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4.元代的《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著.该著有一道“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽，每株椽钱三文足，无钱准与一株椽”.大意是：用6210文钱买一批椽.如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设6210文能够买x株椽，则列出分式方程为
$3(x-1)=\frac{6210}{x}$
.答案
4.$3(x-1)=\frac{6210}{x}$
解析
【分析】
解题时先明确核心等量关系：少拿一株椽后的总运费=一株椽的单价。首先明确未知数x是6210文可购买的椽的总数量，再分别用含x的代数式表示等量关系的左右两边：①少拿1株后，椽的数量是(x-1)株，每株运费3文，总运费为3(x-1)文；②总钱数是6210文，共买x株椽，因此一株椽的单价为6210/x文，最后根据等量关系列方程即可。
【解析】
已知设6210文能够买x株椽：
1. 计算少拿一株椽后的总运费：少拿1株后椽的数量为(x-1)株，每株运费3文，因此总运费为$3(x-1)$文；
2. 计算1株椽的价格：总费用6210文买x株椽，根据“单价=总价÷数量”，可得1株椽的价格为$\frac{6210}{x}$文；
3. 根据题意“剩下椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可列方程：$3(x-1)=\frac{6210}{x}$。
【答案】
$3(x-1)=\frac{6210}{x}$
【知识点】
1. 列分式方程
2. 单价数量总价关系
【点评】
本题以中国古代数学名著中的问题为背景，既考查了从文字信息中提取等量关系、列方程的能力，也能让学生感受到中国传统数学的魅力，解题的关键是准确理解题意，找到运费与椽的单价之间的相等关系。
【难度系数】
0.7
解题时先明确核心等量关系：少拿一株椽后的总运费=一株椽的单价。首先明确未知数x是6210文可购买的椽的总数量，再分别用含x的代数式表示等量关系的左右两边：①少拿1株后，椽的数量是(x-1)株，每株运费3文，总运费为3(x-1)文；②总钱数是6210文，共买x株椽，因此一株椽的单价为6210/x文，最后根据等量关系列方程即可。
【解析】
已知设6210文能够买x株椽：
1. 计算少拿一株椽后的总运费：少拿1株后椽的数量为(x-1)株，每株运费3文，因此总运费为$3(x-1)$文；
2. 计算1株椽的价格：总费用6210文买x株椽，根据“单价=总价÷数量”，可得1株椽的价格为$\frac{6210}{x}$文；
3. 根据题意“剩下椽的运费恰好等于一株椽的价钱”，可列方程：$3(x-1)=\frac{6210}{x}$。
【答案】
$3(x-1)=\frac{6210}{x}$
【知识点】
1. 列分式方程
2. 单价数量总价关系
【点评】
本题以中国古代数学名著中的问题为背景，既考查了从文字信息中提取等量关系、列方程的能力，也能让学生感受到中国传统数学的魅力，解题的关键是准确理解题意，找到运费与椽的单价之间的相等关系。
【难度系数】
0.7
5.轮船顺水航行80 km所需要的时间与逆水航行60 km所需要的时间相同，已知水流的速度是3 km/h，则轮船在静水中的速度为
21
km/h.答案
5.21
解析
【分析】
首先明确题目的等量关系：轮船顺水航行80km的时间 = 逆水航行60km的时间。结合行程问题基本公式“时间=路程÷速度”，以及顺水速度、逆水速度与静水速度、水流速度的关系（顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度），我们可以设轮船在静水中的速度为未知数，用含未知数的式子表示出顺水、逆水速度后，根据等量关系列分式方程求解，最后检验所得的根是否符合实际意义且为原方程的解即可。
