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一个正方形的面积扩大为原来的4倍，它的边长变为原来的多少倍？面积扩大为原来的9倍呢？10倍呢？
答案
解：设原正方形的边长为$a$（$a＞0$），则原正方形的面积为$a^2$。
当正方形面积扩大为原来的4倍时，新面积为$4a^2$，
新边长为$\sqrt{4a^2}=2a$，
此时边长为原来的$\frac{2a}{a}=2$倍。
当正方形面积扩大为原来的9倍时，新面积为$9a^2$，
新边长为$\sqrt{9a^2}=3a$，
此时边长为原来的$\frac{3a}{a}=3$倍。
当正方形面积扩大为原来的10倍时，新面积为$10a^2$，
新边长为$\sqrt{10a^2}=\sqrt{10}a$，
此时边长为原来的$\frac{\sqrt{10}a}{a}=\sqrt{10}$倍。
答：面积扩大为原来的4倍时，边长变为原来的2倍；面积扩大为原来的9倍时，边长变为原来的3倍；面积扩大为原来的10倍时，边长变为原来的$\sqrt{10}$倍。
当正方形面积扩大为原来的4倍时，新面积为$4a^2$，
新边长为$\sqrt{4a^2}=2a$，
此时边长为原来的$\frac{2a}{a}=2$倍。
当正方形面积扩大为原来的9倍时，新面积为$9a^2$，
新边长为$\sqrt{9a^2}=3a$，
此时边长为原来的$\frac{3a}{a}=3$倍。
当正方形面积扩大为原来的10倍时，新面积为$10a^2$，
新边长为$\sqrt{10a^2}=\sqrt{10}a$，
此时边长为原来的$\frac{\sqrt{10}a}{a}=\sqrt{10}$倍。
答：面积扩大为原来的4倍时，边长变为原来的2倍；面积扩大为原来的9倍时，边长变为原来的3倍；面积扩大为原来的10倍时，边长变为原来的$\sqrt{10}$倍。
解析
【分析】
解题的核心是利用正方形面积和边长的关系，结合算术平方根的定义计算边长的变化倍数。首先设原正方形的边长，求出原面积；再分别计算面积扩大为原来4倍、9倍、10倍后的新面积；根据边长是面积的算术平方根求出新边长，最后用新边长与原边长作比，即可得到边长扩大的倍数。
【解析】
解：设原正方形的边长为$a$（$a＞0$），则原正方形的面积为$a^2$。
当正方形面积扩大为原来的4倍时，新面积为$4a^2$，
新边长为$\sqrt{4a^2}=2a$，
此时边长为原来的$\frac{2a}{a}=2$倍。
当正方形面积扩大为原来的9倍时，新面积为$9a^2$，
新边长为$\sqrt{9a^2}=3a$，
此时边长为原来的$\frac{3a}{a}=3$倍。
当正方形面积扩大为原来的10倍时，新面积为$10a^2$，
新边长为$\sqrt{10a^2}=\sqrt{10}a$，
此时边长为原来的$\frac{\sqrt{10}a}{a}=\sqrt{10}$倍。
【答案】
面积扩大为原来的4倍时，边长变为原来的2倍；面积扩大为原来的9倍时，边长变为原来的3倍；面积扩大为原来的10倍时，边长变为原来的$\sqrt{10}$倍。
【知识点】
1. 正方形面积公式
2. 算术平方根计算
3. 倍数关系求解
【点评】
本题是算术平方根在几何问题中的基础应用，解题关键是明确正方形边长是对应面积的算术平方根，掌握面积扩大倍数是边长扩大倍数的平方这一规律，可快速推导同类问题的结果。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用正方形面积和边长的关系，结合算术平方根的定义计算边长的变化倍数。首先设原正方形的边长，求出原面积；再分别计算面积扩大为原来4倍、9倍、10倍后的新面积；根据边长是面积的算术平方根求出新边长，最后用新边长与原边长作比，即可得到边长扩大的倍数。
【解析】
解：设原正方形的边长为$a$（$a＞0$），则原正方形的面积为$a^2$。
当正方形面积扩大为原来的4倍时，新面积为$4a^2$，
新边长为$\sqrt{4a^2}=2a$，
此时边长为原来的$\frac{2a}{a}=2$倍。
当正方形面积扩大为原来的9倍时，新面积为$9a^2$，
新边长为$\sqrt{9a^2}=3a$，
此时边长为原来的$\frac{3a}{a}=3$倍。
当正方形面积扩大为原来的10倍时，新面积为$10a^2$，
新边长为$\sqrt{10a^2}=\sqrt{10}a$，
此时边长为原来的$\frac{\sqrt{10}a}{a}=\sqrt{10}$倍。
【答案】
面积扩大为原来的4倍时，边长变为原来的2倍；面积扩大为原来的9倍时，边长变为原来的3倍；面积扩大为原来的10倍时，边长变为原来的$\sqrt{10}$倍。
【知识点】
1. 正方形面积公式
2. 算术平方根计算
3. 倍数关系求解
【点评】
本题是算术平方根在几何问题中的基础应用，解题关键是明确正方形边长是对应面积的算术平方根，掌握面积扩大倍数是边长扩大倍数的平方这一规律，可快速推导同类问题的结果。
【难度系数】
0.8
例1 求下列各数的算术平方根：
(1) 10 000；
(2) $\frac{9}{16}$；
(3) 0.25；
(4) $10^6$。
(1) 10 000；
(2) $\frac{9}{16}$；
