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1. 一元二次方程$(x+6)^2=16$可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是$x+6=4$，则另一个一元一次方程是（
A.$x-6=-4$
B.$x-6=4$
C.$x+6=4$
D.$x+6=-4$
D
）A.$x-6=-4$
B.$x-6=4$
C.$x+6=4$
D.$x+6=-4$
答案
1.D
解析
【分析】
本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程特征，左边是含x的一次式的完全平方，右边是非负常数，适合用直接开平方法求解；根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，因此将(x+6)看作整体开平方后，会得到两个一元一次方程，已知其中一个为x+6=4，即可推出另一个方程。
【解析】
解：根据平方根的定义，若$a^2 = b$（$b≥0$），则$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$。
对于方程$(x+6)^2=16$，把$x+6$看作整体，对等式两边同时开平方可得：
$x+6 = \sqrt{16}$ 或 $x+6 = -\sqrt{16}$
即$x+6=4$或$x+6=-4$。
已知其中一个一元一次方程是$x+6=4$，因此另一个为$x+6=-4$。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，难度较低，解题关键是将括号内的式子看作整体，利用平方根的性质开方，注意不要遗漏负的平方根。
【难度系数】
0.9
本题考查直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程特征，左边是含x的一次式的完全平方，右边是非负常数，适合用直接开平方法求解；根据平方根的性质，正数有两个互为相反数的平方根，因此将(x+6)看作整体开平方后，会得到两个一元一次方程，已知其中一个为x+6=4，即可推出另一个方程。
【解析】
解：根据平方根的定义，若$a^2 = b$（$b≥0$），则$a=\sqrt{b}$或$a=-\sqrt{b}$。
对于方程$(x+6)^2=16$，把$x+6$看作整体，对等式两边同时开平方可得：
$x+6 = \sqrt{16}$ 或 $x+6 = -\sqrt{16}$
即$x+6=4$或$x+6=-4$。
已知其中一个一元一次方程是$x+6=4$，因此另一个为$x+6=-4$。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题是一元二次方程解法的基础题，难度较低，解题关键是将括号内的式子看作整体，利用平方根的性质开方，注意不要遗漏负的平方根。
【难度系数】
0.9
2. 一元二次方程$(x-2)^2=1$的根是 （
A.$x=3$
B.$x_1=3, x_2=-3$
C.$x_1=3, x_2=1$
D.$x_1=1, x_2=-3$
C
）A.$x=3$
B.$x_1=3, x_2=-3$
C.$x_1=3, x_2=1$
D.$x_1=1, x_2=-3$
答案
2.C
解析
【分析】
观察方程结构，左侧是关于x的完全平方式，右侧为非负常数，适合用直接开平方法求解。解题时可将$(x-2)$看作整体，根据平方根的定义：若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，将原二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的根，再匹配对应选项。
【解析】
解：对一元二次方程$(x-2)^2=1$直接开平方，得：
$x-2=\pm1$
拆分得到两个一元一次方程：
当$x-2=1$时，解得$x_1=3$；
当$x-2=-1$时，解得$x_2=1$。
因此方程的根为$x_1=3,x_2=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，核心考查直接开平方法的应用，解题关键是把完全平方式部分看作整体降次计算，注意开平方时不要遗漏负根，避免漏解。
【难度系数】
0.8
观察方程结构，左侧是关于x的完全平方式，右侧为非负常数，适合用直接开平方法求解。解题时可将$(x-2)$看作整体，根据平方根的定义：若$a^2=b(b≥0)$，则$a=\pm\sqrt{b}$，将原二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解即可得到方程的根，再匹配对应选项。
【解析】
解：对一元二次方程$(x-2)^2=1$直接开平方，得：
$x-2=\pm1$
拆分得到两个一元一次方程：
当$x-2=1$时，解得$x_1=3$；
当$x-2=-1$时，解得$x_2=1$。
因此方程的根为$x_1=3,x_2=1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；一元二次方程的根
