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11. [2025邯郸模拟] 在下列各等式的括号中填入$t^3$，等式成立的是（
A.$t^3 · (\ ) = 2t^3$
B.$t^2 · (\ ) = t^6$
C.$t^2 · (\ ) + t^5 = 2t^5$
D.$t^5 ÷ (\ ) + t^6 = 2t^6$
C
）A.$t^3 · (\ ) = 2t^3$
B.$t^2 · (\ ) = t^6$
C.$t^2 · (\ ) + t^5 = 2t^5$
D.$t^5 ÷ (\ ) + t^6 = 2t^6$
答案
11. C A选项,$t^3 · t^3 =t^6≠2t^3$;B选项,$t^2 · t^3 =t^5≠t^6$;C选项,$t^2 · t^3 +t^5 =t^5 +t^5=2t^5$;D选项,$t^5 ÷t^3 +t^6 =t^2 +t^6≠2t^6$。
12. [2025 衡水四中月考] $L = \frac{\overbrace{k · k · k · \dots · k}^{n个k}}{\underbrace{3 + 3 + \dots + 3}_{k个3}} = (\quad)$
A.$\frac{k^n}{3^k}$
B.$\frac{k^n}{3}$
C.$\frac{k^{n-1}}{3}$
D.$\frac{k}{3^k}$
A.$\frac{k^n}{3^k}$
B.$\frac{k^n}{3}$
C.$\frac{k^{n-1}}{3}$
D.$\frac{k}{3^k}$
答案
12. C $L=\frac{\overbrace{k · k · k · \dots · k}^{n个k}}{\underbrace{3 + 3 + \dots + 3}_{k个3}}=\frac{k^n}{3k}=\frac{k^{n-1}}{3}$。
13. 计算 $16^m ÷ 4^n ÷ 2$ 的结果为（
A.$2^{m - n - 1}$
B.$2^{2m - n - 1}$
C.$2^{3m - 2n - 1}$
D.$2^{4m - 2n - 1}$
D
）A.$2^{m - n - 1}$
B.$2^{2m - n - 1}$
C.$2^{3m - 2n - 1}$
D.$2^{4m - 2n - 1}$
答案
13. D $16^m ÷4^n ÷2=2^{4m}÷2^{2n}÷2=2^{4m-2n-1}$。
14.若$2^x = 3,2^{2x - 4y} = 36,16^y = m$,则m的值为
$\frac{1}{4}$
.答案
14. $\frac{1}{4}$ $\because 2^{2x-4y}=2^{2x}÷2^{4y}=(2^x)^2÷16^y=3^2÷m=9÷m=36,\therefore m=\frac{1}{4}$。
15. 新情境 [2025开封期中] 某科技馆“数字宇宙”展厅的Wi-Fi(移动热点)密码被设计成一道数学题,小星在参观时成功破解该密码并顺利连接网络,则该密码是
账号:KJGSZYZ
密码:前四位是HNST,后四位是
$[a^{16}b^{8}c^{8}]=1688,[a^{2}bc· a^{4}b]=621$,
$[(a^{6})^{4}b^{5}c^{7}÷ a^{4}b^{3}c]=$?
微专题 一题练透 幂的
HNST2026
.账号:KJGSZYZ
密码:前四位是HNST,后四位是
2026
?.$[a^{16}b^{8}c^{8}]=1688,[a^{2}bc· a^{4}b]=621$,
$[(a^{6})^{4}b^{5}c^{7}÷ a^{4}b^{3}c]=$?
