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1. 若线段CD是线段AB的正投影，则AB与CD的大小关系为 （
A.$AB＞CD$
B.$AB＜CD$
C.$AB=CD$
D.$AB≥ CD$
D
）A.$AB＞CD$
B.$AB＜CD$
C.$AB=CD$
D.$AB≥ CD$
答案
1. D 解析:若线段 AB 平行于投影面,则 AB=CD,若线段 AB不平行于投影面,则 AB＞CD,所以 AB≥CD.故选 D.
解析
【分析】
本题考查正投影的长度规律，解题时可按以下思路推导：首先明确正投影的定义，再结合线段与投影面的不同位置关系分类讨论投影长度：①先排除AB垂直投影面的情况，因为题目中CD是线段，说明投影不是点；②分AB平行于投影面、AB不平行也不垂直于投影面两种情况，分别对应投影CD与原线段AB的长度关系，最后综合两种情况即可得出结论。
【解析】
根据正投影的性质分情况讨论：
1. 当线段AB平行于投影面时，线段AB的正投影CD与AB长度相等，即$AB=CD$；
2. 当线段AB不平行也不垂直于投影面时（若垂直则投影为点，不符合CD是线段的条件），线段AB的正投影CD长度小于AB，即$AB＞CD$。
综上可得$AB≥ CD$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
正投影的性质，线段正投影规律
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是对线段与投影面的位置关系分类讨论，避免遗漏线段平行于投影面时投影与原线段等长的情况。
【难度系数】
0.8
本题考查正投影的长度规律，解题时可按以下思路推导：首先明确正投影的定义，再结合线段与投影面的不同位置关系分类讨论投影长度：①先排除AB垂直投影面的情况，因为题目中CD是线段，说明投影不是点；②分AB平行于投影面、AB不平行也不垂直于投影面两种情况，分别对应投影CD与原线段AB的长度关系，最后综合两种情况即可得出结论。
【解析】
根据正投影的性质分情况讨论：
1. 当线段AB平行于投影面时，线段AB的正投影CD与AB长度相等，即$AB=CD$；
2. 当线段AB不平行也不垂直于投影面时（若垂直则投影为点，不符合CD是线段的条件），线段AB的正投影CD长度小于AB，即$AB＞CD$。
综上可得$AB≥ CD$，故选D。
【答案】
D
【知识点】
正投影的性质，线段正投影规律
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题的关键是对线段与投影面的位置关系分类讨论，避免遗漏线段平行于投影面时投影与原线段等长的情况。
【难度系数】
0.8
2. ★★ 物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关.一个正方形纸板的正投影不可能是 (
A.一条线段
B.一个与原正方形全等的正方形
C.一个邻边不等的平行四边形
D.一个等腰梯形
D
)A.一条线段
B.一个与原正方形全等的正方形
C.一个邻边不等的平行四边形
D.一个等腰梯形
答案
2. D 解析:当正方形纸板所在平面与光线平行时,得到的正投影是一条线段;当正方形纸板所在平面与光线垂直时,得到一个与原正方形全等的正方形;当正方形纸板所在平面与光线不垂直也不平行时,得到一个平行四边形;正方形纸板的正投影不可能得到等腰梯形.故选 D.