【解析】
设轮船在静水中的速度为$x$ km/h，则轮船顺水航行的速度为$(x+3)$ km/h，逆水航行的速度为$(x-3)$ km/h。
根据题意列方程得：
$\frac{80}{x+3}=\frac{60}{x-3}$
方程两边同时乘最简公分母$(x+3)(x-3)$去分母得：
$80(x-3)=60(x+3)$
展开括号：
$80x - 240 = 60x + 180$
移项、合并同类项：
$20x = 420$
系数化为1得：
$x=21$
检验：当$x=21$时，$(x+3)(x-3)=(21+3)×(21-3)=432≠0$，且速度为正数符合实际意义，因此$x=21$是原方程的解。
【答案】
21
【知识点】
分式方程的应用、行程问题公式、顺水逆水速度关系
【点评】
本题是分式方程在行程问题中的典型基础题，解题关键是找准时间相等的等量关系列方程，求解后要注意检验分式方程的根既要满足原方程，也要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
首先明确题目的等量关系：轮船顺水航行80km的时间 = 逆水航行60km的时间。结合行程问题基本公式“时间=路程÷速度”，以及顺水速度、逆水速度与静水速度、水流速度的关系（顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度），我们可以设轮船在静水中的速度为未知数，用含未知数的式子表示出顺水、逆水速度后，根据等量关系列分式方程求解，最后检验所得的根是否符合实际意义且为原方程的解即可。
【解析】
设轮船在静水中的速度为$x$ km/h，则轮船顺水航行的速度为$(x+3)$ km/h，逆水航行的速度为$(x-3)$ km/h。
根据题意列方程得：
$\frac{80}{x+3}=\frac{60}{x-3}$
方程两边同时乘最简公分母$(x+3)(x-3)$去分母得：
$80(x-3)=60(x+3)$
展开括号：
$80x - 240 = 60x + 180$
移项、合并同类项：
$20x = 420$
系数化为1得：
$x=21$
检验：当$x=21$时，$(x+3)(x-3)=(21+3)×(21-3)=432≠0$，且速度为正数符合实际意义，因此$x=21$是原方程的解。
【答案】
21
【知识点】
分式方程的应用、行程问题公式、顺水逆水速度关系
【点评】
本题是分式方程在行程问题中的典型基础题，解题关键是找准时间相等的等量关系列方程，求解后要注意检验分式方程的根既要满足原方程，也要符合实际场景的要求。
【难度系数】
0.7
6.某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的炸酱面、牛肉面两种食品.
(1)该公司花费3 000元一次性购买了炸酱面和牛肉面共170份,此时炸酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元,求购买两种食品各多少份;
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整,现该公司分别花费1 260元、1 200元一次性购买炸酱面、牛肉面两种食品,已知购买炸酱面的份数比牛肉面的份数多50%,每份炸酱面比每份牛肉面的价格少6元,求购买牛肉面多少份.
(1)该公司花费3 000元一次性购买了炸酱面和牛肉面共170份,此时炸酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元,求购买两种食品各多少份;
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整,现该公司分别花费1 260元、1 200元一次性购买炸酱面、牛肉面两种食品,已知购买炸酱面的份数比牛肉面的份数多50%,每份炸酱面比每份牛肉面的价格少6元,求购买牛肉面多少份.
