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6. 如图,在$△ ABC$中,点$D$在边$AB$上,$DE// BC$交$AC$于点$E$,连接$BE$,$DF// BE$交$AC$于点$F$.若$AF=3$,$CF=5$,则$△ DEF$与$△ BDE$的面积之比为 (
A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{\sqrt{6}}{4}$
C.$\frac{5}{8}$
D.$\frac{\sqrt{15}}{6}$
B
)A.$\frac{3}{5}$
B.$\frac{\sqrt{6}}{4}$
C.$\frac{5}{8}$
D.$\frac{\sqrt{15}}{6}$
答案
6.B
解析
【分析】
解题思路如下：首先结合题干给出的两组平行线，利用平行线分线段成比例定理建立等式求出AE的长度；再根据平行线得到相似三角形，求出DF与BE的比值；最后利用“有一组角相等的两个三角形，面积比等于夹该角的两边乘积之比”计算两个三角形的面积比。具体步骤：①设AE为未知数，分别根据DF//BE、DE//BC写出线段比例关系，联立方程解出AE；②由DF//BE得到△ADF∽△ABE，得到DF与BE的比值；③利用两三角形的等角关系，推导面积比等于DF与BE的比值，代入数值计算即可。
【解析】
解：设$AE=x$，则$EF=AE-AF=x-3$，$EC=AC-AE=(3+5)-x=8-x$。
1. 由$DF// BE$，根据平行线分线段成比例可得：$\frac{AD}{DB}=\frac{AF}{FE}=\frac{3}{x-3}$；
2. 由$DE// BC$，根据平行线分线段成比例可得：$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{x}{8-x}$；
3. 联立两个比例式得$\frac{3}{x-3}=\frac{x}{8-x}$，交叉相乘化简：
$3(8-x)=x(x-3)$
$24-3x=x^2-3x$
解得$x^2=24$，即$x=2\sqrt{6}$（线段长度为正，舍去负根），因此$AE=2\sqrt{6}$。
4. 因为$DF// BE$，所以$△ ADF ∽ △ ABE$，相似比为$\frac{DF}{BE}=\frac{AF}{AE}=\frac{3}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$。
5. 由$DF// BE$得内错角相等：$∠ FDE=∠ DEB$。
根据三角形面积公式，$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}· DF· DE· \sin∠ FDE$，$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}· BE· DE· \sin∠ DEB$，两式作比，相等的量约去后可得：
$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BDE}}=\frac{DF}{BE}=\frac{\sqrt{6}}{4}$。
【答案】B
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及面积比的推导，解题的核心是通过两组平行线的比例关系建立方程求出未知线段长度，再利用等角关系简化面积比的计算，对比例的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题思路如下：首先结合题干给出的两组平行线，利用平行线分线段成比例定理建立等式求出AE的长度；再根据平行线得到相似三角形，求出DF与BE的比值；最后利用“有一组角相等的两个三角形，面积比等于夹该角的两边乘积之比”计算两个三角形的面积比。具体步骤：①设AE为未知数，分别根据DF//BE、DE//BC写出线段比例关系，联立方程解出AE；②由DF//BE得到△ADF∽△ABE，得到DF与BE的比值；③利用两三角形的等角关系，推导面积比等于DF与BE的比值，代入数值计算即可。
【解析】
解：设$AE=x$，则$EF=AE-AF=x-3$，$EC=AC-AE=(3+5)-x=8-x$。
1. 由$DF// BE$，根据平行线分线段成比例可得：$\frac{AD}{DB}=\frac{AF}{FE}=\frac{3}{x-3}$；
2. 由$DE// BC$，根据平行线分线段成比例可得：$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}=\frac{x}{8-x}$；
3. 联立两个比例式得$\frac{3}{x-3}=\frac{x}{8-x}$，交叉相乘化简：
$3(8-x)=x(x-3)$
$24-3x=x^2-3x$
解得$x^2=24$，即$x=2\sqrt{6}$（线段长度为正，舍去负根），因此$AE=2\sqrt{6}$。
4. 因为$DF// BE$，所以$△ ADF ∽ △ ABE$，相似比为$\frac{DF}{BE}=\frac{AF}{AE}=\frac{3}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$。
5. 由$DF// BE$得内错角相等：$∠ FDE=∠ DEB$。
根据三角形面积公式，$S_{△ DEF}=\frac{1}{2}· DF· DE· \sin∠ FDE$，$S_{△ BDE}=\frac{1}{2}· BE· DE· \sin∠ DEB$，两式作比，相等的量约去后可得：
$\frac{S_{△ DEF}}{S_{△ BDE}}=\frac{DF}{BE}=\frac{\sqrt{6}}{4}$。
【答案】B
【知识点】
平行线分线段成比例，相似三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题综合考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质以及面积比的推导，解题的核心是通过两组平行线的比例关系建立方程求出未知线段长度，再利用等角关系简化面积比的计算，对比例的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
7 如图,在矩形ABCD中,由8个面积均为1的小正方形组成的L型模板如图放置,则矩形ABCD的周长为（
A.$12\sqrt{2}$
B.$10\sqrt{3}$
C.$8\sqrt{5}$
D.$8+4\sqrt{5}$
C
）A.$12\sqrt{2}$
B.$10\sqrt{3}$
C.$8\sqrt{5}$
D.$8+4\sqrt{5}$
答案
7.C 解析:
∵小正方形的面积为1,
∴小正方形的边长为1.设$BE=x,EC=y$.
