1.到三角形三边距离相等的点是三角形的()

A.三条中线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条高的交点
D.以上均不对

1.B

【分析】
解题时首先明确题干要求是找“到三角形三边距离相等的点”，我们需要回忆三角形各特殊线段交点的性质逐一匹配选项：首先回忆角平分线的核心性质是角平分线上的点到角两边距离相等，再对比中线、高的交点性质，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
我们逐一分析各选项：
1. 选项A：三角形三条中线的交点是重心，重心的性质是到顶点的距离为到对边中点距离的2倍，不满足到三边距离相等，故A错误；
2. 选项B：根据角平分线的性质，角平分线上的点到角的两边距离相等，三角形三条角平分线交于同一点，该点到三角形三边的距离均相等，符合题干要求，故B正确；
3. 选项C：三角形三条高的交点是垂心，不具备到三边距离相等的性质，故C错误；
4. 选项D：因为B选项正确，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 角平分线的性质
2. 三角形特殊点特征
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是区分三角形中线、角平分线、高对应的交点性质，熟记相关基础性质即可快速解题，是对几何基础概念掌握情况的常规考查。
【难度系数】
0.9

2. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$，$∠ ACB$的平分线相交于点O，下列结论正确的是 （）

A.$∠ 1＞∠ 2$
B.$∠ 1=∠ 2$
C.$∠ 1＜∠ 2$
D.$∠ 1=2∠ 2$

2.B

【分析】
解题时先梳理已知条件：题目给出△ABC中∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，要判断∠1与∠2的大小关系。首先回忆三角形角平分线的核心性质：三角形的三条内角平分线相交于同一点，因此点O必然也在∠BAC的角平分线上，即AO平分∠BAC，再结合角平分线的定义，就能直接推出∠1和∠2的大小关系。
【解析】
∵在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线相交于点O，
根据三角形三条内角平分线交于一点的性质，可得AO是∠BAC的角平分线，
由角平分线的定义可知，角平分线将角分为两个相等的角，因此∠1=∠2。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形角平分线性质，角平分线定义
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查三角形内角平分线的共点性质，只要熟练掌握该性质即可快速得出结论，解题时注意结合图形理解角平分线的作用。
【难度系数】
0.8

3. 如图,三条公路把A,B,C三个村庄连成一个三角形区域,政府决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场,要使集贸市场到三条公路的距离相等,则这个集贸市场应建在（）

A.AC,BC两边上的高线的交点处
B.AC,BC两边上的中线的交点处
C.∠A,∠B两内角平分线的交点处
D.AC,BC两边垂直平分线的交点处

3.C

【分析】
要解决这个问题，首先需要明确“到角两边距离相等的点在角的平分线上”这一核心性质。题目要求集贸市场到三条公路（即三角形三边）的距离都相等，说明该点需要同时位于三角形三个内角的平分线上。由于三角形三条内角平分线交于同一点，因此只需找到两个内角平分线的交点即可。接下来逐一辨析各选项中交点的性质，排除不符合要求的选项，就能得到正确答案。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
若要集贸市场到△ABC的三边距离相等，则该点必须同时在△ABC三个内角的角平分线上，而三角形的三条内角平分线交于一点，因此∠A、∠B两内角平分线的交点必然也在∠C的角平分线上，满足到三边距离相等的要求。
对各选项逐一分析：
A选项：AC、BC边上高线的交点是三角形的垂心，不满足到三边距离相等；
B选项：AC、BC边上中线的交点是三角形的重心，性质是分中线为2:1的两段，和到边的距离无关；
D选项：AC、BC两边垂直平分线的交点是三角形的外心，性质是到三个顶点的距离相等，不符合要求。
因此答案选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形内心定义；特殊线段交点性质
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是考查对三角形不同特殊线段交点性质的区分，解题关键是牢记角平分线的性质，注意不要混淆角平分线与垂直平分线、中线、高线的交点的不同特征。
【难度系数】
0.8

4.(教材P142练习T1变式)如图,铁路OA和OB交于点O处,河道AB与铁路分别交于A处和B处.试在河岸上AB之间建一座水厂M,要求水厂M到铁路OA,OB的距离相等,则该水厂M应建在图中什么位置?请在图中标出水厂M的位置.(不写作法,保留作图痕迹)

4.解:如图,点M即为所求。

【分析】
要确定水厂M的位置，需结合题目的两个要求分析：①M在河岸AB上；②M到铁路OA、OB的距离相等。根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知满足第二个条件的点都在∠AOB的角平分线上。因此只需作出∠AOB的角平分线，它与AB的交点就同时满足两个条件，即为所求的M点。
【解析】
根据角平分线的性质，到∠AOB两边OA、OB距离相等的点在∠AOB的角平分线上，因此作∠AOB的角平分线，该角平分线与线段AB的交点就是所求的水厂M，作图时保留角平分线的尺规作图痕迹即可。
【答案】
4.解:如图,点M即为所求。
【知识点】
角平分线的性质；尺规作角平分线；角平分线的判定
【点评】
本题属于基础作图题，核心是将“到角两边距离相等”的条件转化为找角平分线的问题，再结合点的位置限制找交点即可，考查对尺规作图和角平分线相关性质的基础应用能力。
【难度系数】
0.8

5. 如图，直线 $ l_1, l_2, l_3 $ 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 （）

