8. 如图，$△ ABC$ 的顶点 A 在 $∠ EOD$ 的边 OD上，B，C 在 $∠ EOD$ 内部，分别以 OE，OD 为对称轴作 $△ ABC$ 的轴对称图形.

8. 【解】如图，$△A'B'C'$和$△A''B''C''$分别为以OE，OD为对称轴所求作的轴对称图形。

9. 如图①，$△ ABC$和$△ DEF$的顶点都在正方形网格中的格线的交点上，我们把这样的三角形叫作“格点三角形”。
(1)在图①的$3×3$正方形网格中，格点三角形$ABC$和格点三角形$DEF$关于某条直线成轴对称，请画出图①中的对称轴；
(2)请你利用轴对称的原理在图②、图③、图④中分别画出一个与图①位置不同且与$△ ABC$成轴对称的格点三角形$DEF$。

9. 【解】(1)如图①所示，直线$l$即为所求。
(2)如图②③④所示，$△DEF$即为所求(答案不唯一)。

10. [2025苏州期中] 如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知△ABC的三个顶点均在格点上。
(1)画出△ABC关于直线l对称的△A₁B₁C₁；
(2)在直线l上找一点P，使PA+PB的长最短；
(3)求△A₁B₁C₁的面积。

10. 【解】(1)如图①，$△A_1B_1C_1$即为所求。
(2)如图②，点$P$即为所求。
(3)$△A_1B_1C_1$的面积为 $2×4-\frac{1}{2}×1×2-\frac{1}{2}×1×3-\frac{1}{2}×1×4=\frac{7}{2}$。

11. 如图①，已知凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD = ∠APB = α，且∠BPC = ∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.
(1)在图②正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β；
(2)在四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹(不需写出画法)；
(3)若四边形ABCD有两个半等角点$P_1$，$P_2$(如图④)，请说明线段$P_1P_2$上任一点也是它的半等角点.

11. 【解】(1)所画的点$P$在$AC$上，且不是$AC$的中点和$AC$的端点即可(画图略)。
(2)如图①所示，点$P$即为所求。
(3)如图②，连接$P_1A,P_1D,P_1B,P_1C,P_2D$和$P_2B$，根据题意，得 $∠AP_1D = ∠AP_1B$，$∠DP_1C = ∠BP_1C$。
∵$∠AP_1B+∠BP_1C=180°$，
∴点$P_1$在$AC$上，同理，点$P_2$也在$AC$上。在$△DP_1P_2$ 和 $△BP_1P_2$ 中，
$\begin{cases} ∠DP_2P_1=∠BP_2P_1, \\ P_1P_2=P_1P_2, \\ ∠DP_1P_2=∠BP_1P_2, \end{cases}$
∴$△DP_1P_2≅△BP_1P_2$.
∴$DP_1=BP_1,DP_2=BP_2$,
∴$B,D$关于$AC$对称.设$P$是$P_1P_2$上任一点，连接$PD,PB$,由对称性得$∠DPA=∠BPA$，$∠DPC=∠BPC$,
∴点$P$是四边形$ABCD$的半等角点，即线段$P_1P_2$上任一点都是四边形$ABCD$的半等角点。