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10. ★★★ 将抛物线$y=(x-1)^2$位于直线$y=4$上方的部分向下翻折，得到新的图象，若直线$y=-x+m$与新图象有四个交点，则$m$的取值范围是（
A.$m≤\frac{3}{4}$或$m≥3$
B.$\frac{3}{4}＜m＜3$
C.$m＜\frac{3}{4}$或$m＞3$
D.$\frac{3}{4}＜m≤3$
B
）A.$m≤\frac{3}{4}$或$m≥3$
B.$\frac{3}{4}＜m＜3$
C.$m＜\frac{3}{4}$或$m＞3$
D.$\frac{3}{4}＜m≤3$
答案
10. B 解析: 如图
,当$y=(x-1)^2=4$时,解得 $x_1=-1$,$x_2=3$,即$A(-1,4)$,$B(3,4)$.设过点 A 且与直线$y=-x+m$平行的直线$l_1$的表达式为$y=-x+m_1$,则有 $1+m_1=4$,即 $m_1=3$,$\therefore$ 直线$l_1$的表达式为$y=-x+3$.设与直线$y=-x+m$平行且与抛物线$y=(x-1)^2$只有一个公共点的直线$l_2$的表达式为$y=-x+m_2$,则有$\begin{cases}y=-x+m_2,\\y=(x-1)^2,\end{cases}$消去 y 并整理得 $x^2-x+1-m_2=0$,$\therefore (-1)^2-4(1-m_2)=0$,解得 $m_2=\dfrac{3}{4}$,即直线$l_2$的表达式为$y=-x+\dfrac{3}{4}$,由图象知,当$\dfrac{3}{4}＜m＜3$时,直线$y=-x+m$与新图象有四个交点,故选 B.解析
【分析】
要解决本题可按以下思路推导：首先明确翻折的边界是抛物线与直线$y=4$的交点，先求出两个交点$A、B$的坐标；再找直线$y=-x+m$和新图象有四个交点的两个临界状态：一是直线刚好经过点$A$（或$B$），此时是交点数从3个变为4个的上临界；二是直线和抛物线$y=(x-1)^2$刚好相切（只有1个公共点），此时是下临界；最后结合图象判断，当$m$在两个临界值之间时，直线和新图象有4个交点。
【解析】
1. 求交点$A、B$的坐标：
令$y=(x-1)^2=4$，解得$x-1=\pm2$，即$x_1=-1，x_2=3$，因此$A(-1,4)，B(3,4)$。
2. 计算上临界的$m$值：
设过点$A$且与$y=-x+m$平行的直线为$y=-x+m_1$，将$A(-1,4)$代入得$4=1+m_1$，解得$m_1=3$，此时直线刚好经过$A$点，与新图象共有3个交点。
3. 计算下临界的$m$值：
设与$y=-x+m$平行且和抛物线$y=(x-1)^2$只有1个公共点的直线为$y=-x+m_2$，联立方程：
$\begin{cases}y=-x+m_2\\y=(x-1)^2\end{cases}$
消去$y$整理得$x^2-x+1-m_2=0$，因为直线与抛物线只有1个公共点，所以判别式$\Delta=0$，即$(-1)^2-4×1×(1-m_2)=0$，解得$m_2=\frac{3}{4}$，此时直线与抛物线相切，与新图象共有3个交点。
4. 结合图象判断范围：
当$\frac{3}{4}＜m＜3$时，直线$y=-x+m$与新图象有4个交点。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象变换，一次函数性质，函数交点问题
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题关键是准确找到两个临界位置的$m$值，对学生的图象分析能力和方程计算能力有一定的要求。
【难度系数】
0.6
要解决本题可按以下思路推导：首先明确翻折的边界是抛物线与直线$y=4$的交点，先求出两个交点$A、B$的坐标；再找直线$y=-x+m$和新图象有四个交点的两个临界状态：一是直线刚好经过点$A$（或$B$），此时是交点数从3个变为4个的上临界；二是直线和抛物线$y=(x-1)^2$刚好相切（只有1个公共点），此时是下临界；最后结合图象判断，当$m$在两个临界值之间时，直线和新图象有4个交点。
【解析】
1. 求交点$A、B$的坐标：
令$y=(x-1)^2=4$，解得$x-1=\pm2$，即$x_1=-1，x_2=3$，因此$A(-1,4)，B(3,4)$。
2. 计算上临界的$m$值：
设过点$A$且与$y=-x+m$平行的直线为$y=-x+m_1$，将$A(-1,4)$代入得$4=1+m_1$，解得$m_1=3$，此时直线刚好经过$A$点，与新图象共有3个交点。
3. 计算下临界的$m$值：
设与$y=-x+m$平行且和抛物线$y=(x-1)^2$只有1个公共点的直线为$y=-x+m_2$，联立方程：
$\begin{cases}y=-x+m_2\\y=(x-1)^2\end{cases}$
消去$y$整理得$x^2-x+1-m_2=0$，因为直线与抛物线只有1个公共点，所以判别式$\Delta=0$，即$(-1)^2-4×1×(1-m_2)=0$，解得$m_2=\frac{3}{4}$，此时直线与抛物线相切，与新图象共有3个交点。
4. 结合图象判断范围：
