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1.「2026山东淄博淄川期中」如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20 m，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4 m。如果此时水位上升2.5 m就达到警戒水位CD，那么CD宽为
5√6
m.答案
答案 5√6
解析 设抛物线的解析式为y=ax²(a≠0),由条件可知A,B点的纵坐标为-4.
∵ 水面AB宽为20 m,
∴ A(-10,-4),B(10,-4),将A(-10,-4)代入y=ax²
得,-4=100a,
∴ a=-1/25,
∴ y=-1/25 x²,
∵ 水位上升2.5 m就达到警戒水位CD,
∴ C点的纵坐标为-4+2.5=
-3/2,把y=-3/2代入y=-1/25 x² 得-3/2=-1/25 x²,
解得x=±5√6/2,
∴ CD=5√6/2 - (-5√6/2)=5√6 (m).
解析 设抛物线的解析式为y=ax²(a≠0),由条件可知A,B点的纵坐标为-4.
∵ 水面AB宽为20 m,
∴ A(-10,-4),B(10,-4),将A(-10,-4)代入y=ax²
得,-4=100a,
∴ a=-1/25,
∴ y=-1/25 x²,
∵ 水位上升2.5 m就达到警戒水位CD,
∴ C点的纵坐标为-4+2.5=
-3/2,把y=-3/2代入y=-1/25 x² 得-3/2=-1/25 x²,
解得x=±5√6/2,
∴ CD=5√6/2 - (-5√6/2)=5√6 (m).
解析
【分析】
这是二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先观察坐标系，抛物线顶点在原点O，对称轴为y轴，因此可设抛物线的解析式为最简形式$y=ax^2(a≠0)$；接着根据已知条件“AB宽20m，O到AB距离为4m”确定点A的坐标，代入解析式求出a的值，得到抛物线的完整解析式；再根据水位上升2.5m，求出警戒水位CD对应的纵坐标，将纵坐标代入解析式求出对应的x值，最后计算两个x值的差即可得到CD的宽度。
【解析】
设抛物线的解析式为$ y = ax^2 (a ≠ 0) $，
由题意可知，水面AB的纵坐标为$-4$，且AB宽20m，因此点A的坐标为$(-10,-4)$，
将$ A(-10,-4) $代入$ y = ax^2 $得：
$ -4 = a × (-10)^2 $，解得$ a = -\frac{1}{25} $，
因此抛物线解析式为$ y = -\frac{1}{25}x^2 $。
水位上升2.5m达到警戒水位CD，因此CD对应的纵坐标为$ -4 + 2.5 = -\frac{3}{2} $，
将$ y = -\frac{3}{2} $代入$ y = -\frac{1}{25}x^2 $得：
$ -\frac{3}{2} = -\frac{1}{25}x^2 $，解得$ x = \pm \frac{5\sqrt{6}}{2} $，
因此CD的宽度为$ \frac{5\sqrt{6}}{2} - (-\frac{5\sqrt{6}}{2}) = 5\sqrt{6} \, (m) $。
【答案】
$ 5\sqrt{6} $
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是典型的抛物线形实际应用问题，解题的核心是结合坐标系设出合适的抛物线解析式，利用已知点求出解析式后，再根据题意代入对应数值计算即可，侧重考查对二次函数基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
这是二次函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先观察坐标系，抛物线顶点在原点O，对称轴为y轴，因此可设抛物线的解析式为最简形式$y=ax^2(a≠0)$；接着根据已知条件“AB宽20m，O到AB距离为4m”确定点A的坐标，代入解析式求出a的值，得到抛物线的完整解析式；再根据水位上升2.5m，求出警戒水位CD对应的纵坐标，将纵坐标代入解析式求出对应的x值，最后计算两个x值的差即可得到CD的宽度。
【解析】
设抛物线的解析式为$ y = ax^2 (a ≠ 0) $，
由题意可知，水面AB的纵坐标为$-4$，且AB宽20m，因此点A的坐标为$(-10,-4)$，
将$ A(-10,-4) $代入$ y = ax^2 $得：
$ -4 = a × (-10)^2 $，解得$ a = -\frac{1}{25} $，
因此抛物线解析式为$ y = -\frac{1}{25}x^2 $。
水位上升2.5m达到警戒水位CD，因此CD对应的纵坐标为$ -4 + 2.5 = -\frac{3}{2} $，
将$ y = -\frac{3}{2} $代入$ y = -\frac{1}{25}x^2 $得：
$ -\frac{3}{2} = -\frac{1}{25}x^2 $，解得$ x = \pm \frac{5\sqrt{6}}{2} $，
因此CD的宽度为$ \frac{5\sqrt{6}}{2} - (-\frac{5\sqrt{6}}{2}) = 5\sqrt{6} \, (m) $。
【答案】
$ 5\sqrt{6} $
【知识点】
二次函数的应用；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是典型的抛物线形实际应用问题，解题的核心是结合坐标系设出合适的抛物线解析式，利用已知点求出解析式后，再根据题意代入对应数值计算即可，侧重考查对二次函数基础知识的应用能力。
【难度系数】
0.7
2.「2026福建福州台江期中」“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化.如图，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米.求水平宽(即CD的长)为40米时，离地面高度.
