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1.若等腰三角形的两边长分别是4和8，则这个等腰三角形的周长是（
A.16或20
B.16
C.20
D.12或24
C
）A.16或20
B.16
C.20
D.12或24
答案
1.C
解析
【分析】
解决本题需分两步思考：第一步，等腰三角形未明确腰长和底边长时，要分两种情况分类讨论，分别假设4为腰长、8为底边长，以及8为腰长、4为底边长；第二步，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，舍去不符合的情况，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
已知等腰三角形两边长为4和8，分情况讨论：
1. 若腰长为4，底边长为8，此时三角形三边长为4、4、8。
因为$4+4=8$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的关系，无法构成三角形，故该情况舍去。
2. 若腰长为8，底边长为4，此时三角形三边长为8、8、4。
验证三边关系：$4+8＞8$，$8+8＞4$，满足构成三角形的条件，此时周长为$8+8+4=20$。
综上，这个等腰三角形的周长是20，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形边长类的典型易错题，解题时容易忽略三角形三边关系的验证，直接将两种情况的周长都计入结果导致错选，因此遇到未明确腰和底的等腰三角形边长问题时，一定要先分类讨论，再验证三边合理性。
【难度系数】
0.6
解决本题需分两步思考：第一步，等腰三角形未明确腰长和底边长时，要分两种情况分类讨论，分别假设4为腰长、8为底边长，以及8为腰长、4为底边长；第二步，根据三角形三边关系（任意两边之和大于第三边）验证两种情况是否能构成三角形，舍去不符合的情况，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
已知等腰三角形两边长为4和8，分情况讨论：
1. 若腰长为4，底边长为8，此时三角形三边长为4、4、8。
因为$4+4=8$，不满足三角形任意两边之和大于第三边的关系，无法构成三角形，故该情况舍去。
2. 若腰长为8，底边长为4，此时三角形三边长为8、8、4。
验证三边关系：$4+8＞8$，$8+8＞4$，满足构成三角形的条件，此时周长为$8+8+4=20$。
综上，这个等腰三角形的周长是20，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是等腰三角形边长类的典型易错题，解题时容易忽略三角形三边关系的验证，直接将两种情况的周长都计入结果导致错选，因此遇到未明确腰和底的等腰三角形边长问题时，一定要先分类讨论，再验证三边合理性。
【难度系数】
0.6
2.已知等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成9和15两部分，则等腰三角形的腰长为
10
.答案
2.10
解析
【分析】
首先明确题意：等腰三角形一腰上的中线将原三角形的周长（不含中线长度）分成9和15两部分，由于未明确哪部分对应腰长加半腰长的和，因此需要分类讨论。解题时可先设腰长为2x（简化半腰的计算，避免分数运算），底边长为y，半腰长为x，周长被分成的两部分分别为3x（腰长+半腰长）和x+y（半腰长+底边长），分两种情况列方程求解，最后用三角形三边关系验证所得边长能否构成三角形，舍去不符合的情况即可得到正确腰长。
【解析】
设等腰三角形的腰长为2x，底边长为y，腰上的中线将腰分为长度均为x的两段。
根据周长被分为9和15两部分，分两种情况讨论：
1. 当腰长与半腰长的和为9时：
$\begin{cases}3x=9 \\ x+y=15\end{cases}$
解得$x=3$，$y=12$，此时三角形三边长为6、6、12。
由于$6+6=12$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去该情况。
2. 当腰长与半腰长的和为15时：
$\begin{cases}3x=15 \\ x+y=9\end{cases}$
解得$x=5$，$y=4$，此时三角形三边长为10、10、4。
由于$4+10＞10$，满足三角形三边关系，该情况成立。
综上，等腰三角形的腰长为10。
【答案】
10
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的典型易错题，解题时需要注意两种周长分割情况的分类讨论，同时求出边长后必须用三角形三边关系验证，避免忽略构成三角形的前提条件导致出现增解。
【难度系数】
0.6
首先明确题意：等腰三角形一腰上的中线将原三角形的周长（不含中线长度）分成9和15两部分，由于未明确哪部分对应腰长加半腰长的和，因此需要分类讨论。解题时可先设腰长为2x（简化半腰的计算，避免分数运算），底边长为y，半腰长为x，周长被分成的两部分分别为3x（腰长+半腰长）和x+y（半腰长+底边长），分两种情况列方程求解，最后用三角形三边关系验证所得边长能否构成三角形，舍去不符合的情况即可得到正确腰长。
