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6. 借助计算器计算：
$11^2=$
$1111^2=$
(1)试猜想 $111111^2=$
(2)不用计算器直接写出
的结果。
$11^2=$
121
，$111^2=$12 321
，$1111^2=$
1 234 321
，$11111^2=$123 454 321
。(1)试猜想 $111111^2=$
12 345 654 321
；(2)不用计算器直接写出
的结果。答案
6. 121 12 321 1 234 321 123 454 321
(1) 12 345 654 321
(2) 12 345 678 987 654 321
(1) 12 345 654 321
(2) 12 345 678 987 654 321
解析
【分析】
解题时先从简单的、位数少的由1组成的数的乘方计算入手，先算出给出的4个式子的结果，再观察结果的数字排列规律：底数有几个1，平方的结果就从1按自然数顺序写到几，再反过来从这个数递减写到1，找到规律后就可以直接推导后续的结果，不需要再计算。
【解析】
首先计算已知的式子：
$11^2=121$
$111^2=12321$
$1111^2=1234321$
$11111^2=123454321$
观察规律可得：由$n$个1组成的数的平方，结果是从1开始依次递增到$n$，再依次递减回到1的正整数。
(1) $111111$是由6个1组成的数，所以它的平方结果是从1写到6再回写到1，即$12345654321$。
(2) 图中是由9个1组成的数的平方，所以结果是从1写到9再回写到1，即$12345678987654321$。
【答案】
121；12321；1234321；123454321
(1) 12345654321
(2) 12345678987654321
【知识点】
有理数的乘方；数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题目，需要通过计算特殊值归纳出通用的数字规律，再运用规律求解问题，重点考查观察能力和归纳总结能力，掌握从特殊到一般的探究思路是解题的关键。
【难度系数】
0.7
解题时先从简单的、位数少的由1组成的数的乘方计算入手，先算出给出的4个式子的结果，再观察结果的数字排列规律：底数有几个1，平方的结果就从1按自然数顺序写到几，再反过来从这个数递减写到1，找到规律后就可以直接推导后续的结果，不需要再计算。
【解析】
首先计算已知的式子：
$11^2=121$
$111^2=12321$
$1111^2=1234321$
$11111^2=123454321$
观察规律可得：由$n$个1组成的数的平方，结果是从1开始依次递增到$n$，再依次递减回到1的正整数。
(1) $111111$是由6个1组成的数，所以它的平方结果是从1写到6再回写到1，即$12345654321$。
(2) 图中是由9个1组成的数的平方，所以结果是从1写到9再回写到1，即$12345678987654321$。
【答案】
121；12321；1234321；123454321
(1) 12345654321
(2) 12345678987654321
【知识点】
有理数的乘方；数字规律探究
【点评】
本题属于规律探究类题目，需要通过计算特殊值归纳出通用的数字规律，再运用规律求解问题，重点考查观察能力和归纳总结能力，掌握从特殊到一般的探究思路是解题的关键。
【难度系数】
0.7
7.用计算器计算下列各式：
$6×7=$
$66×67=$
$666×667=$
$6\ 666×6\ 667=$
$66\ 666×66\ 667=$
观察上述结果，你发现了什么规律？
$6×7=$
42
；$66×67=$
4 422
；$666×667=$
444 222
；$6\ 666×6\ 667=$
44 442 222
；$66\ 666×66\ 667=$
4 444 422 222
。观察上述结果，你发现了什么规律？
答案
7. 42 4 422 444 222 44 442 222 4 444 422 222 规律略
解析
【分析】
解题时首先按照要求用计算器准确计算出每个乘法算式的结果，计算时注意核对输入的因数，避免按键出错；再观察两个因数的数字组成、位数特征和计算结果的数字分布特点，重点比对因数中6的个数与结果里4、2的个数的对应关系，即可总结出通用规律。
【解析】
使用计算器依次计算各算式：
1. $6×7=42$
2. $66×67=4422$
3. $666×667=444222$
4. $6666×6667=44442222$
5. $66666×66667=4444422222$
规律总结：若第一个因数由n个6组成，第二个因数位数和第一个因数相同，前(n-1)位是6、最后一位是7，则乘积的前n位均为4，后n位均为2（n为正整数）。
