10. (东营中考)如图,正方形ABCD的边长为4,点E,F分别在边DC,BC上,且$BF=CE$,AE平分$∠CAD$,连接DF,分别交AE,AC于点G,M.点P是线段AG上的一个动点,过点P作$PN⊥AC$,垂足为N,连接PM.有下列四个结论:① AE垂直平分DM;② $PM+PN$的最小值为$3\sqrt{2}$;③ $CF^2 = GE · AE$;④ $S_{△ ADM}=6\sqrt{2}$.其中正确的是 ()


A.①②
B.②③④
C.①③④
D.①③

10. D 解析:①$\because$ 四边形 ABCD 是正方形, $\therefore AD=DC=BC$, $∠ ADC=∠ DCB=90°. \because BF=CE, \therefore BC-BF=DC-CE$,即 $CF=DE$,在 $△ ADE$ 和 $△ DCF$ 中, $AD=DC, ∠ ADE=∠ DCF$, $DE=CF, \therefore △ ADE≌△ DCF(\mathrm{SAS}), \therefore ∠ DAE=∠ CDF$. $\because ∠ CDF+∠ ADG=90°, \therefore ∠ DAE+∠ ADG=90°$, $\therefore ∠ AGD=90°, \therefore ∠ AGM=90°, \therefore ∠ AGM=∠ AGD. \because AE$ 平分 $∠ CAD, \therefore ∠ MAG=∠ DAG$. 又 $\because AG$ 为公共边, $\therefore △ AGM≌△ AGD(\mathrm{ASA}), \therefore GM=GD$. 又 $\because ∠ AGM=∠ AGD=90°, \therefore AE$ 垂直平分 DM,故①正确;②连接 BD 与 AC 交于点 O,交 AG 于点 H,连接 HM. $\because$ 四边形 ABCD 是正方形, $\therefore AC⊥ BD$,即 $DO⊥ AM. \because AE$ 垂直平分 DM, $\therefore HM=HD$,当点 P 与点 H 重合时, $PM+PN$ 的值最小,此时 $PM+PN=HM+HO=HD+HO=DO$,即 $PM+PN$ 的最小值是 DO 的长. $\because$ 正方形 ABCD 的边长为 4, $\therefore AC=BD=4\sqrt{2}, \therefore DO=\frac{1}{2}BD=2\sqrt{2}$,即 $PM+PN$ 的最小值为 $2\sqrt{2}$,故②错误;③$\because AE$ 垂直平分 DM, $\therefore ∠ DGE=90°. \because ∠ ADC=90°, \therefore ∠ DGE=∠ ADE$. 又 $\because ∠ DEG=∠ AED, \therefore △ DGE∽△ ADE, \therefore \frac{DE}{AE}=\frac{GE}{DE}$,即 $DE^2=GE· AE$,由①知 $CF=DE, \therefore CF^2=GE· AE$,故③正确;④$\because AE$ 垂直平分 DM, $\therefore AM=AD=4$,由②知 $DO=2\sqrt{2}, \therefore S_{△ ADM}=\frac{1}{2}AM· DO=\frac{1}{2}×4×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$,故④错误.综上,正确的是①③.故选 D.

11. (2026·成都期中)已知$y=x^2+2x+3$在$-4≤ x≤ m$时最大值为11,最小值为2,则m的取值范围是.

11. $-1≤m≤2$ 解析: $\because y=x^2+2x+3=(x+1)^2+2, \therefore$ 二次函数图象的对称轴为直线 $x=-1$,最小值为 2. $\because$ 当 $x=-4$ 时, $y=(-4)^2+2×(-4)+3=11. \therefore$ 由对称性可知,当 $x=2$ 时, $y=11. \because y=x^2+2x+3$ 在 $-4≤ x≤ m$ 时最大值为 11,最小值为 2, $\therefore -1≤ m≤ 2$.故答案为 $-1≤ m≤ 2$.

