9.【跨学科】已知在平面内，反射光线与入射光线关于法线左右对称.如图，若一束光线从点A(1,3)射入，经x轴上的点B(2,0)沿射线BC方向反射出去，则反射光线BC所在直线的函数表达式为（）

A.$y=2x-1$
B.$y=-3x+6$
C.$y=3x-6$
D.$y=-2x+1$

9.C

【分析】
这是一道跨学科结合题，我们可以按以下思路求解：首先根据光的反射规律，经x轴反射的光线，其反向延长线会经过入射点关于x轴的对称点，因此反射光线BC会经过点A关于x轴的对称点与点B；接下来我们只需要得到这两个点的坐标，再用待定系数法就能求出直线BC的函数表达式。
【解析】
1. 求点A关于x轴的对称点坐标：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数，已知A(1,3)，因此其对称点为A'(1,-3)。
2. 根据反射性质可知，反射光线BC经过点A'(1,-3)和B(2,0)。
3. 设直线BC的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），将A'(1,-3)、B(2,0)代入表达式，得到方程组：
$\begin{cases} k + b = -3 \\ 2k + b = 0 \end{cases}$
4. 解方程组：用第二个方程减去第一个方程，得$k=3$，将$k=3$代入$k+b=-3$，解得$b=-6$。
因此直线BC的函数表达式为$y=3x-6$。
【答案】
C
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式、轴对称的性质、光的反射规律
【点评】
本题结合了物理光的反射知识与数学一次函数的相关内容，解题的关键是利用反射性质确定反射光线上的两个已知点，再用待定系数法求解，很好地考查了跨学科知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

10.(分类讨论思想)已知一次函数 $y=kx+b(k≠0)$中，当自变量 $x$ 的取值范围是 $-3≤x≤5$ 时，对应的函数值 $y$ 的取值范围是 $-4≤y≤6$，则该一次函数的表达式为。

10.$y=\dfrac{5}{4}x-\dfrac{1}{4}$ 或 $y=-\dfrac{5}{4}x+\dfrac{9}{4}$

【分析】
一次函数的增减性由k的符号决定：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。本题未给出k的正负，因此需要分k＞0和k＜0两种情况讨论，结合x、y的取值范围确定对应的两组x、y值，再用待定系数法代入y=kx+b求解k、b的值，即可得到函数表达式。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$k＞0$时，y随x的增大而增大
∴当$x=-3$时，$y=-4$；当$x=5$时，$y=6$
将两组值代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} -3k + b = -4 \\ 5k + b = 6 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得：$8k=10$，解得$k=\frac{5}{4}$
将$k=\frac{5}{4}$代入$-3k + b = -4$，得：$-3×\frac{5}{4} + b = -4$，解得$b=-\frac{1}{4}$
此时函数表达式为$y=\frac{5}{4}x - \frac{1}{4}$
② 当$k＜0$时，y随x的增大而减小
∴当$x=-3$时，$y=6$；当$x=5$时，$y=-4$
将两组值代入$y=kx+b$得：
$\begin{cases} -3k + b = 6 \\ 5k + b = -4 \end{cases}$
用第二个方程减第一个方程，得：$8k=-10$，解得$k=-\frac{5}{4}$
将$k=-\frac{5}{4}$代入$-3k + b = 6$，得：$-3×(-\frac{5}{4}) + b = 6$，解得$b=\frac{9}{4}$
此时函数表达式为$y=-\frac{5}{4}x + \frac{9}{4}$
【答案】
$y=\dfrac{5}{4}x-\dfrac{1}{4}$ 或 $y=-\dfrac{5}{4}x+\dfrac{9}{4}$
【知识点】
一次函数的性质；待定系数法求解析式；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略k的符号不确定，只考虑k＞0的情况导致漏解，解题时要结合一次函数增减性分情况讨论，再通过待定系数法求解参数即可。
【难度系数】
0.6

11.(蜀山区期末)已知，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过A(-2,4),B(1,1).
(1)则该一次函数的解析式为;
(2)若直线$y=kx(k≠0)$与线段AB有公共点，则k的取值范围为.