【点评】
本题属于一元二次方程求解的基础题，核心考查直接开平方法的应用，解题关键是把完全平方式部分看作整体降次计算，注意开平方时不要遗漏负根，避免漏解。
【难度系数】
0.8
3.将方程$(2x-1)^2=9$直接开平方，得$2x-1$=
±3
，即$2x-1$=3
或$2x-1$=-3
，所以$x_1$=2
，$x_2$=-1
。答案
3. ±3 3 -3 2 -1
解析
【分析】
这道题考查直接开平方法解一元二次方程的应用，解题思路先回忆平方根的性质：若一个数的平方等于正数a，那么这个数是a的两个互为相反数的平方根，即±√a。首先对给定方程两边直接开平方，得到2x-1等于9的平方根，再将结果拆分为两个一元一次方程，分别求解即可得到两个根。
【解析】
根据平方根的定义，对于方程$(2x-1)^2=9$，因为9＞0，两边直接开平方可得：
$2x-1=\pm\sqrt{9}=\pm3$
由此拆分为两个一元一次方程：
$2x-1=3$ 或 $2x-1=-3$
解$2x-1=3$：移项得$2x=3+1=4$，系数化为1得$x=2$，即$x_1=2$；
解$2x-1=-3$：移项得$2x=-3+1=-2$，系数化为1得$x=-1$，即$x_2=-1$。
【答案】
±3；3；-3；2；-1
【知识点】
平方根的定义；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题的关键是牢记正数有两个互为相反数的平方根，避免漏写负的平方根，掌握直接开平方的基本规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这道题考查直接开平方法解一元二次方程的应用，解题思路先回忆平方根的性质：若一个数的平方等于正数a，那么这个数是a的两个互为相反数的平方根，即±√a。首先对给定方程两边直接开平方，得到2x-1等于9的平方根，再将结果拆分为两个一元一次方程，分别求解即可得到两个根。
【解析】
根据平方根的定义，对于方程$(2x-1)^2=9$，因为9＞0，两边直接开平方可得：
$2x-1=\pm\sqrt{9}=\pm3$
由此拆分为两个一元一次方程：
$2x-1=3$ 或 $2x-1=-3$
解$2x-1=3$：移项得$2x=3+1=4$，系数化为1得$x=2$，即$x_1=2$；
解$2x-1=-3$：移项得$2x=-3+1=-2$，系数化为1得$x=-1$，即$x_2=-1$。
【答案】
±3；3；-3；2；-1
【知识点】
平方根的定义；直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，解题的关键是牢记正数有两个互为相反数的平方根，避免漏写负的平方根，掌握直接开平方的基本规则即可快速求解。
【难度系数】
0.8
4. 用直接开平方法解下列方程：
(1) $3(x+1)^2 = \frac{1}{3}$;
(2) $(3x+2)^2 = 25$.
(1) $3(x+1)^2 = \frac{1}{3}$;
(2) $(3x+2)^2 = 25$.
答案
4. (1)解:$(x+1)^2 = \frac{1}{9},x+1=\pm \frac{1}{3}$,$x_1=-\frac{2}{3},x_2=-\frac{4}{3}$.
(2)解:$3x+2=\pm5,x_1=1,x_2=-\frac{7}{3}$.
(2)解:$3x+2=\pm5,x_1=1,x_2=-\frac{7}{3}$.
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先明确直接开平方法适用于形如$a(x+m)^2=b$（$a≠0$，$b≥0$）的方程，解题分三步：第一步将平方项的系数化为1，变形为$(x+m)^2=\frac{b}{a}$的形式；第二步根据平方根的定义两边开平方，得到两个一元一次方程；第三步分别求解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根。第(1)题需先消去平方项前的系数3再开方，第(2)题可直接开平方求解。
【解析】
(1) 解：方程$3(x+1)^2 = \frac{1}{3}$两边同时除以3，得
$(x+1)^2 = \frac{1}{9}$
两边开平方，得
$x+1=\pm \frac{1}{3}$
当$x+1=\frac{1}{3}$时，解得$x=-\frac{2}{3}$；当$x+1=-\frac{1}{3}$时，解得$x=-\frac{4}{3}$。
(2) 解：方程$(3x+2)^2 = 25$两边开平方，得
$3x+2=\pm5$
当$3x+2=5$时，$3x=3$，解得$x=1$；当$3x+2=-5$时，$3x=-7$，解得$x=-\frac{7}{3}$。
【答案】
(1) $x_1=-\frac{2}{3},x_2=-\frac{4}{3}$；
(2) $x_1=1,x_2=-\frac{7}{3}$。