当$\frac{3}{4}＜m＜3$时，直线$y=-x+m$与新图象有4个交点。
【答案】
B
【知识点】
二次函数图象变换，一次函数性质，函数交点问题
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题关键是准确找到两个临界位置的$m$值，对学生的图象分析能力和方程计算能力有一定的要求。
【难度系数】
0.6
11. 将二次函数$y=x^2$的图象向右平移3个单位得到一个新函数的图象，请写出一个自变量$x$的取值范围，使得在所写的取值范围内，上述两个函数中，恰好其中一个函数的图象从左往右上升，而另一个函数的图象从左往右下降，写出的$x$的取值范围是
$0＜x＜3$(答案不唯一)
.答案
11. $0＜x＜3$(答案不唯一) 解析:将二次函数$y=x^2$的图象向右平移 3 个单位得到的新函数的表达式为$y=(x-3)^2$.其图象如图
,由图象可知,当$0＜x＜3$时,恰好$y=x^2$的图象从左往右上升,而另一个函数$y=(x-3)^2$的图象从左往右下降,故答案可以为$0＜x＜3$.解析
【分析】
首先回忆二次函数图象平移的“左加右减”规律，求出平移后新函数的解析式；再明确开口向上的二次函数的增减性规律：对称轴左侧图象从左往右下降，右侧图象从左往右上升，分别找到两个函数的升降区间；最后筛选出两个函数恰好一升一降的自变量区间即可。
【解析】
1. 求平移后的函数解析式：根据二次函数平移“左加右减”的规则，将$y=x^2$的图象向右平移3个单位后，得到的新函数为$y=(x-3)^2$。
2. 分析两个函数的增减性：
$y=x^2$开口向上，对称轴为直线$x=0$，因此当$x＞0$时，图象从左往右上升；$x＜0$时，图象从左往右下降。
$y=(x-3)^2$开口向上，对称轴为直线$x=3$，因此当$x＜3$时，图象从左往右下降；$x＞3$时，图象从左往右上升。
3. 确定符合要求的区间：
当$0＜x＜3$时，$y=x^2$的图象上升，$y=(x-3)^2$的图象下降，满足题意，也可选取该区间内的任意子区间，如$1＜x＜2$等。
【答案】
$0＜x＜3$(答案不唯一) 解析:将二次函数$y=x^2$的图象向右平移 3 个单位得到的新函数的表达式为$y=(x-3)^2$.其图象如图,由图象可知,当$0＜x＜3$时,恰好$y=x^2$的图象从左往右上升,而另一个函数$y=(x-3)^2$的图象从左往右下降,故答案可以为$0＜x＜3$.
【知识点】
二次函数平移规律，二次函数的增减性，二次函数图象性质
【点评】
本题将二次函数的平移规律和增减性结合考查，需要先得到平移后的函数解析式，再结合对称轴判断函数的升降区间，最终找到符合要求的自变量范围，难度不大，答案不唯一，只要在$0＜x＜3$区间内的取值范围都符合要求。
【难度系数】
0.7
首先回忆二次函数图象平移的“左加右减”规律，求出平移后新函数的解析式；再明确开口向上的二次函数的增减性规律：对称轴左侧图象从左往右下降，右侧图象从左往右上升，分别找到两个函数的升降区间；最后筛选出两个函数恰好一升一降的自变量区间即可。
【解析】
1. 求平移后的函数解析式：根据二次函数平移“左加右减”的规则，将$y=x^2$的图象向右平移3个单位后，得到的新函数为$y=(x-3)^2$。
2. 分析两个函数的增减性：
$y=x^2$开口向上，对称轴为直线$x=0$，因此当$x＞0$时，图象从左往右上升；$x＜0$时，图象从左往右下降。
$y=(x-3)^2$开口向上，对称轴为直线$x=3$，因此当$x＜3$时，图象从左往右下降；$x＞3$时，图象从左往右上升。
3. 确定符合要求的区间：
当$0＜x＜3$时，$y=x^2$的图象上升，$y=(x-3)^2$的图象下降，满足题意，也可选取该区间内的任意子区间，如$1＜x＜2$等。
【答案】
$0＜x＜3$(答案不唯一) 解析:将二次函数$y=x^2$的图象向右平移 3 个单位得到的新函数的表达式为$y=(x-3)^2$.其图象如图
,由图象可知,当$0＜x＜3$时,恰好$y=x^2$的图象从左往右上升,而另一个函数$y=(x-3)^2$的图象从左往右下降,故答案可以为$0＜x＜3$.【知识点】
二次函数平移规律，二次函数的增减性，二次函数图象性质
【点评】
本题将二次函数的平移规律和增减性结合考查，需要先得到平移后的函数解析式，再结合对称轴判断函数的升降区间，最终找到符合要求的自变量范围，难度不大，答案不唯一，只要在$0＜x＜3$区间内的取值范围都符合要求。
【难度系数】
0.7
12. ★★★ 如图, 点 $P_{1},P_{2},P_{3},··· ,P_{n}$ 在抛物线 $y=a(x-1)^{2}$ 上,点 $Q_{1},Q_{2},Q_{3},··· ,Q_{n}$ 在抛物线的对称轴上, 若 $△ P_{1}Q_{0}Q_{1}$ ,$△ P_{2}Q_{1}Q_{2},··· ,△ P_{n}Q_{n-1}Q_{n}$ 都为等边三角形(点 $Q_{0}$ 是抛物线的顶点)且 $Q_{0}Q_{1}=2$,则点$P_{n}$的坐标为
$(\sqrt{3}n+1,n^2)$
.答案
12. $(\sqrt{3}n+1,n^2)$ 解析:过点 $P_1,P_2$ 作 $P_1M_1 ⊥ Q_0Q_1$,$P_2M_2 ⊥ Q_1Q_2$.
