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7.如图,一次函数$y=kx+4$的图象与反比例函数$y=\frac{m}{x}(x＜0)$的图象交于A,B两点,与y轴交于点C,连接OA,OB,已知点$B(-1,3)$.
(1)求k和m的值;
(2)求$△ AOB$的面积.
(1)求k和m的值;
(2)求$△ AOB$的面积.
答案
7. 解 (1)
∵点 B(-1,3)在一次函数 $y=kx+4$ 与反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}(x＜0)$ 的图象上,
∴$3=-k+4,3=\dfrac{m}{-1}$,
∴k=1,m=-3.
(2)由(1)知一次函数的解析式为 y=x+4,反比例函数的解析式为 $y=-\dfrac{3}{x}$.
由$\begin{cases} y=x+4, \\ y=-\dfrac{3}{x}, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=-1, \\ y=3, \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=-3, \\ y=1. \end{cases}$
∴A(-3,1).
∵一次函数 y=x+4 的图象与 y 轴交于点 C,
∴C(0,4),
∴$S_{△AOB}=S_{△AOC}-S_{△BOC}=\dfrac{1}{2}×4×3-\dfrac{1}{2}×4×1=4$.
∵点 B(-1,3)在一次函数 $y=kx+4$ 与反比例函数 $y=\dfrac{m}{x}(x＜0)$ 的图象上,
∴$3=-k+4,3=\dfrac{m}{-1}$,
∴k=1,m=-3.
(2)由(1)知一次函数的解析式为 y=x+4,反比例函数的解析式为 $y=-\dfrac{3}{x}$.
由$\begin{cases} y=x+4, \\ y=-\dfrac{3}{x}, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=-1, \\ y=3, \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=-3, \\ y=1. \end{cases}$
∴A(-3,1).
∵一次函数 y=x+4 的图象与 y 轴交于点 C,
∴C(0,4),
∴$S_{△AOB}=S_{△AOC}-S_{△BOC}=\dfrac{1}{2}×4×3-\dfrac{1}{2}×4×1=4$.
8. 已知反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0)$，当$2≤ x≤3$时，$y$的最大值为$a$，则当$-2≤ x≤-1$时，$y$有(
A.最大值$-2a$
B.最小值$-2a$
C.最小值$-a$
D.最大值$-\frac{a}{2}$
B
).A.最大值$-2a$
B.最小值$-2a$
C.最小值$-a$
D.最大值$-\frac{a}{2}$
答案
8. B 解析
∵$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$,
∴该反比例函数的图象在第一、第三象限,在每一个象限内,y 都随 x 的增大而减小.
∵当 2≤x≤3 时,y 的最大值是 a,
∴当 x=2 时,y=a,
∴k=2×a=2a.
当-2≤x≤-1 时,对应的反比例函数图象在第三象限,
∴当 x=-2 时,函数有最大值,此时 $y=\dfrac{2a}{-2}=-a$,当 x=-1 时,函数有最小值,此时 $y=\dfrac{2a}{-1}=-2a$.
故选 B.
∵$y=\dfrac{k}{x}(k＞0)$,
∴该反比例函数的图象在第一、第三象限,在每一个象限内,y 都随 x 的增大而减小.
∵当 2≤x≤3 时,y 的最大值是 a,
∴当 x=2 时,y=a,
∴k=2×a=2a.
当-2≤x≤-1 时,对应的反比例函数图象在第三象限,
∴当 x=-2 时,函数有最大值,此时 $y=\dfrac{2a}{-2}=-a$,当 x=-1 时,函数有最小值,此时 $y=\dfrac{2a}{-1}=-2a$.
故选 B.
9. 如图，点P，Q是反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB，QM，△ABP的面积记为$S_1$，△QMN的面积记为$S_2$，则$S_1\_\_\_\_\_\_S_2$.（填“＞”“＜”或“=”）
答案
9. = 解析 设 PM 与 BQ 相交于点 C,则有 $S_{矩形AOMP}=S_{矩形BONQ}$,即 $S_{矩形ABCP}=S_{矩形MNQC}$,故 $S_1=S_2$.
10.如图,四边形ABOC是菱形,点B在x轴的负半轴上,CD⊥x轴,垂足为D,反比例函数$y=\frac{k}{x}(x＜0)$的图象经过点C.若菱形ABOC的面积为20,CD=4,则k的值为
-12
.答案
10. -12 解析 由题意知 $BO·CD=20$,CD=4,
∴$BO=\dfrac{20}{4}=5$.