∵∠AEB+∠CEF=90°,∠EFC+∠CEF=90°,
∴∠AEB=∠EFC.
又∠B=∠C=90°,AE=EF=4,
∴△ABE≌ECF,
∴AB=EC=y,CF=BE=x,
∴由勾股定理可得$x^2+y^2=4^2$.
同理可得∠EFC=∠FGD,且∠C=∠D=90°,
∴△ECF∽△FDG,
∴$\frac{EC}{FD}=\frac{CF}{DG}=\frac{EF}{FG}=\frac{4}{2}=2$,
∴$FD=\frac{1}{2}EC=\frac{1}{2}y$.
∵AB=CD,
∴$y=x+\frac{1}{2}y$,
∴$y=2x$,
将其代入$x^2+y^2=4^2$中,可得$x=\frac{4\sqrt{5}}{5},y=\frac{8\sqrt{5}}{5}$,
故矩形ABCD的周长=$2(x+y)+2y=8\sqrt{5}$.
∵小正方形的面积为1,
∴小正方形的边长为1.设$BE=x,EC=y$.
∵∠AEB+∠CEF=90°,∠EFC+∠CEF=90°,
∴∠AEB=∠EFC.
又∠B=∠C=90°,AE=EF=4,
∴△ABE≌ECF,
∴AB=EC=y,CF=BE=x,
∴由勾股定理可得$x^2+y^2=4^2$.
同理可得∠EFC=∠FGD,且∠C=∠D=90°,
∴△ECF∽△FDG,
∴$\frac{EC}{FD}=\frac{CF}{DG}=\frac{EF}{FG}=\frac{4}{2}=2$,
∴$FD=\frac{1}{2}EC=\frac{1}{2}y$.
∵AB=CD,
∴$y=x+\frac{1}{2}y$,
∴$y=2x$,
将其代入$x^2+y^2=4^2$中,可得$x=\frac{4\sqrt{5}}{5},y=\frac{8\sqrt{5}}{5}$,
故矩形ABCD的周长=$2(x+y)+2y=8\sqrt{5}$.
解析
【分析】
首先根据小正方形面积确定其边长为1，观察图形中直角的关系，利用同角的余角相等得到相等的角，先证明△ABE与△ECF全等，得到边的对应关系；再结合FG的长度证明△ECF与△FDG相似，得到边的比例关系；之后利用矩形对边相等的性质推导x与y的数量关系，代入勾股定理求出x、y的长度，最后代入矩形周长公式计算即可。
【解析】
解：
∵小正方形的面积为1，
∴小正方形的边长为1。
设$BE=x,EC=y$。
∵$∠AEB+∠CEF=90°,∠EFC+∠CEF=90°$，
∴$∠AEB=∠EFC$。
又
∵$∠B=∠C=90°,AE=EF=4$，
∴$△ ABE≌△ ECF$（AAS），
∴$AB=EC=y$，$CF=BE=x$。
在$Rt△ ECF$中，由勾股定理得：$x^2+y^2=4^2=16$。
同理可得$∠EFC=∠FGD$，且$∠C=∠D=90°$，
∴$△ ECF∽△ FDG$，
∴$\frac{EC}{FD}=\frac{CF}{DG}=\frac{EF}{FG}=\frac{4}{2}=2$，
∴$FD=\frac{1}{2}EC=\frac{1}{2}y$。
∵矩形ABCD中$AB=CD$，且$CD=CF+FD=x+\frac{1}{2}y$，
∴$y=x+\frac{1}{2}y$，整理得$y=2x$。
将$y=2x$代入$x^2+y^2=16$中，得$x^2+4x^2=16$，解得$x=\frac{4\sqrt{5}}{5}$（边长为正，舍去负根），则$y=\frac{8\sqrt{5}}{5}$。
矩形ABCD的周长为$2(BC+AB)=2[(x+y)+y]=2(x+2y)$，代入x、y的值得：
$2×(\frac{4\sqrt{5}}{5}+2×\frac{8\sqrt{5}}{5})=2×\frac{20\sqrt{5}}{5}=8\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，矩形的性质
【点评】
本题综合考查了三角形全等、相似的判定与性质以及矩形的性质，解题的关键是通过角的互余关系找到全等、相似的三角形，结合矩形边的等量关系列方程求解，很好地体现了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
首先根据小正方形面积确定其边长为1，观察图形中直角的关系，利用同角的余角相等得到相等的角，先证明△ABE与△ECF全等，得到边的对应关系；再结合FG的长度证明△ECF与△FDG相似，得到边的比例关系；之后利用矩形对边相等的性质推导x与y的数量关系，代入勾股定理求出x、y的长度，最后代入矩形周长公式计算即可。
【解析】
解：
∵小正方形的面积为1，
∴小正方形的边长为1。
设$BE=x,EC=y$。
∵$∠AEB+∠CEF=90°,∠EFC+∠CEF=90°$，
∴$∠AEB=∠EFC$。
又
∵$∠B=∠C=90°,AE=EF=4$，
∴$△ ABE≌△ ECF$（AAS），
∴$AB=EC=y$，$CF=BE=x$。
在$Rt△ ECF$中，由勾股定理得：$x^2+y^2=4^2=16$。
同理可得$∠EFC=∠FGD$，且$∠C=∠D=90°$，
∴$△ ECF∽△ FDG$，
∴$\frac{EC}{FD}=\frac{CF}{DG}=\frac{EF}{FG}=\frac{4}{2}=2$，
∴$FD=\frac{1}{2}EC=\frac{1}{2}y$。
∵矩形ABCD中$AB=CD$，且$CD=CF+FD=x+\frac{1}{2}y$，
∴$y=x+\frac{1}{2}y$，整理得$y=2x$。
将$y=2x$代入$x^2+y^2=16$中，得$x^2+4x^2=16$，解得$x=\frac{4\sqrt{5}}{5}$（边长为正，舍去负根），则$y=\frac{8\sqrt{5}}{5}$。
矩形ABCD的周长为$2(BC+AB)=2[(x+y)+y]=2(x+2y)$，代入x、y的值得：
$2×(\frac{4\sqrt{5}}{5}+2×\frac{8\sqrt{5}}{5})=2×\frac{20\sqrt{5}}{5}=8\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
全等三角形判定与性质，相似三角形判定与性质，矩形的性质
【点评】
本题综合考查了三角形全等、相似的判定与性质以及矩形的性质，解题的关键是通过角的互余关系找到全等、相似的三角形，结合矩形边的等量关系列方程求解，很好地体现了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6
8.如图,在正方形ABCD中,△BPC是等边三角形,BP、CP的延长线分别交AD于点E、F,连接BD、DP,BD与CF相交于点H,给出下列结论:
①$BE=2AE$;②$△ DFP ∽ △ BPH$;③$△ PFD ∽ △ PDB$;④$DP^2=PH · PC$.
其中正确的是 （
A.①②③④
B.②③
C.①②④
D.①③④
①$BE=2AE$;②$△ DFP ∽ △ BPH$;③$△ PFD ∽ △ PDB$;④$DP^2=PH · PC$.
其中正确的是 （
C
）A.①②③④
B.②③
C.①②④
D.①③④
答案
8.C 解析:
∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC,∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°.
∵正方形ABCD,
∴AB=BC=CD,∠A=∠ADC=∠BCD=90°,
∴∠ABE=∠DCF=30°,
∴BE=2AE,故①正确；
∵PC=CD,∠PCD=30°,
∴∠PDC=75°,
∴∠FDP=15°.
∵∠DBC=45°,
∴∠PBD=15°,
∴∠FDP=∠PBD.
∵∠DFP=∠BPC=60°,
∴△DFP∽△BPH,故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°,∠ADB=45°,
∴∠PDB=30°,而∠DFP=60°,
∴∠PFD≠∠PDB,
∴△PFD与△PDB不相似,故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°,∠DPH=∠DPC,
∴△DPH∽△CPD,
∴$\frac{DP}{CP}=\frac{PH}{PD}$,
∴$DP^2=PH·PC$,故④正确.
综上,正确的结论有①②④.
∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC,∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°.
∵正方形ABCD,
∴AB=BC=CD,∠A=∠ADC=∠BCD=90°,
∴∠ABE=∠DCF=30°,
∴BE=2AE,故①正确；
∵PC=CD,∠PCD=30°,
∴∠PDC=75°,
∴∠FDP=15°.
∵∠DBC=45°,
∴∠PBD=15°,
∴∠FDP=∠PBD.
∵∠DFP=∠BPC=60°,
∴△DFP∽△BPH,故②正确；
∵∠FDP=∠PBD=15°,∠ADB=45°,
∴∠PDB=30°,而∠DFP=60°,
∴∠PFD≠∠PDB,
∴△PFD与△PDB不相似,故③错误；
∵∠PDH=∠PCD=30°,∠DPH=∠DPC,
∴△DPH∽△CPD,
∴$\frac{DP}{CP}=\frac{PH}{PD}$,
∴$DP^2=PH·PC$,故④正确.
综上,正确的结论有①②④.
解析
【分析】
解决本题需先结合正方形和等边三角形的性质，推导图中边的等量关系和各相关角的度数，再逐一验证4个结论：①针对直角三角形ABE，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质判断；②寻找两组对应相等的角，根据两角对应相等的两个三角形相似判断；③查看两个三角形的对应角是否全部对应相等，判断相似是否成立；④先证明△DPH和△CPD相似，再根据相似三角形对应边成比例变形得到等积式判断。
【解析】
∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠DCF=90°-60°=30°，
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，
∴BE=2AE，故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠FDP=∠ADC - ∠PDC=90°-75°=15°，
∵BD是正方形对角线，∠DBC=45°，
∴∠PBD=∠PBC - ∠DBC=60°-45°=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
又
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH（两角对应相等，两三角形相似），故②正确；
∵∠FDP=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=∠ADB - ∠FDP=45°-15°=30°，
又
∵∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不相似，故③错误；
∵∠PDH=∠PDB=30°，∠PCD=30°，
∴∠PDH=∠PCD，
又
∵∠DPH=∠CPD（公共角），
∴△DPH∽△CPD（两角对应相等，两三角形相似），
∴$\frac{DP}{CP}=\frac{PH}{PD}$，交叉相乘得$DP^2=PH·PC$，故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是特殊几何图形与相似三角形结合的综合题，解题核心是通过特殊图形的性质计算出各角的度数，以此找到角的等量关系，进而判断相似关系和线段乘积式是否成立，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解决本题需先结合正方形和等边三角形的性质，推导图中边的等量关系和各相关角的度数，再逐一验证4个结论：①针对直角三角形ABE，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质判断；②寻找两组对应相等的角，根据两角对应相等的两个三角形相似判断；③查看两个三角形的对应角是否全部对应相等，判断相似是否成立；④先证明△DPH和△CPD相似，再根据相似三角形对应边成比例变形得到等积式判断。
【解析】
∵△BPC是等边三角形，
∴BP=PC=BC，∠PBC=∠PCB=∠BPC=60°。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，∠A=∠ADC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠DCF=90°-60°=30°，
在Rt△ABE中，∠ABE=30°，
∴BE=2AE，故①正确；
∵PC=CD，∠PCD=30°，
∴∠PDC=(180°-30°)÷2=75°，
∴∠FDP=∠ADC - ∠PDC=90°-75°=15°，
∵BD是正方形对角线，∠DBC=45°，
∴∠PBD=∠PBC - ∠DBC=60°-45°=15°，
∴∠FDP=∠PBD，
又
∵∠DFP=∠BPC=60°，
∴△DFP∽△BPH（两角对应相等，两三角形相似），故②正确；
∵∠FDP=15°，∠ADB=45°，
∴∠PDB=∠ADB - ∠FDP=45°-15°=30°，
又
∵∠DFP=60°，
∴∠PFD≠∠PDB，
∴△PFD与△PDB不相似，故③错误；
∵∠PDH=∠PDB=30°，∠PCD=30°，
∴∠PDH=∠PCD，
又
∵∠DPH=∠CPD（公共角），
∴△DPH∽△CPD（两角对应相等，两三角形相似），
∴$\frac{DP}{CP}=\frac{PH}{PD}$，交叉相乘得$DP^2=PH·PC$，故④正确。
综上，正确的结论是①②④。
【答案】
C
【知识点】
正方形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是特殊几何图形与相似三角形结合的综合题，解题核心是通过特殊图形的性质计算出各角的度数，以此找到角的等量关系，进而判断相似关系和线段乘积式是否成立，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
9.如图,在直角三角形ABC中(∠C=90°),放置边长分别为3、4、x的三个正方形,则x的值为
7
.答案
9.7
解析
【分析】观察图形可知，Rt△ABC内部的三个正方形的边均与三角形的边平行或垂直，因此夹在边长为x的正方形下方、左右两侧的两个小直角三角形是相似三角形。我们先分别表示出两个相似三角形的直角边长度，再根据相似三角形对应边成比例的性质列方程，最后求解并舍去不符合实际意义的解即可得到x的值。
【解析】
解：
∵ ∠C=90°，图中三个图形都是正方形，
∴ 左右两个小直角三角形的锐角分别与△ABC的锐角相等，即两个小直角三角形相似。
其中左侧小三角形的两条直角边长度分别为3和$x-3$，右侧小三角形的两条直角边长度分别为$x-4$和4。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{3}{x-4}=\frac{x-3}{4}$
交叉相乘得：$(x-3)(x-4)=12$
展开整理得：$x^2-7x+12=12$
即$x^2-7x=0$
因式分解得：$x(x-7)=0$
解得$x=7$或$x=0$，
∵ 正方形边长为正数，
∴ $x=0$不符合题意，舍去。
【答案】7
【知识点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质；一元二次方程的求解
【点评】本题是相似三角形与正方形结合的典型题型，解题的核心是准确找到图中的相似三角形，正确对应边的比例关系，结合方程思想求解，注意解要符合实际几何意义。
【难度系数】0.6
【解析】
解：
∵ ∠C=90°，图中三个图形都是正方形，
∴ 左右两个小直角三角形的锐角分别与△ABC的锐角相等，即两个小直角三角形相似。
其中左侧小三角形的两条直角边长度分别为3和$x-3$，右侧小三角形的两条直角边长度分别为$x-4$和4。
根据相似三角形对应边成比例，可得：
$\frac{3}{x-4}=\frac{x-3}{4}$
交叉相乘得：$(x-3)(x-4)=12$
展开整理得：$x^2-7x+12=12$
即$x^2-7x=0$
因式分解得：$x(x-7)=0$
解得$x=7$或$x=0$，
∵ 正方形边长为正数，
∴ $x=0$不符合题意，舍去。
【答案】7
【知识点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质；一元二次方程的求解
【点评】本题是相似三角形与正方形结合的典型题型，解题的核心是准确找到图中的相似三角形，正确对应边的比例关系，结合方程思想求解，注意解要符合实际几何意义。
【难度系数】0.6
10. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$CD⊥ AB$,$M$是$CD$上的点,$DH⊥ BM$于点$H$,$DH$的延长线交$AC$的延长线于点$E$.求证:
(1)$△ AED∽△ CBM$;
(2)$AE· CM=AC· CD$.
(1)$△ AED∽△ CBM$;
(2)$AE· CM=AC· CD$.
答案
10.证明:(1)如图,
∵△ABC是直角三角形，
∴∠A+∠ABC=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,
即∠MCB+∠ABC=90°,
∴∠A=∠MCB.
∵CD⊥AB,
∴∠2+∠DMB=90°.
∵DH⊥BM,
∴∠1+∠DMB=90°,
∴∠1=∠2.
又∠ADE=90°+∠1,∠CMB=90°+∠2,
∴∠ADE=∠CMB,
∴△AED∽△CBM.
(2)
∵△AED∽△CBM,
∴$\frac{AE}{CB}=\frac{AD}{CM}$,
∴$AE·CM=AD·CB$.
∵△ABC是直角三角形,CD是AB上的高，
∴△ACD∽△CBD,
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{CB}{CD}$,
∴$AC·CD=AD·CB$,
∴$AE·CM=AC·CD$.
解析
【分析】
要证明△AED∽△CBM，优先用“两角对应相等，两三角形相似”的判定定理：首先利用直角三角形两锐角互余、同角的余角相等，推导∠A=∠MCB；再结合CD⊥AB、DH⊥BM的条件推导∠1=∠2，进而得到∠ADE=∠CMB，两组角对应相等即可证明相似。
要证明等积式AE·CM=AC·CD，先将等积式转化为比例式：首先利用第一问的相似得到对应边成比例，推出AE·CM=AD·CB；再证明△ACD∽△CBD，推出AC·CD=AD·CB，最后等量代换即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠MCB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠MCB。
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠DMB=90°，
∵DH⊥BM，
∴∠1+∠DMB=90°，
∴∠1=∠2。
又
∵∠ADE=90°+∠1，∠CMB=90°+∠2，
∴∠ADE=∠CMB，
∴△AED∽△CBM。
(2) 证明：
∵△AED∽△CBM，
∴$\frac{AE}{CB}=\frac{AD}{CM}$，即$AE·CM=AD·CB$。
∵Rt△ABC中，CD是AB边上的高，
∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{CB}{CD}$，即$AC·CD=AD·CB$，
∴$AE·CM=AC·CD$。
【答案】
10.证明:(1)如图,
∵△ABC是直角三角形，
∴∠A+∠ABC=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,
即∠MCB+∠ABC=90°,
∴∠A=∠MCB.
∵CD⊥AB,
∴∠2+∠DMB=90°.
∵DH⊥BM,
∴∠1+∠DMB=90°,
∴∠1=∠2.
又∠ADE=90°+∠1,∠CMB=90°+∠2,
∴∠ADE=∠CMB,
∴△AED∽△CBM.
(2)
∵△AED∽△CBM,
∴$\frac{AE}{CB}=\frac{AD}{CM}$,
∴$AE·CM=AD·CB$.
∵△ABC是直角三角形,CD是AB上的高，
∴△ACD∽△CBD,
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{CB}{CD}$,
∴$AC·CD=AD·CB$,
∴$AE·CM=AC·CD$.
【知识点】
1. 同角的余角相等
2. 相似三角形的判定
3. 相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，解题核心是通过直角的性质推导角相等证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，通过等量代换完成等积式的证明，需要熟练掌握角相等的推导方法，以及等积式和比例式的互化技巧。
【难度系数】
0.6
要证明△AED∽△CBM，优先用“两角对应相等，两三角形相似”的判定定理：首先利用直角三角形两锐角互余、同角的余角相等，推导∠A=∠MCB；再结合CD⊥AB、DH⊥BM的条件推导∠1=∠2，进而得到∠ADE=∠CMB，两组角对应相等即可证明相似。
要证明等积式AE·CM=AC·CD，先将等积式转化为比例式：首先利用第一问的相似得到对应边成比例，推出AE·CM=AD·CB；再证明△ACD∽△CBD，推出AC·CD=AD·CB，最后等量代换即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠MCB+∠ABC=90°，
∴∠A=∠MCB。
∵CD⊥AB，
∴∠2+∠DMB=90°，
∵DH⊥BM，
∴∠1+∠DMB=90°，
∴∠1=∠2。
又
∵∠ADE=90°+∠1，∠CMB=90°+∠2，
∴∠ADE=∠CMB，
∴△AED∽△CBM。
(2) 证明：
∵△AED∽△CBM，
∴$\frac{AE}{CB}=\frac{AD}{CM}$，即$AE·CM=AD·CB$。
∵Rt△ABC中，CD是AB边上的高，
∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{CB}{CD}$，即$AC·CD=AD·CB$，
∴$AE·CM=AC·CD$。
【答案】
10.证明:(1)如图,
∵△ABC是直角三角形，
∴∠A+∠ABC=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠CDB=90°,
即∠MCB+∠ABC=90°,
∴∠A=∠MCB.
∵CD⊥AB,
∴∠2+∠DMB=90°.
∵DH⊥BM,
∴∠1+∠DMB=90°,
∴∠1=∠2.
又∠ADE=90°+∠1,∠CMB=90°+∠2,
∴∠ADE=∠CMB,
∴△AED∽△CBM.
(2)
∵△AED∽△CBM,
∴$\frac{AE}{CB}=\frac{AD}{CM}$,
∴$AE·CM=AD·CB$.
∵△ABC是直角三角形,CD是AB上的高，
∴△ACD∽△CBD,
∴$\frac{AC}{AD}=\frac{CB}{CD}$,
∴$AC·CD=AD·CB$,
∴$AE·CM=AC·CD$.
【知识点】
1. 同角的余角相等
2. 相似三角形的判定
3. 相似三角形的性质
【点评】
本题是相似三角形的典型综合题，解题核心是通过直角的性质推导角相等证明三角形相似，再利用相似三角形对应边成比例的性质，通过等量代换完成等积式的证明，需要熟练掌握角相等的推导方法，以及等积式和比例式的互化技巧。
【难度系数】
0.6