∵ 点 $Q_1,Q_2,Q_3,\dots,Q_n$ 在抛物线 $y=a(x-1)^2$ 的对称轴上,对称轴为直线 $x=1$,$\therefore$ 点 $Q_1,Q_2,Q_3,\dots,Q_n$ 的横坐标为 1.
∵ $Q_0Q_1=2$,$\therefore Q_0M_1=\dfrac{1}{2}Q_0Q_1=1$,$M_1P_1=\sqrt{3}$,$\therefore P_1(1+\sqrt{3},1)$.
∵ $P_1(1+\sqrt{3},1)$ 在抛物线 $y=a(x-1)^2$ 上,$\therefore 1=3a$,解得 $a=\dfrac{1}{3}$,$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=\dfrac{1}{3}(x-1)^2$.设 $Q_1Q_2=m$,$\therefore Q_1M_2=\dfrac{m}{2}$,$M_2P_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}m$,则点 $P_2$ 的纵坐标为 $\dfrac{1}{2}m+2$,点 $P_2$ 的横坐标为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}m+1$,$\therefore \dfrac{1}{2}m+2=\dfrac{1}{3}(\dfrac{\sqrt{3}}{2}m+1-1)^2$,解得 $m=-2$(舍去)或 $m=4$,$\therefore$ 点 $P_2$ 的纵坐标为 4,点 $P_2$ 的横坐标为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}×4+1=2\sqrt{3}+1$,即 $P_2(2\sqrt{3}+1,4)$.
∵ 点 $P_1,P_2,P_3,\dots,P_n$ 在抛物线 $y=\dfrac{1}{3}(x-1)^2$ 上,且在第一象限,$\therefore$ 横坐标为 $x=\sqrt{3y}+1$.同理可得点 $P_3$ 的纵坐标为 9,横坐标为 $\sqrt{3×9}+1=3\sqrt{3}+1$,$\dots$,点 $P_n$ 的纵坐标为 $n^2$,横坐标为 $\sqrt{3× n^2}+1=\sqrt{3}n+1$,$\therefore P_n(\sqrt{3}n+1,n^2)$.
∵ 点 $Q_1,Q_2,Q_3,\dots,Q_n$ 在抛物线 $y=a(x-1)^2$ 的对称轴上,对称轴为直线 $x=1$,$\therefore$ 点 $Q_1,Q_2,Q_3,\dots,Q_n$ 的横坐标为 1.
∵ $Q_0Q_1=2$,$\therefore Q_0M_1=\dfrac{1}{2}Q_0Q_1=1$,$M_1P_1=\sqrt{3}$,$\therefore P_1(1+\sqrt{3},1)$.
∵ $P_1(1+\sqrt{3},1)$ 在抛物线 $y=a(x-1)^2$ 上,$\therefore 1=3a$,解得 $a=\dfrac{1}{3}$,$\therefore$ 抛物线的表达式为 $y=\dfrac{1}{3}(x-1)^2$.设 $Q_1Q_2=m$,$\therefore Q_1M_2=\dfrac{m}{2}$,$M_2P_2=\dfrac{\sqrt{3}}{2}m$,则点 $P_2$ 的纵坐标为 $\dfrac{1}{2}m+2$,点 $P_2$ 的横坐标为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}m+1$,$\therefore \dfrac{1}{2}m+2=\dfrac{1}{3}(\dfrac{\sqrt{3}}{2}m+1-1)^2$,解得 $m=-2$(舍去)或 $m=4$,$\therefore$ 点 $P_2$ 的纵坐标为 4,点 $P_2$ 的横坐标为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}×4+1=2\sqrt{3}+1$,即 $P_2(2\sqrt{3}+1,4)$.
∵ 点 $P_1,P_2,P_3,\dots,P_n$ 在抛物线 $y=\dfrac{1}{3}(x-1)^2$ 上,且在第一象限,$\therefore$ 横坐标为 $x=\sqrt{3y}+1$.同理可得点 $P_3$ 的纵坐标为 9,横坐标为 $\sqrt{3×9}+1=3\sqrt{3}+1$,$\dots$,点 $P_n$ 的纵坐标为 $n^2$,横坐标为 $\sqrt{3× n^2}+1=\sqrt{3}n+1$,$\therefore P_n(\sqrt{3}n+1,n^2)$.