(3) 0.25；
(4) $10^6$。
答案
解：
(1) ∵ $100^2 = 10000$，
∴ 10000的算术平方根是100，即$\sqrt{10000}=100$。
(2) ∵ $(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$，
∴ $\frac{9}{16}$的算术平方根是$\frac{3}{4}$，即$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$。
(3) ∵ $0.5^2 = 0.25$，
∴ 0.25的算术平方根是0.5，即$\sqrt{0.25}=0.5$。
(4) ∵ $(10^3)^2 = 10^6$，
∴ $10^6$的算术平方根是$10^3$，即$\sqrt{10^6}=1000$。
(1) ∵ $100^2 = 10000$，
∴ 10000的算术平方根是100，即$\sqrt{10000}=100$。
(2) ∵ $(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$，
∴ $\frac{9}{16}$的算术平方根是$\frac{3}{4}$，即$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$。
(3) ∵ $0.5^2 = 0.25$，
∴ 0.25的算术平方根是0.5，即$\sqrt{0.25}=0.5$。
(4) ∵ $(10^3)^2 = 10^6$，
∴ $10^6$的算术平方根是$10^3$，即$\sqrt{10^6}=1000$。
解析
【分析】
解题前需明确算术平方根的定义：若一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$（$a≥0$），则这个正数$x$叫做$a$的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数。本题解题思路为逆用乘方运算，针对每个给定的数，找到平方后等于它的非负数，即为该数的算术平方根：处理整数时找对应的正整数平方，处理分数时找分子、分母均为正整数的分数的平方，处理小数时可直接找对应小数的平方，处理幂形式的数时可借助幂的乘方法则逆向推导。
【解析】
(1)
∵ $100^2 = 10000$，
∴ 10000的算术平方根是100，即$\sqrt{10000}=100$。
(2)
∵ $(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$，
∴ $\frac{9}{16}$的算术平方根是$\frac{3}{4}$，即$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$。
(3)
∵ $0.5^2 = 0.25$，
∴ 0.25的算术平方根是0.5，即$\sqrt{0.25}=0.5$。
(4)
∵ $(10^3)^2 = 10^6$，
∴ $10^6$的算术平方根是$10^3$，即$\sqrt{10^6}=1000$。
【答案】
(1) $100$；(2) $\frac{3}{4}$；(3) $0.5$；(4) $1000$
【知识点】
算术平方根的定义；乘方的逆运算；幂的乘方运算
【点评】
本题是算术平方根的基础计算题，核心考查对算术平方根非负性的理解，通过逆用乘方运算即可求解，熟练掌握常见整数、分数、小数的平方结果，能有效提升这类题的解题速度和准确率。
【难度系数】
0.9
解题前需明确算术平方根的定义：若一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$（$a≥0$），则这个正数$x$叫做$a$的算术平方根，算术平方根的结果一定是非负数。本题解题思路为逆用乘方运算，针对每个给定的数，找到平方后等于它的非负数，即为该数的算术平方根：处理整数时找对应的正整数平方，处理分数时找分子、分母均为正整数的分数的平方，处理小数时可直接找对应小数的平方，处理幂形式的数时可借助幂的乘方法则逆向推导。
【解析】
(1)
∵ $100^2 = 10000$，
∴ 10000的算术平方根是100，即$\sqrt{10000}=100$。
(2)
∵ $(\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$，
∴ $\frac{9}{16}$的算术平方根是$\frac{3}{4}$，即$\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$。
(3)
∵ $0.5^2 = 0.25$，
∴ 0.25的算术平方根是0.5，即$\sqrt{0.25}=0.5$。
(4)
∵ $(10^3)^2 = 10^6$，
∴ $10^6$的算术平方根是$10^3$，即$\sqrt{10^6}=1000$。
【答案】
(1) $100$；(2) $\frac{3}{4}$；(3) $0.5$；(4) $1000$
【知识点】
算术平方根的定义；乘方的逆运算；幂的乘方运算
【点评】