微专题 一题练透 幂的
答案
15. HNST2026 根据$[a^{16}b^8c^8]=1688,[a^2bc · a^4b]=[a^6b^2c]=621$可得,规律是按照a,b,c的顺序排列它们的指数,$\therefore [(a^6)^4b^5c^7 ÷a^4b^3c]=[a^{24}b^5c^7 ÷a^4b^3c]=[a^{20}b^2c^6]=2026,\therefore$该密码是HNST2026。
已知$ p^m = 3, p^{2m + n} = 243 $。
(1)求$ p^n $的值；
(2)求$ m,n $之间的数量关系；
(1)求$ p^n $的值；
(2)求$ m,n $之间的数量关系；
答案
解:(1)$\because p^{2m+n}=243,\therefore p^{2m} · p^n=(p^m)^2 · p^n=243$。
$\because p^m=3,\therefore 3^2 · p^n=243,\therefore p^n=243÷9=27$。
(2)$\because p^m=3,p^n=27$,
$\therefore p^n=3^3=(p^m)^3=p^{3m},\therefore 3m=n$。
$\because p^m=3,\therefore 3^2 · p^n=243,\therefore p^n=243÷9=27$。
(2)$\because p^m=3,p^n=27$,
$\therefore p^n=3^3=(p^m)^3=p^{3m},\therefore 3m=n$。
16. 一题多解 计算：$8^6 × (-\dfrac{1}{2})^{17}$
答案
16. 解:
通解 $8^6 × (-\frac{1}{2})^{17}=8^6 × (-\frac{1}{2^{17}})=-8^6 × \frac{1}{2^{17}}=-\frac{8^6}{2^{17}}=-\frac{262144}{131072}=-2$。
优解1(同底数幂的除法) $8^6 × (-\frac{1}{2})^{17}=(2^3)^6 × (-\frac{1}{2^{17}})=2^{18} × (-\frac{1}{2^{17}})=-\frac{2^{18}}{2^{17}}=-2$。
优解2(幂的乘方与积的乘方的运算法则的逆用) $8^6 × (-\frac{1}{2})^{17}=(2^3)^6 × (-\frac{1}{2})^{17}=2^{18} × (-\frac{1}{2})^{17}=2^{17} × (-\frac{1}{2})^{17} ×2=(-2×\frac{1}{2})^{17} ×2=(-1)×2=-2$。
通解 $8^6 × (-\frac{1}{2})^{17}=8^6 × (-\frac{1}{2^{17}})=-8^6 × \frac{1}{2^{17}}=-\frac{8^6}{2^{17}}=-\frac{262144}{131072}=-2$。
优解1(同底数幂的除法) $8^6 × (-\frac{1}{2})^{17}=(2^3)^6 × (-\frac{1}{2^{17}})=2^{18} × (-\frac{1}{2^{17}})=-\frac{2^{18}}{2^{17}}=-2$。
优解2(幂的乘方与积的乘方的运算法则的逆用) $8^6 × (-\frac{1}{2})^{17}=(2^3)^6 × (-\frac{1}{2})^{17}=2^{18} × (-\frac{1}{2})^{17}=2^{17} × (-\frac{1}{2})^{17} ×2=(-2×\frac{1}{2})^{17} ×2=(-1)×2=-2$。
17. 运算能力 逆用同底数幂相除的运算性质，能够解决一些从正面考虑较难的问题.
例:若$10^{x}=5$,求$10^{1-x}$的值.
解:$\because 10^{x}=5,\therefore 10^{1-x}=10^{1}÷ 10^{x}=10÷ 5=2$. (逆用$a^{m}÷ a^{n}=a^{m-n}$)
当$4^{x}=9$时,求$2^{1-2x}$的值.
例:若$10^{x}=5$,求$10^{1-x}$的值.
解:$\because 10^{x}=5,\therefore 10^{1-x}=10^{1}÷ 10^{x}=10÷ 5=2$. (逆用$a^{m}÷ a^{n}=a^{m-n}$)
当$4^{x}=9$时,求$2^{1-2x}$的值.
答案
17. 解:$\because 4^x=9,\therefore 2^{2x}=9,\therefore 2^{1-2x}=2÷2^{2x}=2÷9=\frac{2}{9}$。
【回顾与思考】如何进行幂的相关运算？你是怎样得到这些运算法则的？这些运算法则有什么应用？与数的运算有什么联系？
答案 P08
的运算法则的应用
(3)求$p^{2n} ÷ p^{3m}$的值；
(4)若$(p - 1)^3 - 3 = 5$，求$4n -5m$的值。
答案 P08
的运算法则的应用
(3)求$p^{2n} ÷ p^{3m}$的值；
(4)若$(p - 1)^3 - 3 = 5$，求$4n -5m$的值。
答案
(3)$p^{2n} ÷ p^{3m}=p^{2n-3m}=p^{2n-n}=p^n=27$。
(4)$\because (p-1)^3 -3=5,\therefore (p-1)^3=8=2^3$,
$\therefore p-1=2$,解得$p=3$。
$\because p^m=3,p^n=27,\therefore 3^m=3,3^n=27=3^3$,
$\therefore m=1,n=3,\therefore 4n-5m=7$。
(4)$\because (p-1)^3 -3=5,\therefore (p-1)^3=8=2^3$,
$\therefore p-1=2$,解得$p=3$。
$\because p^m=3,p^n=27,\therefore 3^m=3,3^n=27=3^3$,
$\therefore m=1,n=3,\therefore 4n-5m=7$。
