6. 聚焦 中考 跨学科主题学习 「2025山东中考，★☆」在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度$y$(厘米/天)和光照强度$x$(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围$(200≤x＜1\ 000)$内，$y$与$x$近似成一次函数关系；在中高光照强度范围$(x≥1\ 000)$内，$y$与$x$近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据图象，下列结论正确的是 ()

A.当$x≥1\ 000$时，$y$随$x$的增大而减小
B.当$x=2\ 000$时，$y$有最大值
C.当$y≥0.6$时，$x≥1\ 000$
D.当$y=0.4$时，$x=600$

6.B A.当x≥1 000时,y随x的增大先增大,后减小,故A错误;
B.
∵ 抛物线过点(1 000,0.6),(3 000,0.6),
∴ 抛物线的对称轴为直线x=(1000+3000)/2=2000,
∵ 抛物线的开口向下,
∴ x=2 000时,y有最大值,故B正确;
C.由图象可得当y=0.6时,x₁=1 000,x₂=3 000,
∴ 当y≥0.6时,1 000≤x≤3 000,故C错误;
D.由图象可得当y=0.4时,x对应的值有2个,故D错误.故选B.

【分析】
本题是结合实际情境的函数图象应用题，解题时先明确两个光照区间对应的函数类型，再结合图象给出的特殊点坐标逐个分析选项：①分析x≥1000时的二次函数增减性判断A选项；②利用二次函数的对称性，结合纵坐标相同的两点求对称轴，进而判断最大值位置判断B选项；③找出y≥0.6对应的图象段，确定x的取值范围判断C选项；④观察y=0.4与函数图象的交点个数判断D选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 当x≥1000时，y与x是开口向下的二次函数关系，图象先上升到顶点后下降，因此y随x的增大先增大，后减小，故A错误；
B. 已知二次函数图象过点(1000,0.6)和(3000,0.6)，两点纵坐标相同，关于抛物线对称轴对称，因此对称轴为直线$x=\frac{1000+3000}{2}=2000$，又因为抛物线开口向下，顶点为最高点，因此当x=2000时，y有最大值，故B正确；
C. 由图象可知，当y=0.6时，对应的x值为1000和3000，因此当y≥0.6时，x的取值范围是$1000≤ x≤3000$，并非x≥1000，故C错误；
D. 观察图象，y=0.4的水平线与函数图象有2个交点，分别在200≤x＜1000的一次函数段和x≥1000的二次函数段，因此对应2个x值，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
二次函数的性质；一次函数的性质；函数图象分析
【点评】
本题结合植物生长的实际情境考查函数图象的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数、二次函数的图象性质，能从图象中提取有效信息解决问题，注重考查读图分析能力。
【难度系数】
0.75

7.「★☆」某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线形拱门,现把这个方案中的抛物线形拱门图形放入平面直角坐标系中,如图,拱门的跨度$ON=12\ \mathrm{m}$,拱高$PE=4\ \mathrm{m}$.其中,点$N$在$x$轴上,$PE ⊥ ON$,$OE=EN$,要在拱门中设置矩形框架$ABCD$,当$AB=3\ \mathrm{m}$时,矩形框架$ABCD$的周长为.

答案 18 m
解析 由题意得,抛物线的顶点P(6,4),
∴ 可设抛物线的函数表达式为y=a(x-6)²+4,
把O(0,0)代入得0=a(0-6)²+4,
∴ a=-1/9,
∴ y=-1/9(x-6)²+4.
令y=-1/9(x-6)²+4=3,
∴ x=3或x=9,
∴ AD=9-3=6(m),
∴ 矩形框架ABCD的周长=2(AB+AD)=2×(3+6)=18(m).

【分析】
这是抛物线形的实际应用问题，解题思路可按以下步骤梳理：①先确定抛物线的关键坐标：已知拱门跨度ON=12m，拱高PE=4m，E是ON中点，可得抛物线顶点P的坐标为(6,4)，且抛物线过原点O(0,0)；②已知顶点坐标，选择顶点式设抛物线解析式，代入原点坐标求出参数a，得到完整的抛物线解析式；③矩形ABCD中AB=3m，说明A、D两点的纵坐标为3，将y=3代入解析式求出对应的两个x值，两个x值的差就是AD的长度；④最后根据矩形周长公式计算周长即可。
【解析】
解：由题意得抛物线顶点P的坐标为$(6,4)$，
设抛物线的函数表达式为顶点式：$y=a(x-6)^2+4$，
将点$O(0,0)$代入表达式得：
$0=a(0-6)^2+4$，
解得$a=-\frac{1}{9}$，
因此抛物线解析式为：$y=-\frac{1}{9}(x-6)^2+4$。
已知$AB=3\ \mathrm{m}$，即点A、D的纵坐标为3，将$y=3$代入解析式：
$3=-\frac{1}{9}(x-6)^2+4$，
整理得$(x-6)^2=9$，
解得$x_1=3$，$x_2=9$，
则AD的长度为$9-3=6\ \mathrm{m}$，
矩形ABCD的周长为$2×(AB+AD)=2×(3+6)=18\ \mathrm{m}$。
【答案】
18 m
【知识点】
二次函数实际应用、二次函数顶点式、矩形周长计算
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的基础应用题，解题核心是准确求出抛物线的解析式，再结合函数值求出对应自变量的取值，进而结合几何图形性质计算结果，掌握二次函数解析式的求法是解题的关键。
【难度系数】
0.8