11.(1)$y=-x+2$
(2)$k≥1$ 或 $k≤-2$

【分析】
(1) 求一次函数解析式可使用待定系数法，先设出一次函数的一般形式$y=kx+b(k≠0)$，再将已知的两个点A、B的坐标代入，得到关于k、b的二元一次方程组，解出k、b的值即可得到解析式。
(2) 直线$y=kx$是过原点的直线，要和线段AB有公共点，先找临界情况：直线恰好经过A点、恰好经过B点时的k值，再结合一次函数图象的倾斜规律分析k的取值范围即可。
【解析】
(1) 设该一次函数的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，
将$A(-2,4)$、$B(1,1)$代入解析式，得：
$\begin{cases} -2k + b = 4 \\ k + b = 1 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去b，得$3k=-3$，解得$k=-1$，
把$k=-1$代入$k+b=1$，得$b=2$，
因此该一次函数的解析式为$y=-x+2$。
(2) 当直线$y=kx$经过点$A(-2,4)$时，代入得$4=-2k$，解得$k=-2$；
当直线$y=kx$经过点$B(1,1)$时，代入得$1=k×1$，解得$k=1$；
结合图象分析：过原点的直线$y=kx$，当$k≥1$时，直线逆时针倾斜程度变大，会与线段AB相交；当$k≤-2$时，直线顺时针倾斜程度变大，会与线段AB相交，因此k的取值范围是$k≥1$或$k≤-2$。
【答案】
(1) $y=-x+2$；(2) $k≥1$ 或 $k≤-2$
【知识点】
待定系数法求解析式；一次函数图象性质；一次函数交点问题
【点评】
本题第一问是基础的待定系数法应用，熟练掌握二元一次方程组解法即可得分；第二问需要结合图象分析临界状态，注意区分k的取值范围，避免出现范围写反或漏解的问题。
【难度系数】
0.6

12.如图,已知一次函数$y=kx+b$的图象经过$A(-2,-1),B(1,3)$两点,并且交$x$轴于点$C$,交$y$轴于点$D$.
(1)求该一次函数的表达式；
(2)求三角形$DOC$的面积.

12. (1)解:把$(-2,-1),(1,3)$代入,得$\begin{cases}-1=-2k+b,\\3=k+b,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=\dfrac{4}{3},\\b=\dfrac{5}{3}.\end{cases}$
∴该一次函数的表达式为 $y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{3}.$
(2)由 $y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{3}$,得 $C(-\dfrac{5}{4},0),D(0,\dfrac{5}{3}),\therefore OC=\dfrac{5}{4}$,$OD=\dfrac{5}{3}$,$\therefore S_{\mathrm{三角形}DOC}=\dfrac{1}{2}OC· OD=\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{4}×\dfrac{5}{3}=\dfrac{25}{24}.$

【分析】
(1) 求一次函数表达式可采用待定系数法，已知函数图象经过两个定点，将两点坐标代入一次函数一般式$y=kx+b$，即可得到关于系数$k$、$b$的二元一次方程组，求解方程组得到$k$、$b$的取值就能确定函数表达式。
(2) $△ DOC$的顶点均在坐标轴上，$∠ DOC$为直角，因此OC、OD是三角形的两条直角边。只需要先求出一次函数与x轴交点C、与y轴交点D的坐标，得到OC、OD的长度，再代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 将$A(-2,-1)$、$B(1,3)$代入$y=kx+b$，得到方程组：
$\begin{cases}-1=-2k+b\\3=k+b\end{cases}$
用第二个方程减第一个方程消去$b$，得$4=3k$，解得$k=\dfrac{4}{3}$；
将$k=\dfrac{4}{3}$代入$3=k+b$，解得$b=\dfrac{5}{3}$。
因此该一次函数的表达式为$y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{3}$。
(2) 求点C坐标：令$y=0$，代入$y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{3}$，得$0=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{3}$，解得$x=-\dfrac{5}{4}$，即$C(-\dfrac{5}{4},0)$，可得$OC=\dfrac{5}{4}$；
求点D坐标：令$x=0$，代入$y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{3}$，得$y=\dfrac{5}{3}$，即$D(0,\dfrac{5}{3})$，可得$OD=\dfrac{5}{3}$。
根据直角三角形面积公式：
$S_{△ DOC}=\dfrac{1}{2}× OC× OD=\dfrac{1}{2}×\dfrac{5}{4}×\dfrac{5}{3}=\dfrac{25}{24}$。
【答案】
(1) $y=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{5}{3}$
(2) $\dfrac{25}{24}$
【知识点】
待定系数法求一次函数表达式；一次函数与坐标轴的交点；三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数的基础常考题，核心考查待定系数法的应用，以及一次函数与坐标轴交点的求解方法，解题时需注意坐标转换为线段长度时要取绝对值，分数运算时仔细计算即可避免失分。
【难度系数】
0.75

