7.若有理数a,b,c在数轴上的对应点A,B,C的位置如图所示，化简$|c| - |c - b| + |a + b|$.

解：
由数轴可知：$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，且$|a|＞|b|$，
$\therefore c＞0$，$c-b＞0$，$a+b＜0$，
$\therefore |c|=c$，$|c-b|=c-b$，$|a+b|=-(a+b)$，
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=c - (c - b) + (-a - b)\\&=c - c + b - a - b\\&=-a\end{aligned}$

【分析】
要化简含绝对值的整式，需按三步思考：第一步观察数轴确定各数的大小关系，数轴上左边的数总小于右边的数，且点到原点的距离对应数的绝对值大小，因此可得$a＜b＜0＜c$，且$|a|＞|b|$；第二步判断每个绝对值内代数式的正负：$c$为正数，$c-b$是正数减负数，结果为正，$a+b$是两个负数相加，结果为负；第三步根据绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数）去掉绝对值符号，再去括号合并同类项即可得到结果。
【解析】
由数轴可知：$a ＜ b ＜ 0 ＜ c$，且$|a|＞|b|$，
$\therefore c＞0$，$c-b＞0$，$a+b＜0$，
根据绝对值的性质可得：$|c|=c$，$|c-b|=c-b$，$|a+b|=-(a+b)$，
代入原式计算：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=c - (c - b) + (-a - b)\\&=c - c + b - a - b\\&=-a\end{aligned}$
【答案】
$-a$
【知识点】
数轴的应用；绝对值的性质；整式的加减
【点评】
本题是数轴与绝对值化简结合的典型基础题，解题核心是利用数轴的数形结合特点，准确判断绝对值内表达式的正负，再依据绝对值性质去符号后化简，能够考察学生的分析能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7

8.已知关于$ x $的多项式$-3x^2 + mx + nx^2 - x + 3$的值与$ x $的取值无关，求$ m,n $的值.

解：
合并同类项得：
$-3x^2 + mx + nx^2 - x + 3 = (-3 + n)x^2 + (m - 1)x + 3$
因为多项式的值与$x$的取值无关，所以所有含$x$的项的系数都为0，即：
$\begin{cases}-3 + n = 0 \\m - 1 = 0\end{cases}$
解得：$m=1$，$n=3$。

【分析】
解题时首先要理解“多项式的值与x的取值无关”的含义：即无论x取何值，多项式的结果都保持不变，此时所有含有x的项的系数必须为0（系数为0时，对应项的取值恒为0，不会随x的变化影响整体结果）。第一步先对多项式合并同类项，将含x²的项、含x的项分别合并，常数项单独整理，再令含x的各次项的系数等于0，列方程求解即可得到m、n的值。
【解析】
首先对多项式合并同类项：
$-3x^2 + mx + nx^2 - x + 3 = (-3 + n)x^2 + (m - 1)x + 3$
已知多项式的值与x的取值无关，因此所有含x的项的系数均为0，可得：
$\begin{cases}-3 + n = 0 \\m - 1 = 0\end{cases}$
解上述方程：
由$-3 + n = 0$，解得$n = 3$；
由$m - 1 = 0$，解得$m = 1$。
【答案】
$m=1$，$n=3$
【知识点】
合并同类项；整式的加减；一元一次方程求解
【点评】
本题是整式加减的常见基础题型，解题关键是正确理解多项式的值与某字母取值无关的含义，即该字母的所有同次项的系数均为0，熟练掌握合并同类项的法则即可快速求解。
【难度系数】
0.7

9.已知$M=2x^2+ax-5y+b$，$N=bx^2-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}y-3$，其中$a,b$为常数.
(1)求整式$M-2N$的值；
(2)若整式$M-2N$的值与$x$的取值无关，求$(a+2M)-(2b+4N)$的值.