答案
解析 以底部所在直线为x轴,抛物线对称轴为y轴,建立平面直角坐标系(图略),依题意得抛物线顶点坐标为(0,200),
设抛物线解析式为y=a(x+40)(x-40),
将(0,200)代入解析式,得200=-1600a,解得a=
-1/8,
∴ 该抛物线解析式为y=-1/8(x+40)(x-40).
当x=20时,y=-1/8×(20+40)×(20-40)=150.
答:当水平宽(即CD的长)为40米时,离地面高度为150米.
设抛物线解析式为y=a(x+40)(x-40),
将(0,200)代入解析式,得200=-1600a,解得a=
-1/8,
∴ 该抛物线解析式为y=-1/8(x+40)(x-40).
当x=20时,y=-1/8×(20+40)×(20-40)=150.
答:当水平宽(即CD的长)为40米时,离地面高度为150米.
解析
【分析】
解决抛物线类实际问题的核心是将实际图形转化为二次函数模型求解。首先我们利用抛物线的对称性建立简便的平面直角坐标系：以底部所在直线为x轴，抛物线对称轴为y轴，可直接得到抛物线与x轴的交点为(-40,0)、(40,0)，顶点坐标为(0,200)。接下来选择交点式设抛物线解析式，代入顶点坐标求出未知系数得到完整解析式。最后结合CD的长度为40米，由对称性得对应点横坐标为±20，代入解析式求出的y值就是所求的离地高度。
【解析】
以底部所在直线为x轴，抛物线对称轴为y轴，建立平面直角坐标系。
由题意得：抛物线与x轴的交点坐标为(-40,0)、(40,0)，顶点坐标为(0,200)。
设抛物线解析式为$ y=a(x+40)(x-40) $，
将$(0,200)$代入解析式得：$200=a×(0+40)×(0-40)$，
即$200=-1600a$，解得$a=-\frac{1}{8}$。
因此抛物线解析式为$ y=-\frac{1}{8}(x+40)(x-40) $。
已知CD长为40米，由抛物线对称性可知点D的横坐标为20，
将$x=20$代入解析式得：
$y=-\frac{1}{8}×(20+40)×(20-40)=-\frac{1}{8}×60×(-20)=150$。
【答案】
150米
【知识点】
二次函数的实际应用、待定系数法求解析式、二次函数的对称性
【点评】
本题属于常规的抛物线建模应用题，解题的关键是选择合适的坐标系简化计算，将实际问题中的长度、高度对应到坐标系内点的坐标，通过求解二次函数解析式代入计算即可得到结果，充分利用抛物线的对称性可减少计算量。
【难度系数】
0.7
解决抛物线类实际问题的核心是将实际图形转化为二次函数模型求解。首先我们利用抛物线的对称性建立简便的平面直角坐标系：以底部所在直线为x轴，抛物线对称轴为y轴，可直接得到抛物线与x轴的交点为(-40,0)、(40,0)，顶点坐标为(0,200)。接下来选择交点式设抛物线解析式，代入顶点坐标求出未知系数得到完整解析式。最后结合CD的长度为40米，由对称性得对应点横坐标为±20，代入解析式求出的y值就是所求的离地高度。
【解析】
以底部所在直线为x轴，抛物线对称轴为y轴，建立平面直角坐标系。
由题意得：抛物线与x轴的交点坐标为(-40,0)、(40,0)，顶点坐标为(0,200)。
设抛物线解析式为$ y=a(x+40)(x-40) $，
将$(0,200)$代入解析式得：$200=a×(0+40)×(0-40)$，
即$200=-1600a$，解得$a=-\frac{1}{8}$。
因此抛物线解析式为$ y=-\frac{1}{8}(x+40)(x-40) $。
已知CD长为40米，由抛物线对称性可知点D的横坐标为20，
将$x=20$代入解析式得：
$y=-\frac{1}{8}×(20+40)×(20-40)=-\frac{1}{8}×60×(-20)=150$。
【答案】
150米
【知识点】
二次函数的实际应用、待定系数法求解析式、二次函数的对称性
【点评】
本题属于常规的抛物线建模应用题，解题的关键是选择合适的坐标系简化计算，将实际问题中的长度、高度对应到坐标系内点的坐标，通过求解二次函数解析式代入计算即可得到结果，充分利用抛物线的对称性可减少计算量。
【难度系数】
0.7
3.「2026山东烟台福山期中」如果某型号飞机降落后滑行的距离$s$(单位:米)关于滑行的时间$t$(单位:秒)的函数解析式是$s=54t-\frac{3}{2}t^2$,则该飞机着陆后滑行最长时间为（
A.18秒
B.9秒
C.6秒
D.3.6秒
A
）A.18秒
B.9秒
C.6秒
D.3.6秒
答案
A s=54t-3/2 t²=-3/2(t-18)²+486,
∵ -3/2＜0,
∴ 当t=18时,s有最大值,此时飞机停下来,
∴ 该飞机着陆后滑行最长时间为18秒.故选A.
