶角相等；全等三角形SAS判定
【点评】
本题是全等三角形判定的基础题，重点考查对“SAS”判定定理的理解，要注意“SAS”中相等的角必须是两组对应等边的夹角，不能混淆边和角的对应位置，解题时先梳理已有的边、角条件，再结合判定定理补全缺失条件即可。
【难度系数】
0.9

2.如图，若AC，BD互相平分，且交于点P，则AB与CD的关系是.

证明：
∵ AC，BD互相平分且交于点P，
∴ PA = PC，PB = PD。
在△APB和△CPD中，
$\{\begin{array}{l}PA = PC \\∠APB = ∠CPD \\PB = PD\end{array} $
∴ △APB ≌ △CPD（SAS）。
∴ AB = CD，∠A = ∠C，
∴ AB // CD（内错角相等，两直线平行）。
AB//CD且AB=CD（平行且相等）

【分析】
解题时先从已知条件“AC、BD互相平分”入手，可得两条对角线被交点分成的线段两两相等；再结合两组相等线段的夹角是对顶角，满足全等三角形SAS的判定条件，可证明△APB和△CPD全等；最后利用全等三角形的性质得到对应边相等、对应角相等，对应角为内错角，进而可推出AB与CD的位置关系和数量关系。
【解析】
证明：
∵ AC，BD互相平分且交于点P，
∴ PA = PC，PB = PD。
在△APB和△CPD中，
$\{\begin{array}{l}PA = PC \\∠APB = ∠CPD\quad(\mathrm{对顶角相等}) \\PB = PD\end{array} $
∴ △APB ≌ △CPD（SAS）。
∴ AB = CD，∠A = ∠C，
∴ AB // CD（内错角相等，两直线平行）。
即AB与CD的关系是平行且相等。
【答案】
AB//CD且AB=CD（或AB平行且等于CD）
【知识点】
全等三角形SAS判定；全等三角形的性质；平行线的判定
【点评】
本题属于基础题型，核心是结合已知条件构造全等三角形，通过全等的性质同时得到线段的数量关系和位置关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理和性质。
【难度系数】
0.8

3.如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC,D$为$BC$的中点,以下结论:①$△ ABD ≌ △ ACD$;②$AB=AC$;③$△ ABC$是等边三角形;④$AD$是$△ ABC$的角平分线.其中正确的有________(填序号).

解：
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°，
∵ D为BC的中点，
∴ BD = CD。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}BD = CD \\∠ADB = ∠ADC \\AD = AD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACD（SAS），故①正确；
由△ABD ≌ △ACD，可得AB = AC，∠BAD = ∠CAD，
即AB=AC，AD是△ABC的角平分线，故②、④正确；
由已知条件仅能得到AB=AC，无法推出三边都相等，不能判定△ABC是等边三角形，故③错误。
综上，正确的是①②④。

【分析】
解题时先梳理已知条件：AD⊥BC可得两个直角相等，D是BC中点可得BD=CD，还有公共边AD。首先利用SAS判定定理证明△ABD和△ACD全等，再根据全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，判断②、④是否正确，最后结合等边三角形的判定条件判断③是否成立，逐个验证所有结论即可。
【解析】
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°，
∵ D为BC的中点，
∴ BD = CD。
在△ABD和△ACD中，
$\{\begin{array}{l}BD = CD \\∠ ADB = ∠ ADC \\AD = AD\end{array} $
∴ △ABD ≌ △ACD（SAS），故①正确；
由△ABD ≌ △ACD，可得AB = AC，∠BAD = ∠CAD，
即AB=AC，AD是△ABC的角平分线，故②、④正确；
由已知条件仅能得到AB=AC，只能判定△ABC是等腰三角形，无法推出三边都相等，不能判定△ABC是等边三角形，故③错误。
【答案】
①②④
【知识点】
SAS判定全等；全等三角形的性质；等边三角形判定
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题，需要结合已知条件选用合适的全等判定定理，再利用全等的性质推导后续结论，注意区分等腰三角形和等边三角形的判定条件，避免漏判或错判。
【难度系数】
0.8

4. 如图，$∠ BAC = ∠ DAM$，$AB = AN$，$AD = AM$，求证$∠ B = ∠ ANM$.

证明：
∵ ∠BAC = ∠DAM，
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAM - ∠DAC，
即 ∠BAD = ∠NAM。
在△BAD和△NAM中，
$\{\begin{array}{l}AB = AN \\∠BAD = ∠NAM \\AD = AM\end{array} $
∴ △BAD ≌ △NAM（SAS），
∴ ∠B = ∠ANM。