解：
(1)
$\begin{aligned}M-2N&=(2x^2+ax-5y+b)-2(bx^2-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}y-3)\\&=2x^2+ax-5y+b-2bx^2+3x+5y+6\\&=(2-2b)x^2+(a+3)x+b+6\end{aligned}$
(2) 因为整式$M-2N$的值与$x$的取值无关，
所以含$x$的项的系数均为0，即：
$2-2b=0$，$a+3=0$，
解得$b=1$，$a=-3$。
化简所求整式：
$\begin{aligned}(a+2M)-(2b+4N)&=a+2M-2b-4N\\&=a-2b+2(M-2N)\end{aligned}$
将$a=-3$，$b=1$，$M-2N=b+6=7$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-3-2×1+2×7\\&=-3-2+14\\&=9\end{aligned}$
综上，(1) $M-2N=(2-2b)x^2+(a+3)x+b+6$；(2) 所求式子的值为$\boldsymbol{9}$。

【分析】
(1) 求解$M-2N$时，首先将$M$、$N$的表达式代入原式，然后按照去括号法则去掉括号，注意括号前是负系数时括号内各项要变号、不要漏乘系数，最后合并同类项即可得到结果。
(2) 若整式的值与$x$的取值无关，说明整式中所有含$x$的项的系数均为0，据此可列方程求出$a$、$b$的值。求解$(a+2M)-(2b+4N)$时，可先对式子变形，整理为含有$M-2N$的形式，再整体代入数值计算，能简化计算过程，减少出错概率。
【解析】
(1)
$\begin{aligned}M-2N&=(2x^2+ax-5y+b)-2(bx^2-\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}y-3)\\&=2x^2+ax-5y+b-2bx^2+3x+5y+6\\&=(2-2b)x^2+(a+3)x+b+6\end{aligned}$
(2) 因为整式$M-2N$的值与$x$的取值无关，所以含$x$的项的系数均为0，即：
$2-2b=0$，$a+3=0$，
解得$b=1$，$a=-3$，此时$M-2N=b+6=1+6=7$。
化简所求整式：
$\begin{aligned}(a+2M)-(2b+4N)&=a+2M-2b-4N\\&=a-2b+2(M-2N)\end{aligned}$
将$a=-3$，$b=1$，$M-2N=7$代入上式：
$\begin{aligned}原式&=-3-2×1+2×7\\&=-3-2+14\\&=9\end{aligned}$
【答案】
(1) $M-2N=(2-2b)x^2+(a+3)x+b+6$；(2) $\boldsymbol{9}$
【知识点】
整式的加减运算；代数式值与字母无关的条件；代数式化简求值
【点评】
本题考查整式加减的基础运算法则，以及代数式值与某一字母无关的条件应用，第二问用到的整体代换思想能有效提升解题效率，解题时需注意去括号时的符号变化，避免漏乘系数。
【难度系数】
0.7

10.小强在做一道数学题:两个多项式A和B，其中$B=4x^2 -5x -6$……试求$A+B$.小强错将“$A+B$”看成了“$A-B$”，结果求出的答案是$-7x^2 +10x +12$.
(1)求多项式A；
(2)计算$A-2B$的结果.

解：
(1) 由题意得 $A - B = -7x^2 + 10x + 12$，
所以
$\begin{aligned}A&=(A-B)+B\\&=(-7x^2 + 10x + 12)+(4x^2 - 5x - 6)\\&=-7x^2 + 10x + 12 + 4x^2 - 5x - 6\\&=-3x^2 + 5x + 6\end{aligned}$
(2) 将$A=-3x^2 + 5x + 6$，$B=4x^2 - 5x - 6$代入$A-2B$：
$\begin{aligned}A-2B&=(-3x^2 + 5x + 6)-2(4x^2 - 5x - 6)\\&=-3x^2 + 5x + 6 - 8x^2 + 10x + 12\\&=-11x^2 + 15x + 18\end{aligned}$
综上，(1) 多项式$A=-3x^2 + 5x + 6$；(2) $A-2B$的结果为$-11x^2 + 15x + 18$。