∵ -3/2＜0,
∴ 当t=18时,s有最大值,此时飞机停下来,
∴ 该飞机着陆后滑行最长时间为18秒.故选A.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确飞机着陆后滑行到最大距离时就会停止运动，此时对应的时间就是最长滑行时间。题目给出的滑行距离s关于时间t的函数是二次函数，且二次项系数为负数，抛物线开口向下，函数存在最大值，我们只需要求出函数取得最大值时对应的t值即可得到答案，可以通过将二次函数解析式化为顶点式来求解。
【解析】
首先对函数解析式进行变形，化为顶点式：
$s=54t-\frac{3}{2}t^2=-\frac{3}{2}(t^2-36t)=-\frac{3}{2}(t^2-36t+324-324)=-\frac{3}{2}(t-18)^2+486$
$\because$ 二次项系数$a=-\frac{3}{2}＜0$，
$\therefore$ 该抛物线开口向下，当$t=18$时，$s$取得最大值，此时飞机滑行到最远位置，刚好停止。
因此该飞机着陆后滑行最长时间为18秒，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数的实际应用类问题，解题的关键是结合实际情境，明确飞机停止滑行对应二次函数取得最大值的状态，将实际问题转化为求二次函数最值的数学问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确飞机着陆后滑行到最大距离时就会停止运动，此时对应的时间就是最长滑行时间。题目给出的滑行距离s关于时间t的函数是二次函数，且二次项系数为负数，抛物线开口向下，函数存在最大值，我们只需要求出函数取得最大值时对应的t值即可得到答案，可以通过将二次函数解析式化为顶点式来求解。
【解析】
首先对函数解析式进行变形，化为顶点式：
$s=54t-\frac{3}{2}t^2=-\frac{3}{2}(t^2-36t)=-\frac{3}{2}(t^2-36t+324-324)=-\frac{3}{2}(t-18)^2+486$
$\because$ 二次项系数$a=-\frac{3}{2}＜0$，
$\therefore$ 该抛物线开口向下，当$t=18$时，$s$取得最大值，此时飞机滑行到最远位置，刚好停止。
因此该飞机着陆后滑行最长时间为18秒，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次函数实际应用；二次函数的最值
【点评】
本题属于二次函数的实际应用类问题，解题的关键是结合实际情境，明确飞机停止滑行对应二次函数取得最大值的状态，将实际问题转化为求二次函数最值的数学问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的核心。
【难度系数】
0.7
4.「2025江苏连云港中考」如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线$y=a(x-3)^2+2.5$运行，其中x(m)是铅球离初始位置的水平距离，y(m)是铅球离地面的竖直高度.若铅球抛出时离地面的竖直高度OA为1.6 m，则铅球掷出的水平距离OB为
8
m.答案
答案 8
解析
∵ OA=1.6 m,
∴ A(0,1.6),
将A(0,1.6)代入y=a(x-3)²+2.5,
得1.6=a(0-3)²+2.5,解得a=-1/10,
∴ 该抛物线解析式为y=-1/10(x-3)²+2.5,
令y=0,得-1/10(x-3)²+2.5=0,
解得x₁=8,x₂=-2(不合题意,舍去),
∴ 铅球掷出的水平距离OB为8 m.