12. (2025·西安期中)对任意实数$a,b$,定义一种新运算:$a\&b=(a+1)^2 - b$,例如:$-2\&4=(-2+1)^2 - 4=-3$,若$x\&1=-\dfrac{3}{4}$,则$x$的值为.

12. $-\frac{1}{2}$或$-\frac{3}{2}$ 解析: $\because x\&1=-\frac{3}{4}, \therefore (x+1)^2-1=-\frac{3}{4}$, $\therefore (x+1)^2=\frac{1}{4}, \therefore x+1=\pm\frac{1}{2}$,解得 $x_1=-\frac{1}{2},x_2=-\frac{3}{2}$.故答案为 $-\frac{1}{2}$或$-\frac{3}{2}$.

13.（2026·沈阳期中）景区内有一块8米×5米的矩形郁金香园地（数据如图所示，单位：米），现在其中修建一条观花道（阴影所示），供游人赏花.若改造后观花道的面积为12平方米，则x的值为米.

13. 1 解析:根据题意,得 $8×5-2×\frac{1}{2}(8-x)(5-x)=12$,整理,得 $x^2-13x+12=0$,解得 $x_1=1,x_2=12. \because$ 园地的宽为5米,而 $x_2=12＞5, \therefore x_2=12$ 不合题意,舍去.故答案为 1.

14.如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD与正方形BEFG是以点O为位似中心的位似图形,且相似比为$\frac{1}{3}$,两个正方形在点O的同侧,点A,B,E在x轴上,其余顶点在第一象限.若正方形BEFG的边长为6,则点C的坐标为.

14. $(3,2)$ 解析: $\because$ 正方形 ABCD 与正方形 BEFG 是以原点 O 为位似中心的位似图形,且相似比为 $\frac{1}{3}, EF=BE=6$, $\therefore BC// EF, AB=BC=2, \therefore △ OBC∽△ OEF, \therefore \frac{OB}{OE}=\frac{BC}{EF}$,即 $\frac{OB}{OB+6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$,解得 $OB=3, \therefore C(3,2)$.故答案为 $(3,2)$.

15. 一个不透明的袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同.小亮通过多次摸球试验后，发现摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则袋中白球可能有个.

15. 26 解析:设袋中黄球有x个,根据题意,得 $\frac{x}{40}=0.35$,解得 $x=14$,即袋中黄球可能有14个,$\therefore$ 袋中白球可能有 $40-14=26$(个).

16. (2024·广东中考)如图,菱形ABCD的面积为24,点E是AB的中点,点F是BC上的动点.若△BEF的面积为4,则图中阴影部分的面积为.

16. 10 解析:连接 AF,BD,如图所示.
$\because$ 菱形 ABCD 的面积为 24,点 E 是 AB 的中点, $△ BEF$ 的面积为 4,
$\therefore S_{△ ADE}=\frac{1}{2}S_{△ ABD}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}S_{\mathrm{菱形}ABCD}=6, S_{△ ABF}=2S_{△ BEF}=8$.设菱形 ABCD 中 BC 边上的高为 h,则 $\frac{S_{△ ABF}}{S_{\mathrm{菱形}ABCD}}=\frac{\frac{1}{2}BF· h}{BC· h}$,即 $\frac{8}{24}=\frac{\frac{1}{2}BF}{BC}$,
$\therefore \frac{BF}{BC}=\frac{2}{3}, \therefore \frac{BF}{CF}=2, \therefore \frac{S_{△ ABF}}{S_{△ CDF}}=\frac{\frac{1}{2}BF· h}{\frac{1}{2}CF· h}=\frac{BF}{CF}=2, \therefore S_{△ CDF}=4, \therefore S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{菱形}ABCD}-S_{△ ADE}-S_{△ BEF}-S_{△ CDF}=10$.故答案为 10.
配图:

17. 如图,已知直线$y=-\frac{1}{2}x+2$与x轴交于点A,与y轴交于点B,在x轴上有一点C(不与点A重合),使B,O,C三点构成的三角形与△ABO相似,写出所有满足条件的点C的坐标:.