本题是算术平方根的基础计算题，核心考查对算术平方根非负性的理解，通过逆用乘方运算即可求解，熟练掌握常见整数、分数、小数的平方结果，能有效提升这类题的解题速度和准确率。
【难度系数】
0.9
例2 小丽准备用一张面积为400 cm²的正方形纸片，沿边的方向裁出一张面积为300 cm²的长方形纸片，使它的长宽之比为3：2，但不知能否裁得出来。小明说：“一定能用一张面积大的纸片裁出一张面积小的纸片。”你同意小明的说法吗？小丽能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片吗？
答案
解：设长方形纸片的长为$3x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}$。
根据题意得：
$3x· 2x = 300$
整理得：
$6x^2 = 300$
$x^2 = 50$
因为$x＞0$，所以$x$是50的算术平方根，即$x=\sqrt{50}$。
因此长方形纸片的长为$3\sqrt{50}\ \mathrm{cm}$。
因为$\sqrt{50}＞\sqrt{49}=7$，所以$3\sqrt{50}＞21$。
面积为$400\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸片的边长为$\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$。
可得该长方形纸片的长大于正方形纸片的边长。
所以不同意小明的说法，小丽不能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。
根据题意得：
$3x· 2x = 300$
整理得：
$6x^2 = 300$
$x^2 = 50$
因为$x＞0$，所以$x$是50的算术平方根，即$x=\sqrt{50}$。
因此长方形纸片的长为$3\sqrt{50}\ \mathrm{cm}$。
因为$\sqrt{50}＞\sqrt{49}=7$，所以$3\sqrt{50}＞21$。
面积为$400\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸片的边长为$\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$。
可得该长方形纸片的长大于正方形纸片的边长。
所以不同意小明的说法，小丽不能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。
解析
【分析】
要判断能否裁出符合要求的长方形，不能仅依据面积大小判断，核心是比较长方形的长和正方形的边长大小。解题思路如下：第一步，根据长方形长宽比设未知数，结合长方形面积公式列方程求出长的长度；第二步，计算正方形纸片的边长；第三步，比较长方形长与正方形边长的大小，若长方形长≤正方形边长则能裁出，反之则不能。
【解析】
解：设长方形纸片的长为$3x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}$。
根据长方形面积公式可得：
$3x· 2x = 300$
整理得：
$6x^2 = 300$
$x^2 = 50$
因为$x＞0$，所以$x$是50的算术平方根，即$x=\sqrt{50}$。
因此长方形纸片的长为$3\sqrt{50}\ \mathrm{cm}$。
因为$\sqrt{50}＞\sqrt{49}=7$，所以$3\sqrt{50}＞3×7=21$。
面积为$400\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸片的边长为$\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$。
由于$21＞20$，即该长方形纸片的长大于正方形纸片的边长。
所以不同意小明的说法，小丽不能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。
【答案】
不同意小明的说法，小丽不能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。
【知识点】
算术平方根的应用；无理数的估算；正方形与长方形面积计算
【点评】
本题是实际应用类题目，易错点是仅凭面积大小就判断可以裁出，忽略了图形边长的限制。解题的关键是通过计算得到长方形的长，再和正方形的边长对比，从而得出正确结论。
【难度系数】
0.7
要判断能否裁出符合要求的长方形，不能仅依据面积大小判断，核心是比较长方形的长和正方形的边长大小。解题思路如下：第一步，根据长方形长宽比设未知数，结合长方形面积公式列方程求出长的长度；第二步，计算正方形纸片的边长；第三步，比较长方形长与正方形边长的大小，若长方形长≤正方形边长则能裁出，反之则不能。
【解析】
解：设长方形纸片的长为$3x\ \mathrm{cm}$，宽为$2x\ \mathrm{cm}$。
根据长方形面积公式可得：
$3x· 2x = 300$
整理得：
$6x^2 = 300$
$x^2 = 50$
因为$x＞0$，所以$x$是50的算术平方根，即$x=\sqrt{50}$。
