登录
8. [2025 张家口万全区期末] 对于二元一次方程组
$\begin{cases}\_\_\_\_\_\_, ① \\x - 3y = 7, ②\end{cases}$
将①代入②,消去$y$可以得$x - 3x + 6 = 7$,则方程①可以是 (
A.$y = x - 2$
B.$y = x + 2$
C.$x = 2y - 1$
D.$x = 2y + 1$
$\begin{cases}\_\_\_\_\_\_, ① \\x - 3y = 7, ②\end{cases}$
将①代入②,消去$y$可以得$x - 3x + 6 = 7$,则方程①可以是 (
A
)A.$y = x - 2$
B.$y = x + 2$
C.$x = 2y - 1$
D.$x = 2y + 1$
答案
因为$x - 3y = 7,x - 3x + 6 = x - 3(x - 2) = 7$,所以$y = x - 2$。
9. 对$x,y$定义一种新运算:$x\otimes y = mx - ny$。当$m=2,n=1$时,$x\otimes y =5$;当$m=3,n=-4$时,$x\otimes y =2$,则$x,y$的值分别为（
A.$2,-1$
B.$2,1$
C.$-2,1$
D.$-2,-1$
A
）A.$2,-1$
B.$2,1$
C.$-2,1$
D.$-2,-1$
答案
由题意,得$\begin{cases}2x - y = 5,① \\3x + 4y = 2,②\end{cases}$由①,得$y = 2x - 5$,把$y = 2x - 5$代入②,得$3x + 4(2x - 5) = 2$ ,解得$x = 2$,把$x = 2$代入$y = 2x - 5$,得$y = -1$。
10. 已知$t$满足方程组$\begin{cases}2x=3-t, \\3y-2t=x,\end{cases}$则$x$和$y$之间满足的关系是$y=$ ______ 。
答案
由$\begin{cases}2x = 3 - t,① \\3y - 2t = x,②\end{cases}$由①,得$t = 3 - 2x$,代入②,得$3y - 2(3 - 2x) = x$,整理,得$y = 2 - x$。
11. [2025 中卫三中期末] 若实数$a, b$满足$(a + b - 2)^2 + \sqrt{b - 2a + 3} = 0$,则$2b - a + 1 =$
0
。答案
因为$(a + b - 2)^2 ≥ 0, \sqrt{b - 2a + 3} ≥ 0,(a + b - 2)^2 + \sqrt{b - 2a + 3} = 0,$所以$\begin{cases}a + b - 2 = 0, \\b - 2a + 3 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = \dfrac{5}{3}, \\b = \dfrac{1}{3},\end{cases}$所以$2b - a + 1 = 2× \dfrac{1}{3} - \dfrac{5}{3} + 1 = 0$。
12. [2025四平期末]若$2^x = 4^{y+1}$，$27^y = 3^{x-1}$，则$x - y$的值为
3
。答案
因为$2^x = 4^{y+1} = 2^{2y+2}, 27^y = 3^{3y} = 3^{x-1}$,所以$\begin{cases}x = 2y + 2, \\3y = x - 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 4, \\y = 1,\end{cases}$则$x - y = 4 - 1 = 3$。
13. [2025济南历下区期末]已知关于$x,y$的二元一次方程组$\begin{cases}x - 2y = 2m + 3, \\2x - y = -3\end{cases}$的解互为相反数，则$m$的值为 ______ 。
答案
$\begin{cases}x - 2y = 2m + 3,① \\2x - y = -3,②\end{cases}$由题意,得$y = -x$③,将③代入②,得$2x + x = -3$,解得$x = -1$,所以$y = 1$,将$x = -1,y = 1$代入①,得$-1 - 2 = 2m + 3$,解得$m = -3$。
14. [2025 杭州外国语学校期中] 解下列方程组：
(1) $\begin{cases}3(y - 2) = x + 1, \\2(x - 1) = 5y - 8;\end{cases}$
(2) 一题多解 $\begin{cases}\dfrac{x + 1}{3} = 2y, \\2(x + 1) - y = 11。\end{cases}$
(1) $\begin{cases}3(y - 2) = x + 1, \\2(x - 1) = 5y - 8;\end{cases}$
(2) 一题多解 $\begin{cases}\dfrac{x + 1}{3} = 2y, \\2(x + 1) - y = 11。\end{cases}$
答案
解:(1)由原方程组,得$\begin{cases}x = 3y - 7,① \\2x - 5y = -6,②\end{cases}$
把①代入②,得$2(3y - 7) - 5y = -6$,解得$y = 8$,
把$y = 8$代入①,得$x = 17$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 17, \\y = 8。\end{cases}$
(2) 通解 由原方程组,得$\begin{cases}x = 6y - 1,① \\2x - y = 9,②\end{cases}$
把①代入②,得$2(6y - 1) - y = 9$,解得$y = 1$,
