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8. ★★★ 圆桌面(桌面中间有一个直径为1 m的圆洞)正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射平行于地面的桌面后,在地面上形成如图所示的圆环形阴影.已知桌面直径为2 m,桌面离地面1 m,若灯泡离地面2 m,则地面圆环形阴影的面积是 (
A.$2π \ \mathrm{m}^2$
B.$3π \ \mathrm{m}^2$
C.$6π \ \mathrm{m}^2$
D.$12π \ \mathrm{m}^2$
B
)A.$2π \ \mathrm{m}^2$
B.$3π \ \mathrm{m}^2$
C.$6π \ \mathrm{m}^2$
D.$12π \ \mathrm{m}^2$
答案
8. B 解析:如图所示,
∵ AC⊥OB,BD⊥OB,
∴ △AOC∽△BOD,
∴ OA/OB = AC/BD,即 1/2 = 1/BD,解得 BD=2 m.同理可得 AC'=1/2 m,则 BD'=1 m,
∴ S圆环形阴影=2²×π-1²×π=3π(m²).故选 B.
解析
【分析】
本题属于中心投影的实际应用问题，解题思路如下：首先明确点光源下的投影符合相似三角形对应边成比例的性质，第一步先确定灯泡到桌面、灯泡到地面的距离，得到相似三角形的相似比；第二步利用相似比分别计算地面圆环形阴影的外圆半径和内圆半径；最后代入圆环面积公式计算即可得到结果。
【解析】
如图所示，
∵ AC⊥OB，BD⊥OB，
∴ AC//BD，
∴ △AOC∽△BOD。
由题意可知，灯泡离地面2m，桌面离地面1m，因此OA=2-1=1m，OB=2m，桌面外半径$AC=2÷2=1\mathrm{m}$，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{OA}{OB}=\frac{AC}{BD}$，即$\frac{1}{2}=\frac{1}{BD}$，解得$BD=2\mathrm{m}$。
同理，桌面圆洞的半径$AC'=1÷2=0.5\mathrm{m}$，可得$\frac{OA}{OB}=\frac{AC'}{BD'}$，即$\frac{1}{2}=\frac{0.5}{BD'}$，解得$BD'=1\mathrm{m}$。
根据圆环面积公式，地面圆环形阴影的面积为：
$S=π· BD^2 - π· BD'^2 = π×2^2 - π×1^2 = 4π - π = 3π(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
B
【知识点】
中心投影的性质；相似三角形的判定与性质；圆环面积计算
【点评】
本题将中心投影与相似三角形的知识相结合，考查学生的实际应用能力，解题的关键是准确找到相似三角形，理清对应边的比例关系，再结合圆环面积公式求解即可。
【难度系数】
0.6
本题属于中心投影的实际应用问题，解题思路如下：首先明确点光源下的投影符合相似三角形对应边成比例的性质，第一步先确定灯泡到桌面、灯泡到地面的距离，得到相似三角形的相似比；第二步利用相似比分别计算地面圆环形阴影的外圆半径和内圆半径；最后代入圆环面积公式计算即可得到结果。
【解析】
如图所示，
∵ AC⊥OB，BD⊥OB，
∴ AC//BD，
∴ △AOC∽△BOD。
由题意可知，灯泡离地面2m，桌面离地面1m，因此OA=2-1=1m，OB=2m，桌面外半径$AC=2÷2=1\mathrm{m}$，
根据相似三角形对应边成比例可得：$\frac{OA}{OB}=\frac{AC}{BD}$，即$\frac{1}{2}=\frac{1}{BD}$，解得$BD=2\mathrm{m}$。
同理，桌面圆洞的半径$AC'=1÷2=0.5\mathrm{m}$，可得$\frac{OA}{OB}=\frac{AC'}{BD'}$，即$\frac{1}{2}=\frac{0.5}{BD'}$，解得$BD'=1\mathrm{m}$。
根据圆环面积公式，地面圆环形阴影的面积为：
$S=π· BD^2 - π· BD'^2 = π×2^2 - π×1^2 = 4π - π = 3π(\mathrm{m}^2)$。
【答案】
B
【知识点】
中心投影的性质；相似三角形的判定与性质；圆环面积计算
【点评】
本题将中心投影与相似三角形的知识相结合，考查学生的实际应用能力，解题的关键是准确找到相似三角形，理清对应边的比例关系，再结合圆环面积公式求解即可。
【难度系数】
0.6
9. ★★★ 如图,在一条笔直的小路上有一盏路灯,晚上小雷从点B处径直走到点A处时,小雷在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的函数图象大致是 (
A
)答案
9. A 解析:
∵ 小路上有一盏路灯,
∴ 晚上小雷由B处径直走到A处,他在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的变化关系应为当小雷走到路灯正下方以前为y随x的增大而减小,走到路灯正下方以后为y随x的增大而增大.故选 A.