因此长方形纸片的长为$3\sqrt{50}\ \mathrm{cm}$。
因为$\sqrt{50}＞\sqrt{49}=7$，所以$3\sqrt{50}＞3×7=21$。
面积为$400\ \mathrm{cm}^2$的正方形纸片的边长为$\sqrt{400}=20\ \mathrm{cm}$。
由于$21＞20$，即该长方形纸片的长大于正方形纸片的边长。
所以不同意小明的说法，小丽不能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。
【答案】
不同意小明的说法，小丽不能用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。
【知识点】
算术平方根的应用；无理数的估算；正方形与长方形面积计算
【点评】
本题是实际应用类题目，易错点是仅凭面积大小就判断可以裁出，忽略了图形边长的限制。解题的关键是通过计算得到长方形的长，再和正方形的边长对比，从而得出正确结论。
【难度系数】
0.7
(1) 4 的算术平方根是().
A.$\pm 2$
B.$2$
C.$\pm\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
A.$\pm 2$
B.$2$
C.$\pm\sqrt{2}$
D.$\sqrt{2}$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确算术平方根的核心定义：算术平方根是一个非负数的正的平方根，和可以取正负两个值的平方根有明确区别。首先排除选项中带有±的错误选项，再计算哪个正数的平方等于4，即可得到4的算术平方根，选出正确答案。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则这个正数$x$叫做$a$的算术平方根，规定0的算术平方根是0。
已知$2^2=4$，符合正数平方等于4的要求，因此4的算术平方根是2。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义
【点评】
本题考查基础概念的辨析，解题关键是区分算术平方根和平方根的差异，算术平方根仅取非负的取值，不要和平方根的概念混淆。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确算术平方根的核心定义：算术平方根是一个非负数的正的平方根，和可以取正负两个值的平方根有明确区别。首先排除选项中带有±的错误选项，再计算哪个正数的平方等于4，即可得到4的算术平方根，选出正确答案。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个正数$x$的平方等于$a$，即$x^2=a$，则这个正数$x$叫做$a$的算术平方根，规定0的算术平方根是0。
已知$2^2=4$，符合正数平方等于4的要求，因此4的算术平方根是2。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
算术平方根的定义
【点评】
本题考查基础概念的辨析，解题关键是区分算术平方根和平方根的差异，算术平方根仅取非负的取值，不要和平方根的概念混淆。
【难度系数】
0.9
（2）下列式子中，正确的是（）。
A.$\sqrt{25}=\pm5$
B.$\sqrt{3^2}=\pm3$
C.$\sqrt{25}=5$
D.$\sqrt{3^2}=-3$
A.$\sqrt{25}=\pm5$
B.$\sqrt{3^2}=\pm3$
C.$\sqrt{25}=5$
D.$\sqrt{3^2}=-3$
答案
C
解析
【分析】
这道题考查算术平方根的相关概念，解题的核心是明确：$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是非负数$a$的算术平方根，算术平方根的计算结果一定是非负的。解题时我们只需要先计算每个选项中等号左边的算术平方根，再和等号右边的结果对比，就能判断对错。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，因此$\sqrt{a}$的结果必为非负数。我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{25}$是25的算术平方根，计算得$\sqrt{25}=5$，不是$\pm5$，该选项错误；
选项B：先计算根号内的部分得$\sqrt{3^2}=\sqrt{9}$，9的算术平方根是3，不是$\pm3$，该选项错误；
选项C：$\sqrt{25}=5$，符合算术平方根的计算规则，该选项正确；
选项D：$\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3≠-3$，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 算术平方根的非负性
【点评】