【答案】
$42$；$4422$；$444222$；$44442222$；$4444422222$；规律：n个6组成的数乘（n-1个6加末尾1个7）组成的相同位数的数，结果为n个4后面接n个2组成的数（表述合理即可）
【知识点】
有理数乘法运算；数字规律探究
【点评】
本题从具体计算出发，引导学生从特殊案例归纳一般规律，能有效锻炼观察能力和归纳总结能力，是规律类基础题。
【难度系数】
0.85
解题时首先按照要求用计算器准确计算出每个乘法算式的结果，计算时注意核对输入的因数，避免按键出错；再观察两个因数的数字组成、位数特征和计算结果的数字分布特点，重点比对因数中6的个数与结果里4、2的个数的对应关系，即可总结出通用规律。
【解析】
使用计算器依次计算各算式：
1. $6×7=42$
2. $66×67=4422$
3. $666×667=444222$
4. $6666×6667=44442222$
5. $66666×66667=4444422222$
规律总结：若第一个因数由n个6组成，第二个因数位数和第一个因数相同，前(n-1)位是6、最后一位是7，则乘积的前n位均为4，后n位均为2（n为正整数）。
【答案】
$42$；$4422$；$444222$；$44442222$；$4444422222$；规律：n个6组成的数乘（n-1个6加末尾1个7）组成的相同位数的数，结果为n个4后面接n个2组成的数（表述合理即可）
【知识点】
有理数乘法运算；数字规律探究
【点评】
本题从具体计算出发，引导学生从特殊案例归纳一般规律，能有效锻炼观察能力和归纳总结能力，是规律类基础题。
【难度系数】
0.85
8.一张纸的厚度约为0.3 mm，对折一次后的厚度为$(2×0.3)$mm，按照上面的规律，假设把这张纸对折32次后，它的厚度与珠穆朗玛峰的海拔8 848.86 m相比，哪个更高？
答案
8. 解:纸的厚度为$2^{32}×0.3≈1 288 490 189$(mm)≈1 288 490(m)，比珠穆朗玛峰的海拔高。
解析
【分析】
解决本题首先要归纳纸张对折后的厚度变化规律：每对折1次，厚度就变为原来的2倍，因此对折n次后，厚度为原厚度乘2的n次方。接下来根据规律计算对折32次后的厚度，再统一换算为以米为单位的数值，最后和珠穆朗玛峰的海拔比较大小即可得出结论。
【解析】
解：由题意得，对折n次后纸的厚度为$2^n × 0.3\ \mathrm{mm}$。
当对折32次时，厚度为：
$2^{32} × 0.3 = 4294967296 × 0.3 = 1288490188.8\ \mathrm{mm} \approx 1288490189\ \mathrm{mm}$
因为$1\ \mathrm{m}=1000\ \mathrm{mm}$，换算单位得：
$1288490189\ \mathrm{mm} \approx 1288490\ \mathrm{m}$
已知珠穆朗玛峰海拔为8848.86m，显然$1288490 ＞ 8848.86$。
【答案】
对折32次后的纸的厚度比珠穆朗玛峰的海拔更高。
【知识点】
有理数乘方的应用，长度单位换算，有理数大小比较
【点评】
本题结合生活实例考查乘方的实际应用，直观展现了乘方运算增长速度快的特点，解题核心是准确梳理对折次数和厚度的对应关系，注意比较大小前要统一单位，避免因单位不统一出错。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要归纳纸张对折后的厚度变化规律：每对折1次，厚度就变为原来的2倍，因此对折n次后，厚度为原厚度乘2的n次方。接下来根据规律计算对折32次后的厚度，再统一换算为以米为单位的数值，最后和珠穆朗玛峰的海拔比较大小即可得出结论。
【解析】
解：由题意得，对折n次后纸的厚度为$2^n × 0.3\ \mathrm{mm}$。
当对折32次时，厚度为：
$2^{32} × 0.3 = 4294967296 × 0.3 = 1288490188.8\ \mathrm{mm} \approx 1288490189\ \mathrm{mm}$
因为$1\ \mathrm{m}=1000\ \mathrm{mm}$，换算单位得：
$1288490189\ \mathrm{mm} \approx 1288490\ \mathrm{m}$
已知珠穆朗玛峰海拔为8848.86m，显然$1288490 ＞ 8848.86$。
【答案】
对折32次后的纸的厚度比珠穆朗玛峰的海拔更高。
【知识点】
有理数乘方的应用，长度单位换算，有理数大小比较
【点评】
本题结合生活实例考查乘方的实际应用，直观展现了乘方运算增长速度快的特点，解题核心是准确梳理对折次数和厚度的对应关系，注意比较大小前要统一单位，避免因单位不统一出错。
【难度系数】
0.7