A.一处
B.两处
C.三处
D.四处

（第5题图）
（第6题图）

5.D

【分析】要找到到三条相互交叉公路距离相等的点，需结合角平分线的性质思考：角平分线上的点到角两边的距离相等。首先，三条公路围成三角形的内部，三个内角的角平分线交于1点，该点到三条公路距离相等；其次在三角形外部，每两个相邻外角的角平分线也会交于一点，这类点到三条公路的距离也相等，共存在3个这样的外角交点，将两类点的数量相加即可得到总地址数。
【解析】根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
① 三条直线两两相交形成三角形，其三个内角的角平分线相交于1点，该点到三条公路的距离相等，是符合要求的地址；
② 三角形任意两个外角的角平分线相交于一点，该点到三条公路的距离也相等，此类符合要求的点共有3个。
因此符合要求的地址总共有1+3=4处。
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；三角形内外角平分线
【点评】本题容易出现的错误是仅考虑三角形内部的内角平分线交点，忽略外部的外角平分线交点，解题时要全面分析所有夹角的平分线交点，避免漏解。
【难度系数】0.6

6.如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线交于点$O$,$OD ⊥ BC$于点$D$,$△ ABC$的面积为$18$,$AB=4$,$AC=6$,$OD=2$,则$BC$的长是________.

6.8

【分析】
本题可结合角平分线的性质与三角形面积拆分求解：首先根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得出点O到△ABC三边的距离均等于OD的长度；再将△ABC的面积拆分为三个以O为顶点、分别以AB、AC、BC为底的小三角形的面积和，代入已知条件列方程即可求出BC的长度。
【解析】
过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F。
∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，
∴OE=OD=2（角平分线上的点到角两边的距离相等），
同理，CO平分∠ACB，OD⊥BC，OF⊥AC，
∴OF=OD=2。
∵$S_{△ABC}=S_{△OAB}+S_{△OAC}+S_{△OBC}$，
代入三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}×AB×OE + \frac{1}{2}×AC×OF + \frac{1}{2}×BC×OD = 18$，
将AB=4，AC=6，OD=OE=OF=2代入上式：
$\frac{1}{2}×4×2 + \frac{1}{2}×6×2 + \frac{1}{2}×BC×2 = 18$，
计算得：4 + 6 + BC = 18，
解得BC=8。
【答案】
8
【知识点】
角平分线的性质、三角形面积计算
【点评】
本题的核心是利用角平分线的性质得到点O到三边的距离相等，通过拆分大三角形面积为三个小三角形面积和建立等式，这种面积拆分法是解决角平分线与三角形面积结合类问题的常用技巧，要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

7.如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线相交于点$O$，过点$O$作$EF // BC$，交$AB$于点$E$，交$AC$于点$F$。
(1)若$AB=4$，$AC=5$，则$△ AEF$的周长是；
(2)过点$O$作$OH ⊥ BC$于点$H$，连接$OA$。当$∠ BAC=60°$时，试探究$OH$与$OA$的数量关系，并说明理由。(提示：在直角三角形中，如果一个锐角等于$30°$，那么它所对的直角边等于斜边的一半)

7.解:(1)9
(2)$OH=\frac{1}{2}OA$.理由如下:过点$O$作$OG⊥AB$于点$G$,$OQ⊥AC$于点$Q$. $\because BO$平分$∠ ABC$,$OH⊥ BC$,$OG⊥ AB$,$\therefore OH=OG$.同理可得$OH=OQ$. $\therefore OG=OQ$. $\therefore AO$平分$∠ BAC$. $\therefore ∠ GAO=\frac{1}{2}∠ BAC=30°$. $\therefore OG=\frac{1}{2}OA$,即$OH=\frac{1}{2}OA$.

【分析】
(1) 解题思路：已知BO是∠ABC的平分线，且EF//BC，可推出∠EOB=∠OBC=∠EBO，根据等角对等边得EO=EB，同理可得FO=FC，因此△AEF的周长可转化为AB与AC的长度和，代入数值即可计算。
(2) 解题思路：要探究OH和OA的数量关系，首先根据角平分线的性质，过O作OG⊥AB、OQ⊥AC，可得OH=OG=OQ，由此可判定AO平分∠BAC，得到∠GAO=30°，再结合直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半的性质，即可推出OH和OA的数量关系。
【解析】
(1)
∵BO平分∠ABC，
∴∠EBO=∠OBC，
∵EF//BC，
∴∠EOB=∠OBC，
∴∠EBO=∠EOB，
∴EO=EB，
同理可得FO=FC，
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+EO+OF+AF=AE+EB+FC+AF=AB+AC，
代入AB=4，AC=5，得周长=4+5=9。
(2) $OH=\frac{1}{2}OA$，理由如下：
过点$O$作$OG⊥AB$于点$G$，$OQ⊥AC$于点$Q$。
$\because BO$平分$∠ ABC$，$OH⊥ BC$，$OG⊥ AB$，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，$\therefore OH=OG$。
同理，CO平分$∠ACB$，$OH⊥ BC$，$OQ⊥ AC$，$\therefore OH=OQ$。
$\therefore OG=OQ$，根据到角两边距离相等的点在角的平分线上，$\therefore AO$平分$∠ BAC$。
$\therefore ∠ GAO=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
在Rt△AGO中，∠GAO=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，$\therefore OG=\frac{1}{2}OA$，
又
∵OG=OH，$\therefore OH=\frac{1}{2}OA$。
【答案】
(1) $\boxed{9}$
(2) $\boxed{OH=\frac{1}{2}OA}$
【知识点】
角平分线的性质与判定；等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形角平分线相关知识的典型考法，第一问用到了“角平分线+平行线构造等腰三角形”的常见几何模型，将所求周长转化为已知边长的和即可快速求解；第二问需要灵活结合角平分线的性质、判定和特殊直角三角形的性质推导线段关系，整体难度适中，掌握相关模型和性质可高效解题。
【难度系数】
0.7