【解析】
设等腰三角形的腰长为2x，底边长为y，腰上的中线将腰分为长度均为x的两段。
根据周长被分为9和15两部分，分两种情况讨论：
1. 当腰长与半腰长的和为9时：
$\begin{cases}3x=9 \\ x+y=15\end{cases}$
解得$x=3$，$y=12$，此时三角形三边长为6、6、12。
由于$6+6=12$，不满足三角形两边之和大于第三边，舍去该情况。
2. 当腰长与半腰长的和为15时：
$\begin{cases}3x=15 \\ x+y=9\end{cases}$
解得$x=5$，$y=4$，此时三角形三边长为10、10、4。
由于$4+10＞10$，满足三角形三边关系，该情况成立。
综上，等腰三角形的腰长为10。
【答案】
10
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形三边关系，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的典型易错题，解题时需要注意两种周长分割情况的分类讨论，同时求出边长后必须用三角形三边关系验证，避免忽略构成三角形的前提条件导致出现增解。
【难度系数】
0.6
3.若等腰三角形的一个内角为$94°$,则它的顶角的度数为
94°
.答案
3.94°
解析
【分析】
首先明确等腰三角形的内角分为顶角和底角两类，已知一个内角的度数时，需要分两种情况讨论：一是该角为顶角，二是该角为底角，再结合三角形内角和为180°的性质，判断两种情况是否成立，最终确定顶角的度数。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若已知的$94°$内角为顶角，此时顶角度数就是$94°$，符合三角形内角和要求；
② 若已知的$94°$内角为底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，两个底角的和为$94° × 2 = 188°$，而三角形内角和为$180°$，$188°＞180°$，该情况不成立，舍去。
综上，该等腰三角形顶角的度数为$94°$。
【答案】
$94°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形角度计算的易错题，解题时要注意先对已知内角的类型分类讨论，再结合三角形内角和定理验证情况是否成立，避免忽略限制条件出现错解。
【难度系数】
0.7
首先明确等腰三角形的内角分为顶角和底角两类，已知一个内角的度数时，需要分两种情况讨论：一是该角为顶角，二是该角为底角，再结合三角形内角和为180°的性质，判断两种情况是否成立，最终确定顶角的度数。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 若已知的$94°$内角为顶角，此时顶角度数就是$94°$，符合三角形内角和要求；
② 若已知的$94°$内角为底角，根据等腰三角形两底角相等的性质，两个底角的和为$94° × 2 = 188°$，而三角形内角和为$180°$，$188°＞180°$，该情况不成立，舍去。
综上，该等腰三角形顶角的度数为$94°$。
【答案】
$94°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形角度计算的易错题，解题时要注意先对已知内角的类型分类讨论，再结合三角形内角和定理验证情况是否成立，避免忽略限制条件出现错解。
【难度系数】
0.7
【变式题1】等腰三角形的一个内角为$50°$，则这个等腰三角形的底角的度数为
50°或 65°
。答案
【变式题1】50°或 65°
解析
【分析】
等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。题目仅给出一个内角为50°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论求解，最后还要验证每种情况是否符合三角形内角和的要求，保证结果合法。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若已知的50°角是等腰三角形的顶角：
根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可得底角的度数为：$\frac{180° - 50°}{2} = 65°$；
2. 若已知的50°角是等腰三角形的底角：
此时底角的度数就是50°，另一个底角也为50°，顶角为$180° - 50° × 2 = 80°$，符合三角形内角和要求。
综上，这个等腰三角形的底角度数为50°或65°。
【答案】
$50°$或$65°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题关键在于明确未指明类型的内角需分顶角、底角两种情况讨论，同时要验证所得结果是否符合三角形的构成条件，避免出现漏解或者错解的情况。
【难度系数】
0.65