答案
6.(1)购买杂酱面80份,购买牛肉面90份 (2)购买牛肉面60份
解析
【分析】
(1) 本题已知两种食品总份数、总花费及各自单价，可设其中一种食品的份数为未知数，用总份数表示另一种食品的份数，再根据“总花费=炸酱面花费+牛肉面花费”的等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 本题可先设购买牛肉面的份数为未知数，根据炸酱面份数与牛肉面份数的数量关系表示出炸酱面的份数，再分别用总花费除以对应份数得到两种食品的单价，结合“每份炸酱面比每份牛肉面价格少6元”的等量关系列分式方程求解，最后注意检验分式方程的解是否符合要求。
【解析】
(1) 解：设购买炸酱面x份，则购买牛肉面$(170-x)$份。
根据总花费为3000元，列方程得：
$15x + 20(170 - x) = 3000$
展开得：$15x + 3400 - 20x = 3000$
移项合并同类项得：$-5x = -400$
解得：$x = 80$
则牛肉面的份数为：$170 - 80 = 90$（份）
(2) 解：设购买牛肉面m份，则购买炸酱面的份数为$(1+50\%)m=1.5m$份。
牛肉面的单价为$\frac{1200}{m}$元/份，炸酱面的单价为$\frac{1260}{1.5m}$元/份，根据题意列方程得：
$\frac{1200}{m} - \frac{1260}{1.5m} = 6$
化简得：$\frac{1200}{m} - \frac{840}{m} = 6$
合并得：$\frac{360}{m} = 6$
解得：$m = 60$
检验：当$m=60$时，$1.5m=90≠0$，分母不为0，所以$m=60$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) 购买炸酱面80份，购买牛肉面90份；(2) 购买牛肉面60份
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 分式方程应用
3. 分式方程检验
【点评】
本题结合生活消费场景考查方程的实际应用，重点考查学生提取等量关系、列解方程的能力，求解分式方程时要注意双重检验，既要验证解是否为原方程的根，也要验证解是否符合实际情况。
【难度系数】
0.7
(1) 本题已知两种食品总份数、总花费及各自单价，可设其中一种食品的份数为未知数，用总份数表示另一种食品的份数，再根据“总花费=炸酱面花费+牛肉面花费”的等量关系列一元一次方程求解即可。
(2) 本题可先设购买牛肉面的份数为未知数，根据炸酱面份数与牛肉面份数的数量关系表示出炸酱面的份数，再分别用总花费除以对应份数得到两种食品的单价，结合“每份炸酱面比每份牛肉面价格少6元”的等量关系列分式方程求解，最后注意检验分式方程的解是否符合要求。
【解析】
(1) 解：设购买炸酱面x份，则购买牛肉面$(170-x)$份。
根据总花费为3000元，列方程得：
$15x + 20(170 - x) = 3000$
展开得：$15x + 3400 - 20x = 3000$
移项合并同类项得：$-5x = -400$
解得：$x = 80$
则牛肉面的份数为：$170 - 80 = 90$（份）
(2) 解：设购买牛肉面m份，则购买炸酱面的份数为$(1+50\%)m=1.5m$份。
牛肉面的单价为$\frac{1200}{m}$元/份，炸酱面的单价为$\frac{1260}{1.5m}$元/份，根据题意列方程得：
$\frac{1200}{m} - \frac{1260}{1.5m} = 6$
化简得：$\frac{1200}{m} - \frac{840}{m} = 6$
合并得：$\frac{360}{m} = 6$
解得：$m = 60$
检验：当$m=60$时，$1.5m=90≠0$，分母不为0，所以$m=60$是原方程的解，且符合实际意义。
【答案】
(1) 购买炸酱面80份，购买牛肉面90份；(2) 购买牛肉面60份
【知识点】
1. 一元一次方程应用
2. 分式方程应用
3. 分式方程检验
【点评】
本题结合生活消费场景考查方程的实际应用，重点考查学生提取等量关系、列解方程的能力，求解分式方程时要注意双重检验，既要验证解是否为原方程的根，也要验证解是否符合实际情况。
【难度系数】
0.7
7.水果种植基地计划修建灌溉水渠1 650 m，由甲、乙两个施工队合作完成.乙施工队比甲施工队每天多修建30 m，甲施工队单独完成修建任务所需天数是乙施工队单独完成修建任务所需天数的$\frac{3}{2}$.
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米；
(2)已知甲施工队每天的修建费用为9万元，乙施工队每天的修建费用为12万元，若先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好14天完成修建任务，求共需修建费用多少万元.
(1)求甲、乙两施工队每天各修建多少米；
(2)已知甲施工队每天的修建费用为9万元，乙施工队每天的修建费用为12万元，若先由甲施工队单独修建若干天，再由甲、乙两个施工队合作修建，恰好14天完成修建任务，求共需修建费用多少万元.
