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8. 与算式$3^2 + 3^2 + 3^2$的运算结果相等的是 （
A.$3^3$
B.$2^3$
C.$3^6$
D.$3^8$
A
）A.$3^3$
B.$2^3$
C.$3^6$
D.$3^8$
答案
8.A
解析
【分析】
解题可以从两个思路入手：思路一，先根据乘方的定义算出原式的结果，再分别计算各选项的结果，对比选出相等的选项；思路二，先利用乘法的意义，把3个相同的$3^2$相加转化为乘法形式，再结合乘方的定义直接推导对应的结果，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法1：计算数值对比
根据乘方的定义，$3^2=3×3=9$，
因此$3^2+3^2+3^2=9+9+9=27$。
再逐一计算选项：
A选项：$3^3=3×3×3=27$，与原式结果相等；
B选项：$2^3=2×2×2=8$，与原式结果不同；
C选项：$3^6=3×3×3×3×3×3=729$，与原式结果不同；
D选项：$3^8$数值远大于27，与原式结果不同。
方法2：利用定义推导
3个相同的$3^2$相加，可根据乘法的意义改写为乘法算式：$3×3^2$，
再结合乘方的定义计算得$3×3^2=3×3×3=3^3$。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘方运算、乘法的意义
【点评】
本题是乘方相关的基础题，既可以通过直接计算数值对比求解，也可以通过乘法和乘方的定义灵活推导，能够帮助学生加深对乘方含义的理解。
【难度系数】
0.9
解题可以从两个思路入手：思路一，先根据乘方的定义算出原式的结果，再分别计算各选项的结果，对比选出相等的选项；思路二，先利用乘法的意义，把3个相同的$3^2$相加转化为乘法形式，再结合乘方的定义直接推导对应的结果，两种方法都符合当前学段的知识要求。
【解析】
方法1：计算数值对比
根据乘方的定义，$3^2=3×3=9$，
因此$3^2+3^2+3^2=9+9+9=27$。
再逐一计算选项：
A选项：$3^3=3×3×3=27$，与原式结果相等；
B选项：$2^3=2×2×2=8$，与原式结果不同；
C选项：$3^6=3×3×3×3×3×3=729$，与原式结果不同；
D选项：$3^8$数值远大于27，与原式结果不同。
方法2：利用定义推导
3个相同的$3^2$相加，可根据乘法的意义改写为乘法算式：$3×3^2$，
再结合乘方的定义计算得$3×3^2=3×3×3=3^3$。
【答案】
A
【知识点】
有理数乘方运算、乘法的意义
【点评】
本题是乘方相关的基础题，既可以通过直接计算数值对比求解，也可以通过乘法和乘方的定义灵活推导，能够帮助学生加深对乘方含义的理解。
【难度系数】
0.9
▲9.上海举办过第十四届国际数学教育大会(简称ICME-14).会徽的主题图案(
)有着丰富的数学元素,展现了中国古代数学的灿烂文明,图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745.我们常用的数是十进制数,如$4657=4×10^3 +6×10^2 +5×10^1 +7×10^0$,在计算机中用的是二进制数,如二进制数$110=1×2^2 +1×2^1 +0×2^0$等于十进制的数6.八进制数3745换算成十进制是
)有着丰富的数学元素,展现了中国古代数学的灿烂文明,图案中右下方的图形是用中国古代的计数符号写出的八进制数字3745.我们常用的数是十进制数,如$4657=4×10^3 +6×10^2 +5×10^1 +7×10^0$,在计算机中用的是二进制数,如二进制数$110=1×2^2 +1×2^1 +0×2^0$等于十进制的数6.八进制数3745换算成十进制是2021
.答案
9.2021
解析
【分析】
本题属于新定义类计算题，解题时先读懂题目给出的十进制、二进制的换算规则，类比推出八进制转十进制的计算方法：将八进制每一位上的数字，乘以8的对应次方（从右往左，次方从0开始依次递增），再将所有结果相加，即可得到对应的十进制数。
【解析】
根据题意，八进制数换算为十进制数的方法为：从右往左，第n位（n从1开始）的数字乘$8^{n-1}$，再将所有乘积求和。
对于八进制数3745：
$\begin{aligned}3745_{(8)}&=3×8^3 +7×8^2 +4×8^1 +5×8^0\\&=3×512 +7×64 +4×8 +5×1\\&=1536 + 448 + 32 +5\\&=2021\end{aligned}$
【答案】
2021
【知识点】
有理数乘方；进制换算
【点评】
本题以国际数学教育大会会徽为背景，结合古代计数符号创设情境，考查对新换算规则的理解和乘方的运算能力，只要正确类比题目给出的换算示例，掌握乘方的计算方法就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题属于新定义类计算题，解题时先读懂题目给出的十进制、二进制的换算规则，类比推出八进制转十进制的计算方法：将八进制每一位上的数字，乘以8的对应次方（从右往左，次方从0开始依次递增），再将所有结果相加，即可得到对应的十进制数。
【解析】