等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°。题目仅给出一个内角为50°，未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论求解，最后还要验证每种情况是否符合三角形内角和的要求，保证结果合法。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 若已知的50°角是等腰三角形的顶角：
根据等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为180°，可得底角的度数为：$\frac{180° - 50°}{2} = 65°$；
2. 若已知的50°角是等腰三角形的底角：
此时底角的度数就是50°，另一个底角也为50°，顶角为$180° - 50° × 2 = 80°$，符合三角形内角和要求。
综上，这个等腰三角形的底角度数为50°或65°。
【答案】
$50°$或$65°$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的典型易错题，解题关键在于明确未指明类型的内角需分顶角、底角两种情况讨论，同时要验证所得结果是否符合三角形的构成条件，避免出现漏解或者错解的情况。
【难度系数】
0.65
【变式题2】在等腰三角形$ABC$中，$∠ A=50°$,则$∠ B$的度数为________。
思维呈现：
$△ ABC$
为等腰$\xrightarrow[\mathrm{讨论}]{\mathrm{分类}}$$\begin{cases} ∠ A\mathrm{为顶角}\rightarrow∠ B\mathrm{为底角} \\ ∠ A\mathrm{为底角}\begin{cases} ∠ B\mathrm{为底角} \\ ∠ B\mathrm{为顶角} \end{cases} \end{cases}$
思维呈现：
$△ ABC$
为等腰$\xrightarrow[\mathrm{讨论}]{\mathrm{分类}}$$\begin{cases} ∠ A\mathrm{为顶角}\rightarrow∠ B\mathrm{为底角} \\ ∠ A\mathrm{为底角}\begin{cases} ∠ B\mathrm{为底角} \\ ∠ B\mathrm{为顶角} \end{cases} \end{cases}$
答案
【变式题2】50°或 65°或 80°
解析
【分析】
等腰三角形的两个底角相等，本题未明确∠A是顶角还是底角，也未明确∠B的类型，因此需要分三类讨论：①∠A为顶角，∠B为底角；②∠A为底角，∠B也为底角；③∠A为底角，∠B为顶角。结合三角形内角和为180°分别计算∠B的度数，再验证结果是否符合三角形内角和要求即可。
【解析】
分三种情况计算：
1. 当∠A为顶角，∠B为底角时：
根据等腰三角形两底角相等，可得$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-50°)÷2=65°$；
2. 当∠A为底角，∠B也为底角时：
根据等腰三角形两底角相等，可得$∠ B=∠ A=50°$；
3. 当∠A为底角，∠B为顶角时：
另一个底角$∠ C=∠ A=50°$，可得$∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-50°-50°=80°$。
以上三种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
【答案】
50°或65°或80°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的易错题，解题核心是未指定类型的角要分顶角、底角两种情况讨论，避免漏算导致少解，计算后要注意验证结果是否符合三角形内角和要求。
【难度系数】
0.6
等腰三角形的两个底角相等，本题未明确∠A是顶角还是底角，也未明确∠B的类型，因此需要分三类讨论：①∠A为顶角，∠B为底角；②∠A为底角，∠B也为底角；③∠A为底角，∠B为顶角。结合三角形内角和为180°分别计算∠B的度数，再验证结果是否符合三角形内角和要求即可。
【解析】
分三种情况计算：
1. 当∠A为顶角，∠B为底角时：
根据等腰三角形两底角相等，可得$∠ B=(180°-∠ A)÷2=(180°-50°)÷2=65°$；
2. 当∠A为底角，∠B也为底角时：
根据等腰三角形两底角相等，可得$∠ B=∠ A=50°$；
3. 当∠A为底角，∠B为顶角时：
另一个底角$∠ C=∠ A=50°$，可得$∠ B=180°-∠ A-∠ C=180°-50°-50°=80°$。
以上三种情况均符合三角形内角和定理，均成立。
【答案】
50°或65°或80°
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形角度计算的易错题，解题核心是未指定类型的角要分顶角、底角两种情况讨论，避免漏算导致少解，计算后要注意验证结果是否符合三角形内角和要求。
【难度系数】
0.6
4.若等腰三角形的一个内角是$50°$,则一腰上的高与底边的夹角的度数是