【分析】
(1) 由题意可知，小强算错的结果是$A-B$的运算结果，即$A-B=-7x^2+10x+12$，根据减法各部分的关系：被减数=差+减数，所以只需将错误结果与已知的$B$相加，再合并同类项即可求出$A$。
(2) 已经求出$A$的表达式，且$B$已知，直接将$A$、$B$代入$A-2B$中，先根据乘法分配律计算2与$B$的乘积，再去括号（注意括号前是负号时，括号内每一项都要变号），最后合并同类项就能得到结果。
【解析】
(1) 根据题意得$A - B = -7x^2 + 10x + 12$，因此：
$\begin{aligned}A&=(A-B)+B\\&=(-7x^2 + 10x + 12)+(4x^2 - 5x - 6)\\&=-7x^2 + 10x + 12 + 4x^2 - 5x - 6\\&=-3x^2 + 5x + 6\end{aligned}$
(2) 将$A=-3x^2 + 5x + 6$，$B=4x^2 - 5x - 6$代入$A-2B$：
$\begin{aligned}A-2B&=(-3x^2 + 5x + 6)-2(4x^2 - 5x - 6)\\&=-3x^2 + 5x + 6 - 8x^2 + 10x + 12\\&=-11x^2 + 15x + 18\end{aligned}$
【答案】
(1) $A=-3x^2 + 5x + 6$；(2) $A-2B=-11x^2 + 15x + 18$
【知识点】
整式的加减，去括号法则，合并同类项
【点评】
本题属于整式加减的常规应用题型，核心是利用错误的运算关系反推未知多项式，运算时需注意去括号的符号变化，以及系数乘多项式时不要漏乘项，是巩固整式加减运算的典型习题。
【难度系数】
0.75

11.小刚同学由于粗心，把“$A+B$”看成了“$A-B$”，算出$A-B$的结果为$5x^2 -9xy +6y^2$，其中$B=-2x^2 +3xy -5y^2$。
(1)求$A+B$的正确结果；
(2)当$(x-2)^2 + |y+1|=0$时，求$A+B$的值。

解：
(1) 由题意得：
$A+B = (A-B) + 2B$
将$A-B=5x^2-9xy+6y^2$，$B=-2x^2+3xy-5y^2$代入得：
$\begin{aligned}A+B&=5x^2 -9xy +6y^2 + 2(-2x^2 +3xy -5y^2)\\&=5x^2 -9xy +6y^2 -4x^2 +6xy -10y^2\\&=x^2 -3xy -4y^2\end{aligned}$
(2) $\because (x-2)^2 ≥ 0$，$|y+1| ≥ 0$，且$(x-2)^2 + |y+1| = 0$
$\therefore x-2 = 0$，$y+1 = 0$
解得 $x=2$，$y=-1$
将$x=2$，$y=-1$代入$A+B=x^2 -3xy -4y^2$得：
$\begin{aligned}A+B&=2^2 - 3×2×(-1) -4×(-1)^2\\&=4 + 6 - 4\\&=6\end{aligned}$

【分析】
(1) 已知A-B的运算结果和B的表达式，要计算A+B，可利用整式的变形关系：A+B = (A-B) + 2B，无需单独求解A，直接代入已知的整式，再通过去括号、合并同类项即可得到正确结果；也可先通过A=(A-B)+B求出A的表达式，再计算A+B。
(2) 观察到等式为平方与绝对值的和为0，根据平方和绝对值的非负性，两个非负数相加得0时，两个非负数各自为0，据此可求出x、y的值，再代入(1)中得到的A+B的代数式计算即可。
【解析】
(1) 由题意得$A+B = (A-B) + 2B$，将$A-B=5x^2-9xy+6y^2$，$B=-2x^2+3xy-5y^2$代入：
$\begin{aligned}A+B&=5x^2 -9xy +6y^2 + 2(-2x^2 +3xy -5y^2)\\&=5x^2 -9xy +6y^2 -4x^2 +6xy -10y^2\\&=x^2 -3xy -4y^2\end{aligned}$
(2) $\because (x-2)^2 ≥ 0$，$|y+1| ≥ 0$，且$(x-2)^2 + |y+1| = 0$
$\therefore x-2 = 0$，$y+1 = 0$
解得 $x=2$，$y=-1$
将$x=2$，$y=-1$代入$A+B=x^2 -3xy -4y^2$得：
$\begin{aligned}A+B&=2^2 - 3×2×(-1) -4×(-1)^2\\&=4 + 6 - 4\\&=6\end{aligned}$
【答案】
(1) $x^2 - 3xy - 4y^2$；(2) $6$
【知识点】
整式的加减；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题是整式加减的常考题型，解题核心是理清错误运算和正确运算的数量关系，同时要熟练掌握非负数的性质，计算过程中注意去括号的符号变化，避免合并同类项时出现失误。
【难度系数】
0.8