∵ 小路上有一盏路灯,
∴ 晚上小雷由B处径直走到A处,他在灯光照射下的影长y与行走的路程x之间的变化关系应为当小雷走到路灯正下方以前为y随x的增大而减小,走到路灯正下方以后为y随x的增大而增大.故选 A.
解析
【分析】
解题时首先明确路灯属于点光源，其照射形成的投影是中心投影，我们分两个阶段分析影长y和行走路程x的变化关系：第一阶段，小雷从B出发还未走到路灯正下方时，随着行走路程x增加，他距离路灯越来越近，根据中心投影的特点，影长y会逐渐减小，直到走到路灯正下方时影长为0；第二阶段，小雷走过路灯正下方继续往A走时，x继续增大，他距离路灯越来越远，影长y会随x的增大而增大，结合该变化规律匹配对应的函数图象即可。
【解析】
路灯为点光源，照射下形成的投影属于中心投影，小雷从B处径直走向A处的过程可分为两段分析：
1. 到达路灯正下方前：随着行走路程x增大，小雷到路灯的水平距离逐渐减小，根据中心投影的影长变化规律，影长y随x的增大而减小，走到路灯正下方时，影长y=0；
2. 经过路灯正下方后：行走路程x继续增大，小雷到路灯的水平距离逐渐增大，影长y随x的增大而增大。
符合上述变化规律的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
中心投影的特征，函数图象识别
【点评】
本题结合生活中的光影场景考查中心投影的规律，需要将实际场景的变化转化为函数的增减性来判断图象，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确路灯属于点光源，其照射形成的投影是中心投影，我们分两个阶段分析影长y和行走路程x的变化关系：第一阶段，小雷从B出发还未走到路灯正下方时，随着行走路程x增加，他距离路灯越来越近，根据中心投影的特点，影长y会逐渐减小，直到走到路灯正下方时影长为0；第二阶段，小雷走过路灯正下方继续往A走时，x继续增大，他距离路灯越来越远，影长y会随x的增大而增大，结合该变化规律匹配对应的函数图象即可。
【解析】
路灯为点光源，照射下形成的投影属于中心投影，小雷从B处径直走向A处的过程可分为两段分析：
1. 到达路灯正下方前：随着行走路程x增大，小雷到路灯的水平距离逐渐减小，根据中心投影的影长变化规律，影长y随x的增大而减小，走到路灯正下方时，影长y=0；
2. 经过路灯正下方后：行走路程x继续增大，小雷到路灯的水平距离逐渐增大，影长y随x的增大而增大。
符合上述变化规律的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
中心投影的特征，函数图象识别
【点评】
本题结合生活中的光影场景考查中心投影的规律，需要将实际场景的变化转化为函数的增减性来判断图象，侧重考查知识的实际应用能力。
【难度系数】
0.7
10. 如图,在一面与地面垂直的围墙的同侧有一根高 10 m 的旗杆 AB 和一根高 7 m 的电线杆 CD,它们都与地面垂直.某一时刻,在太阳光照射下,旗杆落在地面上的影子 BF 的长为 10 m,落在围墙上的影子 EF 的长为 2 m,而电线杆落在地面上的影子 DH 的长为 5 m,则落在围墙上的影子 GH 的长为
3
m.答案
10. 3 解析:如图,过点E作EM⊥AB于点M,过点G作GN⊥CD于点N.由题意得,四边形EFBM,GHDN是矩形,则MB=EF=2 m,ND=GH,ME=BF=10 m,NG=DH=5 m.
∵ AB=10 m,CD=7 m,
∴ AM=AB-MB=10-2=8(m),CN=CD-DN=7-GH.由平行投影可知 AM/ME = CN/NG,即 8/10 = (7-GH)/5,解得 GH=3 m.故答案为3.