25°或 40°
.答案
4.25°或 40°
解析
【分析】
已知等腰三角形的一个内角为50°，但未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论求解：①先判断50°角为顶角时，先求出底角的度数，再结合一腰上的高与腰垂直，利用直角三角形两锐角互余计算所求夹角；②再判断50°角为底角时，直接用直角三角形两锐角互余计算所求夹角即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当50°为等腰三角形的顶角时：
底角的度数为 $\frac{180° - 50°}{2} = 65°$
因为一腰上的高与腰垂直，所以高与腰的夹角为90°，在由高、底边、腰的下半段构成的直角三角形中，一腰上的高与底边的夹角为 $90° - 65° = 25°$
2. 当50°为等腰三角形的底角时：
同理，在上述直角三角形中，一腰上的高与底边的夹角为 $90° - 50° = 40°$
综上，该夹角的度数为25°或40°。
【答案】
$25°$或$40°$
【知识点】
等腰三角形性质；分类讨论思想；直角三角形性质
【点评】
本题是等腰三角形多解问题的常考题型，解题的核心是明确已知内角未指明类型时，要分顶角和底角两种情况讨论，避免因考虑不全出现漏解。
【难度系数】
0.6
已知等腰三角形的一个内角为50°，但未明确该角是顶角还是底角，因此需要分两种情况讨论求解：①先判断50°角为顶角时，先求出底角的度数，再结合一腰上的高与腰垂直，利用直角三角形两锐角互余计算所求夹角；②再判断50°角为底角时，直接用直角三角形两锐角互余计算所求夹角即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
1. 当50°为等腰三角形的顶角时：
底角的度数为 $\frac{180° - 50°}{2} = 65°$
因为一腰上的高与腰垂直，所以高与腰的夹角为90°，在由高、底边、腰的下半段构成的直角三角形中，一腰上的高与底边的夹角为 $90° - 65° = 25°$
2. 当50°为等腰三角形的底角时：
同理，在上述直角三角形中，一腰上的高与底边的夹角为 $90° - 50° = 40°$
综上，该夹角的度数为25°或40°。
【答案】
$25°$或$40°$
【知识点】
等腰三角形性质；分类讨论思想；直角三角形性质
【点评】
本题是等腰三角形多解问题的常考题型，解题的核心是明确已知内角未指明类型时，要分顶角和底角两种情况讨论，避免因考虑不全出现漏解。
【难度系数】
0.6
5. 如图，$∠ AOB=60°$，OC平分$∠ AOB$，点E在OA上，且$△ OCE$为等腰三角形，则$∠ OEC$的度数为
思维呈现：
$△ OCE$
为等腰 $\frac{\mathrm{分类}}{\mathrm{讨论}}$ $\begin{cases} OE_1=CE_1 \to ∠ COE_1=∠ OCE_1 \\ OC=OE_2 \to ∠ OE_2C=∠ OCE_2 \\ OC=CE_3 \to ∠ OE_3C=∠ COE_3 \end{cases}$
思维呈现：
$△ OCE$
为等腰 $\frac{\mathrm{分类}}{\mathrm{讨论}}$ $\begin{cases} OE_1=CE_1 \to ∠ COE_1=∠ OCE_1 \\ OC=OE_2 \to ∠ OE_2C=∠ OCE_2 \\ OC=CE_3 \to ∠ OE_3C=∠ COE_3 \end{cases}$
答案
5.120°或 75°或 30°
解析
【分析】
首先根据角平分线的定义先求出∠COA的度数，由于题目仅说明△OCE是等腰三角形，未明确哪两条边是腰，因此需要分三种情况讨论等腰三角形的腰长组合：①OE=CE，②OC=OE，③OC=CE，再结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和为180°，分别计算不同情况下∠OEC的度数即可。
【解析】
∵OC平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴$∠ COE = \frac{1}{2}∠ AOB = 30°$，
△OCE为等腰三角形，分三种情况讨论：
1. 当$OE_1=CE_1$时，
根据等腰三角形等边对等角得：$∠ COE_1=∠ OCE_1=30°$，
由三角形内角和为180°得：$∠ OE_1C = 180° - 30° - 30° = 120°$；
2. 当$OC=OE_2$时，
根据等腰三角形等边对等角得：$∠ OE_2C = ∠ OCE_2$，
则$∠ OE_2C = \frac{1}{2}×(180° - ∠ COE_2) = \frac{1}{2}×(180° - 30°) = 75°$；
3. 当$OC=CE_3$时，
根据等腰三角形等边对等角得：$∠ COE_3 = ∠ OE_3C = 30°$，即$∠ OE_3C=30°$。
综上，∠OEC的度数为120°或75°或30°。
【答案】
120°或75°或30°
【知识点】