根据题意，八进制数换算为十进制数的方法为：从右往左，第n位（n从1开始）的数字乘$8^{n-1}$，再将所有乘积求和。
对于八进制数3745：
$\begin{aligned}3745_{(8)}&=3×8^3 +7×8^2 +4×8^1 +5×8^0\\&=3×512 +7×64 +4×8 +5×1\\&=1536 + 448 + 32 +5\\&=2021\end{aligned}$
【答案】
2021
【知识点】
有理数乘方；进制换算
【点评】
本题以国际数学教育大会会徽为背景，结合古代计数符号创设情境，考查对新换算规则的理解和乘方的运算能力，只要正确类比题目给出的换算示例，掌握乘方的计算方法就能顺利求解。
【难度系数】
0.7
10.已知1米长的木条，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此截下去，第六次后剩下的木条有多长？
答案
10.$\dfrac{1}{64}$米
解析
【分析】
解题时先明确每次截取的规律：每次截去一半，剩余长度是截取前的$\frac{1}{2}$。我们可以先列举前几次的剩余长度找共性：第1次剩余长度是1个$\frac{1}{2}$相乘，第2次剩余是2个$\frac{1}{2}$相乘，第3次剩余是3个$\frac{1}{2}$相乘，由此可归纳出第$n$次截取后剩余长度就是$n$个$\frac{1}{2}$相乘，即$(\frac{1}{2})^n$，最后代入$n=6$计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，每次截完后剩余木条长度为截前长度的$\frac{1}{2}$：
第1次截完剩余长度：$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$（米）
第2次截完剩余长度：$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$（米）
第3次截完剩余长度：$(\frac{1}{2})^2×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$（米）
……
可推得第$n$次截完剩余长度为$(\frac{1}{2})^n$米
当$n=6$时，剩余长度为：
$(\frac{1}{2})^6=\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$（米）
【答案】
$\dfrac{1}{64}$米
【知识点】
1. 有理数乘方运算 2. 规律探究应用
【点评】
本题结合实际场景考查乘方的意义，解题核心是通过归纳得到剩余长度和截取次数的乘方关系，掌握乘方的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时先明确每次截取的规律：每次截去一半，剩余长度是截取前的$\frac{1}{2}$。我们可以先列举前几次的剩余长度找共性：第1次剩余长度是1个$\frac{1}{2}$相乘，第2次剩余是2个$\frac{1}{2}$相乘，第3次剩余是3个$\frac{1}{2}$相乘，由此可归纳出第$n$次截取后剩余长度就是$n$个$\frac{1}{2}$相乘，即$(\frac{1}{2})^n$，最后代入$n=6$计算即可得到结果。
【解析】
解：由题意得，每次截完后剩余木条长度为截前长度的$\frac{1}{2}$：
第1次截完剩余长度：$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$（米）
第2次截完剩余长度：$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$（米）
第3次截完剩余长度：$(\frac{1}{2})^2×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^3=\frac{1}{8}$（米）
……
可推得第$n$次截完剩余长度为$(\frac{1}{2})^n$米
当$n=6$时，剩余长度为：
$(\frac{1}{2})^6=\frac{1}{2^6}=\frac{1}{64}$（米）
【答案】
$\dfrac{1}{64}$米
【知识点】
1. 有理数乘方运算 2. 规律探究应用
【点评】
本题结合实际场景考查乘方的意义，解题核心是通过归纳得到剩余长度和截取次数的乘方关系，掌握乘方的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8
★11. 你能比较 $2018^{2019}$ 和 $2019^{2018}$ 的大小吗？这个问题，如果写出它的一般形式，即比较 $n^{n+1}$ 和 $(n+1)^n$ 的大小（$n$ 是正整数），然后我们从分析 $n=1, n=2, n=3, \dots$ 这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳猜想得出结论.
(1) 通过计算，比较下列各组数的大小（填“＞”“＜”或“=”）：
$1^2$
(2) 从第(1)题的结果猜想 $n^{n+1}$ 和 $(n+1)^n$ 的大小关系是什么.
