3. 如图，已知$△ ABC$与$△ ADE$都是等腰直角三角形，点$B$，$C$，$E$在同一条直线上，且$∠ BAC=∠ DAE=90°$。
(1)求证：$△ ABE ≌ △ ACD$；
(2)求证：$DC ⊥ BE$。

3.证明:(1)
∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,
∴AB=AC,AE=AD.
∵∠BAC=∠DAE=90°,
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE,即∠BAE=∠CAD. 在△ABE和△ACD中,
∵$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAE=∠CAD, \\ AE=AD, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD(SAS).
(2)由(1)知△ABE≌△ACD,
∴∠ABE=∠ACD.
∵∠BAC=90°,
∴∠ABE+∠ACB=90°.
∴∠ACD+∠ACB=90°,即∠BCD=90°.
∴DC⊥BE.

【分析】
(1) 要证△ABE≌△ACD，首先结合等腰直角三角形的性质可得AB=AC、AE=AD两组边相等；接下来找两边的夹角相等：已知∠BAC和∠DAE均为90°，两个角同时加上公共角∠CAE，即可推出∠BAE=∠CAD，满足SAS全等判定条件，即可完成证明。
(2) 要证DC⊥BE，只需证明∠BCD=90°即可。由(1)的全等结论可得对应角∠ABE=∠ACD，再结合Rt△ABC中两锐角互余，即∠ABE+∠ACB=90°，通过角的等量代换，就能得到∠ACD+∠ACB=90°，即∠BCD=90°，即可证明垂直。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD。
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD。
在△ABE和△ACD中，
$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠BAE=∠CAD, \\ AE=AD, \end{cases}$
∴△ABE≌△ACD（SAS）。
(2) 证明：
由(1)知△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠ACD。
∵∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠ACB=90°。
∴∠ACD+∠ACB=90°，即∠BCD=90°。
∴DC⊥BE。
【答案】
(1) 见上述证明过程，△ABE≌△ACD成立；
(2) 见上述证明过程，DC⊥BE成立。
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；垂直的判定
【点评】
本题是共顶点等腰三角形（手拉手）模型的基础应用，解题核心是利用共顶点的等线段和角度和差关系找到全等条件，再通过全等的性质转化角的关系解决垂直证明问题，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8

4.如图，△ABC和△CDE都是等边三角形，且点A,C,E在同一条直线上，AD与BC相交于点M，BE与CD相交于点N，连接MN。
(1)求证:AD=BE；
(2)求证:△CMN是等边三角形。

4.证明:(1)
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60°.
∴∠BCD=180°−∠BCA−∠ECD=60°.
∴∠ACD=∠BCE=120°. 在△ACD和△BCE中,
∵$\begin{cases} CA=CB, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE.
(2)
∵△ACD≌△BCE,
∴∠DAC=∠EBC. 由(1),得∠ACM=∠BCN=60°. 在△ACM和△BCN中,
∵$\begin{cases} ∠MAC=∠NBC, \\ CA=CB, \\ ∠ACM=∠BCN, \end{cases}$
∴△ACM≌△BCN(ASA).
∴CM=CN.
∵∠MCN=60°,
∴△CMN是等边三角形.

【分析】
(1)要证明两条线段相等，通常可证明两条线段所在的三角形全等。本题中AD属于△ACD，BE属于△BCE，结合已知的两个等边三角形，可先得到两组对应边相等，再根据点A、C、E共线推导两组边的夹角相等，即可用SAS判定两个三角形全等，进而得到AD=BE。
(2)要证明△CMN是等边三角形，已知∠MCN=60°，只需证明CM=CN，即可根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”完成证明。要证CM=CN，可利用(1)中全等得到的对应角相等，结合等边三角形的边相等、内角为60°的条件，用ASA证明△ACM和△BCN全等，即可得到CM=CN。
【解析】
(1)
∵△ABC和△CDE都是等边三角形,
∴CA=CB,CD=CE,∠BCA=∠ECD=60°.
∵点A,C,E在同一条直线上,
∴∠BCD=180°−∠BCA−∠ECD=60°,
∴∠ACD=∠BCA+∠BCD=120°,∠BCE=∠ECD+∠BCD=120°,即∠ACD=∠BCE.
在△ACD和△BCE中,
$\begin{cases} CA=CB, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS).
∴AD=BE.
(2)
∵△ACD≌△BCE,
∴∠DAC=∠EBC,即∠MAC=∠NBC.
由(1)可知∠ACM=∠BCA=60°,∠BCN=∠BCD=60°,即∠ACM=∠BCN.
在△ACM和△BCN中,
$\begin{cases} ∠MAC=∠NBC, \\ CA=CB, \\ ∠ACM=∠BCN, \end{cases}$
∴△ACM≌△BCN(ASA).
∴CM=CN.
又
∵∠MCN=60°,
∴△CMN是等边三角形.
【答案】
(1)AD=BE得证；
(2)△CMN是等边三角形得证。
（完整证明过程见解析）
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定
【点评】
本题是共顶点等边三角形的经典“手拉手”模型题，解题核心是利用等边三角形的边、角性质寻找全等三角形的判定条件，通过两次全等逐步推导结论，能有效考查对全等和等边三角形相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7

5.(1)问题发现:如图①,△ABC和△DCE都是等边三角形,点B,D,E在同一条直线上,连接AE.
①∠AEC的度数为;
②线段AE,BD之间的数量关系为;
(2)拓展探究:如图②,△ABC和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点B,D,E在同一条直线上,CM是△DCE中DE边上的高,连接AE.
①求∠AEB的度数;
②判断线段CM,AE,BM之间的数量关系,并说明理由;
(3)问题解决:如图③,△ABC和△DCE都是等腰三角形,顶角∠ACB=∠DCE,点B,D,E在同一条直线上,连接AE,请直接写出∠EAB+∠ECB的度数.