∵四边形 ABOC 是菱形,
∴OC=BO=5.
∴$OD=\sqrt{OC^2-CD^2}=3$,
∴点 C 的坐标为(-3,4).
∵反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＜0)$ 的图象经过点 C,
∴k=-3×4=-12.
∴$BO=\dfrac{20}{4}=5$.
∵四边形 ABOC 是菱形,
∴OC=BO=5.
∴$OD=\sqrt{OC^2-CD^2}=3$,
∴点 C 的坐标为(-3,4).
∵反比例函数 $y=\dfrac{k}{x}(x＜0)$ 的图象经过点 C,
∴k=-3×4=-12.
11. 如图,在平面直角坐标系中,正比例函数 $y=\frac{4}{3}x$ 的图象与反比例函数 $y=\frac{k}{x}(k≠0)$ 的图象相交于A,B两点,AC⊥x轴于点C(3,0),点D的坐标为(-1,0),连接BC,BD.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)在该反比例函数的图象上是否存在点E,使得△ACE的面积与△BCD的面积相等?若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求该反比例函数的解析式;
(2)在该反比例函数的图象上是否存在点E,使得△ACE的面积与△BCD的面积相等?若存在,请求出点E的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
11. 解 (1)
∵AC⊥x 轴于点 C(3,0),
∴点 A 的横坐标为 3.
在正比例函数 $y=\dfrac{4}{3}x$ 中,当 x=3 时,$y=\dfrac{4}{3}×3=4$,
∴A(3,4).
把 x=3,y=4 代入 $y=\dfrac{k}{x}$,得 $4=\dfrac{k}{3}$,
解得 k=12.
∴该反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{12}{x}$.
(2)存在.
联立$\begin{cases} y=\dfrac{4}{3}x, \\ y=\dfrac{12}{x}, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=-3, \\ y=-4, \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=3, \\ y=4. \end{cases}$
∴B(-3,-4).
∵D(-1,0),C(3,0),
∴CD=3-(-1)=4,AC=4-0=4,
∴$S_{△BCD}=\dfrac{1}{2}CD·|y_B|=\dfrac{1}{2}×4×|-4|=8$,$S_{△ACE}=\dfrac{1}{2}AC·|x_C-x_E|=\dfrac{1}{2}×4×|3-x_E|=2×|3-x_E|$.
∵△ACE 的面积与△BCD 的面积相等,
∴2×|3-x_E|=8,
解得 $x_E=-1$,或 $x_E=7$.
∵点 E 在反比例函数 $y=\dfrac{12}{x}$ 的图象上,
∴当 $x_E=-1$ 时,$y_E=-12$,当 $x_E=7$ 时,$y_E=\dfrac{12}{7}$.
∴点 E 的坐标为(-1,-12)或 $(7,\dfrac{12}{7})$.
∵AC⊥x 轴于点 C(3,0),
∴点 A 的横坐标为 3.
在正比例函数 $y=\dfrac{4}{3}x$ 中,当 x=3 时,$y=\dfrac{4}{3}×3=4$,
∴A(3,4).
把 x=3,y=4 代入 $y=\dfrac{k}{x}$,得 $4=\dfrac{k}{3}$,
解得 k=12.
∴该反比例函数的解析式为 $y=\dfrac{12}{x}$.
(2)存在.
联立$\begin{cases} y=\dfrac{4}{3}x, \\ y=\dfrac{12}{x}, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=-3, \\ y=-4, \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x=3, \\ y=4. \end{cases}$
∴B(-3,-4).
∵D(-1,0),C(3,0),
∴CD=3-(-1)=4,AC=4-0=4,
∴$S_{△BCD}=\dfrac{1}{2}CD·|y_B|=\dfrac{1}{2}×4×|-4|=8$,$S_{△ACE}=\dfrac{1}{2}AC·|x_C-x_E|=\dfrac{1}{2}×4×|3-x_E|=2×|3-x_E|$.
∵△ACE 的面积与△BCD 的面积相等,
∴2×|3-x_E|=8,
解得 $x_E=-1$,或 $x_E=7$.
∵点 E 在反比例函数 $y=\dfrac{12}{x}$ 的图象上,
∴当 $x_E=-1$ 时,$y_E=-12$,当 $x_E=7$ 时,$y_E=\dfrac{12}{7}$.
∴点 E 的坐标为(-1,-12)或 $(7,\dfrac{12}{7})$.