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质、一元一次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用规则，开平方时注意不要漏掉负根，计算时注意符号准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先明确直接开平方法适用于形如$a(x+m)^2=b$（$a≠0$，$b≥0$）的方程，解题分三步：第一步将平方项的系数化为1，变形为$(x+m)^2=\frac{b}{a}$的形式；第二步根据平方根的定义两边开平方，得到两个一元一次方程；第三步分别求解这两个一元一次方程，得到原方程的两个根。第(1)题需先消去平方项前的系数3再开方，第(2)题可直接开平方求解。
【解析】
(1) 解：方程$3(x+1)^2 = \frac{1}{3}$两边同时除以3，得
$(x+1)^2 = \frac{1}{9}$
两边开平方，得
$x+1=\pm \frac{1}{3}$
当$x+1=\frac{1}{3}$时，解得$x=-\frac{2}{3}$；当$x+1=-\frac{1}{3}$时，解得$x=-\frac{4}{3}$。
(2) 解：方程$(3x+2)^2 = 25$两边开平方，得
$3x+2=\pm5$
当$3x+2=5$时，$3x=3$，解得$x=1$；当$3x+2=-5$时，$3x=-7$，解得$x=-\frac{7}{3}$。
【答案】
(1) $x_1=-\frac{2}{3},x_2=-\frac{4}{3}$；
(2) $x_1=1,x_2=-\frac{7}{3}$。
【知识点】
直接开平方法、平方根的性质、一元一次方程求解
【点评】
本题是直接开平方法解一元二次方程的基础题型，核心是掌握直接开平方法的适用规则，开平方时注意不要漏掉负根，计算时注意符号准确性即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
5. 一元二次方程 $ x(x-2)=x-2 $ 的解是（
A.$ x_1=x_2=0 $
B.$ x_1=x_2=1 $
C.$ x_1=0,x_2=2 $
D.$ x_1=1,x_2=2 $
D
）A.$ x_1=x_2=0 $
B.$ x_1=x_2=1 $
C.$ x_1=0,x_2=2 $
D.$ x_1=1,x_2=2 $
答案
5.D
解析
【分析】
解这道题不能直接在方程两边同时除以$(x-2)$，否则会漏掉$x=2$这个根。正确的解题思路是先移项使方程右边为0，再提取公因式进行因式分解，把一元二次方程转化为两个一元一次方程分别求解，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$x(x-2)-(x-2)=0$
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x-1)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x-2=0$ 或 $x-1=0$
分别解得：$x_1=2$，$x_2=1$
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程求解注意事项
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时要注意不能直接约去含未知数的整式，避免出现漏根的问题，因式分解法是解这类有相同公因式结构方程的简便方法。
【难度系数】
0.8
解这道题不能直接在方程两边同时除以$(x-2)$，否则会漏掉$x=2$这个根。正确的解题思路是先移项使方程右边为0，再提取公因式进行因式分解，把一元二次方程转化为两个一元一次方程分别求解，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：对原方程移项，得：
$x(x-2)-(x-2)=0$
提取公因式$(x-2)$，得：
$(x-2)(x-1)=0$
根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”，可得：
$x-2=0$ 或 $x-1=0$
分别解得：$x_1=2$，$x_2=1$
所以本题选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解法解一元二次方程；一元二次方程求解注意事项
【点评】
本题是一元二次方程求解的基础题型，解题时要注意不能直接约去含未知数的整式，避免出现漏根的问题，因式分解法是解这类有相同公因式结构方程的简便方法。
【难度系数】
0.8
6.将方程$(x-1)^2 -4=0$的左边分解因式得$\_\_\_\_\_\_ = 0$，即$\_\_\_\_\_\_ = 0$，$\therefore \_\_\_\_\_\_ = 0$或$\_\_\_\_\_\_ = 0$，$\therefore x_1 = \_\_\_\_\_\_$，$x_2 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
6. $(x-1+2)(x-1-2) (x+1)(x-3) x+1 x-3 -1 3$
解析
【分析】