(3) 根据上面的归纳猜想，比较 $2022^{2023}$ 和 $2023^{2022}$ 的大小.
(1) 通过计算，比较下列各组数的大小（填“＞”“＜”或“=”）：
$1^2$
＜
$2^1$，$2^3$ ＜
$3^2$，$3^4$ ＞
$4^3$，$4^5$ ＞
$5^4$，$5^6$ ＞
$6^5$.(2) 从第(1)题的结果猜想 $n^{n+1}$ 和 $(n+1)^n$ 的大小关系是什么.
(3) 根据上面的归纳猜想，比较 $2022^{2023}$ 和 $2023^{2022}$ 的大小.
答案
11.(1)＜ ＜ ＞ ＞ ＞
(2) 当$n≤2$时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n＞2$时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$
(3)$2022^{2023}＞2023^{2022}$
(2) 当$n≤2$时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n＞2$时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$
(3)$2022^{2023}＞2023^{2022}$
解析
【分析】
解题按照题目引导的三步思路开展：①第(1)问先计算每组两个乘方的具体结果，再直接比较大小填空；②第(2)问观察第(1)问的结果，按n的取值分类总结规律，得到$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小关系；③第(3)问判断2022所属的规律适用范围，直接套用规律即可得到两个大数的大小关系。
【解析】
(1) 分别计算每组乘方的结果再比较：
$1^2=1$，$2^1=2$，$1＜2$，故$1^2 ＜ 2^1$；
$2^3=8$，$3^2=9$，$8＜9$，故$2^3 ＜ 3^2$；
$3^4=81$，$4^3=64$，$81＞64$，故$3^4 ＞ 4^3$；
$4^5=1024$，$5^4=625$，$1024＞625$，故$4^5 ＞ 5^4$；
$5^6=15625$，$6^5=7776$，$15625＞7776$，故$5^6 ＞ 6^5$。
(2) 观察(1)的结果归纳规律：
当正整数$n≤2$时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当正整数$n＞2$时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$。
(3) 由于$2022＞2$，符合n＞2时的规律，因此$2022^{2023}＞2023^{2022}$。
【答案】
(1)＜；＜；＞；＞；＞
(2) 当n为正整数，$n≤2$时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n＞2$时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$
(3)$2022^{2023}＞2023^{2022}$
【知识点】
有理数乘方；归纳推理；大小比较
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究思路，先通过简单乘方计算得到具体数值的大小关系，再归纳出普遍规律，最终用规律解决复杂大数的比较问题，能有效锻炼归纳推理的思维能力。
【难度系数】
0.8
解题按照题目引导的三步思路开展：①第(1)问先计算每组两个乘方的具体结果，再直接比较大小填空；②第(2)问观察第(1)问的结果，按n的取值分类总结规律，得到$n^{n+1}$和$(n+1)^n$的大小关系；③第(3)问判断2022所属的规律适用范围，直接套用规律即可得到两个大数的大小关系。
【解析】
(1) 分别计算每组乘方的结果再比较：
$1^2=1$，$2^1=2$，$1＜2$，故$1^2 ＜ 2^1$；
$2^3=8$，$3^2=9$，$8＜9$，故$2^3 ＜ 3^2$；
$3^4=81$，$4^3=64$，$81＞64$，故$3^4 ＞ 4^3$；
$4^5=1024$，$5^4=625$，$1024＞625$，故$4^5 ＞ 5^4$；
$5^6=15625$，$6^5=7776$，$15625＞7776$，故$5^6 ＞ 6^5$。
(2) 观察(1)的结果归纳规律：
当正整数$n≤2$时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当正整数$n＞2$时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$。
(3) 由于$2022＞2$，符合n＞2时的规律，因此$2022^{2023}＞2023^{2022}$。
【答案】
(1)＜；＜；＞；＞；＞
(2) 当n为正整数，$n≤2$时，$n^{n+1}＜(n+1)^n$；当$n＞2$时，$n^{n+1}＞(n+1)^n$
(3)$2022^{2023}＞2023^{2022}$
【知识点】
有理数乘方；归纳推理；大小比较
【点评】
本题采用从特殊到一般的探究思路，先通过简单乘方计算得到具体数值的大小关系，再归纳出普遍规律，最终用规律解决复杂大数的比较问题，能有效锻炼归纳推理的思维能力。
【难度系数】
0.8