答案
7.(1)甲施工队每天修建60 m,乙施工队每天修建90 m (2)共需修建费用234万元
解析
【分析】
(1) 本题属于工程问题，已知总工作量，以及甲乙两队工作效率、工作时间的数量关系，我们可先设甲施工队每天修建x米，那么乙每天修建(x+30)米，再根据“甲单独完成任务的天数=乙单独完成任务天数×$\frac{3}{2}$”的等量关系列分式方程求解，最后要检验方程的根是否符合实际意义。
(2) 已知总工期为14天，可设甲单独修建y天，那么甲乙合作的天数为(14-y)天，根据“甲单独完成的工作量+甲乙合作完成的工作量=总工作量1650m”列一元一次方程求出y的值，再分别计算甲、乙两队的总施工费用求和即可。
【解析】
(1) 设甲施工队每天修建$x$ m，则乙施工队每天修建$(x+30)$ m。
由题意得甲单独完成的天数为$\frac{1650}{x}$，乙单独完成的天数为$\frac{1650}{x+30}$，可列方程：
$\frac{1650}{x}=\frac{3}{2}×\frac{1650}{x+30}$
约去1650后交叉相乘得：$2(x+30)=3x$
解得：$x=60$
检验：当$x=60$时，$x(x+30)=60×90=5400≠0$，所以$x=60$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙每天修建长度：$x+30=60+30=90$（m）
(2) 设甲施工队单独修建$y$天，则甲乙合作修建的天数为$(14-y)$天。
根据总工作量列方程：
$60y + (60+90)(14-y)=1650$
化简得：$60y + 2100 - 150y=1650$
合并同类项得：$-90y=-450$
解得：$y=5$
则乙施工队施工天数为$14-5=9$天，总费用为：
$9×14 + 12×9=126+108=234$（万元）
【答案】
(1) 甲施工队每天修建60 m，乙施工队每天修建90 m；(2) 共需修建费用234万元
【知识点】
分式方程的应用，一元一次方程的应用，工程问题计算
【点评】
本题是典型的工程类实际应用题，第一问借助工作时间的等量关系列分式方程，解题时注意要对分式方程的根做双重检验，既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际情境；第二问结合总工期列一元一次方程求解费用，整体考察学生提取等量关系、用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 本题属于工程问题，已知总工作量，以及甲乙两队工作效率、工作时间的数量关系，我们可先设甲施工队每天修建x米，那么乙每天修建(x+30)米，再根据“甲单独完成任务的天数=乙单独完成任务天数×$\frac{3}{2}$”的等量关系列分式方程求解，最后要检验方程的根是否符合实际意义。
(2) 已知总工期为14天，可设甲单独修建y天，那么甲乙合作的天数为(14-y)天，根据“甲单独完成的工作量+甲乙合作完成的工作量=总工作量1650m”列一元一次方程求出y的值，再分别计算甲、乙两队的总施工费用求和即可。
【解析】
(1) 设甲施工队每天修建$x$ m，则乙施工队每天修建$(x+30)$ m。
由题意得甲单独完成的天数为$\frac{1650}{x}$，乙单独完成的天数为$\frac{1650}{x+30}$，可列方程：
$\frac{1650}{x}=\frac{3}{2}×\frac{1650}{x+30}$
约去1650后交叉相乘得：$2(x+30)=3x$
解得：$x=60$
检验：当$x=60$时，$x(x+30)=60×90=5400≠0$，所以$x=60$是原分式方程的解，且符合实际意义。
则乙每天修建长度：$x+30=60+30=90$（m）
(2) 设甲施工队单独修建$y$天，则甲乙合作修建的天数为$(14-y)$天。
根据总工作量列方程：
$60y + (60+90)(14-y)=1650$
化简得：$60y + 2100 - 150y=1650$
合并同类项得：$-90y=-450$
解得：$y=5$
则乙施工队施工天数为$14-5=9$天，总费用为：
$9×14 + 12×9=126+108=234$（万元）
【答案】
(1) 甲施工队每天修建60 m，乙施工队每天修建90 m；(2) 共需修建费用234万元
【知识点】
分式方程的应用，一元一次方程的应用，工程问题计算
【点评】
本题是典型的工程类实际应用题，第一问借助工作时间的等量关系列分式方程，解题时注意要对分式方程的根做双重检验，既要检验是否为增根，也要检验是否符合实际情境；第二问结合总工期列一元一次方程求解费用，整体考察学生提取等量关系、用方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