解析
【分析】
解题时首先确定抛物线的对称轴为直线x=1，Q₀是抛物线顶点，坐标为(1,0)。第一步利用等边三角形三线合一的性质，结合Q₀Q₁=2求出点P₁的坐标，代入抛物线解析式求出a的值，确定抛物线的具体表达式；第二步同理设第二个等边三角形的边长为m，用m表示出P₂的横、纵坐标，代入抛物线解析式求出m，得到P₂的坐标；第三步观察P₁、P₂的坐标规律，类推得到Pₙ的坐标即可。
【解析】
过点$P_1,P_2$分别作$P_1M_1 ⊥ Q_0Q_1$，$P_2M_2 ⊥ Q_1Q_2$，垂足分别为$M_1$、$M_2$。
1. 求抛物线解析式
抛物线$y=a(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$，顶点$Q_0$坐标为$(1,0)$。
∵ $△ P_1Q_0Q_1$是等边三角形，$Q_0Q_1=2$，根据等边三角形三线合一的性质，$Q_0M_1=\frac{1}{2}Q_0Q_1=1$，高$M_1P_1=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴ 点$P_1$的坐标为$(1+\sqrt{3},1)$。
将$P_1(1+\sqrt{3},1)$代入$y=a(x-1)^2$，得$1=a·(\sqrt{3})^2$，解得$a=\frac{1}{3}$，
∴ 抛物线解析式为$y=\frac{1}{3}(x-1)^2$。
2. 求点$P_2$的坐标
设等边$△ P_2Q_1Q_2$的边长$Q_1Q_2=m$，同理可得$Q_1M_2=\frac{m}{2}$，$M_2P_2=\frac{\sqrt{3}}{2}m$，
则点$P_2$的纵坐标为$2+\frac{m}{2}$，横坐标为$1+\frac{\sqrt{3}}{2}m$。
将$P_2$坐标代入抛物线解析式，得：
$\frac{1}{2}m+2=\frac{1}{3}×(\frac{\sqrt{3}}{2}m)^2$
化简得$\frac{1}{2}m+2=\frac{1}{4}m^2$，即$m^2-2m-8=0$，
解得$m=4$（$m=-2$不合题意舍去），
∴ $P_2$的横坐标为$1+\frac{\sqrt{3}}{2}×4=1+2\sqrt{3}$，纵坐标为$2+\frac{4}{2}=4$，即$P_2(2\sqrt{3}+1,4)$。
3. 推导$P_n$的坐标规律
观察$P_1(1+\sqrt{3},1^2)$、$P_2(1+2\sqrt{3},2^2)$，同理可得$P_3$的坐标为$(1+3\sqrt{3},3^2)$，以此类推，点$P_n$的纵坐标为$n^2$，横坐标为$1+\sqrt{3}n$。
【答案】
$(\sqrt{3}n+1,n^2)$
【知识点】
二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，规律探究
【点评】
本题是二次函数与等边三角形结合的规律探究题，解题关键是利用等边三角形的性质表示出抛物线上点的坐标，代入函数解析式求解后归纳坐标的一般规律，较好地考查了数形结合思想和归纳推理能力。
【难度系数】
0.4
解题时首先确定抛物线的对称轴为直线x=1，Q₀是抛物线顶点，坐标为(1,0)。第一步利用等边三角形三线合一的性质，结合Q₀Q₁=2求出点P₁的坐标，代入抛物线解析式求出a的值，确定抛物线的具体表达式；第二步同理设第二个等边三角形的边长为m，用m表示出P₂的横、纵坐标，代入抛物线解析式求出m，得到P₂的坐标；第三步观察P₁、P₂的坐标规律，类推得到Pₙ的坐标即可。
【解析】
过点$P_1,P_2$分别作$P_1M_1 ⊥ Q_0Q_1$，$P_2M_2 ⊥ Q_1Q_2$，垂足分别为$M_1$、$M_2$。
1. 求抛物线解析式
抛物线$y=a(x-1)^2$的对称轴为直线$x=1$，顶点$Q_0$坐标为$(1,0)$。
∵ $△ P_1Q_0Q_1$是等边三角形，$Q_0Q_1=2$，根据等边三角形三线合一的性质，$Q_0M_1=\frac{1}{2}Q_0Q_1=1$，高$M_1P_1=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}$，
∴ 点$P_1$的坐标为$(1+\sqrt{3},1)$。
将$P_1(1+\sqrt{3},1)$代入$y=a(x-1)^2$，得$1=a·(\sqrt{3})^2$，解得$a=\frac{1}{3}$，
∴ 抛物线解析式为$y=\frac{1}{3}(x-1)^2$。
2. 求点$P_2$的坐标
设等边$△ P_2Q_1Q_2$的边长$Q_1Q_2=m$，同理可得$Q_1M_2=\frac{m}{2}$，$M_2P_2=\frac{\sqrt{3}}{2}m$，
则点$P_2$的纵坐标为$2+\frac{m}{2}$，横坐标为$1+\frac{\sqrt{3}}{2}m$。
将$P_2$坐标代入抛物线解析式，得：
$\frac{1}{2}m+2=\frac{1}{3}×(\frac{\sqrt{3}}{2}m)^2$
化简得$\frac{1}{2}m+2=\frac{1}{4}m^2$，即$m^2-2m-8=0$，
解得$m=4$（$m=-2$不合题意舍去），
∴ $P_2$的横坐标为$1+\frac{\sqrt{3}}{2}×4=1+2\sqrt{3}$，纵坐标为$2+\frac{4}{2}=4$，即$P_2(2\sqrt{3}+1,4)$。
3. 推导$P_n$的坐标规律
观察$P_1(1+\sqrt{3},1^2)$、$P_2(1+2\sqrt{3},2^2)$，同理可得$P_3$的坐标为$(1+3\sqrt{3},3^2)$，以此类推，点$P_n$的纵坐标为$n^2$，横坐标为$1+\sqrt{3}n$。
【答案】
$(\sqrt{3}n+1,n^2)$
【知识点】
二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，规律探究
【点评】
本题是二次函数与等边三角形结合的规律探究题，解题关键是利用等边三角形的性质表示出抛物线上点的坐标，代入函数解析式求解后归纳坐标的一般规律，较好地考查了数形结合思想和归纳推理能力。
【难度系数】
0.4
13. 如图,已知二次函数$y=(x+2)^2$的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,连接AB.
(1)求点A,B的坐标.
(2)求$△ AOB$的面积.
(3)在对称轴上是否存在一点P,使以P,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求点A,B的坐标.
(2)求$△ AOB$的面积.
(3)在对称轴上是否存在一点P,使以P,A,O,B为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
13. (1)当 $x=0$ 时,$y=4$;当 $y=0$ 时,$x=-2$,$\therefore$ 点 A 的坐标为$(-2,0)$,点 B 的坐标为$(0,4)$.
(2)由(1)易得 $OA=2$,$OB=4$,$\therefore S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OA· OB=\dfrac{1}{2}×2×4=4$.
