5. (2024·湖北武汉中考)分式方程$\frac{x}{x-3}=\frac{x+1}{x-1}$的解是.

5.$x=-3$ 【解析】去分母,得$x^2-x=x^2-2x-3$.
解得$x=-3$.
检验:当$x=-3$时,$(x-1)(x-3)≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=-3$.

6. 解方程：
(1)$\frac{2}{x^2 -1} + \frac{x}{x -1}=1$；
(2)$\frac{x}{3x -1}=2 - \frac{1}{1 -3x}$；
(3)$\frac{3}{4 -x} +2=\frac{1 -x}{x -4}$。

6.【解】(1)方程两边乘$(x+1)(x-1)$,得$2+x(x+1)=x^2-1$.解得$x=-3$.
检验:当$x=-3$时,$(x+1)(x-1)≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=-3$.
(2)方程两边乘$3x-1$,得$x=2(3x-1)+1$.
解得$x=\frac{1}{5}$.
检验:当$x=\frac{1}{5}$时,$3x-1≠0$,
所以,原分式方程的解为$x=\frac{1}{5}$.
(3)方程两边乘$x-4$,得$-3+2(x-4)=1-x$.解得$x=4$.
检验:当$x=4$时,$x-4=0$,
因此$x=4$不是原分式方程的解.
所以,原分式方程无解.

7.(2024·四川达州中考)若关于$x$的方程$\dfrac{3}{x-2} - \dfrac{kx-1}{x-2}=1$无解，则$k$的值为。

7.2或-1 【解析】去分母,得$3-(kx-1)=x-2$,
整理,得$(k+1)x=6$.
①当$x-2=0$,即$x=2$时,原分式方程的分母为0,方程无解,则$(k+1)x=6$即为$2(k+1)=6$,所以$k=2$时方程无解;
②当$k+1=0$,即$k=-1$时,方程$(k+1)x=6$无解.
综上可知,$k$的值为2或$-1$.

8.(2024·黑龙江牡丹江中考)若关于x的分式方程$\frac{x}{x-1}=3-\frac{mx}{1-x}$的解为正整数，则整数m的值为.

8.$-1$ 【解析】$\frac{x}{x-1}=3-\frac{mx}{1-x}$,即$\frac{x}{x-1}=3+\frac{mx}{x-1}$,
去分母,得$x=3(x-1)+mx$,
移项、合并同类项,得$(2+m)x=3$,
解得$x=\frac{3}{2+m}$.
因为方程的解是正整数,所以$2+m=1$或$2+m=3$,解得$m=-1$或$m=1$.又因为$x-1≠0$,所以$x≠1$,所以$\frac{3}{2+m}≠1$,所以$m≠1$,所以$m=-1$.

9. 阅读材料:关于$x$的分式方程$x+\frac{1}{x}=c+\frac{1}{c}$的解是$x_1=c,x_2=\frac{1}{c}$；
$x-\frac{1}{x}=c-\frac{1}{c}$(即$x+\frac{-1}{x}=c+\frac{-1}{c}$)的解
是$x_1=c,x_2=-\frac{1}{c}$；
$x+\frac{2}{x}=c+\frac{2}{c}$的解是$x_1=c,x_2=\frac{2}{c}$；
$x+\frac{3}{x}=c+\frac{3}{c}$的解是$x_1=c,x_2=\frac{3}{c}$；
……
(1)请观察上述方程与解的特征,猜想关于$x$的方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m≠0)$的解是什么?并利用“方程的解”的概念进行验证.
(2)根据以上的规律方法解关于$x$的方程:

9.【解】(1)关于$x$的方程$x+\frac{m}{x}=c+\frac{m}{c}(m≠0)$的解为$x_1=c,x_2=\frac{m}{c}$.
验证:把$x=c$代入方程,得左边$=c+\frac{m}{c}$,右边$=c+\frac{m}{c}$,即左边=右边,符合题意;
把$x=\frac{m}{c}$代入方程,得左边$=\frac{m}{c}+\frac{m}{\frac{m}{c}}=c+\frac{m}{c}=$右边,即左边=右边,符合题意.
(2)因为$x+\frac{2}{x-1}=a+\frac{2}{a-1}$,
所以$x-1+\frac{2}{x-1}=a-1+\frac{2}{a-1}$,
所以$x_1-1=a-1,x_2-1=\frac{2}{a-1}$,
所以$x_1=a,x_2=\frac{a+1}{a-1}(或1+\frac{2}{a-1})$.