解析
【分析】
解决这道题首先要明确正投影的定义：正投影是投射线垂直于投影面的平行投影。平面图形的正投影形状由该平面与投影面的位置关系决定，我们可以通过分类讨论正方形纸板和投影面的三种位置关系，逐一验证各选项是否可能，再结合平行投影中“原图形互相平行的边，投影后仍保持平行”的性质，判断不可能出现的投影形状。
【解析】
我们分情况讨论正方形纸板的正投影：
1. 当正方形纸板所在平面与投影面垂直时，正投影为一条线段，故A选项有可能；
2. 当正方形纸板所在平面与投影面平行时，正投影为与原正方形全等的正方形，故B选项有可能；
3. 当正方形纸板所在平面与投影面既不平行也不垂直时，由于正方形的两组对边分别平行，根据平行投影的平行性，投影后两组对边仍然分别平行，因此正投影为平行四边形，也可能出现邻边不等的平行四边形，故C选项有可能；
而等腰梯形只有一组对边平行，不符合正方形对边投影后仍均平行的性质，因此正方形纸板的正投影不可能是等腰梯形。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
正投影的性质，平面图形的正投影规律，平行投影的平行性
【点评】
本题属于正投影的基础概念题，核心考查对正投影特征的理解，解题时结合平面与投影面的位置分类讨论，再利用平行投影的平行性辅助判断即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要明确正投影的定义：正投影是投射线垂直于投影面的平行投影。平面图形的正投影形状由该平面与投影面的位置关系决定，我们可以通过分类讨论正方形纸板和投影面的三种位置关系，逐一验证各选项是否可能，再结合平行投影中“原图形互相平行的边，投影后仍保持平行”的性质，判断不可能出现的投影形状。
【解析】
我们分情况讨论正方形纸板的正投影：
1. 当正方形纸板所在平面与投影面垂直时，正投影为一条线段，故A选项有可能；
2. 当正方形纸板所在平面与投影面平行时，正投影为与原正方形全等的正方形，故B选项有可能；
3. 当正方形纸板所在平面与投影面既不平行也不垂直时，由于正方形的两组对边分别平行，根据平行投影的平行性，投影后两组对边仍然分别平行，因此正投影为平行四边形，也可能出现邻边不等的平行四边形，故C选项有可能；
而等腰梯形只有一组对边平行，不符合正方形对边投影后仍均平行的性质，因此正方形纸板的正投影不可能是等腰梯形。
故选：D
【答案】
D
【知识点】
正投影的性质，平面图形的正投影规律，平行投影的平行性
【点评】
本题属于正投影的基础概念题，核心考查对正投影特征的理解，解题时结合平面与投影面的位置分类讨论，再利用平行投影的平行性辅助判断即可，难度较低。
【难度系数】
0.7
3. 一个长方形的正投影的形状、大小与原长方形完全一样，则这个长方形
平行于
投影面；一个长方形的正投影的形状、大小都发生了变化，则这个长方形不平行于
投影面.(填“平行于”或“不平行于”)答案
3. 平行于 不平行于 解析:由投影定义可知,当正投影后的形状、大小不改变时,图形平行于投影面,当投影后的形状、大小改变时,图形不平行于投影面.
解析
【分析】
解题时需结合正投影的性质来推导长方形与投影面的位置关系：首先回忆正投影的定义，正投影是投影线垂直于投影面产生的投影。我们可以从不同位置关系下平面图形的正投影特征入手分析：如果平面图形和投影面平行，正投影会和原图形全等，形状大小完全一致；如果平面图形不平行于投影面，正投影的边长、角度都会发生变化，形状大小和原图形有区别，据此反推即可得到答案。
【解析】
正投影是投影线垂直于投影面的投影：
1. 当长方形平行于投影面时，长方形各边的正投影长度与原对应边长度相等，各内角的投影也和原内角相等，因此正投影的形状、大小与原长方形完全一致，故第一个空填“平行于”。
2. 当长方形不平行于投影面时，长方形的边的正投影长度会发生变化，内角的投影也可能改变，因此正投影的形状、大小都和原长方形不同，故第二个空填“不平行于”。
【答案】
平行于；不平行于
【知识点】
正投影的性质；平面与投影面的位置关系
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对正投影规律的理解和应用，熟练掌握不同位置下平面图形正投影的特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时需结合正投影的性质来推导长方形与投影面的位置关系：首先回忆正投影的定义，正投影是投影线垂直于投影面产生的投影。我们可以从不同位置关系下平面图形的正投影特征入手分析：如果平面图形和投影面平行，正投影会和原图形全等，形状大小完全一致；如果平面图形不平行于投影面，正投影的边长、角度都会发生变化，形状大小和原图形有区别，据此反推即可得到答案。
【解析】
正投影是投影线垂直于投影面的投影：
1. 当长方形平行于投影面时，长方形各边的正投影长度与原对应边长度相等，各内角的投影也和原内角相等，因此正投影的形状、大小与原长方形完全一致，故第一个空填“平行于”。
2. 当长方形不平行于投影面时，长方形的边的正投影长度会发生变化，内角的投影也可能改变，因此正投影的形状、大小都和原长方形不同，故第二个空填“不平行于”。
【答案】
平行于；不平行于
【知识点】
正投影的性质；平面与投影面的位置关系
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对正投影规律的理解和应用，熟练掌握不同位置下平面图形正投影的特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
4. ★★★ 如图,将一块含$30°$角的三角板$ABC$的直角顶点$C$放置于直线$m$上,点$A$、点$B$在直线$m$上的正投影分别为点$D$、点$E$,若$AB=10$,$BE=3\sqrt{3}$,则$AB$在直线$m$上的正投影的长为
$3+4\sqrt{3}$
。答案
$4. 3+4\sqrt{3} $解析:在 Rt△ABC 中, ∠ABC=30°,AB=10,
