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1.用同样大小的正方形以一定规律按如图所示的方式拼图案，其中第①个图案中有9个正方形，第②个图案中有14个正方形，第③个图案中有19个正方形……按此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数是().
A.45
B.49
C.50
D.54
A.45
B.49
C.50
D.54
答案
B
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题时先观察已知的前3个图案的正方形数量：第①个9个，第②个14个，第③个19个，先对比相邻两个图案的数量差，发现后一个图案比前一个多5个正方形，说明数量随图案序号的变化符合“每次加5”的规律，接下来我们可以推导第n个图案的正方形个数的通用表达式，最后把n=9代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
观察已知图案的正方形数量：
第①个图案：正方形个数为$9 = 5×1 + 4$
第②个图案：正方形个数为$14 = 5×2 + 4$
第③个图案：正方形个数为$19 = 5×3 + 4$
由此可总结规律：第n个图案中正方形的个数为$\boxed{5n+4}$
当$n=9$时，代入得：$5×9 + 4 = 45 + 4 = 49$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是通过观察相邻图形的数量变化找到固定差值，总结出通用的数量规律后即可代入求解，能够有效考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究题，解题时先观察已知的前3个图案的正方形数量：第①个9个，第②个14个，第③个19个，先对比相邻两个图案的数量差，发现后一个图案比前一个多5个正方形，说明数量随图案序号的变化符合“每次加5”的规律，接下来我们可以推导第n个图案的正方形个数的通用表达式，最后把n=9代入表达式计算即可得到结果。
【解析】
观察已知图案的正方形数量：
第①个图案：正方形个数为$9 = 5×1 + 4$
第②个图案：正方形个数为$14 = 5×2 + 4$
第③个图案：正方形个数为$19 = 5×3 + 4$
由此可总结规律：第n个图案中正方形的个数为$\boxed{5n+4}$
当$n=9$时，代入得：$5×9 + 4 = 45 + 4 = 49$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，代数式求值
【点评】
本题属于基础的规律探究类题目，核心是通过观察相邻图形的数量变化找到固定差值，总结出通用的数量规律后即可代入求解，能够有效考查学生的观察归纳能力。
【难度系数】
0.7
2.如图，将形状、大小完全相同的“.”和线段按照一定规律摆成下列图形，第①个图形中“.”的个数为3，第②个图形中“.”的个数为8，第③个图形中“.”的个数为15……以此类推，则第⑧个图形中“.”的个数为（）。
A.63
B.80
C.100
D.120
A.63
B.80
C.100
D.120
答案
B
解析
【分析】
解决这类图形规律探究题，首先要把已知的前几个图形对应“.”的个数和图形序号对应罗列，观察两者的运算关系，归纳出通用的规律公式，再代入所求的序号计算即可。我们先结合已知条件：第①个对应3，第②个对应8，第③个对应15，分析这几个数和序号1、2、3的关系，就能找到规律。
【解析】
我们先把前3个图形的“.”个数与序号的对应关系整理如下：
第①个图形（序号n=1）：个数为$3 = 1×3 = 1×(1+2) = (1+1)^2 - 1$；
第②个图形（序号n=2）：个数为$8 = 2×4 = 2×(2+2) = (2+1)^2 - 1$；
第③个图形（序号n=3）：个数为$15 = 3×5 = 3×(3+2) = (3+1)^2 - 1$；
由此可归纳出规律：第n个图形中“.”的个数为$(n+1)^2 -1$（也可化简为$n^2+2n$或$n(n+2)$）。
当求第⑧个图形的个数时，$n=8$，代入公式得：
$(8+1)^2 - 1 = 9^2 -1 = 81 -1 = 80$。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过观察特殊个例的特征，归纳出通用的规律公式，再代入数值求解，掌握从特殊到一般的归纳思维，就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
解决这类图形规律探究题，首先要把已知的前几个图形对应“.”的个数和图形序号对应罗列，观察两者的运算关系，归纳出通用的规律公式，再代入所求的序号计算即可。我们先结合已知条件：第①个对应3，第②个对应8，第③个对应15，分析这几个数和序号1、2、3的关系，就能找到规律。
【解析】
我们先把前3个图形的“.”个数与序号的对应关系整理如下：
第①个图形（序号n=1）：个数为$3 = 1×3 = 1×(1+2) = (1+1)^2 - 1$；