(3)存在.如图
所示,有两种情形:①四边形$P_1AOB$为平行四边形,此时$□ P_1AOB$又为矩形,$\therefore$ 点 $P_1$ 的坐标为$(-2,4)$;②四边形$P_2OBA$为平行四边形,此时$P_2A=OB$,$\therefore$ 点 $P_2$ 的坐标为$(-2,-4)$.综上,点 P 的坐标为$(-2,4)$或$(-2,-4)$.解析
【分析】
(1) 求二次函数与坐标轴交点坐标时，与x轴交点令y=0求解x的值，与y轴交点令x=0求解y的值，代入解析式计算即可得到A、B的坐标。
(2) △AOB是直角三角形，∠AOB=90°，根据A、B坐标可得直角边OA、OB的长度，代入直角三角形面积公式即可求解。
(3) 先确定二次函数对称轴为直线x=-2，因此点P的横坐标固定为-2。根据平行四边形对边平行且相等的性质，分两种情况讨论：AP向上与OB平行且相等、AP向下与OB平行且相等，分别计算纵坐标即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 求点A、B的坐标：
将x=0代入二次函数解析式$y=(x+2)^2$，得$y=(0+2)^2=4$，故点B坐标为$(0,4)$；
将y=0代入二次函数解析式$y=(x+2)^2$，得$0=(x+2)^2$，解得$x=-2$，故点A坐标为$(-2,0)$。
(2) 计算$△ AOB$的面积：
由(1)可知，$OA=|0-(-2)|=2$，$OB=|4-0|=4$，且$∠ AOB=90°$，
因此$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OA·OB=\dfrac{1}{2}×2×4=4$。
(3) 判断是否存在点P并求坐标：
二次函数$y=(x+2)^2$的对称轴为直线$x=-2$，因此点P的横坐标为-2，设$P(-2,m)$。
根据平行四边形对边平行且相等的性质，分两种情况：
① 当AP向上与OB平行且相等时，$AP=OB=4$，因此$m=0+4=4$，即$P_1(-2,4)$，此时四边形$P_1AOB$为平行四边形；
② 当AP向下与OB平行且相等时，$AP=OB=4$，因此$m=0-4=-4$，即$P_2(-2,-4)$，此时四边形$P_2OBA$为平行四边形。
综上，存在符合条件的点P。
【答案】
13. (1)当 $x=0$ 时,$y=4$;当 $y=0$ 时,$x=-2$,$\therefore$ 点 A 的坐标为$(-2,0)$,点 B 的坐标为$(0,4)$.
(2)由(1)易得 $OA=2$,$OB=4$,$\therefore S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OA· OB=\dfrac{1}{2}×2×4=4$.
(3)存在.如图所示,有两种情形:①四边形$P_1AOB$为平行四边形,此时$□ P_1AOB$又为矩形,$\therefore$ 点 $P_1$ 的坐标为$(-2,4)$;②四边形$P_2OBA$为平行四边形,此时$P_2A=OB$,$\therefore$ 点 $P_2$ 的坐标为$(-2,-4)$.综上,点 P 的坐标为$(-2,4)$或$(-2,-4)$.
【知识点】
二次函数的图象与性质，直角三角形面积计算，平行四边形的性质
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考察了坐标求解、图形面积计算和平行四边形存在性问题，解题时需注意运用分类讨论思想，避免漏解。
【难度系数】
0.7
(1) 求二次函数与坐标轴交点坐标时，与x轴交点令y=0求解x的值，与y轴交点令x=0求解y的值，代入解析式计算即可得到A、B的坐标。
(2) △AOB是直角三角形，∠AOB=90°，根据A、B坐标可得直角边OA、OB的长度，代入直角三角形面积公式即可求解。
(3) 先确定二次函数对称轴为直线x=-2，因此点P的横坐标固定为-2。根据平行四边形对边平行且相等的性质，分两种情况讨论：AP向上与OB平行且相等、AP向下与OB平行且相等，分别计算纵坐标即可得到P点坐标。
【解析】
(1) 求点A、B的坐标：
将x=0代入二次函数解析式$y=(x+2)^2$，得$y=(0+2)^2=4$，故点B坐标为$(0,4)$；
将y=0代入二次函数解析式$y=(x+2)^2$，得$0=(x+2)^2$，解得$x=-2$，故点A坐标为$(-2,0)$。
(2) 计算$△ AOB$的面积：
由(1)可知，$OA=|0-(-2)|=2$，$OB=|4-0|=4$，且$∠ AOB=90°$，
因此$S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OA·OB=\dfrac{1}{2}×2×4=4$。
(3) 判断是否存在点P并求坐标：
二次函数$y=(x+2)^2$的对称轴为直线$x=-2$，因此点P的横坐标为-2，设$P(-2,m)$。
根据平行四边形对边平行且相等的性质，分两种情况：
① 当AP向上与OB平行且相等时，$AP=OB=4$，因此$m=0+4=4$，即$P_1(-2,4)$，此时四边形$P_1AOB$为平行四边形；
② 当AP向下与OB平行且相等时，$AP=OB=4$，因此$m=0-4=-4$，即$P_2(-2,-4)$，此时四边形$P_2OBA$为平行四边形。
综上，存在符合条件的点P。
【答案】
13. (1)当 $x=0$ 时,$y=4$;当 $y=0$ 时,$x=-2$,$\therefore$ 点 A 的坐标为$(-2,0)$,点 B 的坐标为$(0,4)$.
(2)由(1)易得 $OA=2$,$OB=4$,$\therefore S_{△ AOB}=\dfrac{1}{2}OA· OB=\dfrac{1}{2}×2×4=4$.