解析
【分析】
本题属于平行投影的实际应用问题，解题核心是利用“同一时刻太阳光下，物体的高度与对应影长的比值相等”这一性质。首先处理落在围墙上的影子：分别过围墙影子的顶端作地面的平行线，与旗杆、电线杆相交，即可构造出矩形，将旗杆、电线杆的高度拆分为“与围墙影子等高的部分”和“影子完全落在地面上的部分”，再利用物高与影长的比例关系列方程，即可求解电线杆落在围墙上的影子长度。
【解析】
如图，过点E作EM⊥AB于点M，过点G作GN⊥CD于点N。
由题意可知，AB、CD、EF、GH均与地面垂直，因此四边形EFBM、GHDN均为矩形，可得：
$MB=EF=2\ \mathrm{m}$，$ND=GH$，$ME=BF=10\ \mathrm{m}$，$NG=DH=5\ \mathrm{m}$。
已知$AB=10\ \mathrm{m}$，$CD=7\ \mathrm{m}$，因此：
$AM = AB - MB = 10 - 2 = 8(\mathrm{m})$，
$CN = CD - DN = 7 - GH$。
根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长的比值相等，可得$\frac{AM}{ME}=\frac{CN}{NG}$，代入数值得：
$\frac{8}{10}=\frac{7-GH}{5}$
解方程得$GH=3$。
【答案】
3
【知识点】
平行投影的性质，矩形的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题将平行投影知识与实际生活场景结合，解题的关键是通过作辅助线将落在墙体上的影子进行转化，构造出满足比例关系的线段，既考察了平行投影的基本性质，也锻炼了学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
本题属于平行投影的实际应用问题，解题核心是利用“同一时刻太阳光下，物体的高度与对应影长的比值相等”这一性质。首先处理落在围墙上的影子：分别过围墙影子的顶端作地面的平行线，与旗杆、电线杆相交，即可构造出矩形，将旗杆、电线杆的高度拆分为“与围墙影子等高的部分”和“影子完全落在地面上的部分”，再利用物高与影长的比例关系列方程，即可求解电线杆落在围墙上的影子长度。
【解析】
如图，过点E作EM⊥AB于点M，过点G作GN⊥CD于点N。
由题意可知，AB、CD、EF、GH均与地面垂直，因此四边形EFBM、GHDN均为矩形，可得：
$MB=EF=2\ \mathrm{m}$，$ND=GH$，$ME=BF=10\ \mathrm{m}$，$NG=DH=5\ \mathrm{m}$。
已知$AB=10\ \mathrm{m}$，$CD=7\ \mathrm{m}$，因此：
$AM = AB - MB = 10 - 2 = 8(\mathrm{m})$，
$CN = CD - DN = 7 - GH$。
根据平行投影的性质，同一时刻物高与影长的比值相等，可得$\frac{AM}{ME}=\frac{CN}{NG}$，代入数值得：
$\frac{8}{10}=\frac{7-GH}{5}$
解方程得$GH=3$。
【答案】
3
【知识点】
平行投影的性质，矩形的性质，一元一次方程的应用
【点评】
本题将平行投影知识与实际生活场景结合，解题的关键是通过作辅助线将落在墙体上的影子进行转化，构造出满足比例关系的线段，既考察了平行投影的基本性质，也锻炼了学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
11. 如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD=0.8 m，窗高CD=1.2 m，并测得OE=0.8 m，OF=3 m，求围墙AB的高度.
答案
11. 如图,连接CD.
∵ DO⊥BF,
∴ ∠DOE=90°.
∵ OD=0.8 m,OE=0.8 m,
∴ ∠DEB=45°.
∵ AB⊥BF,
∴ ∠BAE=45°,
∴ AB=BE.设AB=EB=x m,
∵ AB⊥BF,CO⊥BF,
∴ AB//CO,
∴ △ABF∽△COF,
∴ AB/CO = BF/OF,即 x/(x+(3-0.8)) = (1.2+0.8)/3,解得x=4.4.经检验,x=4.4是原方程的解且符合题意,
∴ 围墙AB的高度是4.4 m.