8.「2025浙江杭州萧山月考，★☆」如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线，摇绳的两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为1.1米，当绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为2.0米.身高为1.6米的小吉站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳(绳子甩到最高时超过他的头顶)，则m的取值范围是.

答案 1＜m＜5
解析 如图,建立平面直角坐标系,由题意可知A(0,1.1),B(6,1.1),最高点C的纵坐标为2,
∴ 点C的横坐标为(0+6)/2=3,
∴ C(3,2),设抛物线的解析式为y=a(x-3)²+2,把A(0,1.1)代入解析式可得a=-0.1,
∴ y=-0.1(x-3)²+2,当y=1.6时,-0.1(x-3)²+2=1.6,解得x₁=1,x₂=5,
∴ m的取值范围是1＜m＜5.

【分析】
这是抛物线在实际生活中的应用类问题，解题思路如下：第一步建立合适的平面直角坐标系，确定抛物线上已知点的坐标：A点坐标为(0,1.1)，B点坐标为(6,1.1)，根据抛物线的对称性，最高点C为抛物线顶点，横坐标是A、B横坐标的中点3，纵坐标为2，即C(3,2)；第二步已知顶点坐标，选择顶点式设抛物线的解析式，代入A点坐标求出未知系数，得到完整的抛物线解析式；第三步小吉要正常跳绳，绳子最高处需超过头顶1.6米，先求出y=1.6时对应的x的临界值，结合抛物线开口向下的性质，即可得到m的取值范围。
【解析】
解：建立如图所示的平面直角坐标系，
由题意可知：A(0,1.1)，B(6,1.1)，
∵抛物线为轴对称图形，最高点C是抛物线的顶点，距地面高度为2.0米，
∴点C的横坐标为$\frac{0+6}{2}=3$，即C(3,2)，
设抛物线的解析式为$y=a(x-3)^2+2$，
将A(0,1.1)代入解析式得：$1.1=a×(0-3)^2+2$，
解得$a=-0.1$，
∴抛物线的解析式为$y=-0.1(x-3)^2+2$，
当绳子高度刚好为1.6米时，令$y=1.6$，代入解析式得：
$-0.1(x-3)^2+2=1.6$，
解得$x_1=1$，$x_2=5$，
∵抛物线开口向下，当$1＜x＜5$时，$y＞1.6$，满足绳子高度超过小吉头顶的要求，
∴m的取值范围是$1＜m＜5$。
【答案】
1＜m＜5

【知识点】
抛物线实际应用，待定系数法求解析式，二次函数对称性
【点评】
本题将跳大绳的生活场景和二次函数知识结合，需要学生把实际问题转化为数学模型求解，既考查了二次函数的基础知识点，也考查了学生的数形结合能力和应用意识，属于基础应用型习题。
【难度系数】
0.7

9. 聚焦 中考 项目式学习 核心 素养 应用意识 「2025 山东青岛中考」
小磊和小明练习打网球.在一次击球过程中,小磊从点 O 正上方 1.8 米的 A 点将球击出.
信息一:在如图所示的平面直角坐标系中,O 为原点,OA 在 y 轴上,球的运动路线可以看作二次函数 $y = ax^2 + bx + 1.8$ (a,b 为常数)图象的一部分,其中 y(米)是球的高度,x(米)是球和原点的水平距离,图象经过点(2,3.2),(4,4.2).
信息二:球和原点的水平距离 x(米)与时间 t(秒)(0≤t≤1.6)之间近似满足一次函数关系,部分数据如下:

(1)求 y 与 x 的函数关系式.
(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度?最大高度是多少?
(3)当 t 的值为 1.6 时,小明将球击回,球在第一象限的运动路线可以看作二次函数 $y = -0.02x^2 + px + m$ (p,m 为常数)图象的一部分,其中 y(米)是球的高度,x(米)是球和原点的水平距离.当网球所在点的横坐标 x 为 2,纵坐标 y 大于或等于 1.8 时,p 的取值范围为 (直接写出结果).