本题是平方根部分的基础常考题，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，解题时要注意：不带正负号的根号（$\sqrt{a}$，$a≥0$）默认求的是算术平方根，结果只能是非负数，避免出现多写负号或者正负号的错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查算术平方根的相关概念，解题的核心是明确：$\sqrt{a}$（$a≥0$）表示的是非负数$a$的算术平方根，算术平方根的计算结果一定是非负的。解题时我们只需要先计算每个选项中等号左边的算术平方根，再和等号右边的结果对比，就能判断对错。
【解析】
根据算术平方根的定义：若一个非负数$x$的平方等于$a$（即$x^2=a$），则这个非负数$x$叫做$a$的算术平方根，记为$\sqrt{a}$，因此$\sqrt{a}$的结果必为非负数。我们逐个分析选项：
选项A：$\sqrt{25}$是25的算术平方根，计算得$\sqrt{25}=5$，不是$\pm5$，该选项错误；
选项B：先计算根号内的部分得$\sqrt{3^2}=\sqrt{9}$，9的算术平方根是3，不是$\pm3$，该选项错误；
选项C：$\sqrt{25}=5$，符合算术平方根的计算规则，该选项正确；
选项D：$\sqrt{3^2}=\sqrt{9}=3≠-3$，该选项错误。
【答案】
C
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 算术平方根的非负性
【点评】
本题是平方根部分的基础常考题，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，解题时要注意：不带正负号的根号（$\sqrt{a}$，$a≥0$）默认求的是算术平方根，结果只能是非负数，避免出现多写负号或者正负号的错误。
【难度系数】
0.8
（3）下列式子中，正确的是（）。
A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$(-\sqrt{3})^2=9$
C.$\sqrt{(-9)^2}=\pm3$
D.$\sqrt{(-3)^2}=3$
A.$\sqrt{(-2)^2}=-2$
B.$(-\sqrt{3})^2=9$
C.$\sqrt{(-9)^2}=\pm3$
D.$\sqrt{(-3)^2}=3$
答案
D
解析
【分析】
本题考查算术平方根的相关运算，解题思路如下：首先明确算术平方根的核心性质：算术平方根的结果一定是非负数；其次牢记两个常用运算规则：1. 计算$\sqrt{a^2}$时，先算根号内的平方，再求算术平方根，结果为非负数；2. 计算$(\sqrt{a})^2$（$a≥0$）时，结果等于$a$。我们只需逐个选项用上述规则验证，就能选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A选项：先计算根号内的乘方，$(-2)^2=4$，再求4的算术平方根，$\sqrt{4}=2≠-2$，故A错误；
B选项：根据乘方的运算规则，$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3≠9$，故B错误；
C选项：先计算根号内的乘方，$(-9)^2=81$，81的算术平方根是9（注意算术平方根只有非负结果，没有正负两种情况），即$\sqrt{81}=9≠±3$，故C错误；
D选项：先计算根号内的乘方，$(-3)^2=9$，9的算术平方根是3，即$\sqrt{9}=3$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 二次根式的运算性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，要注意算术平方根的结果唯一且为非负数，运算时先处理根号内的乘方再开方，可有效避免符号错误。
【难度系数】
0.8
本题考查算术平方根的相关运算，解题思路如下：首先明确算术平方根的核心性质：算术平方根的结果一定是非负数；其次牢记两个常用运算规则：1. 计算$\sqrt{a^2}$时，先算根号内的平方，再求算术平方根，结果为非负数；2. 计算$(\sqrt{a})^2$（$a≥0$）时，结果等于$a$。我们只需逐个选项用上述规则验证，就能选出正确答案。
【解析】
我们逐一分析每个选项：
A选项：先计算根号内的乘方，$(-2)^2=4$，再求4的算术平方根，$\sqrt{4}=2≠-2$，故A错误；
B选项：根据乘方的运算规则，$(-\sqrt{3})^2=(\sqrt{3})^2=3≠9$，故B错误；
C选项：先计算根号内的乘方，$(-9)^2=81$，81的算术平方根是9（注意算术平方根只有非负结果，没有正负两种情况），即$\sqrt{81}=9≠±3$，故C错误；
D选项：先计算根号内的乘方，$(-3)^2=9$，9的算术平方根是3，即$\sqrt{9}=3$，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
1. 算术平方根的定义
2. 二次根式的运算性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是混淆算术平方根和平方根的概念，要注意算术平方根的结果唯一且为非负数，运算时先处理根号内的乘方再开方，可有效避免符号错误。
【难度系数】
0.8