解析
【分析】
解题时首先从已知垂直条件和边相等的关系入手：已知DO⊥BF，OD=OE=0.8m，可推出△DOE是等腰直角三角形，得到∠DEB=45°；结合AB⊥BF，可得△ABE也是等腰直角三角形，进而得到AB=BE，我们可以设AB=BE=x m，将求AB高度的问题转化为求未知数x的问题。接下来，由于AB和CO都垂直于地面BF，可判定AB//CO，由此得到△ABF∽△COF，根据相似三角形对应边成比例的性质列出关于x的方程，解方程即可得到AB的高度，最后要检验解是否符合实际意义。
【解析】
如图，连接CD。
∵ DO⊥BF，
∴ ∠DOE=90°，
∵ OD=0.8 m，OE=0.8 m，
∴ ∠DEB=45°，
∵ AB⊥BF，
∴ ∠BAE=45°，
∴ AB=BE。
设AB=EB=x m，
∵ AB⊥BF，CO⊥BF，
∴ AB//CO，
∴ △ABF∽△COF，
∴ $\frac{AB}{CO}=\frac{BF}{OF}$，即$\frac{x}{1.2+0.8}=\frac{x+(3-0.8)}{3}$，
解得x=4.4。
经检验，x=4.4是原方程的解且符合题意。
【答案】
围墙AB的高度是4.4 m。
【知识点】
等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行投影的应用
【点评】
本题结合生活中的遮挡投影场景，将实际问题转化为几何问题求解，解题的关键是先通过特殊角度得到线段等量关系，再利用相似三角形的比例性质建立方程，能有效考查学生将实际问题抽象为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先从已知垂直条件和边相等的关系入手：已知DO⊥BF，OD=OE=0.8m，可推出△DOE是等腰直角三角形，得到∠DEB=45°；结合AB⊥BF，可得△ABE也是等腰直角三角形，进而得到AB=BE，我们可以设AB=BE=x m，将求AB高度的问题转化为求未知数x的问题。接下来，由于AB和CO都垂直于地面BF，可判定AB//CO，由此得到△ABF∽△COF，根据相似三角形对应边成比例的性质列出关于x的方程，解方程即可得到AB的高度，最后要检验解是否符合实际意义。
【解析】
如图，连接CD。
∵ DO⊥BF，
∴ ∠DOE=90°，
∵ OD=0.8 m，OE=0.8 m，
∴ ∠DEB=45°，
∵ AB⊥BF，
∴ ∠BAE=45°，
∴ AB=BE。
设AB=EB=x m，
∵ AB⊥BF，CO⊥BF，
∴ AB//CO，
∴ △ABF∽△COF，
∴ $\frac{AB}{CO}=\frac{BF}{OF}$，即$\frac{x}{1.2+0.8}=\frac{x+(3-0.8)}{3}$，
解得x=4.4。
经检验，x=4.4是原方程的解且符合题意。
【答案】
围墙AB的高度是4.4 m。
【知识点】
等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行投影的应用
【点评】
本题结合生活中的遮挡投影场景，将实际问题转化为几何问题求解，解题的关键是先通过特殊角度得到线段等量关系，再利用相似三角形的比例性质建立方程，能有效考查学生将实际问题抽象为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
12. 如图所示,一幢楼房AB背后有一台阶CD,台阶每层高0.2米,宽0.6米,且AC=16.3米.设太阳光线与地面的夹角为α,当α=60°时,测得楼房在地面上的影长AE=10米.现有两只小猫(阴影部分)分别在台阶的第一层和第二层上晒太阳.($\sqrt{3}$取1.73)
(1)求楼房的高度约为多少米.
(2)当α=45°时,两只小猫是否都能晒到太阳?请说明理由.
(1)求楼房的高度约为多少米.
(2)当α=45°时,两只小猫是否都能晒到太阳?请说明理由.
答案
12. (1)当α=60°时,在Rt△ABE中,
∵ tan 60°= AB/AE = AB/10,
∴ AB=10·tan 60°=10√3≈10×1.73=17.3(米),即楼房的高度约为17.3米.
(2)当α=45°时,第二层台阶的小猫能晒到太阳,第一层台阶的小猫不能晒到太阳.理由如下:假设没有台阶,如图,当α=45°时,从点B射下的光线与地面AD的交点为点F,
∵ ∠BFA=45°,
∴ tan 45°= AB/AF =1,此时的影长AF=AB=17.3米,
∴ CF=AF-AC=17.3-16.3=1(米),
∴ CM+MN=0.2+0.6=0.8＜CF,CM+MN+NH=0.2+0.6+0.2=1=CF,
∴ 大楼的影子落在点H处,
∴ 第二层台阶的小猫能晒到太阳,第一层台阶的小猫不能晒到太阳.