1.若一次函数$y=kx+b$的图象与直线$y=3x+4$平行，且过点$(1,-2)$，则此一次函数的表达式为（）

A.$y=3x+1$
B.$y=3x+5$
C.$y=3x-2$
D.$y=3x-5$

1.D

【分析】
要解这道题可分两步思考：第一步，回忆一次函数图象平行的性质，两条互相平行的一次函数图象，它们的一次项系数k相等，因此可以先确定所求函数的k值；第二步，已知函数图象经过定点，用待定系数法，把点的坐标代入含k和b的函数表达式，求出b的值，就能得到完整的一次函数表达式，再对应选项即可。
【解析】
解：
∵ 一次函数$y=kx+b$的图象与直线$y=3x+4$平行，
∴ 两个一次函数的一次项系数相等，即$k=3$，
∴ 该一次函数的表达式可写为$y=3x+b$。
又
∵ 函数图象过点$(1,-2)$，
∴ 将$x=1$，$y=-2$代入$y=3x+b$，得：
$-2 = 3×1 + b$，
解得$b=-2-3=-5$，
∴ 此一次函数的表达式为$y=3x-5$。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
1.一次函数平行的性质 2.待定系数法求一次函数表达式
【点评】
本题是一次函数的基础题型，解题的核心是掌握两直线平行时k值相等的性质，结合待定系数法即可快速求解，需要熟练掌握该类题型的解题逻辑。
【难度系数】
0.8

2.如图，一次函数$y=-\dfrac{1}{2}x+5$的图象$l_1$分别与$x,y$轴交于$A,B$两点，正比例函数的图象$l_2$与$l_1$相交于$C(m,4)$。
(1)求$m$的值及$l_2$的表达式；
(2)(分类讨论思想)一次函数$y=kx+1$的图象为$l_3$，且$l_1,l_2,l_3$不能围成三角形，直接写出$k$的值.(提示:分情况讨论)

2. (1)解:把 $C(m,4)$代入 $y=-\dfrac{1}{2}x+5$,得 $4=-\dfrac{1}{2}m+5$,解得 $m=2$,$\therefore C(2,4)$.设 $l_2$ 的表达式为 $y=ax$,则 $4=2a$,解得 $a=2$. $\therefore l_2$ 的表达式为 $y=2x.$
(2)$k=\dfrac{3}{2}$ 或 $2$ 或 $-\dfrac{1}{2}.$

【分析】
(1) 已知点C在直线$l_1$上，将C点坐标代入$l_1$的解析式即可求出m的值，得到C点完整坐标；$l_2$是正比例函数，形式为$y=ax$，再将C点坐标代入即可求出a，得到$l_2$的表达式。
(2) 三条直线不能围成三角形共有三种情况：①$l_3$与$l_1$平行，两直线无交点，无法围成三角形；②$l_3$与$l_2$平行，同理无法围成三角形；③$l_3$经过$l_1$和$l_2$的交点C，三条直线交于同一点，无法围成三角形，分三种情况分别计算k的值即可。
【解析】
(1) 把$C(m,4)$代入$y=-\dfrac{1}{2}x+5$，得：
$4=-\dfrac{1}{2}m+5$
解得$m=2$，即$C(2,4)$。
设$l_2$的表达式为$y=ax(a≠0)$，把$C(2,4)$代入得：
$4=2a$
解得$a=2$，因此$l_2$的表达式为$y=2x$。
(2) 分三种情况讨论：
① 当$l_3 // l_1$时，两直线斜率相等，即$k=-\dfrac{1}{2}$，此时无法围成三角形；
② 当$l_3 // l_2$时，两直线斜率相等，即$k=2$，此时无法围成三角形；
③ 当$l_3$过点$C(2,4)$时，把$C(2,4)$代入$y=kx+1$，得：
$4=2k+1$，解得$k=\dfrac{3}{2}$，此时三条直线交于同一点，无法围成三角形。
综上，k的值为$\dfrac{3}{2}$或$2$或$-\dfrac{1}{2}$。
【答案】
(1) $m=2$，$l_2$的表达式为$y=2x$；
(2) $k=\dfrac{3}{2}$或$2$或$-\dfrac{1}{2}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数性质，分类讨论思想
【点评】
本题第一问属于基础题，考查点在函数图象上的性质和待定系数法求解析式；第二问需要全面梳理三条直线无法围成三角形的所有情况，避免漏解，能有效考查思维的严谨性。
【难度系数】
0.6