第②个图形（序号n=2）：个数为$8 = 2×4 = 2×(2+2) = (2+1)^2 - 1$；
第③个图形（序号n=3）：个数为$15 = 3×5 = 3×(3+2) = (3+1)^2 - 1$；
由此可归纳出规律：第n个图形中“.”的个数为$(n+1)^2 -1$（也可化简为$n^2+2n$或$n(n+2)$）。
当求第⑧个图形的个数时，$n=8$，代入公式得：
$(8+1)^2 - 1 = 9^2 -1 = 81 -1 = 80$。
【答案】
B
【知识点】
图形规律探究，代数式求值
【点评】
本题属于规律探究类基础题，核心是通过观察特殊个例的特征，归纳出通用的规律公式，再代入数值求解，掌握从特殊到一般的归纳思维，就能快速解决这类问题。
【难度系数】
0.7
3.把一根起点为0的数轴弯折成如图所示的样子，虚线最下面第1个数字是0，往上第2个数字是6，第3个数字是21……则第23个数字是。
答案
$\boldsymbol{2211}$
解析
【分析】
先观察题目给出的前3个数字：第1个为0，第2个为6，第3个为21，计算相邻两个数的差可得差依次为6、15，差的差值为9，即相邻数的差是首项为6、公差为9的等差数列；再利用累加的方法推导第n个数字的通项公式，最后把n=23代入公式计算即可得到结果。
【解析】
记第n个数字为$a_n$，由题意得：
$a_1=0$
$a_2=6$，$a_2-a_1=6$
$a_3=21$，$a_3-a_2=15$
观察可知，相邻两个数字的差构成首项为6，公差为9的等差数列，第k个差（即$a_{k+1}-a_k$）为：$6+9(k-1)=9k-3$。
根据累加规律：
$a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\dots+(a_n-a_{n-1})$
代入差的表达式得：
$a_n=\sum_{k=1}^{n-1}(9k-3)$
利用七年级所学的求和公式$1+2+\dots+m=\frac{m(m+1)}{2}$计算：
$\sum_{k=1}^{n-1}9k=9×(1+2+\dots+(n-1))=9×\frac{n(n-1)}{2}$
$\sum_{k=1}^{n-1}3=3(n-1)$
整理得通项公式：
$a_n=\frac{9n(n-1)}{2}-3(n-1)=\frac{3(n-1)(3n-2)}{2}$
将$n=23$代入公式：
$a_{23}=\frac{3×(23-1)×(3×23-2)}{2}=\frac{3×22×67}{2}=3×11×67=2211$
【答案】
$\boldsymbol{2211}$
【知识点】
数字规律探究，等差数列求和，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形结合数字的规律探究题，解题的核心是通过观察已知数据找到相邻目标数的差的变化规律，再用累加的方法推导通项公式，侧重考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.4
先观察题目给出的前3个数字：第1个为0，第2个为6，第3个为21，计算相邻两个数的差可得差依次为6、15，差的差值为9，即相邻数的差是首项为6、公差为9的等差数列；再利用累加的方法推导第n个数字的通项公式，最后把n=23代入公式计算即可得到结果。
【解析】
记第n个数字为$a_n$，由题意得：
$a_1=0$
$a_2=6$，$a_2-a_1=6$
$a_3=21$，$a_3-a_2=15$
观察可知，相邻两个数字的差构成首项为6，公差为9的等差数列，第k个差（即$a_{k+1}-a_k$）为：$6+9(k-1)=9k-3$。
根据累加规律：
$a_n=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+\dots+(a_n-a_{n-1})$
代入差的表达式得：
$a_n=\sum_{k=1}^{n-1}(9k-3)$
利用七年级所学的求和公式$1+2+\dots+m=\frac{m(m+1)}{2}$计算：
$\sum_{k=1}^{n-1}9k=9×(1+2+\dots+(n-1))=9×\frac{n(n-1)}{2}$
$\sum_{k=1}^{n-1}3=3(n-1)$
整理得通项公式：
$a_n=\frac{9n(n-1)}{2}-3(n-1)=\frac{3(n-1)(3n-2)}{2}$
将$n=23$代入公式：
$a_{23}=\frac{3×(23-1)×(3×23-2)}{2}=\frac{3×22×67}{2}=3×11×67=2211$
【答案】
$\boldsymbol{2211}$
【知识点】
数字规律探究，等差数列求和，代数式求值
【点评】
本题是典型的图形结合数字的规律探究题，解题的核心是通过观察已知数据找到相邻目标数的差的变化规律，再用累加的方法推导通项公式，侧重考查学生的观察能力和归纳推理能力。
【难度系数】
0.4
4. 观察下列代数式:①$3^2 - 4×1^2$,②$5^2 - 4×2^2$,③$7^2 - 4×3^2$,….