解析
∵ OA=1.6 m,
∴ A(0,1.6),
将A(0,1.6)代入y=a(x-3)²+2.5,
得1.6=a(0-3)²+2.5,解得a=-1/10,
∴ 该抛物线解析式为y=-1/10(x-3)²+2.5,
令y=0,得-1/10(x-3)²+2.5=0,
解得x₁=8,x₂=-2(不合题意,舍去),
∴ 铅球掷出的水平距离OB为8 m.
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步，先根据OA的长度确定抛物线上点A的坐标，将其代入给出的顶点式抛物线解析式，求出未知系数a，得到完整的抛物线解析式；第二步，OB是铅球落地时的水平距离，对应函数值y=0，令解析式中y=0解一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根，得到的正根就是OB的长度。
【解析】
∵ OA=1.6 m，点A在y轴上，
∴ 点A的坐标为$(0,1.6)$，
将$A(0,1.6)$代入$y=a(x-3)^2+2.5$，
得$1.6=a(0-3)^2+2.5$，
即$1.6=9a+2.5$，解得$a=-\frac{1}{10}$，
∴ 抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{10}(x-3)^2+2.5$，
铅球落地时竖直高度为0，令$y=0$，得：
$-\frac{1}{10}(x-3)^2+2.5=0$，
整理得$(x-3)^2=25$，
解得$x_1=8$，$x_2=-2$，
∵ 水平距离不能为负，$x_2=-2$不合题意，舍去，
∴ 铅球掷出的水平距离OB为8 m。
【答案】
8
【知识点】
二次函数实际应用、待定系数法求解析式、二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是抛物线实际应用的常规题型，解题关键是把实际场景中的量转化为函数的点坐标和对应值，求解后注意结合实际意义对解进行取舍。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步，先根据OA的长度确定抛物线上点A的坐标，将其代入给出的顶点式抛物线解析式，求出未知系数a，得到完整的抛物线解析式；第二步，OB是铅球落地时的水平距离，对应函数值y=0，令解析式中y=0解一元二次方程，舍去不符合实际意义的负根，得到的正根就是OB的长度。
【解析】
∵ OA=1.6 m，点A在y轴上，
∴ 点A的坐标为$(0,1.6)$，
将$A(0,1.6)$代入$y=a(x-3)^2+2.5$，
得$1.6=a(0-3)^2+2.5$，
即$1.6=9a+2.5$，解得$a=-\frac{1}{10}$，
∴ 抛物线的解析式为$y=-\frac{1}{10}(x-3)^2+2.5$，
铅球落地时竖直高度为0，令$y=0$，得：
$-\frac{1}{10}(x-3)^2+2.5=0$，
整理得$(x-3)^2=25$，
解得$x_1=8$，$x_2=-2$，
∵ 水平距离不能为负，$x_2=-2$不合题意，舍去，
∴ 铅球掷出的水平距离OB为8 m。
【答案】
8
【知识点】
二次函数实际应用、待定系数法求解析式、二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题是抛物线实际应用的常规题型，解题关键是把实际场景中的量转化为函数的点坐标和对应值，求解后注意结合实际意义对解进行取舍。
【难度系数】
0.7
5.「2026江苏苏州期中」某喷灌系统工作时的侧面示意图如图所示，升降杆OL垂直于地面，喷射的水柱呈抛物线形，喷头H能在升降杆上调整高度，将喷头调整至离地面2米高时，喷射的水柱距升降杆1米处达到最高，高度为2.25米，将喷头再调高4米，喷射水柱的形状保持不变，求此时喷射的水柱落地点与O的距离。
单位：米
单位：米
答案
解析 以直线OL为y轴,以地面为x轴建立平面直角坐标系(图略),
由题意可得,抛物线的顶点为(1,9/4),经过点(0,2),
∴ 设抛物线解析式为y=a(x-1)²+9/4,
将(0,2)代入可得a+9/4=2,解得a=-1/4,
∴ 抛物线解析式为y=-1/4(x-1)²+9/4,
∵ 将喷头再调高4米,喷射水柱的形状保持不变,
∴ 调高后的抛物线解析式为y=-1/4(x-1)²+9/4 +4,即y=-1/4(x-1)²+25/4,
将y=0代入得-1/4(x-1)²+25/4=0,
整理得(x-1)²=25,
解得x=6或x=-4(不合题意,舍去).
答:此时喷射的水柱落地点与O的距离为6米.