(3)存在.如图
所示,有两种情形:①四边形$P_1AOB$为平行四边形,此时$□ P_1AOB$又为矩形,$\therefore$ 点 $P_1$ 的坐标为$(-2,4)$;②四边形$P_2OBA$为平行四边形,此时$P_2A=OB$,$\therefore$ 点 $P_2$ 的坐标为$(-2,-4)$.综上,点 P 的坐标为$(-2,4)$或$(-2,-4)$.【知识点】
二次函数的图象与性质，直角三角形面积计算，平行四边形的性质
【点评】
本题属于二次函数基础综合题，考察了坐标求解、图形面积计算和平行四边形存在性问题，解题时需注意运用分类讨论思想，避免漏解。
【难度系数】
0.7
14. 北京环球影城主题乐园是世界第五个既有功夫熊猫、小黄人乐园等小朋友喜欢的景区，又有过山车等深受年轻游客喜爱的游乐设施的环球影城乐园.过山车虽然惊悚恐怖，但是安全保障措施非常到位.如图所示，$F→E→G$为过山车的一部分轨道，它可以看成一段抛物线.其中$OE=\frac{25}{8}$米，$OF=\frac{125}{16}$米（轨道厚度忽略不计）.
(1)求抛物线$F→E→G$的函数表达式.
(2)在轨道距离地面5米处有两个位置$P$和$G$，当过山车运动到$G$处时，平行于地面向前运动了$\frac{15}{8}$米至$K$点，又进入下坡段$K→H$（接口处轨道忽略不计）.已知轨道抛物线$K→H→Q$的形状与抛物线$P→E→G$完全相同，在$G$到$Q$的运动过程中，当过山车距地面4米时，它离出发点的水平距离最远有多远？
(3)现需要在轨道下坡段$F→E$进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架$AM,CM,BN,DN$，且要求$OA=AB=a$米.求支架总长$L$(米)与$a$之间的函数表达式.
(1)求抛物线$F→E→G$的函数表达式.
(2)在轨道距离地面5米处有两个位置$P$和$G$，当过山车运动到$G$处时，平行于地面向前运动了$\frac{15}{8}$米至$K$点，又进入下坡段$K→H$（接口处轨道忽略不计）.已知轨道抛物线$K→H→Q$的形状与抛物线$P→E→G$完全相同，在$G$到$Q$的运动过程中，当过山车距地面4米时，它离出发点的水平距离最远有多远？
(3)现需要在轨道下坡段$F→E$进行一种安全加固，建造某种材料的水平和竖直支架$AM,CM,BN,DN$，且要求$OA=AB=a$米.求支架总长$L$(米)与$a$之间的函数表达式.
答案
14. (1)由题意知 $E(\dfrac{25}{8},0)$,$F(0,\dfrac{125}{16})$,且点 $E(\dfrac{25}{8},0)$ 为抛物线的顶点,$\therefore$ 设抛物线函数表达式为 $y=a(x-\dfrac{25}{8})^2$,将点 $F(0,\dfrac{125}{16})$ 代入其中,解得 $a=\dfrac{4}{5}$,$\therefore$ 抛物线 $F\to E\to G$ 的函数表达式为 $y=\dfrac{4}{5}(x-\dfrac{25}{8})^2$.
(2)由图象可设抛物线 $K\to H\to Q$ 的顶点 H 坐标为 $(h,0)$,$\because$ 抛物线 $K\to H\to Q$ 与抛物线 $P\to E\to G$ 完全一样,$\therefore$ 抛物线 $K\to H\to Q$ 的表达式为 $y_2=\dfrac{4}{5}(x-h)^2$.又
∵ 抛物线 $P\to E\to G$ 的表达式为 $y=\dfrac{4}{5}(x-\dfrac{25}{8})^2$,当 $y=5$ 时,得 $\dfrac{4}{5}(x-\dfrac{25}{8})^2=5$,解得 $x_1=\dfrac{5}{8}$,$x_2=\dfrac{45}{8}$,$\therefore G(\dfrac{45}{8},5)$.
∵ 过山车运动到 G 处时,平行于地面向前运动了 $\dfrac{15}{8}$ 米至 K 点,$\therefore K(\dfrac{15}{2},5)$,将 K 代入 $y_2=\dfrac{4}{5}(x-h)^2$,得 $h_1=5$,$h_2=10$.
∵ $h＞\dfrac{15}{2}$,$\therefore h=10$,$\therefore$ 抛物线 $K\to H\to Q$ 表达式为 $y_2=\dfrac{4}{5}(x-10)^2$,当 $y_2=4$ 时,$\dfrac{4}{5}(x-10)^2=4$,解得 $x_1=10-\sqrt{5}$,$x_2=10+\sqrt{5}$,$\therefore$ 当过山车距地面 4 米时,它离出发点的水平距离最远有 $(10+\sqrt{5})$ 米.
(3)
∵ $OA=a$ 米,则 $AM=\dfrac{4}{5}(a-\dfrac{25}{8})^2$ 米,$OB=2a$ 米,$BN=\dfrac{4}{5}(2a-\dfrac{25}{8})^2$ 米,支架的总长为 L 米,由题意可得 $L=CM+AM+DN+BN=OA+AM+OB+BN=a+\dfrac{4}{5}(a-\dfrac{25}{8})^2+2a+\dfrac{4}{5}(2a-\dfrac{25}{8})^2=4a^2-12a+\dfrac{125}{8}(0＜a＜\dfrac{25}{16})$.