∴$ AC= \frac{1}{2}AB=5,BC=AB · \cos 30°= 10× \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}. $在 Rt△CBE 中$, CE= \sqrt{BC^2-BE^2} = 4\sqrt{3}.$
∵ ∠CAD + ∠ACD = 90°, ∠BCE + ∠ACD = 90°,
∴ ∠CAD = ∠BCE,
∴ Rt △ACD ∽ Rt △CBE,
∴$ \frac{CD}{BE}=\frac{AC}{BC},$
∴$ CD = \frac{BE · AC}{BC} = 3,$
∴$ DE = CD + CE = 3 + 4\sqrt{3}, $即AB 在直线 m 上的正投影的长是$ 3+4\sqrt{3}.$
∴$ AC= \frac{1}{2}AB=5,BC=AB · \cos 30°= 10× \frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}. $在 Rt△CBE 中$, CE= \sqrt{BC^2-BE^2} = 4\sqrt{3}.$
∵ ∠CAD + ∠ACD = 90°, ∠BCE + ∠ACD = 90°,
∴ ∠CAD = ∠BCE,
∴ Rt △ACD ∽ Rt △CBE,
∴$ \frac{CD}{BE}=\frac{AC}{BC},$
∴$ CD = \frac{BE · AC}{BC} = 3,$
∴$ DE = CD + CE = 3 + 4\sqrt{3}, $即AB 在直线 m 上的正投影的长是$ 3+4\sqrt{3}.$
解析
【分析】
要求AB在直线m上的正投影DE的长，观察线段关系可得DE=CD+CE，因此只需分别求出CD和CE的长度即可。首先利用含30°角的直角三角形的性质，在Rt△ABC中计算出AC、BC的长度；再在Rt△CBE中用勾股定理求出CE的长度；接下来通过角度互余关系推导得到相等的角，证明Rt△ACD和Rt△CBE相似，利用相似三角形对应边成比例求出CD的长度，最后将CD和CE相加即可得到DE的长。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=10，
∴ $AC=\frac{1}{2}AB=5$，$BC=AB·\cos30°=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$。
在Rt△CBE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{(5\sqrt{3})^2-(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{75-27}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
∵ AD⊥m，BE⊥m，
∴ ∠ADC=∠CEB=90°，
∴ ∠CAD + ∠ACD = 90°，
又
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠BCE + ∠ACD = 90°，
∴ ∠CAD = ∠BCE，
∴ Rt△ACD ∽ Rt△CBE，
∴ $\frac{CD}{BE}=\frac{AC}{BC}$，
代入数值计算得：$CD=\frac{BE· AC}{BC}=\frac{3\sqrt{3}×5}{5\sqrt{3}}=3$，
∴ $DE=CD+CE=3+4\sqrt{3}$。
【答案】
$3+4\sqrt{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，正投影的性质
【点评】
本题结合三角板的特性考查几何综合计算，解题的关键是通过角度互余关系找到相等的角证明三角形相似，再结合勾股定理逐步求解线段长度，能有效考查学生对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
要求AB在直线m上的正投影DE的长，观察线段关系可得DE=CD+CE，因此只需分别求出CD和CE的长度即可。首先利用含30°角的直角三角形的性质，在Rt△ABC中计算出AC、BC的长度；再在Rt△CBE中用勾股定理求出CE的长度；接下来通过角度互余关系推导得到相等的角，证明Rt△ACD和Rt△CBE相似，利用相似三角形对应边成比例求出CD的长度，最后将CD和CE相加即可得到DE的长。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=10，
∴ $AC=\frac{1}{2}AB=5$，$BC=AB·\cos30°=10×\frac{\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$。
在Rt△CBE中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{(5\sqrt{3})^2-(3\sqrt{3})^2}=\sqrt{75-27}=\sqrt{48}=4\sqrt{3}$。
∵ AD⊥m，BE⊥m，
∴ ∠ADC=∠CEB=90°，
∴ ∠CAD + ∠ACD = 90°，
又
∵ ∠ACB=90°，
∴ ∠BCE + ∠ACD = 90°，
∴ ∠CAD = ∠BCE，
∴ Rt△ACD ∽ Rt△CBE，
∴ $\frac{CD}{BE}=\frac{AC}{BC}$，
代入数值计算得：$CD=\frac{BE· AC}{BC}=\frac{3\sqrt{3}×5}{5\sqrt{3}}=3$，
∴ $DE=CD+CE=3+4\sqrt{3}$。
【答案】
$3+4\sqrt{3}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，勾股定理，正投影的性质
【点评】
本题结合三角板的特性考查几何综合计算，解题的关键是通过角度互余关系找到相等的角证明三角形相似，再结合勾股定理逐步求解线段长度，能有效考查学生对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