角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形多解问题的典型习题，解题核心是明确等腰三角形腰、底未明确时，需对所有可能的腰长组合分类讨论，计算时结合角的相关性质求解即可，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
首先根据角平分线的定义先求出∠COA的度数，由于题目仅说明△OCE是等腰三角形，未明确哪两条边是腰，因此需要分三种情况讨论等腰三角形的腰长组合：①OE=CE，②OC=OE，③OC=CE，再结合等腰三角形等边对等角的性质和三角形内角和为180°，分别计算不同情况下∠OEC的度数即可。
【解析】
∵OC平分∠AOB，∠AOB=60°，
∴$∠ COE = \frac{1}{2}∠ AOB = 30°$，
△OCE为等腰三角形，分三种情况讨论：
1. 当$OE_1=CE_1$时，
根据等腰三角形等边对等角得：$∠ COE_1=∠ OCE_1=30°$，
由三角形内角和为180°得：$∠ OE_1C = 180° - 30° - 30° = 120°$；
2. 当$OC=OE_2$时，
根据等腰三角形等边对等角得：$∠ OE_2C = ∠ OCE_2$，
则$∠ OE_2C = \frac{1}{2}×(180° - ∠ COE_2) = \frac{1}{2}×(180° - 30°) = 75°$；
3. 当$OC=CE_3$时，
根据等腰三角形等边对等角得：$∠ COE_3 = ∠ OE_3C = 30°$，即$∠ OE_3C=30°$。
综上，∠OEC的度数为120°或75°或30°。
【答案】
120°或75°或30°
【知识点】
角平分线的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题是等腰三角形多解问题的典型习题，解题核心是明确等腰三角形腰、底未明确时，需对所有可能的腰长组合分类讨论，计算时结合角的相关性质求解即可，注意不要漏解。
【难度系数】
0.6
6.有一张三角形纸片$ABC$，$∠ A=68°$，$D$是$AC$边上的点，沿$BD$将三角形纸片$ABC$剪开后，发现所得两部分均为等腰三角形，则$∠ C$的度数为
补全该题解析:
【解析】由题意，得$△ ABD$与$△ DBC$均为等腰三角形，分三种情况讨论：
①若$AB=BD$，$BD=CD$，如图①.
②若$AB=AD$，$BD=CD$，如图②.
③若$AD=BD$，$BD=CD$，如图③.
34°或 28°或 22°
.补全该题解析:
【解析】由题意，得$△ ABD$与$△ DBC$均为等腰三角形，分三种情况讨论：
①若$AB=BD$，$BD=CD$，如图①.
②若$AB=AD$，$BD=CD$，如图②.
③若$AD=BD$，$BD=CD$，如图③.
答案
6.34°或 28°或 22°
①
∵∠ADB=∠A=68°.
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠ADB=34°.
②
∵∠ADB=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=$\frac{1}{2}$(180°−68°)=56°.
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠ADB=28°.
③
∵∠ADB=180°−2∠A=180°−2×68°=44°.
∴∠C=$\frac{1}{2}$∠ADB=22°.综上所述，∠C的度数为34°或 28°或 22°.
解析
【分析】
本题是等腰三角形的多解问题，首先明确沿BD剪开后△ABD和△DBC均为等腰三角形，等腰三角形未明确腰和底边，因此需要对△ABD的腰的取值情况分类讨论：已知∠A=68°，我们分AB=BD、AB=AD、AD=BD三种情况，先根据等腰三角形“等边对等角”的性质结合三角形内角和定理求出∠ADB的度数，再利用△DBC中BD=CD的性质，结合三角形外角的性质即可求出对应∠C的度数，讨论时注意不要漏解。
【解析】
由题意，得△ABD与△DBC均为等腰三角形，分三种情况讨论：
①若$AB=BD$，$BD=CD$，如图①.
∵$AB=BD$，
∴$∠ADB=∠A=68°$，
又
∵$BD=CD$，
∴$∠DBC=∠C$，
∵$∠ADB$是△DBC的外角，
∴$∠ADB=∠DBC+∠C=2∠C$，
∴$∠C=\frac{1}{2}∠ADB=34°$.
②若$AB=AD$，$BD=CD$，如图②.
∵$AB=AD$，
∴$∠ABD=∠ADB$，
由三角形内角和定理得，$∠ADB=\frac{1}{2}(180°−∠A)=\frac{1}{2}(180°−68°)=56°$，
又
∵$BD=CD$，同理可得$∠ADB=2∠C$，
∴$∠C=\frac{1}{2}∠ADB=28°$.
③若$AD=BD$，$BD=CD$，如图③.
∵$AD=BD$，
∴$∠ABD=∠A=68°$，
由三角形内角和定理得，$∠ADB=180°−2∠A=180°−2×68°=44°$，
又
∵$BD=CD$，同理可得$∠ADB=2∠C$，
∴$∠C=\frac{1}{2}∠ADB=22°$.