(2)由图象可设抛物线 $K\to H\to Q$ 的顶点 H 坐标为 $(h,0)$,$\because$ 抛物线 $K\to H\to Q$ 与抛物线 $P\to E\to G$ 完全一样,$\therefore$ 抛物线 $K\to H\to Q$ 的表达式为 $y_2=\dfrac{4}{5}(x-h)^2$.又
∵ 抛物线 $P\to E\to G$ 的表达式为 $y=\dfrac{4}{5}(x-\dfrac{25}{8})^2$,当 $y=5$ 时,得 $\dfrac{4}{5}(x-\dfrac{25}{8})^2=5$,解得 $x_1=\dfrac{5}{8}$,$x_2=\dfrac{45}{8}$,$\therefore G(\dfrac{45}{8},5)$.
∵ 过山车运动到 G 处时,平行于地面向前运动了 $\dfrac{15}{8}$ 米至 K 点,$\therefore K(\dfrac{15}{2},5)$,将 K 代入 $y_2=\dfrac{4}{5}(x-h)^2$,得 $h_1=5$,$h_2=10$.
∵ $h＞\dfrac{15}{2}$,$\therefore h=10$,$\therefore$ 抛物线 $K\to H\to Q$ 表达式为 $y_2=\dfrac{4}{5}(x-10)^2$,当 $y_2=4$ 时,$\dfrac{4}{5}(x-10)^2=4$,解得 $x_1=10-\sqrt{5}$,$x_2=10+\sqrt{5}$,$\therefore$ 当过山车距地面 4 米时,它离出发点的水平距离最远有 $(10+\sqrt{5})$ 米.
(3)
∵ $OA=a$ 米,则 $AM=\dfrac{4}{5}(a-\dfrac{25}{8})^2$ 米,$OB=2a$ 米,$BN=\dfrac{4}{5}(2a-\dfrac{25}{8})^2$ 米,支架的总长为 L 米,由题意可得 $L=CM+AM+DN+BN=OA+AM+OB+BN=a+\dfrac{4}{5}(a-\dfrac{25}{8})^2+2a+\dfrac{4}{5}(2a-\dfrac{25}{8})^2=4a^2-12a+\dfrac{125}{8}(0＜a＜\dfrac{25}{16})$.
解析
【分析】
(1) 求抛物线解析式时，观察图象可知E是抛物线$F→E→G$的顶点，已知顶点和另外一点坐标，选用顶点式$y=a(x-h)^2$求解最简便，代入F点坐标即可求出a的值，得到解析式。
(2) 先求G点坐标：令第一问所得抛物线的函数值为5，解出两个x值，较大的对应G点横坐标；再根据G到K是水平向右运动$\frac{15}{8}$米，得到K点坐标；新抛物线和原抛物线形状相同，说明二次项系数相等，且顶点H在x轴上，设新抛物线顶点式，代入K点坐标求出h，结合顶点在K右侧的实际意义取舍h，得到新抛物线解析式；令新抛物线函数值为4，解出x值，取较大值即为最远水平距离。
(3) 由$OA=AB=a$可得A点横坐标为a，B点横坐标为2a，竖直支架$AM、BN$分别是x=a、x=2a时对应的函数值，水平支架$CM=OA=a$，$DN=OB=2a$，总长L为四段支架长度之和，代入解析式整理化简，再结合$F→E$段的x范围确定a的取值范围即可。
【解析】
(1) 由题意得，抛物线$F→E→G$的顶点为$E(\frac{25}{8},0)$，且过点$F(0,\frac{125}{16})$。
设该抛物线的函数表达式为$y=a(x-\frac{25}{8})^2$，将$F(0,\frac{125}{16})$代入得：
$\frac{125}{16}=a×(0-\frac{25}{8})^2$，解得$a=\frac{4}{5}$。
因此抛物线$F→E→G$的函数表达式为$y=\frac{4}{5}(x-\frac{25}{8})^2$。
(2) 令$y=\frac{4}{5}(x-\frac{25}{8})^2=5$，解得：
$(x-\frac{25}{8})^2=\frac{25}{4}$，即$x-\frac{25}{8}=\pm\frac{5}{2}$，
得$x_1=\frac{5}{8}$，$x_2=\frac{45}{8}$，因此G点坐标为$(\frac{45}{8},5)$。
由G水平向右运动$\frac{15}{8}$米到K，得K点横坐标为$\frac{45}{8}+\frac{15}{8}=\frac{15}{2}$，纵坐标为5，即$K(\frac{15}{2},5)$。
因为抛物线$K→H→Q$与$P→E→G$形状完全相同，所以二次项系数为$\frac{4}{5}$，设其表达式为$y_2=\frac{4}{5}(x-h)^2$（h为顶点H的横坐标，且$h＞\frac{15}{2}$）。
将$K(\frac{15}{2},5)$代入得$5=\frac{4}{5}(\frac{15}{2}-h)^2$，解得$h_1=5$，$h_2=10$。
因为$h＞\frac{15}{2}=7.5$，所以取$h=10$，即$y_2=\frac{4}{5}(x-10)^2$。
令$y_2=4$，得$\frac{4}{5}(x-10)^2=4$，解得$x_1=10-\sqrt{5}$，$x_2=10+\sqrt{5}$。
因此过山车距地面4米时，离出发点的水平距离最远为$(10+\sqrt{5})$米。
(3) 由$OA=AB=a$，得A点横坐标为a，B点横坐标为2a。
则$AM=\frac{4}{5}(a-\frac{25}{8})^2$，水平支架$CM=OA=a$；$BN=\frac{4}{5}(2a-\frac{25}{8})^2$，水平支架$DN=OB=2a$。