这道题考查运用因式分解法中的平方差公式解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程左边的结构，是两个数的平方差的形式：$(x-1)^2$相当于平方差公式里的$a^2$，$4=2^2$相当于公式里的$b^2$，符合平方差公式的适用条件；第一步先套用平方差公式分解因式，接着化简分解得到的两个一次因式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，最后分别解这两个一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
原方程左边为$(x-1)^2 - 4$，将$4$改写为$2^2$，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的结构，其中$a=x-1$，$b=2$：
1. 第一次分解因式得：$\boldsymbol{(x-1+2)(x-1-2)}=0$；
2. 化简两个因式：$x-1+2=x+1$，$x-1-2=x-3$，因此可得$\boldsymbol{(x+1)(x-3)}=0$；
3. 根据乘积为0的性质，可得$\boldsymbol{x+1}=0$或$\boldsymbol{x-3}=0$；
4. 分别解两个一元一次方程：
当$x+1=0$时，解得$x=-1$；
当$x-3=0$时，解得$x=3$。
【答案】
$(x-1+2)(x-1-2)$；$(x+1)(x-3)$；$x+1$；$x-3$；$-1$；$3$
【知识点】
平方差公式；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心是识别出多项式的平方差结构，熟练运用平方差公式分解因式，掌握因式分解法解一元二次方程的原理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
这道题考查运用因式分解法中的平方差公式解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程左边的结构，是两个数的平方差的形式：$(x-1)^2$相当于平方差公式里的$a^2$，$4=2^2$相当于公式里的$b^2$，符合平方差公式的适用条件；第一步先套用平方差公式分解因式，接着化简分解得到的两个一次因式，再根据“若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0”的原理，将一元二次方程转化为两个一元一次方程，最后分别解这两个一次方程即可得到原方程的根。
【解析】
原方程左边为$(x-1)^2 - 4$，将$4$改写为$2^2$，符合平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$的结构，其中$a=x-1$，$b=2$：
1. 第一次分解因式得：$\boldsymbol{(x-1+2)(x-1-2)}=0$；
2. 化简两个因式：$x-1+2=x+1$，$x-1-2=x-3$，因此可得$\boldsymbol{(x+1)(x-3)}=0$；
3. 根据乘积为0的性质，可得$\boldsymbol{x+1}=0$或$\boldsymbol{x-3}=0$；
4. 分别解两个一元一次方程：
当$x+1=0$时，解得$x=-1$；
当$x-3=0$时，解得$x=3$。
【答案】
$(x-1+2)(x-1-2)$；$(x+1)(x-3)$；$x+1$；$x-3$；$-1$；$3$
【知识点】
平方差公式；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，核心是识别出多项式的平方差结构，熟练运用平方差公式分解因式，掌握因式分解法解一元二次方程的原理即可快速求解。
【难度系数】
0.85
7.运用因式分解法解下列方程：
(1)$x(x-7)=8(7-x)$；
(2)$(x-3)^2+4x(x-3)=0$；
(3)$(2+x)^2-9=0$；
(4)$16x^2-(2x+6)^2=0$。
(1)$x(x-7)=8(7-x)$；
(2)$(x-3)^2+4x(x-3)=0$；
(3)$(2+x)^2-9=0$；
(4)$16x^2-(2x+6)^2=0$。
答案
7. (1)解:$x(x-7)+8(x-7)=0,(x-7)(x+8)=0,x-7=0$或$x+8=0$,$x_1=7,x_2=-8$.
(2)解:$(x-3)(x-3+4x)=0$,即$(x-3)(5x-3)=0$,$x-3=0$或$5x-3=0$,$x_1=3,x_2=\frac{3}{5}$.
(3)解:$(x+5)(x-1)=0$,$\therefore x_1=-5,x_2=1$.
(4)解:$[4x-(2x+6)][4x+(2x+6)]=0$,即$(2x-6)(6x+6)=0$,$2x-6=0$或$6x+6=0$,$x_1=3,x_2=-1$;
(2)解:$(x-3)(x-3+4x)=0$,即$(x-3)(5x-3)=0$,$x-3=0$或$5x-3=0$,$x_1=3,x_2=\frac{3}{5}$.
(3)解:$(x+5)(x-1)=0$,$\therefore x_1=-5,x_2=1$.