5. 如图所示的圆台的上、下底面与投影线垂直,则圆台的正投影是 (
A.矩形
B.两条线段
C.圆环
D.等腰梯形
C
)A.矩形
B.两条线段
C.圆环
D.等腰梯形
答案
5. C 解析:根据题意,投影方向为从上到下,故投影图形为圆环.
解析
【分析】
解题需先明确两个核心要素：一是投影方向，二是正投影的性质。首先观察图中箭头可知投影线为竖直向下，题目明确圆台上下底面与投影线垂直，即上下底面平行于投影面。根据正投影的规律，平行于投影面的平面图形，正投影和原图形形状、大小一致。圆台上底面是小圆，下底面是更大的圆，投影后小圆在大圆内部，两者组成的图形就是圆环。注意不要将该投影和从前向后的正面投影（等腰梯形）混淆，即可选出正确答案。
【解析】
第一步，确定投影方向：由图中箭头标识可知，投影线方向为竖直向下，且圆台上下底面与投影线垂直，即上下底面平行于投影面。
第二步，应用正投影性质：平行于投影面的平面的正投影与原平面形状、大小完全相同，因此圆台上底面的正投影是小圆，下底面的正投影是直径更大的大圆。
第三步，判断整体投影：圆台侧面的正投影为两个圆之间的环形区域，因此整个圆台的正投影为圆环。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正投影的性质，圆台的结构特征
【点评】
本题考查正投影的判断，解题的关键是先找准投影方向，再结合几何体的结构和正投影的性质分析投影形状，注意区分不同方向的投影，避免误将正面投影当作本题答案。
【难度系数】
0.7
解题需先明确两个核心要素：一是投影方向，二是正投影的性质。首先观察图中箭头可知投影线为竖直向下，题目明确圆台上下底面与投影线垂直，即上下底面平行于投影面。根据正投影的规律，平行于投影面的平面图形，正投影和原图形形状、大小一致。圆台上底面是小圆，下底面是更大的圆，投影后小圆在大圆内部，两者组成的图形就是圆环。注意不要将该投影和从前向后的正面投影（等腰梯形）混淆，即可选出正确答案。
【解析】
第一步，确定投影方向：由图中箭头标识可知，投影线方向为竖直向下，且圆台上下底面与投影线垂直，即上下底面平行于投影面。
第二步，应用正投影性质：平行于投影面的平面的正投影与原平面形状、大小完全相同，因此圆台上底面的正投影是小圆，下底面的正投影是直径更大的大圆。
第三步，判断整体投影：圆台侧面的正投影为两个圆之间的环形区域，因此整个圆台的正投影为圆环。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
正投影的性质，圆台的结构特征
【点评】
本题考查正投影的判断，解题的关键是先找准投影方向，再结合几何体的结构和正投影的性质分析投影形状，注意区分不同方向的投影，避免误将正面投影当作本题答案。
【难度系数】
0.7
6. 当棱长为20的正方体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影的面积为 (
A.20
B.300
C.400
D.600
C
)A.20
B.300
C.400
D.600
答案
6. C 解析:根据题意知,该正方体的正投影是边长为 20的正方形,
∴ 正投影的面积为 20×20=400,故选 C.
∴ 正投影的面积为 20×20=400,故选 C.