综上所述，∠C的度数为34°或28°或22°。
【答案】
34°或 28°或 22°
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的典型易错题，解题核心是根据等腰三角形腰的不确定性合理分类讨论，结合角度计算的相关性质逐一求解，要避免因漏算情况导致失分。
【难度系数】
0.6
本题是等腰三角形的多解问题，首先明确沿BD剪开后△ABD和△DBC均为等腰三角形，等腰三角形未明确腰和底边，因此需要对△ABD的腰的取值情况分类讨论：已知∠A=68°，我们分AB=BD、AB=AD、AD=BD三种情况，先根据等腰三角形“等边对等角”的性质结合三角形内角和定理求出∠ADB的度数，再利用△DBC中BD=CD的性质，结合三角形外角的性质即可求出对应∠C的度数，讨论时注意不要漏解。
【解析】
由题意，得△ABD与△DBC均为等腰三角形，分三种情况讨论：
①若$AB=BD$，$BD=CD$，如图①.
∵$AB=BD$，
∴$∠ADB=∠A=68°$，
又
∵$BD=CD$，
∴$∠DBC=∠C$，
∵$∠ADB$是△DBC的外角，
∴$∠ADB=∠DBC+∠C=2∠C$，
∴$∠C=\frac{1}{2}∠ADB=34°$.
②若$AB=AD$，$BD=CD$，如图②.
∵$AB=AD$，
∴$∠ABD=∠ADB$，
由三角形内角和定理得，$∠ADB=\frac{1}{2}(180°−∠A)=\frac{1}{2}(180°−68°)=56°$，
又
∵$BD=CD$，同理可得$∠ADB=2∠C$，
∴$∠C=\frac{1}{2}∠ADB=28°$.
③若$AD=BD$，$BD=CD$，如图③.
∵$AD=BD$，
∴$∠ABD=∠A=68°$，
由三角形内角和定理得，$∠ADB=180°−2∠A=180°−2×68°=44°$，
又
∵$BD=CD$，同理可得$∠ADB=2∠C$，
∴$∠C=\frac{1}{2}∠ADB=22°$.
综上所述，∠C的度数为34°或28°或22°。
【答案】
34°或 28°或 22°
【知识点】
等腰三角形性质，三角形内角和定理，分类讨论思想
【点评】
本题是等腰三角形的典型易错题，解题核心是根据等腰三角形腰的不确定性合理分类讨论，结合角度计算的相关性质逐一求解，要避免因漏算情况导致失分。
【难度系数】
0.6
7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为$40°$,则底角的度数为
65°或 25°
.答案
7.65°或 25°
解析
【分析】
本题需要结合等腰三角形的特性分类讨论求解，由于等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情况，一腰上的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要先根据高与腰的夹角求出对应顶角的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角即可。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
已知高与另一腰的夹角为40°，由高的定义可知高与腰的夹角为直角，因此顶角的度数为$90° - 40° = 50°$，
根据等腰三角形两底角相等，可得底角度数为$\frac{180° - 50°}{2} = 65°$；
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
此时高与另一腰的夹角为40°，同理可得顶角的外角的度数为$90° - 40° = 50°$，因此顶角的度数为$180° - 50° = 130°$，
根据等腰三角形两底角相等，可得底角度数为$\frac{180° - 130°}{2} = 25°$。
综上，底角的度数为65°或25°。
【答案】
$65°$或$25°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形高的定义
【点评】
本题是等腰三角形的典型多解类问题，易错点为仅考虑高在三角形内部的情况，忽略钝角三角形中腰上的高在外部的情况，解题时要注意结合图形分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题需要结合等腰三角形的特性分类讨论求解，由于等腰三角形分为锐角等腰三角形和钝角等腰三角形两种情况，一腰上的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，因此需要先根据高与腰的夹角求出对应顶角的度数，再结合等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°的性质计算底角即可。
【解析】
本题分两种情况讨论：
1. 当等腰三角形为锐角三角形时，腰上的高在三角形内部：
已知高与另一腰的夹角为40°，由高的定义可知高与腰的夹角为直角，因此顶角的度数为$90° - 40° = 50°$，
根据等腰三角形两底角相等，可得底角度数为$\frac{180° - 50°}{2} = 65°$；