因此总长$L=CM+AM+DN+BN=a+\frac{4}{5}(a-\frac{25}{8})^2+2a+\frac{4}{5}(2a-\frac{25}{8})^2$，
展开整理得$L=4a^2-12a+\frac{125}{8}$。
结合$F→E$段的范围，x需满足$2a＜\frac{25}{8}$，即$a＜\frac{25}{16}$，又$a＞0$，因此a的取值范围是$0＜a＜\frac{25}{16}$。
【答案】
(1) $y=\frac{4}{5}(x-\frac{25}{8})^2$
(2) $(10+\sqrt{5})$米
(3) $L=4a^2-12a+\frac{125}{8}(0＜a＜\frac{25}{16})$
【知识点】
二次函数顶点式求解析式；二次函数的性质；二次函数实际应用
【点评】
本题以过山车轨道为真实背景，结合图象考查二次函数的相关知识，解题时需找准关键点坐标，根据已知条件选择合适的解析式形式，求出结果后要结合实际意义进行取舍，计算过程要注意运算准确性。
【难度系数】
0.6
(1) 求抛物线解析式时，观察图象可知E是抛物线$F→E→G$的顶点，已知顶点和另外一点坐标，选用顶点式$y=a(x-h)^2$求解最简便，代入F点坐标即可求出a的值，得到解析式。
(2) 先求G点坐标：令第一问所得抛物线的函数值为5，解出两个x值，较大的对应G点横坐标；再根据G到K是水平向右运动$\frac{15}{8}$米，得到K点坐标；新抛物线和原抛物线形状相同，说明二次项系数相等，且顶点H在x轴上，设新抛物线顶点式，代入K点坐标求出h，结合顶点在K右侧的实际意义取舍h，得到新抛物线解析式；令新抛物线函数值为4，解出x值，取较大值即为最远水平距离。
(3) 由$OA=AB=a$可得A点横坐标为a，B点横坐标为2a，竖直支架$AM、BN$分别是x=a、x=2a时对应的函数值，水平支架$CM=OA=a$，$DN=OB=2a$，总长L为四段支架长度之和，代入解析式整理化简，再结合$F→E$段的x范围确定a的取值范围即可。
【解析】
(1) 由题意得，抛物线$F→E→G$的顶点为$E(\frac{25}{8},0)$，且过点$F(0,\frac{125}{16})$。
设该抛物线的函数表达式为$y=a(x-\frac{25}{8})^2$，将$F(0,\frac{125}{16})$代入得：
$\frac{125}{16}=a×(0-\frac{25}{8})^2$，解得$a=\frac{4}{5}$。
因此抛物线$F→E→G$的函数表达式为$y=\frac{4}{5}(x-\frac{25}{8})^2$。
(2) 令$y=\frac{4}{5}(x-\frac{25}{8})^2=5$，解得：
$(x-\frac{25}{8})^2=\frac{25}{4}$，即$x-\frac{25}{8}=\pm\frac{5}{2}$，
得$x_1=\frac{5}{8}$，$x_2=\frac{45}{8}$，因此G点坐标为$(\frac{45}{8},5)$。
由G水平向右运动$\frac{15}{8}$米到K，得K点横坐标为$\frac{45}{8}+\frac{15}{8}=\frac{15}{2}$，纵坐标为5，即$K(\frac{15}{2},5)$。
因为抛物线$K→H→Q$与$P→E→G$形状完全相同，所以二次项系数为$\frac{4}{5}$，设其表达式为$y_2=\frac{4}{5}(x-h)^2$（h为顶点H的横坐标，且$h＞\frac{15}{2}$）。
将$K(\frac{15}{2},5)$代入得$5=\frac{4}{5}(\frac{15}{2}-h)^2$，解得$h_1=5$，$h_2=10$。
因为$h＞\frac{15}{2}=7.5$，所以取$h=10$，即$y_2=\frac{4}{5}(x-10)^2$。
令$y_2=4$，得$\frac{4}{5}(x-10)^2=4$，解得$x_1=10-\sqrt{5}$，$x_2=10+\sqrt{5}$。
因此过山车距地面4米时，离出发点的水平距离最远为$(10+\sqrt{5})$米。
(3) 由$OA=AB=a$，得A点横坐标为a，B点横坐标为2a。
则$AM=\frac{4}{5}(a-\frac{25}{8})^2$，水平支架$CM=OA=a$；$BN=\frac{4}{5}(2a-\frac{25}{8})^2$，水平支架$DN=OB=2a$。
因此总长$L=CM+AM+DN+BN=a+\frac{4}{5}(a-\frac{25}{8})^2+2a+\frac{4}{5}(2a-\frac{25}{8})^2$，
展开整理得$L=4a^2-12a+\frac{125}{8}$。
结合$F→E$段的范围，x需满足$2a＜\frac{25}{8}$，即$a＜\frac{25}{16}$，又$a＞0$，因此a的取值范围是$0＜a＜\frac{25}{16}$。
【答案】
(1) $y=\frac{4}{5}(x-\frac{25}{8})^2$
(2) $(10+\sqrt{5})$米
(3) $L=4a^2-12a+\frac{125}{8}(0＜a＜\frac{25}{16})$
【知识点】
二次函数顶点式求解析式；二次函数的性质；二次函数实际应用
【点评】
本题以过山车轨道为真实背景，结合图象考查二次函数的相关知识，解题时需找准关键点坐标，根据已知条件选择合适的解析式形式，求出结果后要结合实际意义进行取舍，计算过程要注意运算准确性。
【难度系数】
0.6