解析
【分析】
解题时首先明确题干已知条件：正方体棱长为20，且有一个面平行于投影面。接下来回忆正投影的核心性质：当平面图形平行于投影面时，它的正投影与原图形全等，形状、大小均不发生改变。正方体的单个面是边长为20的正方形，因此该面的正投影也是边长为20的正方形，最后计算正方形的面积即可得到结果。
【解析】
根据正投影的性质，当正方体的面平行于投影面时，这个面的正投影是与它全等的正方形，正投影的边长等于正方体的棱长20。
因此正投影的面积为：$20 × 20 = 400$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
正投影的性质；正方形面积计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查平面平行于投影面时的正投影特征，只要熟练掌握正投影的相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确题干已知条件：正方体棱长为20，且有一个面平行于投影面。接下来回忆正投影的核心性质：当平面图形平行于投影面时，它的正投影与原图形全等，形状、大小均不发生改变。正方体的单个面是边长为20的正方形，因此该面的正投影也是边长为20的正方形，最后计算正方形的面积即可得到结果。
【解析】
根据正投影的性质，当正方体的面平行于投影面时，这个面的正投影是与它全等的正方形，正投影的边长等于正方体的棱长20。
因此正投影的面积为：$20 × 20 = 400$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
正投影的性质；正方形面积计算
【点评】
本题属于基础概念应用题，主要考查平面平行于投影面时的正投影特征，只要熟练掌握正投影的相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.9
7. 将如图所示几何体与其在水平投影面内的正投影用线连接起来.
答案
7. 如图所示.
解析
【分析】
解题时首先明确：几何体在水平投影面内的正投影，就是从几何体上方向水平投影面作正投影得到的图形，也就是俯视图。我们只需依次判断每个几何体的水平正投影形状，再和下方的平面图形一一对应连线即可。思考时可结合几何体的结构特征分析：正方体上下表面是正方形，球的任何方向正投影都是纯圆形，圆锥的水平投影会呈现带圆心的圆（顶点投影为圆心），三棱柱上下底面是三角形，水平投影为三角形。
【解析】
步骤1：明确水平正投影的定义：水平投影面的正投影是从几何体正上方向水平投影面作垂线，所有投影点构成的图形。
步骤2：逐个判断几何体的水平正投影：
①正方体：上表面为正方形，水平正投影为正方形，对应下方第二个平面图形；
②球：无论从哪个方向作正投影，得到的都是不带圆心的圆，对应下方第三个平面图形；
③圆锥：底面投影为圆，顶点投影落在圆的圆心处，因此水平正投影是带圆心的圆，对应下方第四个平面图形；
④三棱柱：上底面为三角形，水平正投影为三角形，对应下方第一个平面图形。
步骤3：将几何体与对应的投影图形连线即可。
【答案】
如图所示.
【知识点】
正投影的概念；几何体水平投影；视图识别
【点评】
本题考查常见几何体的水平正投影的判断，属于基础类题型，解题关键是牢记各类常见几何体的投影特征，注意区分圆锥和球的投影差异：圆锥的水平投影有代表顶点的圆心点，而球的投影没有圆心点。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确：几何体在水平投影面内的正投影，就是从几何体上方向水平投影面作正投影得到的图形，也就是俯视图。我们只需依次判断每个几何体的水平正投影形状，再和下方的平面图形一一对应连线即可。思考时可结合几何体的结构特征分析：正方体上下表面是正方形，球的任何方向正投影都是纯圆形，圆锥的水平投影会呈现带圆心的圆（顶点投影为圆心），三棱柱上下底面是三角形，水平投影为三角形。
【解析】
步骤1：明确水平正投影的定义：水平投影面的正投影是从几何体正上方向水平投影面作垂线，所有投影点构成的图形。
步骤2：逐个判断几何体的水平正投影：
①正方体：上表面为正方形，水平正投影为正方形，对应下方第二个平面图形；
②球：无论从哪个方向作正投影，得到的都是不带圆心的圆，对应下方第三个平面图形；
③圆锥：底面投影为圆，顶点投影落在圆的圆心处，因此水平正投影是带圆心的圆，对应下方第四个平面图形；
④三棱柱：上底面为三角形，水平正投影为三角形，对应下方第一个平面图形。
步骤3：将几何体与对应的投影图形连线即可。
【答案】
如图所示.