(4)解:$[4x-(2x+6)][4x+(2x+6)]=0$,即$(2x-6)(6x+6)=0$,$2x-6=0$或$6x+6=0$,$x_1=3,x_2=-1$;
解析
【分析】
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，据此可将一元二次方程降次为两个一元一次方程求解。解题统一步骤为：先将方程整理为右边为0的形式，再对左边多项式因式分解，最后令每个因式为0求解即可。
(1)小题先将右边的项移到左边，把$(7-x)$变形为$-(x-7)$，再提取公因式$(x-7)$分解；
(2)小题直接提取公因式$(x-3)$即可分解；
(3)(4)小题符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，直接用平方差公式因式分解即可。
【解析】
(1) 移项得：$x(x-7)+8(x-7)=0$，
提取公因式$(x-7)$得：$(x-7)(x+8)=0$，
则$x-7=0$或$x+8=0$，
解得$x_1=7,x_2=-8$。
(2) 提取公因式$(x-3)$得：$(x-3)(x-3+4x)=0$，
整理得：$(x-3)(5x-3)=0$，
则$x-3=0$或$5x-3=0$，
解得$x_1=3,x_2=\frac{3}{5}$。
(3) 原方程变形为$(x+2)^2-3^2=0$，
由平方差公式得：$(x+2+3)(x+2-3)=0$，即$(x+5)(x-1)=0$，
则$x+5=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=-5,x_2=1$。
(4) 原方程变形为$(4x)^2-(2x+6)^2=0$，
由平方差公式得：$[4x-(2x+6)][4x+(2x+6)]=0$，
整理得：$(2x-6)(6x+6)=0$，
则$2x-6=0$或$6x+6=0$，
解得$x_1=3,x_2=-1$。
【答案】
(1) $x_1=7,x_2=-8$；
(2) $x_1=3,x_2=\frac{3}{5}$；
(3) $x_1=-5,x_2=1$；
(4) $x_1=3,x_2=-1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法，平方差公式
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础训练题，需要熟练掌握提公因式、平方差公式等因式分解技巧，解题时注意移项的符号问题，分解因式要彻底，避免因计算粗心出错。
【难度系数】
0.8
因式分解法解一元二次方程的核心逻辑是：若两个因式的乘积为0，则至少其中一个因式为0，据此可将一元二次方程降次为两个一元一次方程求解。解题统一步骤为：先将方程整理为右边为0的形式，再对左边多项式因式分解，最后令每个因式为0求解即可。
(1)小题先将右边的项移到左边，把$(7-x)$变形为$-(x-7)$，再提取公因式$(x-7)$分解；
(2)小题直接提取公因式$(x-3)$即可分解；
(3)(4)小题符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构，直接用平方差公式因式分解即可。
【解析】
(1) 移项得：$x(x-7)+8(x-7)=0$，
提取公因式$(x-7)$得：$(x-7)(x+8)=0$，
则$x-7=0$或$x+8=0$，
解得$x_1=7,x_2=-8$。
(2) 提取公因式$(x-3)$得：$(x-3)(x-3+4x)=0$，
整理得：$(x-3)(5x-3)=0$，
则$x-3=0$或$5x-3=0$，
解得$x_1=3,x_2=\frac{3}{5}$。
(3) 原方程变形为$(x+2)^2-3^2=0$，
由平方差公式得：$(x+2+3)(x+2-3)=0$，即$(x+5)(x-1)=0$，
则$x+5=0$或$x-1=0$，
解得$x_1=-5,x_2=1$。
(4) 原方程变形为$(4x)^2-(2x+6)^2=0$，
由平方差公式得：$[4x-(2x+6)][4x+(2x+6)]=0$，
整理得：$(2x-6)(6x+6)=0$，
则$2x-6=0$或$6x+6=0$，
解得$x_1=3,x_2=-1$。
【答案】
(1) $x_1=7,x_2=-8$；
(2) $x_1=3,x_2=\frac{3}{5}$；
(3) $x_1=-5,x_2=1$；
(4) $x_1=3,x_2=-1$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程，提公因式法，平方差公式
【点评】
本题是因式分解法解方程的基础训练题，需要熟练掌握提公因式、平方差公式等因式分解技巧，解题时注意移项的符号问题，分解因式要彻底，避免因计算粗心出错。
【难度系数】
0.8
8. 用直接开平方法解方程$(2x-1)^2=x^2$，做法正确的是 （
A.$2x-1=x$
B.$2x-1=-x$
C.$2x-1=\pm x$
D.$2x-1=\pm x^2$
C
）A.$2x-1=x$
