1[中]如图,点C是线段AB上的一点,且AC＜BC,M和N分别是AB和BC的中点,已知AC=10,NB=7,则线段MN的长度是 ()


A.3
B.3.5
C.4
D.5

【解析】因为 N 是 BC 的中点,所以 BN=CN,所以 AB=AC+2BN=10+14=24. 因为 M 是 AB 的中点,所以 $BM=\frac{1}{2}AB = 12$,所以 MN=BM-BN=12-7=5,故选 D.

2[较难]如图,点C在线段AB上,点M,N分别是AC,BC的中点.
(1)若AC=9 cm,CB=6 cm,求线段MN的长.
(2)若C为线段AB上任一点,满足AC+CB=a cm,其他条件不变,你能猜想出MN的长度吗?请说明理由.
(3)若C在线段AB的延长线上,且满足AC-BC=b cm,M,N分别为AC,BC的中点,你能猜想出MN的长度吗?请画出图形,写出你的结论,并说明理由.

(1)因为 AC=9 cm,点 M 是 AC 的中点,所以 $CM=\frac{1}{2}AC=4.5$ cm.
因为 BC=6 cm,点 N 是 BC 的中点,
所以 $CN=\frac{1}{2}BC=3$ cm,
所以 MN=CM+CN=7.5 cm,
所以线段 MN 的长度为 7.5 cm.
(2)$MN=\frac{1}{2}a$ cm. 理由:因为 C 为线段 AB 上一点,且 M,N 分别是 AC,BC 的中点,
所以 $MN=MC+CN=\frac{1}{2}(AC+BC)=\frac{1}{2}a$ cm.
(3)$MN=\frac{1}{2}b$ cm. 当点 C 在线段 AB 的延长线上时,如图,$MN=\frac{1}{2}b$ cm.
理由:因为 M 是 AC 的中点,
所以 $CM=\frac{1}{2}AC$.
因为点 N 是 BC 的中点,
所以 $CN=\frac{1}{2}BC$,
所以 $MN=CM-CN=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}b$ cm.

3[2025山东聊城期中,难]如图,已知数轴上A,B两点所表示的数分别为-2和8.

(1)若点A,B分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度沿数轴向左移动,请直接写出移动多少秒时,A,B两点间的距离恰好为8.
(2)若P为射线BA上的一点(点P不与A,B两点重合),M为PA的中点,N为PB的中点,当点P在射线BA上运动时,线段MN的长度是否发生改变?若不变,请你画出图形,并求出线段MN的长度;若改变,请说明理由.
(3)在(2)的条件下,当点P在数轴上所表示的数是多少时,$PN=3PM$?

【思路分析】
(1)设A,B点移动的时间为t秒,则t秒后点A,B在数轴上所表示的数分别-2-t,8-3t,后分点B在点A右侧和B在点A左侧分别建立方程求解即可.
(1)1秒或9秒. 设 A,B 两点移动的时间为 t 秒. 由题意可知 t 秒后点 A,B 在数轴上所表示的数分别为-2-t,8-3t. 当点 B 在点 A 的右侧时,8-3t-(-2-t)=8,解得 t=1;当点 B 在点 A 的左侧时,-2-t-(8-3t)=8,解得 t=9.
综上所述,当移动 1 秒或 9 秒时,A,B 两点间的距离恰好为 8.
(2)线段 MN 的长度不变. 因为 A,B 两点所表示的数分别为-2 和 8,所以 AB=8-(-2)=10. 因为 M 为 PA 的中点,N 为 PB 的中点,所以 $MP=\frac{1}{2}AP,NP=\frac{1}{2}BP$. 点 P 的位置分下面两种情况:
①当点 P 在 A,B 两点之间运动时,如图.
此时 $MN=MP+NP=\frac{1}{2}AP+\frac{1}{2}BP=\frac{1}{2}AB=5$.
②当点 P 在点 A 的左侧运动时,如图.
此时 $MN=NP-MP=\frac{1}{2}BP-\frac{1}{2}AP=\frac{1}{2}AB=5$.
综上所述,线段 MN 的长度不变,其值为 5.
(3)当点 P 在 A,B 两点之间,且 PN=3PM 时,因为 $MP=\frac{1}{2}AP,NP=\frac{1}{2}BP$,
所以 3AP=BP.
又因为 AP+BP=AB=10,
所以 AP+3AP=10,
所以 $AP=\frac{5}{2}$,
此时点 P 所表示的数为 $-2+\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$.
当点 P 在点 A 的左侧,且 PN=3PM 时,
同理得 3AP=BP. 因为 BP-AP=AB=10,所以 3AP-AP=10,
所以 AP=5,此时点 P 所表示的数为-2-5=-7.
故当点 P 所表示的数是 $\frac{1}{2}$ 或-7 时,PN=3PM.

4[中]如图,点A,B,C在同一直线上,H为AC的中点,M为AB的中点,N为BC的中点,则下列说法:①$MN=HC$;②$MN=\frac{1}{2}(AC+HB)$;③$MH=\frac{1}{2}(AH-HB)$;④$HN=\frac{1}{2}(HC+HB)$,其中正确的是()


A.①③
B.②④
C.①④
D.①③④

【解析】因为 H 为 AC 的中点,M 为 AB 的中点,N 为 BC 的中点,所以 $MN=\frac{1}{2}AC=HC$,①正确,②错误; $MH=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AC-AB)=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(HC-HB)=\frac{1}{2}(AH-HB)$,③正确; $HN=HC-NC=\frac{1}{2}AC-\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}(AC-BC)=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}(AH+HB)=\frac{1}{2}(HC+HB)$,④正确. 所以①③④正确. 故选 D.