【知识点】
正投影的概念；几何体水平投影；视图识别
【点评】
本题考查常见几何体的水平正投影的判断，属于基础类题型，解题关键是牢记各类常见几何体的投影特征，注意区分圆锥和球的投影差异：圆锥的水平投影有代表顶点的圆心点，而球的投影没有圆心点。
【难度系数】
0.9
8. ★★★ 一个圆柱的轴截面平行于投影面,圆柱的正投影是长为9 cm,宽为1 cm的矩形.求圆柱的体积和表面积.
答案
8. 分两种情况讨论:当圆柱的高为 9 cm,直径为 1 cm 时,体积为 $π×(\frac{1}{2})^2 ×9=\frac{9π}{4}(cm^3)$,表面积为 $2×π×(\frac{1}{2})^2 +9×π×1=\frac{19}{2}π(cm^2)$.当圆柱的高为 1 cm,直径为 9 cm 时,体积为 $π×(\frac{9}{2})^2 ×1=\frac{81π}{4}(cm^3)$,表面积为 $2×π×(\frac{9}{2})^2 +1×π×9=\frac{99}{2}π(cm^2)$.
易错提醒 矩形较长的一边可以作为直径,也可以作为高.
易错提醒 矩形较长的一边可以作为直径,也可以作为高.
解析
【分析】
圆柱的轴截面平行于投影面时，其正投影矩形的两条邻边分别对应圆柱的高和底面直径，题目未明确矩形长、宽对应的圆柱参数，因此需分两种情况讨论：一是矩形长为圆柱的高、宽为底面直径，二是矩形宽为圆柱的高、长为底面直径，再分别代入圆柱体积、表面积公式计算即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当圆柱的高$h=9\ \mathrm{cm}$，底面直径$d=1\ \mathrm{cm}$时，底面半径$r=\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$：
体积：$V=π r^2 h=π×(\frac{1}{2})^2×9=\frac{9π}{4}\ (\mathrm{cm}^3)$
表面积：$S=2π r^2+π d h=2×π×(\frac{1}{2})^2+π×1×9=\frac{π}{2}+9π=\frac{19π}{2}\ (\mathrm{cm}^2)$
2. 当圆柱的高$h=1\ \mathrm{cm}$，底面直径$d=9\ \mathrm{cm}$时，底面半径$r=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$：
体积：$V=π r^2 h=π×(\frac{9}{2})^2×1=\frac{81π}{4}\ (\mathrm{cm}^3)$
表面积：$S=2π r^2+π d h=2×π×(\frac{9}{2})^2+π×9×1=\frac{81π}{2}+9π=\frac{99π}{2}\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
分两种情况：①圆柱高为9 cm、底面直径为1 cm时，体积为$\frac{9π}{4}\ \mathrm{cm}^3$，表面积为$\frac{19}{2}π\ \mathrm{cm}^2$；②圆柱高为1 cm、底面直径为9 cm时，体积为$\frac{81π}{4}\ \mathrm{cm}^3$，表面积为$\frac{99}{2}π\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
正投影的性质；圆柱体积计算；圆柱表面积计算
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题时需注意正投影矩形的两条边对应圆柱参数的两种可能，避免漏解，只要准确代入对应公式计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.6
圆柱的轴截面平行于投影面时，其正投影矩形的两条邻边分别对应圆柱的高和底面直径，题目未明确矩形长、宽对应的圆柱参数，因此需分两种情况讨论：一是矩形长为圆柱的高、宽为底面直径，二是矩形宽为圆柱的高、长为底面直径，再分别代入圆柱体积、表面积公式计算即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当圆柱的高$h=9\ \mathrm{cm}$，底面直径$d=1\ \mathrm{cm}$时，底面半径$r=\frac{1}{2}\ \mathrm{cm}$：
体积：$V=π r^2 h=π×(\frac{1}{2})^2×9=\frac{9π}{4}\ (\mathrm{cm}^3)$
表面积：$S=2π r^2+π d h=2×π×(\frac{1}{2})^2+π×1×9=\frac{π}{2}+9π=\frac{19π}{2}\ (\mathrm{cm}^2)$
2. 当圆柱的高$h=1\ \mathrm{cm}$，底面直径$d=9\ \mathrm{cm}$时，底面半径$r=\frac{9}{2}\ \mathrm{cm}$：
体积：$V=π r^2 h=π×(\frac{9}{2})^2×1=\frac{81π}{4}\ (\mathrm{cm}^3)$