2. 当等腰三角形为钝角三角形时，腰上的高在三角形外部：
此时高与另一腰的夹角为40°，同理可得顶角的外角的度数为$90° - 40° = 50°$，因此顶角的度数为$180° - 50° = 130°$，
根据等腰三角形两底角相等，可得底角度数为$\frac{180° - 130°}{2} = 25°$。
综上，底角的度数为65°或25°。
【答案】
$65°$或$25°$
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形高的定义
【点评】
本题是等腰三角形的典型多解类问题，易错点为仅考虑高在三角形内部的情况，忽略钝角三角形中腰上的高在外部的情况，解题时要注意结合图形分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6
8.等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为$70°$,则底角的度数为
20°
.答案
8.20°
解析
【分析】
解题时先根据题意画出等腰三角形，作出一腰上的高，由高的定义可知高与腰的夹角为90°，此时高、底边与腰的下半部分围成一个直角三角形，结合已知的高与底边的夹角为70°，利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出底角的度数。需要注意等腰三角形的底角一定为锐角，本题不存在多解情况。
【解析】
设等腰$△ ABC$中，$AB=AC$，$BD$是腰$AC$上的高，则$∠ BDC=90°$。
已知腰上的高与底边的夹角$∠ DBC=70°$，在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ C + ∠ DBC = 90°$
代入$∠ DBC=70°$，解得$∠ C = 90° - 70° = 20°$，即等腰三角形的底角为$20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形角度计算的基础易错题型，解题核心是通过画图构建直角三角形模型，利用直角三角形的角度关系求解，做题时要注意区分高与腰的夹角、高与底边的夹角的不同，避免因误判图形出现多解错误。
【难度系数】
0.7
解题时先根据题意画出等腰三角形，作出一腰上的高，由高的定义可知高与腰的夹角为90°，此时高、底边与腰的下半部分围成一个直角三角形，结合已知的高与底边的夹角为70°，利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出底角的度数。需要注意等腰三角形的底角一定为锐角，本题不存在多解情况。
【解析】
设等腰$△ ABC$中，$AB=AC$，$BD$是腰$AC$上的高，则$∠ BDC=90°$。
已知腰上的高与底边的夹角$∠ DBC=70°$，在$\mathrm{Rt}△ BDC$中，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ C + ∠ DBC = 90°$
代入$∠ DBC=70°$，解得$∠ C = 90° - 70° = 20°$，即等腰三角形的底角为$20°$。
【答案】
$20°$
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理
【点评】
本题属于等腰三角形角度计算的基础易错题型，解题核心是通过画图构建直角三角形模型，利用直角三角形的角度关系求解，做题时要注意区分高与腰的夹角、高与底边的夹角的不同，避免因误判图形出现多解错误。
【难度系数】
0.7
9.如图,在△ABC中,∠A=36°,∠B=72°,CD平分∠ACB,DE//AC,则图中等腰三角形的个数为 (
A.2
B.3
C.4
D.5
D
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
9.D
解析
【分析】
要解决本题，需依据“等角对等边”的等腰三角形判定规则，按以下思路逐步分析：首先利用三角形内角和定理计算△ABC的内角度数，判断△ABC是否为等腰三角形；再结合角平分线的性质得到角的等量关系，依次判断△ACD、△BCD是否为等腰三角形；最后根据平行线的性质推导相关内错角、同位角相等，判断△CDE、△BDE是否为等腰三角形，逐一计数避免漏算。
【解析】
1. 计算△ABC的内角：
已知∠A=36°，∠B=72°，根据三角形内角和为180°，可得∠ACB=180°-36°-72°=72°，则∠ACB=∠B，因此AC=AB，△ABC是等腰三角形。
2. 分析CD平分∠ACB后的三角形：
CD平分∠ACB，故∠ACD=∠BCD=36°。
在△ACD中，∠A=∠ACD=36°，因此AD=CD，△ACD是等腰三角形；
在△BCD中，∠CDB=180°-∠BCD-∠B=180°-36°-72°=72°，即∠CDB=∠B，因此CD=CB，△BCD是等腰三角形。
3. 结合DE//AC的性质分析剩余三角形：
因为DE//AC，根据平行线的性质：
同位角∠EDB=∠A=36°，∠DEB=∠ACB=72°，在△BDE中，∠DEB=∠B=72°，因此DE=DB，△BDE是等腰三角形；