【分析】
要证明∠B=∠ANM，可通过证明两角所在的三角形全等，利用全等三角形对应角相等推导结论。首先观察待证角分别在△BAD和△NAM中，已知AB=AN、AD=AM，还缺少一组对应夹角相等的条件；结合已知∠BAC=∠DAM，两个角同时减去公共部分∠DAC，即可得到夹角∠BAD=∠NAM，满足SAS全等判定条件，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ ∠BAC = ∠DAM，
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAM - ∠DAC，
即 ∠BAD = ∠NAM。
在△BAD和△NAM中，
$\{\begin{array}{l}AB = AN \\∠BAD = ∠NAM \\AD = AM\end{array} $
∴ △BAD ≌ △NAM（SAS），
∴ ∠B = ∠ANM。
【答案】
∠B=∠ANM，得证。
【知识点】
角的和差计算、SAS判定三角形全等、全等三角形的性质
【点评】
本题是三角形全等的基础应用题型，解题的核心是通过角的和差关系推导出全等判定所需的对应相等的夹角，结合已知的边相等条件即可证明三角形全等，进而得到对应角相等，属于全等判定的常规考点，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8

5. 提升题 已知$AB⊥BD$，$ED⊥BD$，$C$是$BD$上一点，且$BC=DE$，$CD=AB$。
(1)如图①，试判断$AC$与$CE$的位置关系，并说明理由。
(2)若把图①中的$△ CDE$沿直线$BD$向左平移，使$△ CDE$的顶点$C$移至点$B$的位置，如图②，$AC$与$BE$相交于点$F$。判断此时$AC$与$BE$的位置关系，并说明理由。

(1)
解：$AC⊥ CE$，理由如下：
$\because AB⊥ BD$，$ED⊥ BD$，
$\therefore ∠ B = ∠ D = 90°$。
在$△ ABC$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}BC = DE \\∠ B = ∠ D \\AB = CD\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ CDE(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ A = ∠ DCE$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A + ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ DCE + ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ ACE = 180° - (∠ ACB + ∠ DCE) = 90°$，
$\therefore AC⊥ CE$。
---
(2)
解：$AC⊥ BE$，理由如下：
$\because AB⊥ BD$，$ED⊥ BD$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ BDE = 90°$。
由平移的性质得：平移后$BD = CD$，
又$\because CD = AB$，
$\therefore AB = BD$。
在$△ ABC$和$△ BDE$中，
$\begin{cases}AB = BD \\∠ ABC = ∠ BDE \\BC = DE\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ BDE(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ A = ∠ DBE$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A + ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ DBE + ∠ ACB = 90°$，
$\therefore$ 在$△ BFC$中，$∠ BFC = 180° - (∠ DBE + ∠ ACB) = 90°$，
$\therefore AC⊥ BE$。

【分析】
(1)判断AC与CE的位置关系，可尝试证明∠ACE=90°。首先根据AB⊥BD、ED⊥BD得∠B=∠D=90°，结合已知的BC=DE、AB=CD，可通过SAS证明△ABC≌△CDE，得到∠A=∠DCE；再利用直角三角形两锐角互余的性质，将角转化即可推出∠ACB+∠DCE=90°，进而得到∠ACE=90°，即可判定垂直。
(2)平移后判断AC与BE的位置关系，可尝试证明∠BFC=90°。根据平移的性质，△CDE的边长和角度不变，结合已知CD=AB可得AB=BD，再结合∠ABC=∠BDE=90°、BC=DE，通过SAS证明△ABC≌△BDE，得到∠A=∠DBE；再利用直角三角形两锐角互余的性质，转化角推出∠DBE+∠ACB=90°，即可得到∠BFC=90°，判定垂直。
【解析】
(1)
解：$AC⊥ CE$，理由如下：
$\because AB⊥ BD$，$ED⊥ BD$，
$\therefore ∠ B = ∠ D = 90°$。
在$△ ABC$和$△ CDE$中，
$\begin{cases}BC = DE \\∠ B = ∠ D \\AB = CD\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ CDE(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ A = ∠ DCE$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A + ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ DCE + ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ ACE = 180° - (∠ ACB + ∠ DCE) = 90°$，
$\therefore AC⊥ CE$。
(2)
解：$AC⊥ BE$，理由如下：
$\because AB⊥ BD$，$ED⊥ BD$，
$\therefore ∠ ABC = ∠ BDE = 90°$。
由平移的性质得：平移后$BD = CD$，
又$\because CD = AB$，
$\therefore AB = BD$。
在$△ ABC$和$△ BDE$中，
$\begin{cases}AB = BD \\∠ ABC = ∠ BDE \\BC = DE\end{cases}$
$\therefore △ ABC ≌ △ BDE(\mathrm{SAS})$。
$\therefore ∠ A = ∠ DBE$。
$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A + ∠ ACB = 90°$，
$\therefore ∠ DBE + ∠ ACB = 90°$，
$\therefore$ 在$△ BFC$中，$∠ BFC = 180° - (∠ DBE + ∠ ACB) = 90°$，
$\therefore AC⊥ BE$。
【答案】
(1)$AC⊥ CE$；(2)$AC⊥ BE$，理由详见解析。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 平移的性质
3. 垂直的判定
【点评】
本题是几何证明的典型题型，核心考查三角形全等的判定及性质的应用，结合平移性质推导垂直关系，解题关键是通过全等转化角的关系，利用角互余得到90°角，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7