17. $(-4,0)$或$(-1,0)$或$(1,0)$ 解析: $\because$ 直线 $y=-\frac{1}{2}x+2$ 与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B, $\therefore A(4,0), B(0,2)$.若 $△ AOB∽△ COB$,则 $\frac{OA}{OC}=\frac{OB}{OB}=1$,即 $\frac{4}{OC}=1$,解得 $OC=4$, $\therefore$ 点 C 的坐标为 $(-4,0)$ 或 $(4,0)$(与 A 重合,舍去);若 $△ AOB∽△ BOC$,则 $\frac{OA}{OB}=\frac{OB}{OC}$,即 $\frac{4}{2}=\frac{2}{OC}$,解得 $OC=1, \therefore$ 点 C 的坐标为 $(-1,0)$ 或 $(1,0)$.综上所述,满足条件的点 C 的坐标为 $(-4,0)$或$(-1,0)$或$(1,0)$.

18. (2026·成都期中)如图,在矩形ABCD中,$3AD=2AB$,连接AC,在CD边上取一点E,过点E作$EF⊥CD$,交AC于点F,连接BE,在BE上取一点G,使得$BG=\frac{1}{2}GE$,连接FG,则$\frac{FG}{BC}$的最小值为.

18. $\frac{\sqrt{2}}{3}$ 解析:如图所示,延长 EF 交 AB 于点 K,过点 G 作 $GH⊥ EK$ 于点 H,
$\because$ 在矩形 ABCD 中, $3AD=2AB$,
$\therefore ∠ ABC=∠ BCD=90°, AB// CD$,
设 $AD=BC=2a$,则 $AB=CD=3a$.
$\because EF⊥ CD, \therefore EK⊥ AB, \therefore ∠ BKE=∠ KEC=90°$,
$\therefore ∠ BKE=∠ KEC=∠ ECB=90°, \therefore$ 四边形 ECBK 是矩形,
$\therefore EK=BC=2a$.设 $EC=x$,则 $KB=EC=x. \because HG⊥ KE, BK⊥ KE, \therefore HG// BK, \therefore △ EHG∽△ EKB, \therefore \frac{HG}{KB}=\frac{EG}{EB}. \because BG=\frac{1}{2}GE, \therefore \frac{EG}{EB}=\frac{2}{3}, \therefore \frac{HG}{KB}=\frac{EG}{EB}=\frac{2}{3}, \therefore HG=\frac{2}{3}KB=\frac{2}{3}x$.
$\because HG// BK, \therefore \frac{HK}{EH}=\frac{BG}{EG}=\frac{1}{2}, \therefore HK=\frac{1}{3}EK=\frac{1}{3}×2a=\frac{2}{3}a$.
$\because EF⊥ DC, AD⊥ DC, \therefore △ CEF∽△ CDA, \therefore \frac{EF}{AD}=\frac{CE}{CD}, \therefore \frac{EF}{2a}=\frac{x}{3a}, \therefore EF=\frac{2}{3}x, \therefore FK=EK-EF=2a-\frac{2}{3}x, \therefore FH=FK-HK=2a-\frac{2}{3}x-\frac{2}{3}a=\frac{4}{3}a-\frac{2}{3}x$.在 $Rt△ HFG$ 中, $HG^2+HF^2=FG^2, \therefore FG=\sqrt{(\frac{2}{3}x)^2+(\frac{4}{3}a-\frac{2}{3}x)^2}=\sqrt{\frac{8}{9}x^2-\frac{16}{9}ax+\frac{16}{9}a^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\sqrt{(x-a)^2+a^2}, \therefore$ 当 $x=a$ 时, FG 有最小值,最小值是 $\frac{2\sqrt{2}}{3}a, \therefore \frac{FG}{BC}$ 的最小值为 $\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}a}{2a}=\frac{\sqrt{2}}{3}$.故答案为 $\frac{\sqrt{2}}{3}$.
配图: