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10如图1是一个秋千简易图，将其抽象成如图2所示的示意图，已知两根完全相等的支柱EF、GH垂直于地面，AD、BC是两根等长且紧绷的绳子，FG所在的直线为地面，已知$∠ DCB = 104°$，$HG = 2.34 \ \mathrm{m}$，$BC = 2 \ \mathrm{m}$，$AB // CD$，当秋千处于静止状态时，木板DC到地面的距离约为
0.4
m.（结果精确到0.1 m.参考数据：$\sin 76° \approx 0.97$，$\cos 76° \approx 0.24$，$\tan 76° \approx 4.01$）答案
10.0.4 解析:如图
,过点 C 作$CM⊥AB$于点 M,延长 MC 交 FG 于点 N.由题意,得$GH⊥FG,EF⊥FG$,
$∴EF// GH$.
又$EF=GH=2.34\ \mathrm{m}$,
$∴$四边形 EFGH 是平行四边形.
$∵∠EFG=90°$,
$∴$四边形 EFGH 是矩形,
$∴∠E=90°=∠EMN=∠EFN$,
$∴$四边形 EFNM 是矩形,
$∴MN=EF=2.34\ \mathrm{m}$.
$∵∠DCB=104°,AB// CD$,
$∴∠ABC=180°-∠BCD=76°$,
$∴CM=BC·\sin∠ABC≈2×0.97=1.94(\mathrm{m})$,
$∴CN=MN-MC=0.4\ \mathrm{m}$.
解析
【分析】
要求木板DC到地面的距离，可通过构造辅助线转化为线段长度的差计算。首先观察已知条件，两根支柱垂直地面且等长，可推出四边形EFGH是矩形，得到总高度等于支柱的长度。过点C作CM垂直AB于M，延长CM交地面于N，则CN就是DC到地面的距离。由AB平行CD，利用平行线同旁内角互补可求出∠ABC的度数，再在Rt△BCM中用三角函数求出CM的长度，最后用总高度减去CM的长度即可得到所求距离。
【解析】
如图，过点C作$CM⊥AB$于点M，延长MC交FG于点N。
由题意，得$GH⊥FG,EF⊥FG$，
$∴EF// GH$。
又$EF=GH=2.34\ \mathrm{m}$，
$∴$四边形EFGH是平行四边形。
$∵∠EFG=90°$，
$∴$四边形EFGH是矩形，
$∴∠E=90°=∠EMN=∠EFN$，
$∴$四边形EFNM是矩形，
$∴MN=EF=2.34\ \mathrm{m}$。
$∵∠DCB=104°,AB// CD$，
$∴∠ABC=180°-∠BCD=76°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCM$中，$CM=BC·\sin∠ABC≈2×0.97=1.94(\mathrm{m})$，
$∴CN=MN-MC=2.34-1.94=0.4(\mathrm{m})$。
【答案】
0.4
【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题结合生活中的秋千场景，将实际问题转化为几何计算问题，既考查了基础几何性质的运用，也考查了构造辅助线、利用三角函数求解线段长度的能力，贴合生活实际，综合性适中。
【难度系数】
0.7
要求木板DC到地面的距离，可通过构造辅助线转化为线段长度的差计算。首先观察已知条件，两根支柱垂直地面且等长，可推出四边形EFGH是矩形，得到总高度等于支柱的长度。过点C作CM垂直AB于M，延长CM交地面于N，则CN就是DC到地面的距离。由AB平行CD，利用平行线同旁内角互补可求出∠ABC的度数，再在Rt△BCM中用三角函数求出CM的长度，最后用总高度减去CM的长度即可得到所求距离。
【解析】
如图
，过点C作$CM⊥AB$于点M，延长MC交FG于点N。由题意，得$GH⊥FG,EF⊥FG$，
$∴EF// GH$。
又$EF=GH=2.34\ \mathrm{m}$，
$∴$四边形EFGH是平行四边形。
$∵∠EFG=90°$，
$∴$四边形EFGH是矩形，
$∴∠E=90°=∠EMN=∠EFN$，
$∴$四边形EFNM是矩形，
$∴MN=EF=2.34\ \mathrm{m}$。
$∵∠DCB=104°,AB// CD$，
$∴∠ABC=180°-∠BCD=76°$，
在$\mathrm{Rt}△ BCM$中，$CM=BC·\sin∠ABC≈2×0.97=1.94(\mathrm{m})$，
$∴CN=MN-MC=2.34-1.94=0.4(\mathrm{m})$。
【答案】
0.4
【知识点】
解直角三角形的应用；矩形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题结合生活中的秋千场景，将实际问题转化为几何计算问题，既考查了基础几何性质的运用，也考查了构造辅助线、利用三角函数求解线段长度的能力，贴合生活实际，综合性适中。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11.风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.电力部门在一处坡角为$30°$的坡地新安装了一架风力发电机，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，并画了测量示意图，如图2.已知，风力发电机垂直于地平面，斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端点P的仰角为$45°$，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得点P的俯角为$18°$.
(1)填空：$∠ APB=$
(2)求点D到地面AC的距离；
(3)求该风力发电机塔杆PD的高度.
(参考数据：$\sin18°\approx\frac{31}{100},\cos18°\approx\frac{19}{20},\tan18°\approx\frac{13}{40}$)
11.风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义.电力部门在一处坡角为$30°$的坡地新安装了一架风力发电机，如图1，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，并画了测量示意图，如图2.已知，风力发电机垂直于地平面，斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端点P的仰角为$45°$，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得点P的俯角为$18°$.
(1)填空：$∠ APB=$
63
$°$；(2)求点D到地面AC的距离；
(3)求该风力发电机塔杆PD的高度.
(参考数据：$\sin18°\approx\frac{31}{100},\cos18°\approx\frac{19}{20},\tan18°\approx\frac{13}{40}$)
答案
11.解:(1)如图
,过点 P 作$PE⊥AB$,垂足为 E,由题意得$∠PAC=45°,BG// PE// AC$,
$∴∠BPE=∠GBP=18°,∠APE=∠PAC=45°$,
$∴∠APB=∠APE+∠BPE=45°+18°=63°$.
故答案为 63.
(2)如图
,延长 PD 交 AC 于点 F,由题意得$PF⊥AF$,
在$\mathrm{Rt}△CDF$中,$∠DCF=30°,CD=16$米,
$∴DF=\frac{1}{2}CD=8$米,
$∴$点 D 到地面 AC 的距离为 8 米.
(3)由题意得$AB=53$米,$AE=PF$,
设$PE=x$米,
在$\mathrm{Rt}△AEP$中,$∠APE=45°$,
$∴AE=PE·\tan 45°=x$米.
在$\mathrm{Rt}△BEP$中,$∠BPE=18°$,
$∴BE=PE·\tan 18°≈\frac{13}{40}x$米.
$∵AE+BE=AB,∴x+\frac{13}{40}x=53$,
解得$x=40,∴PF=AE=40$米.
$∵DF=8$米,$∴PD=PF-DF=40-8=32$(米),
$∴$该风力发电机塔杆 PD 的高度约为 32 米.
解析
【分析】
(1) 求解∠APB时，先过点P作PE⊥AB构造平行线，结合已知的俯角、仰角条件，利用平行线内错角相等的性质，将∠APB拆分为两个已知角求和即可。
(2) 求点D到地面的距离，可延长PD交AC于F，得到含30°角的Rt△CDF，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质直接计算DF即可。
(3) 求塔杆PD高度，先设PE的长度为x，分别在两个直角三角形中用x表示出AE、BE的长度，结合AB的总长度列方程求出x，得到PF的长度后减去DF的长度即可得到PD的高度。
【解析】
(1) 如图,过点 P 作$PE⊥AB$,垂足为 E,
由题意得$∠PAC=45°,BG// PE// AC$,
$∴∠BPE=∠GBP=18°,∠APE=∠PAC=45°$,
$∴∠APB=∠APE+∠BPE=45°+18°=63°$.
(2) 如图，延长 PD 交 AC 于点 F,
由题意得$PF⊥AF$,
在$\mathrm{Rt}△CDF$中,$∠DCF=30°,CD=16$米,
$∴DF=\frac{1}{2}CD=8$米,
$∴$点 D 到地面 AC 的距离为 8 米.
(3) 由题意得$AB=53$米,$AE=PF$,
设$PE=x$米,
在$\mathrm{Rt}△AEP$中,$∠APE=45°$,
$∴AE=PE·\tan 45°=x$米.
在$\mathrm{Rt}△BEP$中,$∠BPE=18°$,
$∴BE=PE·\tan 18°≈\frac{13}{40}x$米.
$∵AE+BE=AB,∴x+\frac{13}{40}x=53$,
解得$x=40,∴PF=AE=40$米.
$∵DF=8$米,$∴PD=PF-DF=40-8=32$(米),
$∴$该风力发电机塔杆 PD 的高度约为 32 米.
【答案】
(1) $\boxed{63}$
(2) 8米
(3) 32米
【知识点】
解直角三角形的应用；平行线的性质；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查解直角三角形的应用，需要学生灵活构造辅助线，将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，同时用到方程思想求解未知量，注重对知识迁移和应用能力的考查。
【难度系数】
0.65
(1) 求解∠APB时，先过点P作PE⊥AB构造平行线，结合已知的俯角、仰角条件，利用平行线内错角相等的性质，将∠APB拆分为两个已知角求和即可。
(2) 求点D到地面的距离，可延长PD交AC于F，得到含30°角的Rt△CDF，利用30°角所对直角边是斜边一半的性质直接计算DF即可。
(3) 求塔杆PD高度，先设PE的长度为x，分别在两个直角三角形中用x表示出AE、BE的长度，结合AB的总长度列方程求出x，得到PF的长度后减去DF的长度即可得到PD的高度。
【解析】
(1) 如图
,过点 P 作$PE⊥AB$,垂足为 E,由题意得$∠PAC=45°,BG// PE// AC$,
$∴∠BPE=∠GBP=18°,∠APE=∠PAC=45°$,
$∴∠APB=∠APE+∠BPE=45°+18°=63°$.
(2) 如图
，延长 PD 交 AC 于点 F,由题意得$PF⊥AF$,
在$\mathrm{Rt}△CDF$中,$∠DCF=30°,CD=16$米,
$∴DF=\frac{1}{2}CD=8$米,
$∴$点 D 到地面 AC 的距离为 8 米.
(3) 由题意得$AB=53$米,$AE=PF$,
设$PE=x$米,
在$\mathrm{Rt}△AEP$中,$∠APE=45°$,
$∴AE=PE·\tan 45°=x$米.
在$\mathrm{Rt}△BEP$中,$∠BPE=18°$,
$∴BE=PE·\tan 18°≈\frac{13}{40}x$米.
$∵AE+BE=AB,∴x+\frac{13}{40}x=53$,
解得$x=40,∴PF=AE=40$米.
$∵DF=8$米,$∴PD=PF-DF=40-8=32$(米),
$∴$该风力发电机塔杆 PD 的高度约为 32 米.
【答案】
(1) $\boxed{63}$
(2) 8米
(3) 32米
【知识点】
解直角三角形的应用；平行线的性质；含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题结合实际测量场景考查解直角三角形的应用，需要学生灵活构造辅助线，将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，同时用到方程思想求解未知量，注重对知识迁移和应用能力的考查。
【难度系数】
0.65
12.如图,四边形ABCD是某校实践基地一块菜地的示意图,∠BAD=∠C=90°,数学兴趣小组在观测点E处(A、D、E在一条直线上),测得B在E的南偏东30°方向上,AE=12 m,在观测点F处(B、A、F在一条直线上),测得C、D都在F的北偏东45°方向上,BF=10 m,求这块菜地的面积.(结果保留整数.参考数据:$\sqrt{2}≈1.41,\sqrt{3}≈1.73$)
答案
12.解:在$\mathrm{Rt}△ABE$中,$\tan 30°=\frac{AB}{AE}$,
$∴AB=AE·\tan 30°=12×\frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}(\mathrm{m})$,
$∴AF=BF-AB=(10-4\sqrt{3})\mathrm{m}$.
由题意,得$∠FAD=∠BAD=90°,∠AFD=45°$,
$∴AD=AF=(10-4\sqrt{3})\mathrm{m}$,
$CF=BC=BF·\cos 45°=10×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}(\mathrm{m})$,
$∴S_{△BCF}=\frac{1}{2}BC^2=\frac{1}{2}×(5\sqrt{2})^2=25(\mathrm{m}^2)$,
$S_{△DAF}=\frac{1}{2}AF^2=\frac{1}{2}×(10-4\sqrt{3})^2=(74-40\sqrt{3})\mathrm{m}^2$,
$∴S_{四边形ABCD}=S_{△BCF}-S_{△DAF}=25-(74-40\sqrt{3})=40\sqrt{3}-49≈20(\mathrm{m}^2)$.
答:这块菜地的面积约是 20 $\mathrm{m}^2$.
$∴AB=AE·\tan 30°=12×\frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}(\mathrm{m})$,
$∴AF=BF-AB=(10-4\sqrt{3})\mathrm{m}$.
由题意,得$∠FAD=∠BAD=90°,∠AFD=45°$,
$∴AD=AF=(10-4\sqrt{3})\mathrm{m}$,
$CF=BC=BF·\cos 45°=10×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}(\mathrm{m})$,
$∴S_{△BCF}=\frac{1}{2}BC^2=\frac{1}{2}×(5\sqrt{2})^2=25(\mathrm{m}^2)$,
$S_{△DAF}=\frac{1}{2}AF^2=\frac{1}{2}×(10-4\sqrt{3})^2=(74-40\sqrt{3})\mathrm{m}^2$,
$∴S_{四边形ABCD}=S_{△BCF}-S_{△DAF}=25-(74-40\sqrt{3})=40\sqrt{3}-49≈20(\mathrm{m}^2)$.
答:这块菜地的面积约是 20 $\mathrm{m}^2$.
解析
【分析】
本题要求不规则四边形ABCD的面积，无法直接套用四边形面积公式求解，因此采用割补法转化为规则图形的面积差计算。首先结合方向角的定义，先在含30°角的Rt△ABE中利用三角函数求出AB的长度，进而得到AF的长度；再根据F处北偏东45°的方向特征，判断出△ADF和△BCF均为等腰直角三角形，分别计算两个等腰直角三角形的面积，用△BCF的面积减去△ADF的面积即可得到菜地的面积。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$\tan 30°=\frac{AB}{AE}$，
$∴AB=AE·\tan 30°=12×\frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}(\mathrm{m})$，
$∴AF=BF-AB=(10-4\sqrt{3})\mathrm{m}$。
由题意得$∠FAD=∠BAD=90°,∠AFD=45°$，
$∴△ADF$为等腰直角三角形，$AD=AF=(10-4\sqrt{3})\mathrm{m}$，
同理$△BCF$为等腰直角三角形，$CF=BC=BF·\cos 45°=10×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}(\mathrm{m})$，
$∴S_{△BCF}=\frac{1}{2}BC^2=\frac{1}{2}×(5\sqrt{2})^2=25(\mathrm{m}^2)$，
$S_{△DAF}=\frac{1}{2}AF^2=\frac{1}{2}×(10-4\sqrt{3})^2=(74-40\sqrt{3})\mathrm{m}^2$，
$∴S_{四边形ABCD}=S_{△BCF}-S_{△DAF}=25-(74-40\sqrt{3})=40\sqrt{3}-49≈40×1.73-49≈20(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
这块菜地的面积约是$\boxed{20\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
1. 解直角三角形的应用 2. 等腰直角三角形的性质 3. 割补法求面积
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的相关知识，解题关键是正确理解方向角的含义，灵活运用割补法将不规则图形的面积转化为规则图形的面积差，同时要熟练掌握特殊角的三角函数值，准确进行二次根式的运算和近似值计算。
【难度系数】
0.6
本题要求不规则四边形ABCD的面积，无法直接套用四边形面积公式求解，因此采用割补法转化为规则图形的面积差计算。首先结合方向角的定义，先在含30°角的Rt△ABE中利用三角函数求出AB的长度，进而得到AF的长度；再根据F处北偏东45°的方向特征，判断出△ADF和△BCF均为等腰直角三角形，分别计算两个等腰直角三角形的面积，用△BCF的面积减去△ADF的面积即可得到菜地的面积。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABE$中，$\tan 30°=\frac{AB}{AE}$，
$∴AB=AE·\tan 30°=12×\frac{\sqrt{3}}{3}=4\sqrt{3}(\mathrm{m})$，
$∴AF=BF-AB=(10-4\sqrt{3})\mathrm{m}$。
由题意得$∠FAD=∠BAD=90°,∠AFD=45°$，
$∴△ADF$为等腰直角三角形，$AD=AF=(10-4\sqrt{3})\mathrm{m}$，
同理$△BCF$为等腰直角三角形，$CF=BC=BF·\cos 45°=10×\frac{\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}(\mathrm{m})$，
$∴S_{△BCF}=\frac{1}{2}BC^2=\frac{1}{2}×(5\sqrt{2})^2=25(\mathrm{m}^2)$，
$S_{△DAF}=\frac{1}{2}AF^2=\frac{1}{2}×(10-4\sqrt{3})^2=(74-40\sqrt{3})\mathrm{m}^2$，
$∴S_{四边形ABCD}=S_{△BCF}-S_{△DAF}=25-(74-40\sqrt{3})=40\sqrt{3}-49≈40×1.73-49≈20(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
这块菜地的面积约是$\boxed{20\ \mathrm{m}^2}$
【知识点】
1. 解直角三角形的应用 2. 等腰直角三角形的性质 3. 割补法求面积
【点评】
本题结合实际场景考查解直角三角形的相关知识，解题关键是正确理解方向角的含义，灵活运用割补法将不规则图形的面积转化为规则图形的面积差，同时要熟练掌握特殊角的三角函数值，准确进行二次根式的运算和近似值计算。
【难度系数】
0.6