由题意可得,抛物线的顶点为(1,9/4),经过点(0,2),
∴ 设抛物线解析式为y=a(x-1)²+9/4,
将(0,2)代入可得a+9/4=2,解得a=-1/4,
∴ 抛物线解析式为y=-1/4(x-1)²+9/4,
∵ 将喷头再调高4米,喷射水柱的形状保持不变,
∴ 调高后的抛物线解析式为y=-1/4(x-1)²+9/4 +4,即y=-1/4(x-1)²+25/4,
将y=0代入得-1/4(x-1)²+25/4=0,
整理得(x-1)²=25,
解得x=6或x=-4(不合题意,舍去).
答:此时喷射的水柱落地点与O的距离为6米.
解析
【分析】
这是二次函数在实际生活中的应用类问题，解题思路如下：首先建立合适的平面直角坐标系，将实际场景中的位置转化为坐标；已知原抛物线的顶点坐标和经过的一个点，选择顶点式设原抛物线解析式，代入点求出二次项系数a；喷头调高4米且水柱形状不变，说明抛物线开口大小、方向不变（即a不变），仅整体向上平移4个单位，由此得到新的抛物线解析式；最后落地点对应y=0的位置，代入解析式求解x，结合实际意义舍去负解，得到的正x值就是落地点与O的距离。
【解析】
以O为原点，地面所在直线为x轴，OL所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知，原抛物线的顶点坐标为$(1,\frac{9}{4})$，且经过点$(0,2)$。
设原抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2+\frac{9}{4}$，将$(0,2)$代入解析式得：
$a+\frac{9}{4}=2$，解得$a=-\frac{1}{4}$。
因此原抛物线解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-1)^2+\frac{9}{4}$。
因为喷头调高4米后水柱形状不变，所以新抛物线的二次项系数与原抛物线相同，整体向上平移4个单位，可得新抛物线解析式为：
$y=-\frac{1}{4}(x-1)^2+\frac{9}{4}+4$，整理得$y=-\frac{1}{4}(x-1)^2+\frac{25}{4}$。
落地点处水柱高度为0，将$y=0$代入新解析式：
$-\frac{1}{4}(x-1)^2+\frac{25}{4}=0$
两边同乘4得：$-(x-1)^2+25=0$，即$(x-1)^2=25$。
解得$x_1=6$，$x_2=-4$，因为距离不能为负，舍去$x=-4$。
【答案】
6米
【知识点】
二次函数的应用，二次函数图象平移，解一元二次方程
【点评】
本题是抛物线实际应用的典型题型，解题核心是抓住“形状不变则二次项系数不变”的特点，结合平移规律快速得到新抛物线的解析式，求解时要注意结合实际场景对解进行取舍，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
这是二次函数在实际生活中的应用类问题，解题思路如下：首先建立合适的平面直角坐标系，将实际场景中的位置转化为坐标；已知原抛物线的顶点坐标和经过的一个点，选择顶点式设原抛物线解析式，代入点求出二次项系数a；喷头调高4米且水柱形状不变，说明抛物线开口大小、方向不变（即a不变），仅整体向上平移4个单位，由此得到新的抛物线解析式；最后落地点对应y=0的位置，代入解析式求解x，结合实际意义舍去负解，得到的正x值就是落地点与O的距离。
【解析】
以O为原点，地面所在直线为x轴，OL所在直线为y轴建立平面直角坐标系。
由题意可知，原抛物线的顶点坐标为$(1,\frac{9}{4})$，且经过点$(0,2)$。
设原抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2+\frac{9}{4}$，将$(0,2)$代入解析式得：
$a+\frac{9}{4}=2$，解得$a=-\frac{1}{4}$。
因此原抛物线解析式为$y=-\frac{1}{4}(x-1)^2+\frac{9}{4}$。
因为喷头调高4米后水柱形状不变，所以新抛物线的二次项系数与原抛物线相同，整体向上平移4个单位，可得新抛物线解析式为：
$y=-\frac{1}{4}(x-1)^2+\frac{9}{4}+4$，整理得$y=-\frac{1}{4}(x-1)^2+\frac{25}{4}$。
落地点处水柱高度为0，将$y=0$代入新解析式：
$-\frac{1}{4}(x-1)^2+\frac{25}{4}=0$
两边同乘4得：$-(x-1)^2+25=0$，即$(x-1)^2=25$。
解得$x_1=6$，$x_2=-4$，因为距离不能为负，舍去$x=-4$。
【答案】
6米
【知识点】
二次函数的应用，二次函数图象平移，解一元二次方程
【点评】
本题是抛物线实际应用的典型题型，解题核心是抓住“形状不变则二次项系数不变”的特点，结合平移规律快速得到新抛物线的解析式，求解时要注意结合实际场景对解进行取舍，避免出现不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7