尝试:请你按照以上三个代数式的规律写出第④个、第⑤个代数式；
发现:请你用这个规律表示出第ⓝ个代数式.
尝试:请你按照以上三个代数式的规律写出第④个、第⑤个代数式；
发现:请你用这个规律表示出第ⓝ个代数式.
答案
解：
第④个代数式：$9^2 - 4×4^2$
第⑤个代数式：$11^2 - 4×5^2$
观察已知代数式的规律：
第1个代数式可写为$(2×1+1)^2 - 4×1^2$，
第2个代数式可写为$(2×2+1)^2 - 4×2^2$，
第3个代数式可写为$(2×3+1)^2 - 4×3^2$，
因此第$n$个代数式为：$(2n+1)^2 - 4n^2$。
第④个代数式：$9^2 - 4×4^2$
第⑤个代数式：$11^2 - 4×5^2$
观察已知代数式的规律：
第1个代数式可写为$(2×1+1)^2 - 4×1^2$，
第2个代数式可写为$(2×2+1)^2 - 4×2^2$，
第3个代数式可写为$(2×3+1)^2 - 4×3^2$，
因此第$n$个代数式为：$(2n+1)^2 - 4n^2$。
解析
【分析】
解决这类规律探究题，首先要将已知代数式拆分成固定结构的多个部分，分别寻找每部分与代数式序号的对应关系。观察给出的3个代数式，结构均为“某数的平方减去4乘另一个数的平方”，分别分析两部分底数的规律：1. 减号后乘4的数的底数：第①个是1、第②个是2、第③个是3，刚好和代数式的序号完全一致；2. 减号前的数的底数：第①个是3、第②个是5、第③个是7，是连续的奇数，满足“2×序号+1”的规律。找到规律后，将对应序号代入即可写出第④、第⑤个代数式，将序号替换为n就能得到第n个代数式。
【解析】
1. 写第④个代数式：对应序号为4，减号前的底数为$2×4+1=9$，减号后乘4的底数为4，因此第④个代数式为$9^2 - 4×4^2$；
2. 写第⑤个代数式：对应序号为5，减号前的底数为$2×5+1=11$，减号后乘4的底数为5，因此第⑤个代数式为$11^2 - 4×5^2$；
3. 推导第n个代数式：
第1个代数式可整理为$(2×1+1)^2 - 4×1^2$，
第2个代数式可整理为$(2×2+1)^2 - 4×2^2$，
第3个代数式可整理为$(2×3+1)^2 - 4×3^2$，
依此类推，第n个代数式为$(2n+1)^2 - 4n^2$（n为正整数）。
【答案】
第④个代数式：$9^2 - 4×4^2$；第⑤个代数式：$11^2 - 4×5^2$；第n个代数式：$(2n+1)^2 - 4n^2$
【知识点】
数字规律探究，列代数式
【点评】
本题是规律探究类的基础典型题，解题核心是拆分代数式的结构模块，分别对应序号找到各部分的变化规律，再归纳出通用表达式，能帮助学生掌握规律探究题的基本解题思路。
【难度系数】
0.8
解决这类规律探究题，首先要将已知代数式拆分成固定结构的多个部分，分别寻找每部分与代数式序号的对应关系。观察给出的3个代数式，结构均为“某数的平方减去4乘另一个数的平方”，分别分析两部分底数的规律：1. 减号后乘4的数的底数：第①个是1、第②个是2、第③个是3，刚好和代数式的序号完全一致；2. 减号前的数的底数：第①个是3、第②个是5、第③个是7，是连续的奇数，满足“2×序号+1”的规律。找到规律后，将对应序号代入即可写出第④、第⑤个代数式，将序号替换为n就能得到第n个代数式。
【解析】
1. 写第④个代数式：对应序号为4，减号前的底数为$2×4+1=9$，减号后乘4的底数为4，因此第④个代数式为$9^2 - 4×4^2$；
2. 写第⑤个代数式：对应序号为5，减号前的底数为$2×5+1=11$，减号后乘4的底数为5，因此第⑤个代数式为$11^2 - 4×5^2$；
3. 推导第n个代数式：
第1个代数式可整理为$(2×1+1)^2 - 4×1^2$，
第2个代数式可整理为$(2×2+1)^2 - 4×2^2$，
第3个代数式可整理为$(2×3+1)^2 - 4×3^2$，
依此类推，第n个代数式为$(2n+1)^2 - 4n^2$（n为正整数）。
【答案】
第④个代数式：$9^2 - 4×4^2$；第⑤个代数式：$11^2 - 4×5^2$；第n个代数式：$(2n+1)^2 - 4n^2$
【知识点】
数字规律探究，列代数式
【点评】
本题是规律探究类的基础典型题，解题核心是拆分代数式的结构模块，分别对应序号找到各部分的变化规律，再归纳出通用表达式，能帮助学生掌握规律探究题的基本解题思路。
【难度系数】
0.8
5. 观察下列等式：$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$，….
(1)猜想并写出：$\frac{1}{n(n+1)}=$；
(2)求出下面式子的计算结果：
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{$