解析
【分析】
(1) 第一问中楼房AB与地面垂直，和影长AE、光线BE构成直角三角形，已知光线与地面夹角为60°、AE的长度，可直接利用正切函数的定义求解AB的高度。
(2) 第二问判断小猫能否晒到太阳，先假设没有台阶，计算α=45°时楼房的影长，再求出C点到影端的距离，结合台阶每层的高度、宽度参数，判断光线被台阶遮挡的位置，即可得出两层台阶上的小猫是否能被光线照射。
【解析】
(1) 当$α=60°$时，由题意得$AB⊥ AD$，$△ ABE$为直角三角形。
∵ $\tan60°=\frac{AB}{AE}$，且$AE=10$米，
∴ $AB=AE·\tan60°=10\sqrt{3}\approx10×1.73=17.3$（米）。
(2) 当$α=45°$时，第二层台阶的小猫能晒到太阳，第一层台阶的小猫不能晒到太阳，理由如下：
假设没有台阶，当$α=45°$时，过点B的光线与地面AD交于点F。
∵ $∠ BFA=45°$，$∠ BAF=90°$，
∴ $\tan45°=\frac{AB}{AF}=1$，即$AF=AB=17.3$米。
∵ $AC=16.3$米，
∴ $CF=AF-AC=17.3-16.3=1$米。
已知台阶每层高0.2米、宽0.6米，因此$CM+MN=0.2+0.6=0.8＜CF$，$CM+MN+NH=0.2+0.6+0.2=1=CF$，可知大楼的影子刚好落在第二层台阶的左角H处，因此第一层台阶的光线被第二层台阶遮挡，第二层台阶的顶面可被光线照射。
【答案】
(1) 楼房的高度约为17.3米；
(2) 第二层台阶的小猫能晒到太阳，第一层台阶的小猫不能晒到太阳，理由见解析。
【知识点】
解直角三角形的应用，平行投影的性质，锐角三角函数的应用
【点评】
本题结合生活中的投影场景考查三角函数的实际应用，需要学生将实际问题转化为几何模型，通过计算影长和台阶参数对比判断遮挡情况，考查了数学建模和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.6
(1) 第一问中楼房AB与地面垂直，和影长AE、光线BE构成直角三角形，已知光线与地面夹角为60°、AE的长度，可直接利用正切函数的定义求解AB的高度。
(2) 第二问判断小猫能否晒到太阳，先假设没有台阶，计算α=45°时楼房的影长，再求出C点到影端的距离，结合台阶每层的高度、宽度参数，判断光线被台阶遮挡的位置，即可得出两层台阶上的小猫是否能被光线照射。
【解析】
(1) 当$α=60°$时，由题意得$AB⊥ AD$，$△ ABE$为直角三角形。
∵ $\tan60°=\frac{AB}{AE}$，且$AE=10$米，
∴ $AB=AE·\tan60°=10\sqrt{3}\approx10×1.73=17.3$（米）。
(2) 当$α=45°$时，第二层台阶的小猫能晒到太阳，第一层台阶的小猫不能晒到太阳，理由如下：
假设没有台阶，当$α=45°$时，过点B的光线与地面AD交于点F。
∵ $∠ BFA=45°$，$∠ BAF=90°$，
∴ $\tan45°=\frac{AB}{AF}=1$，即$AF=AB=17.3$米。
∵ $AC=16.3$米，
∴ $CF=AF-AC=17.3-16.3=1$米。
已知台阶每层高0.2米、宽0.6米，因此$CM+MN=0.2+0.6=0.8＜CF$，$CM+MN+NH=0.2+0.6+0.2=1=CF$，可知大楼的影子刚好落在第二层台阶的左角H处，因此第一层台阶的光线被第二层台阶遮挡，第二层台阶的顶面可被光线照射。
【答案】
(1) 楼房的高度约为17.3米；
(2) 第二层台阶的小猫能晒到太阳，第一层台阶的小猫不能晒到太阳，理由见解析。
【知识点】
解直角三角形的应用，平行投影的性质，锐角三角函数的应用
【点评】
本题结合生活中的投影场景考查三角函数的实际应用，需要学生将实际问题转化为几何模型，通过计算影长和台阶参数对比判断遮挡情况，考查了数学建模和实际问题分析能力。
【难度系数】
0.6