B.$2x-1=-x$
C.$2x-1=\pm x$
D.$2x-1=\pm x^2$
答案
8.C
解析
【分析】
首先回忆直接开平方法的解题依据：若两个数的平方相等，那么这两个数相等或者互为相反数，也就是若$a^2 = b^2$，则$a = \pm b$。本题中方程左右两边都是完全平方式，符合直接开平方法的应用形式，解题时只需将左右两个平方式的底数对应上述规则即可，同时要注意避免漏写负号、开平方错误等问题。
【解析】
用直接开平方法解方程$(2x-1)^2 = x^2$时，根据平方根的性质：若$a^2 = b^2$，则$a = \pm b$。
令$a = 2x-1$，$b = x$，开平方可得：$2x-1 = \pm x$。
逐一分析选项：
A选项仅取了正号，漏了$2x-1=-x$的情况，错误；
B选项仅取了负号，漏了$2x-1=x$的情况，错误；
C选项符合开平方后的结果，正确；
D选项开平方时错误保留了右边的平方，错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法
2. 平方根的性质
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的基础应用，解题核心是掌握平方相等的两个数的关系，既要避免漏写正负号导致漏解，也要注意开平方时不要出错。
【难度系数】
0.8
首先回忆直接开平方法的解题依据：若两个数的平方相等，那么这两个数相等或者互为相反数，也就是若$a^2 = b^2$，则$a = \pm b$。本题中方程左右两边都是完全平方式，符合直接开平方法的应用形式，解题时只需将左右两个平方式的底数对应上述规则即可，同时要注意避免漏写负号、开平方错误等问题。
【解析】
用直接开平方法解方程$(2x-1)^2 = x^2$时，根据平方根的性质：若$a^2 = b^2$，则$a = \pm b$。
令$a = 2x-1$，$b = x$，开平方可得：$2x-1 = \pm x$。
逐一分析选项：
A选项仅取了正号，漏了$2x-1=-x$的情况，错误；
B选项仅取了负号，漏了$2x-1=x$的情况，错误；
C选项符合开平方后的结果，正确；
D选项开平方时错误保留了右边的平方，错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 直接开平方法
2. 平方根的性质
【点评】
本题考查直接开平方法解一元二次方程的基础应用，解题核心是掌握平方相等的两个数的关系，既要避免漏写正负号导致漏解，也要注意开平方时不要出错。
【难度系数】
0.8
9.用因式分解法解方程$x^2 - px -6=0$，将左边分解因式后有一个因式为$x-3$，则$p$的值为（
A.$-5$
B.$5$
C.$-1$
D.$1$
D
）A.$-5$
B.$5$
C.$-1$
D.$1$
答案
9.D
解析
【分析】
要解这道题，可从因式分解和一元二次方程根的关系入手：①若多项式因式分解后含有因式$x-3$，说明$x=3$时该多项式的值为0，即$x=3$是原一元二次方程的根，代入方程即可求$p$；②也可用待定系数法，设出另一个一次因式，展开后对比两边多项式的系数，同样能求出$p$，两种方法均符合现阶段知识要求。
【解析】
方法一：利用方程根的定义求解
∵ 多项式$x^2 - px -6$因式分解后有一个因式为$x-3$
∴ $x=3$是方程$x^2 - px -6=0$的解
将$x=3$代入方程得：
$3^2 - 3p -6 = 0$
$9 - 3p -6 = 0$
$3 - 3p = 0$
解得 $p=1$
方法二：待定系数法求解
设$x^2 - px -6 = (x-3)(x+m)$（$m$为常数）
将右边展开得：$x^2 + (m-3)x - 3m$
左右两边多项式对应项系数相等，可得：
$\begin{cases} -3m = -6 \\ -p = m - 3 \end{cases}$
解第一个方程得$m=2$，代入第二个方程得：$-p=2-3=-1$，即$p=1$
【答案】
D
【知识点】
因式分解的意义，一元二次方程的根，待定系数法
【点评】
本题考查因式分解与一元二次方程的关联，解题核心是理解“多项式含因式$x-a$则$x=a$是对应方程的根”这一规律，也可通过系数对比求解，属于基础题型，熟练掌握相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.8
要解这道题，可从因式分解和一元二次方程根的关系入手：①若多项式因式分解后含有因式$x-3$，说明$x=3$时该多项式的值为0，即$x=3$是原一元二次方程的根，代入方程即可求$p$；②也可用待定系数法，设出另一个一次因式，展开后对比两边多项式的系数，同样能求出$p$，两种方法均符合现阶段知识要求。
【解析】
方法一：利用方程根的定义求解
∵ 多项式$x^2 - px -6$因式分解后有一个因式为$x-3$
∴ $x=3$是方程$x^2 - px -6=0$的解
将$x=3$代入方程得：
$3^2 - 3p -6 = 0$
$9 - 3p -6 = 0$