$}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}$.
(1)猜想并写出：$\frac{1}{n(n+1)}=$；
(2)求出下面式子的计算结果：
$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{$
$}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}$.答案
解：
(1) $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(2) 原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
$=1-\frac{1}{n+1}$
$=\frac{n}{n+1}$
(1) $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(2) 原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
$=1-\frac{1}{n+1}$
$=\frac{n}{n+1}$
解析
【分析】
(1)观察给出的等式，可发现规律：分母为两个连续正整数乘积、分子为1的分数，可拆分为较小正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此即可写出$\frac{1}{n(n+1)}$的拆分形式。
(2)计算求和式时，将每一项都用(1)中得到的拆分形式替换，会发现中间相邻的两项互为相反数，相加后相互抵消，仅剩下首项和末项，计算两项的差即可得到最终结果。
【解析】
(1)根据$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$的规律，可得$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。
(2)将原式的每一项拆分：
原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
观察发现中间的$-\frac{1}{2}$与$+\frac{1}{2}$、$-\frac{1}{3}$与$+\frac{1}{3}$……$-\frac{1}{n}$与$+\frac{1}{n}$都两两抵消，剩余：
$=1-\frac{1}{n+1}$
通分计算：
$=\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
【答案】
(1) $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(2) $\frac{n}{n+1}$
【知识点】
数字规律探究，裂项相消法，分数加减运算
【点评】
本题是典型的规律类求和题，通过观察已知等式总结通用拆分公式，再利用抵消简化运算，能够有效提升归纳推理能力和运算简化能力。
【难度系数】
0.7
(1)观察给出的等式，可发现规律：分母为两个连续正整数乘积、分子为1的分数，可拆分为较小正整数的倒数减去较大正整数的倒数，据此即可写出$\frac{1}{n(n+1)}$的拆分形式。
(2)计算求和式时，将每一项都用(1)中得到的拆分形式替换，会发现中间相邻的两项互为相反数，相加后相互抵消，仅剩下首项和末项，计算两项的差即可得到最终结果。
【解析】
(1)根据$\frac{1}{1×2}=1-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$的规律，可得$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。
(2)将原式的每一项拆分：
原式$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
观察发现中间的$-\frac{1}{2}$与$+\frac{1}{2}$、$-\frac{1}{3}$与$+\frac{1}{3}$……$-\frac{1}{n}$与$+\frac{1}{n}$都两两抵消，剩余：
$=1-\frac{1}{n+1}$
通分计算：
$=\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$
【答案】
(1) $\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
(2) $\frac{n}{n+1}$
【知识点】
数字规律探究，裂项相消法，分数加减运算
【点评】
本题是典型的规律类求和题，通过观察已知等式总结通用拆分公式，再利用抵消简化运算，能够有效提升归纳推理能力和运算简化能力。
【难度系数】
0.7