内错角∠CDE=∠ACD=36°，即∠CDE=∠BCD=36°，因此CE=DE，△CDE是等腰三角形。
综上，图中共有5个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型题目，需要综合运用角平分线、平行线的性质和三角形内角和计算角度，解题时要逐一排查所有三角形，避免漏数导致错误。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需依据“等角对等边”的等腰三角形判定规则，按以下思路逐步分析：首先利用三角形内角和定理计算△ABC的内角度数，判断△ABC是否为等腰三角形；再结合角平分线的性质得到角的等量关系，依次判断△ACD、△BCD是否为等腰三角形；最后根据平行线的性质推导相关内错角、同位角相等，判断△CDE、△BDE是否为等腰三角形，逐一计数避免漏算。
【解析】
1. 计算△ABC的内角：
已知∠A=36°，∠B=72°，根据三角形内角和为180°，可得∠ACB=180°-36°-72°=72°，则∠ACB=∠B，因此AC=AB，△ABC是等腰三角形。
2. 分析CD平分∠ACB后的三角形：
CD平分∠ACB，故∠ACD=∠BCD=36°。
在△ACD中，∠A=∠ACD=36°，因此AD=CD，△ACD是等腰三角形；
在△BCD中，∠CDB=180°-∠BCD-∠B=180°-36°-72°=72°，即∠CDB=∠B，因此CD=CB，△BCD是等腰三角形。
3. 结合DE//AC的性质分析剩余三角形：
因为DE//AC，根据平行线的性质：
同位角∠EDB=∠A=36°，∠DEB=∠ACB=72°，在△BDE中，∠DEB=∠B=72°，因此DE=DB，△BDE是等腰三角形；
内错角∠CDE=∠ACD=36°，即∠CDE=∠BCD=36°，因此CE=DE，△CDE是等腰三角形。
综上，图中共有5个等腰三角形。
【答案】
D
【知识点】
等腰三角形的判定，三角形内角和定理，平行线的性质
【点评】
本题是等腰三角形判定的典型题目，需要综合运用角平分线、平行线的性质和三角形内角和计算角度，解题时要逐一排查所有三角形，避免漏数导致错误。
【难度系数】
0.6
10.如图，在$3×3$的正方形网格中，点A，B在格点上.若点C也在格点上，且$△ ABC$是等腰三角形，则符合条件的点C的个数为（
A.1
B.2
C.3
D.4
C
）A.1
B.2
C.3
D.4
答案
10.C
解析
【分析】
要解决本题，需结合等腰三角形“两边相等”的性质，按三种情况分类讨论：①以A为顶角顶点，AB为腰；②以B为顶角顶点，AB为腰；③以C为顶角顶点，AB为底边。设每个小正方形边长为1，先计算AB的长度，再分别在三种情况下寻找网格内符合条件的格点C，排除共线等无效点后统计总数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由网格可得AB的长度为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，分三类讨论：
1. 当AB为腰、A为顶角顶点时（即$AB=AC$）：以A为圆心，AB长为半径作圆，网格内仅存在1个符合条件的格点C（与A、B不共线）；
2. 当AB为腰、B为顶角顶点时（即$AB=BC$）：以B为圆心，AB长为半径作圆，网格内仅存在1个符合条件的格点C（与A、B不共线）；
3. 当AB为底边时（即$AC=BC$）：作AB的垂直平分线，网格内仅存在1个符合条件的格点C。
综上，符合条件的点C总共有$1+1+1=3$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形判定，分类讨论思想，网格作图
【点评】
本题易错点是分类不完整导致漏解，解题时需牢记等腰三角形按顶角顶点分类的思路，同时注意格点的限制，避免多算不符合要求的点。
【难度系数】
0.6
要解决本题，需结合等腰三角形“两边相等”的性质，按三种情况分类讨论：①以A为顶角顶点，AB为腰；②以B为顶角顶点，AB为腰；③以C为顶角顶点，AB为底边。设每个小正方形边长为1，先计算AB的长度，再分别在三种情况下寻找网格内符合条件的格点C，排除共线等无效点后统计总数即可。
【解析】
设每个小正方形的边长为1，由网格可得AB的长度为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，分三类讨论：
1. 当AB为腰、A为顶角顶点时（即$AB=AC$）：以A为圆心，AB长为半径作圆，网格内仅存在1个符合条件的格点C（与A、B不共线）；
2. 当AB为腰、B为顶角顶点时（即$AB=BC$）：以B为圆心，AB长为半径作圆，网格内仅存在1个符合条件的格点C（与A、B不共线）；
3. 当AB为底边时（即$AC=BC$）：作AB的垂直平分线，网格内仅存在1个符合条件的格点C。
综上，符合条件的点C总共有$1+1+1=3$个。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形判定，分类讨论思想，网格作图
【点评】
本题易错点是分类不完整导致漏解，解题时需牢记等腰三角形按顶角顶点分类的思路，同时注意格点的限制，避免多算不符合要求的点。
【难度系数】
0.6