5.解:(1)①120° ②AE=BD
(2)①
∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,
∴CA=CB,CE=CD,∠ACE=∠BCD.
∴∠CDE=∠CED=45°.
∴∠CDB=180°−∠CDE=135°. 在△ACE和△BCD中,
∵$\begin{cases} CE=CD, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ CA=CB, \end{cases}$
∴△ACE≌△BCD(SAS).
∴∠CEA=∠CDB=135°.
∴∠AEB=∠CEA−∠CED=90°.
②CM+AE=BM. 理由如下:
∵△DCE是等腰直角三角形,CM是△DCE中DE边上的高,∠CDE=45°,∠DCE=90°,
∴∠DCM=$\frac{1}{2}$∠DCE=45°=∠CDE.
∴CM=DM. 由①知△ACE≌△BCD,
∴AE=BD.
∴CM+AE=DM+BD=BM.
(3)∠EAB+∠ECB=180°.【解析】
∵△ABC和△DCE都是等腰三角形,∠ACB=∠DCE,
∴∠CED=∠CDE=∠CAB=∠CBA. 易证△ACE≌△BCD(SAS),
∴∠CEA=∠CDB.
∵∠CDE+∠CDB=180°,
∴∠CBA+∠CEA=180°.
∴∠EAB+∠ECB=∠EAC+∠CAB+∠ACE+∠ACB=(180°−∠CEA)+(180°−∠CBA)=360°−(∠CBA+∠CEA)=180°.

【分析】
这道题是共顶点等腰三角形的“手拉手”模型类探究题，解题核心思路是利用两个等腰三角形的边相等、顶角相等，推导两边的夹角相等，进而证明三角形全等，再利用全等的性质转化边角关系求解。
(1) 等边三角形的情况：先根据等边三角形三边相等、内角为60°的性质，找到△ACE和△BCD的全等条件，通过全等得到对应角∠AEC=∠BDC、对应边AE=BD，再结合等边△DCE的内角求出∠BDC的度数，即可得到∠AEC的度数。
(2) 等腰直角三角形的情况：同样先证明△ACE≌△BCD，得到对应角∠CEA=∠CDB，结合等腰直角三角形底角为45°的性质计算∠AEB的度数；再利用等腰直角三角形斜边上的高等于斜边中线的性质得到CM=DM，结合全等得到的AE=BD，即可推导三条线段的数量关系。
(3) 一般等腰三角形的情况：依旧先证明△ACE≌△BCD，通过全等的角的性质，结合角的和差或者四边形内角和推导，即可得到所求两个角的和。
【解析】
(1)①
∵△ABC和△DCE都是等边三角形，
∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=∠CED=60°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
$\begin{cases} AC=BC \\ ∠ACE=∠BCD \\ CE=CD \end{cases}$
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴∠AEC=∠BDC，
∵点B、D、E共线，∠CDE=60°，
∴∠BDC=180°-∠CDE=120°，
∴∠AEC=120°。
②由①中△ACE≌△BCD，可得对应边AE=BD。
(2)①
∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，
∴CA=CB，CE=CD，∠CDE=∠CED=45°，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
∴∠CDB=180°−∠CDE=135°，
在△ACE和△BCD中，
$\begin{cases} CE=CD, \\ ∠ACE=∠BCD, \\ CA=CB, \end{cases}$
∴△ACE≌△BCD(SAS)，
∴∠CEA=∠CDB=135°，
∴∠AEB=∠CEA−∠CED=135°-45°=90°。
②CM+AE=BM，理由如下：
∵△DCE是等腰直角三角形，CM是△DCE中DE边上的高，∠DCE=90°，
∴CM平分∠DCE，DM=ME，
∴∠DCM=$\frac{1}{2}$∠DCE=45°=∠CDE，
∴CM=DM，
由①知△ACE≌△BCD，
∴AE=BD，
∴CM+AE=DM+BD=BM。
(3)
∵△ABC和△DCE都是等腰三角形，∠ACB=∠DCE，
∴AC=BC，EC=DC，∠CDE=∠CED=∠CAB=∠CBA，
∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
易证△ACE≌△BCD(SAS)，
∴∠CEA=∠CDB，
∵∠CDE+∠CDB=180°，
∴∠CBA+∠CEA=180°，
在四边形AEBC中，内角和为360°，
∴∠EAB+∠ECB=360°-(∠CEA+∠CBA)=360°-180°=180°。
【答案】
(1)①$\boldsymbol{120°}$；②$\boldsymbol{AE=BD}$
(2)①$\boldsymbol{90°}$；②$\boldsymbol{CM+AE=BM}$
(3)$\boldsymbol{180°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【点评】
本题是典型的“手拉手”共顶点等腰三角形探究题，遵循从特殊到一般的探究逻辑，解题的关键是掌握这类模型的通法：利用两组等边、等顶角推导夹角相等，证明三角形全等，再通过全等性质转化边角关系求解，能够很好地考查逻辑推理能力和转化思想的应用。
【难度系数】
0.6