把$y = 1$代入①,得$x = 5$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 5, \\y = 1。\end{cases}$
优解 $\begin{cases}\dfrac{x + 1}{3} = 2y,① \\2(x + 1) - y = 11,②\end{cases}$
由①,得$x + 1 = 6y$,③
把③代入②,得$2× 6y - y = 11$,解得$y = 1$,
把$y = 1$代入③,得$x + 1 = 6$,解得$x = 5$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 5, \\y = 1。\end{cases}$
把①代入②,得$2(3y - 7) - 5y = -6$,解得$y = 8$,
把$y = 8$代入①,得$x = 17$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 17, \\y = 8。\end{cases}$
(2) 通解 由原方程组,得$\begin{cases}x = 6y - 1,① \\2x - y = 9,②\end{cases}$
把①代入②,得$2(6y - 1) - y = 9$,解得$y = 1$,
把$y = 1$代入①,得$x = 5$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 5, \\y = 1。\end{cases}$
优解 $\begin{cases}\dfrac{x + 1}{3} = 2y,① \\2(x + 1) - y = 11,②\end{cases}$
由①,得$x + 1 = 6y$,③
把③代入②,得$2× 6y - y = 11$,解得$y = 1$,
把$y = 1$代入③,得$x + 1 = 6$,解得$x = 5$,
所以原方程组的解为$\begin{cases}x = 5, \\y = 1。\end{cases}$
15. [2026 咸阳秦都区段考] 甲、乙两人同时解方程组$\begin{cases} ax + y = 3, \\ x - by = 2, \end{cases}$甲看错了$b$，求得解为$\begin{cases} x = 1, \\ y = -1; \end{cases}$乙看错了$a$，求得解为$\begin{cases} x = -1, \\ y = 3。 \end{cases}$求$a + b$的值。
答案
解:将$\begin{cases}x = 1, \\y = -1\end{cases}$代入$ax + y = 3$,
得$a - 1 = 3$,解得$a = 4$,
将$\begin{cases}x = -1, \\y = 3\end{cases}$代入$x - by = 2$,
得$-1 - 3b = 2$,解得$b = -1$,
所以$a + b = 4 - 1 = 3$。
得$a - 1 = 3$,解得$a = 4$,
将$\begin{cases}x = -1, \\y = 3\end{cases}$代入$x - by = 2$,
得$-1 - 3b = 2$,解得$b = -1$,
所以$a + b = 4 - 1 = 3$。
16. 应用意识 [2025 鹤壁期末] 先阅读，再解方程组。
解方程组$\begin{cases} x - y -1 =0, ① \\4(x - y) - y =5 ② \end{cases}$时，可由①，得$x - y =1$③，再将③代入②，得$4×1 - y =5$，解得$y = -1$，进一步得$\begin{cases} x =0, \\ y = -1 \end{cases}$。这种方法被称为整体代入法。
请用上述方法解方程组$\begin{cases} 2x -3y -2 =0, \\ \frac{2x -3y +5}{7} +2y =9 \end{cases}$
解方程组$\begin{cases} x - y -1 =0, ① \\4(x - y) - y =5 ② \end{cases}$时，可由①，得$x - y =1$③，再将③代入②，得$4×1 - y =5$，解得$y = -1$，进一步得$\begin{cases} x =0, \\ y = -1 \end{cases}$。这种方法被称为整体代入法。
请用上述方法解方程组$\begin{cases} 2x -3y -2 =0, \\ \frac{2x -3y +5}{7} +2y =9 \end{cases}$
答案
解：$\begin{cases}2x - 3y - 2 = 0,① \\ \frac{2x - 3y +5}{7} +2y =9,②\end{cases}$
由①，得$2x - 3y =2$,③
把③代入②，得$\frac{2+5}{7} +2y =9$,解得$y=4$,
把$y=4$代入③，得$2x - 3 ×4 =2$,解得$x=7$,
故原方程组的解为$\begin{cases} x=7, \\ y=4 \end{cases}$
提分大招
整体代入法在解方程组中的应用
(1)观察方程组的特点,从已知方程组中找到可作为整体的式子,如本题把$2x-3y$看作一个整体;(2)把看作整体的式子代入原方程组中的另一个方程,得到一个简单方程并求解;(3)利用(2)中的解即可得到原方程组的解。
由①，得$2x - 3y =2$,③
把③代入②，得$\frac{2+5}{7} +2y =9$,解得$y=4$,
把$y=4$代入③，得$2x - 3 ×4 =2$,解得$x=7$,
故原方程组的解为$\begin{cases} x=7, \\ y=4 \end{cases}$
提分大招
整体代入法在解方程组中的应用
(1)观察方程组的特点,从已知方程组中找到可作为整体的式子,如本题把$2x-3y$看作一个整体;(2)把看作整体的式子代入原方程组中的另一个方程,得到一个简单方程并求解;(3)利用(2)中的解即可得到原方程组的解。