表面积：$S=2π r^2+π d h=2×π×(\frac{9}{2})^2+π×9×1=\frac{81π}{2}+9π=\frac{99π}{2}\ (\mathrm{cm}^2)$
【答案】
分两种情况：①圆柱高为9 cm、底面直径为1 cm时，体积为$\frac{9π}{4}\ \mathrm{cm}^3$，表面积为$\frac{19}{2}π\ \mathrm{cm}^2$；②圆柱高为1 cm、底面直径为9 cm时，体积为$\frac{81π}{4}\ \mathrm{cm}^3$，表面积为$\frac{99}{2}π\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
正投影的性质；圆柱体积计算；圆柱表面积计算
【点评】
本题核心考查分类讨论思想，解题时需注意正投影矩形的两条边对应圆柱参数的两种可能，避免漏解，只要准确代入对应公式计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.6
9. ★★★ 如图①,随着光伏发电项目投资成本下降,越来越多的“光伏+”项目正在逐步走进我们的生活.光伏发电不仅能为城市提供清洁能源,还能减少城市污染和能源消耗.如图②,长$BC=8\ \mathrm{m}$、宽$AB=1.5\ \mathrm{m}$的太阳能电池板与水平面成$37°$夹角,经过太阳光的正投影,它在水平面所形成的阴影的面积为(取$\sin 37° \approx 0.6,\cos 37° \approx 0.8$) (
A.$12\ \mathrm{m}^2$
B.$6\ \mathrm{m}^2$
C.$7.2\ \mathrm{m}^2$
D.$9.6\ \mathrm{m}^2$
D
)A.$12\ \mathrm{m}^2$
B.$6\ \mathrm{m}^2$
C.$7.2\ \mathrm{m}^2$
D.$9.6\ \mathrm{m}^2$
答案
9. D 解析:在 $Rt△BCD$ 中,
∵ $∠CBD=37°,BC=8\ \mathrm{m},∴ BD=BC · \cos 37°≈8×0.8=6.4(\mathrm{m}).∵ AB=1.5\ \mathrm{m},∴$ 它在水平面所形成的阴影的面积为 $1.5×6.4=9.6(\mathrm{m}^2)$,故选 D.
∵ $∠CBD=37°,BC=8\ \mathrm{m},∴ BD=BC · \cos 37°≈8×0.8=6.4(\mathrm{m}).∵ AB=1.5\ \mathrm{m},∴$ 它在水平面所形成的阴影的面积为 $1.5×6.4=9.6(\mathrm{m}^2)$,故选 D.
解析
【分析】
要计算阴影面积，首先明确太阳能电池板在水平面的正投影为矩形：矩形的宽与电池板的宽AB相等，矩形的长是BC边在水平面上的投影长度BD。因此解题步骤为：先在Rt△BCD中利用37°的余弦值求出BD的长度，再根据矩形面积公式计算阴影面积即可。
【解析】
在Rt△BCD中，∠CBD=37°，BC=8 m，
根据余弦的定义：$\cos∠ CBD=\frac{BD}{BC}$，
因此$BD=BC·\cos37°\approx8×0.8=6.4(\mathrm{m})$。
已知电池板宽AB=1.5 m，正投影后宽的长度不变，
则阴影的面积为$AB× BD=1.5×6.4=9.6(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
D
【知识点】
正投影的性质，解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义
【点评】
本题结合光伏发电的实际场景考查正投影的相关计算，解题的核心是准确理解正投影的特点，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，体现了数学知识在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
要计算阴影面积，首先明确太阳能电池板在水平面的正投影为矩形：矩形的宽与电池板的宽AB相等，矩形的长是BC边在水平面上的投影长度BD。因此解题步骤为：先在Rt△BCD中利用37°的余弦值求出BD的长度，再根据矩形面积公式计算阴影面积即可。
【解析】
在Rt△BCD中，∠CBD=37°，BC=8 m，
根据余弦的定义：$\cos∠ CBD=\frac{BD}{BC}$，
因此$BD=BC·\cos37°\approx8×0.8=6.4(\mathrm{m})$。
已知电池板宽AB=1.5 m，正投影后宽的长度不变，
则阴影的面积为$AB× BD=1.5×6.4=9.6(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
D
【知识点】
正投影的性质，解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义
【点评】
本题结合光伏发电的实际场景考查正投影的相关计算，解题的核心是准确理解正投影的特点，将实际问题转化为解直角三角形的数学问题，体现了数学知识在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