$3 - 3p = 0$
解得 $p=1$
方法二：待定系数法求解
设$x^2 - px -6 = (x-3)(x+m)$（$m$为常数）
将右边展开得：$x^2 + (m-3)x - 3m$
左右两边多项式对应项系数相等，可得：
$\begin{cases} -3m = -6 \\ -p = m - 3 \end{cases}$
解第一个方程得$m=2$，代入第二个方程得：$-p=2-3=-1$，即$p=1$
【答案】
D
【知识点】
因式分解的意义，一元二次方程的根，待定系数法
【点评】
本题考查因式分解与一元二次方程的关联，解题核心是理解“多项式含因式$x-a$则$x=a$是对应方程的根”这一规律，也可通过系数对比求解，属于基础题型，熟练掌握相关概念即可快速得分。
【难度系数】
0.8
10. 下列解方程的过程中，正确的是 （
A.$x^2=-2$，解方程，得 $x=\pm\sqrt{2}$
B.$(x-2)^2=4$，解方程，得 $x-2=2$，$x=4$
C.$4(x-1)^2=9$，解方程，得 $4(x-1)=\pm3$，$x_1=\frac{7}{4}$，$x_2=\frac{1}{4}$
D.$(2x+3)^2=25$，解方程，得 $2x+3=\pm5$，$x_1=1$，$x_2=-4$
D
）A.$x^2=-2$，解方程，得 $x=\pm\sqrt{2}$
B.$(x-2)^2=4$，解方程，得 $x-2=2$，$x=4$
C.$4(x-1)^2=9$，解方程，得 $4(x-1)=\pm3$，$x_1=\frac{7}{4}$，$x_2=\frac{1}{4}$
D.$(2x+3)^2=25$，解方程，得 $2x+3=\pm5$，$x_1=1$，$x_2=-4$
答案
10.D
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题时需先明确直接开平方法的核心规则：若$a^2 = b$，则必须满足$b≥0$才有实根，且开方后得到$a=\pm\sqrt{b}$，再逐一对每个选项的解方程过程进行验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$x^2=-2$，因为任意实数的平方都是非负数，不可能等于负数，因此该方程无实数根，A错误。
选项B：$(x-2)^2=4$，开方得$x-2=\pm2$，即$x-2=2$或$x-2=-2$，解得$x_1=4$，$x_2=0$，该选项漏了负根，B错误。
选项C：$4(x-1)^2=9$，先将系数化为1得$(x-1)^2=\frac{9}{4}$，开方得$x-1=\pm\frac{3}{2}$，解得$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-\frac{1}{2}$；该选项第一步错误地将$4(x-1)^2$开方为$4(x-1)$，C错误。
选项D：$(2x+3)^2=25$，开方得$2x+3=\pm5$，当$2x+3=5$时，解得$x=1$；当$2x+3=-5$时，解得$x=-4$，解题过程正确，D正确。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直接开平方法解方程的步骤规范性，解题时需注意三点：一是判断等号右侧的数是否非负，二是开方后要取正负两个值，避免漏根，三是处理含系数的平方式时开方要正确。
【难度系数】
0.8
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题时需先明确直接开平方法的核心规则：若$a^2 = b$，则必须满足$b≥0$才有实根，且开方后得到$a=\pm\sqrt{b}$，再逐一对每个选项的解方程过程进行验证即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
选项A：$x^2=-2$，因为任意实数的平方都是非负数，不可能等于负数，因此该方程无实数根，A错误。
选项B：$(x-2)^2=4$，开方得$x-2=\pm2$，即$x-2=2$或$x-2=-2$，解得$x_1=4$，$x_2=0$，该选项漏了负根，B错误。
选项C：$4(x-1)^2=9$，先将系数化为1得$(x-1)^2=\frac{9}{4}$，开方得$x-1=\pm\frac{3}{2}$，解得$x_1=\frac{5}{2}$，$x_2=-\frac{1}{2}$；该选项第一步错误地将$4(x-1)^2$开方为$4(x-1)$，C错误。
选项D：$(2x+3)^2=25$，开方得$2x+3=\pm5$，当$2x+3=5$时，解得$x=1$；当$2x+3=-5$时，解得$x=-4$，解题过程正确，D正确。
【答案】
D
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，重点考查直接开平方法解方程的步骤规范性，解题时需注意三点：一是判断等号右侧的数是否非负，二是开方后要取正负两个值，避免漏根，三是处理含系数的平方式时开方要正确。
【难度系数】
0.8