解析 (1)
∵ 二次函数y=ax²+bx+1.8图象经过点(2,3.2)和(4,4.2),
∴ $\begin{cases}4a+2b+1.8=3.2, \\16a+4b+1.8=4.2,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}a=-0.05, \\b=0.8,\end{cases}$
∴ y与x的函数关系式为y=-0.05x²+0.8x+1.8.
(2)由(1)知y=-0.05x²+0.8x+1.8,
∴ 该函数图象的对称轴为直线x=-b/(2a)=-0.8/(2×(-0.05))=8,
∴ 网球被击出后能达到的最大高度为-0.05×8²+0.8×8+1.8=5(米).
根据信息二可知,x与t之间近似满足一次函数关系,
∴ 可设x=kt+c,将(0,0)和(0.4,4)分别代入,得$\begin{cases}c=0, \\0.4k+c=4,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=10, \\c=0,\end{cases}$
∴ 一次函数关系式为x=10t.
∴ 当x=8时,t=0.8,
∴ 经过0.8秒达到最大高度,最大高度是5米.
(3)p≤0.36.
详解:当t=1.6时,x=10×1.6=16,
∴ y=-0.05×16²+0.8×16+1.8=1.8,即小明击球点的坐标为(16,1.8).
∵ 抛物线y=-0.02x²+px+m过点(16,1.8),
∴ -0.02×16²+16p+m=1.8,
∴ m=6.92-16p,
∴ y=-0.02x²+px+6.92-16p.
∵ 当x=2时,y≥1.8,
∴ -0.02×2²+2p+6.92-16p≥1.8,
∴ p≤0.36.

【分析】
(1) 已知二次函数的表达式为$y = ax^2 + bx + 1.8$，且图象经过两个已知点，只需将两点坐标代入表达式，得到关于$a$、$b$的二元一次方程组，解方程组求出参数即可得到函数关系式。
(2) 先利用二次函数的对称轴公式求出函数取最大值时对应的水平距离$x$，再根据$x$与$t$的一次函数关系，用待定系数法求出$x$与$t$的解析式，将最大高度对应的$x$代入即可求出对应时间，同时代入二次函数求出最大高度。
(3) 先求出$t=1.6$时对应的$x$值，代入第一问的函数得到击球点坐标，将其代入击回后的二次函数得到$m$与$p$的关系，再结合$x=2$时$y≥1.8$的条件列不等式，解不等式即可得到$p$的取值范围。
【解析】
(1)
∵ 二次函数$y=ax^2+bx+1.8$的图象经过点$(2,3.2)$和$(4,4.2)$，
∴ 代入得$\begin{cases}4a+2b+1.8=3.2 \\16a+4b+1.8=4.2\end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=-0.05 \\b=0.8\end{cases}$，
∴ $y$与$x$的函数关系式为$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$。
(2) 由(1)得二次函数解析式为$y=-0.05x^2+0.8x+1.8$，
函数图象的对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{0.8}{2×(-0.05)}=8$，
将$x=8$代入解析式得最大高度：$y=-0.05×8^2+0.8×8+1.8=5$（米）。
由题意知$x$与$t$满足一次函数关系，设$x=kt+c$，将$(0,0)$、$(0.4,4)$代入得：
$\begin{cases}c=0 \\0.4k+c=4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=10 \\c=0\end{cases}$，
即$x=10t$，当$x=8$时，$t=\frac{8}{10}=0.8$（秒）。
∴ 网球经过0.8秒达到最大高度，最大高度为5米。
(3) 当$t=1.6$时，$x=10×1.6=16$，代入第一问的解析式得：
$y=-0.05×16^2+0.8×16+1.8=1.8$，即击球点坐标为$(16,1.8)$。
将$(16,1.8)$代入$y=-0.02x^2+px+m$得：
$-0.02×16^2+16p+m=1.8$，整理得$m=6.92-16p$，
则击回后的解析式为$y=-0.02x^2+px+6.92-16p$。
当$x=2$时，$y≥1.8$，代入得：
$-0.02×2^2+2p+6.92-16p≥1.8$，
解得$p≤0.36$。
【答案】
(1) $y=-0.05x^2+0.8x+1.8$
(2) 经过0.8秒达到最大高度，最大高度是5米
(3) $p≤0.36$
【知识点】
待定系数法求解析式，二次函数的性质，一元一次不等式的应用
【点评】
本题结合网球击球的实际场景，考查一次函数、二次函数的综合应用，既要求学生掌握基础的函数解析式求解方法，也需要学生能够结合实际条件列不等式求解参数，对知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6