14[2026四川雅安期中]已知$x+1$的平方根是$\pm2$,$2x+y-2$的立方根是2,求$x^2+y^2$的算术平方根.

14.【解】因为 $x+1$ 的平方根是 $\pm2$,所以 $x+1=4$,所以 $x=3$. 因为 $2x+y-2$ 的立方根是 2,所以 $2x+y-2=8$. 把 $x$ 的值代入 $2x+y-2=8$,解得 $y=4$,所以 $x^2+y^2=25$,所以 $x^2+y^2$ 的算术平方根为 5.

【分析】
解题时可根据平方根、立方根的定义逐步求解：首先，若一个数的平方根为±a，则这个数等于a²，据此可根据“x+1的平方根是±2”列出方程求出x的值；其次，若一个数的立方根为b，则这个数等于b³，据此可根据“2x+y-2的立方根是2”列出方程，代入已求出的x值即可得到y的值；最后将x、y代入x²+y²计算，再求其非负的算术平方根即可。
【解析】
∵ $x+1$ 的平方根是 $\pm2$，
∴ $x+1=(\pm2)^2=4$，解得 $x=3$。
∵ $2x+y-2$ 的立方根是 2，
∴ $2x+y-2=2^3=8$。
将 $x=3$ 代入上式，得 $2×3 + y -2 =8$，
计算得 $6+y-2=8$，解得 $y=4$。
∴ $x^2+y^2=3^2+4^2=9+16=25$，
∵ 25的算术平方根为非负值，即$\sqrt{25}=5$，
∴ $x^2+y^2$ 的算术平方根为5。
【答案】
5
【知识点】
平方根的定义；立方根的定义；算术平方根的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查平方根、立方根、算术平方根的概念应用，解题关键是根据各类根的定义列出方程求出x、y的值，计算时注意区分平方根和算术平方根的区别即可。
【难度系数】
0.8

15 如图,每个小正方形的边长均为1.
(1)图中阴影部分的面积是,阴影部分正方形的边长a是.
(2)估计边长a的值在两个相邻整数与之间.
(3)我们知道π是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此π的小数部分我们不可能全部写出来,我们可以用3来表示它的整数部分,用π-3表示它的小数部分.设边长a的整数部分为x,小数部分为y,求x-y的相反数.

15.【解】(1)题图中阴影部分的面积是 $5×5-4×\frac{1}{2}×2×3=25-12=13$,则阴影部分正方形的边长 $a$ 是 $\sqrt{13}$. 故答案为 $13,\sqrt{13}$.
(2)因为 $9＜13＜16$,所以 $3＜\sqrt{13}＜4$. 故答案为 $3,4$.
(3)因为 $3＜\sqrt{13}＜4$,所以 $a$ 的整数部分 $x=3$,小数部分 $y=\sqrt{13}-3$. 因为 $x-y=3-(\sqrt{13}-3)=6-\sqrt{13}$,所以 $x-y$ 的相反数为 $\sqrt{13}-6$.

【分析】
(1) 阴影为斜置正方形，直接计算边长较困难，可采用割补法：先计算边长为5的大正方形总面积，再减去阴影周围4个全等直角三角形的总面积，即可得到阴影部分面积；再根据正方形面积等于边长的平方，对阴影面积开算术平方根就能得到边长a。
(2) 估算无理数的取值范围时，找到和被开方数相邻的两个完全平方数，根据算术平方根的性质，即可确定该无理数在哪两个相邻整数之间。
(3) 先根据a的取值范围确定其整数部分x，再用原数减去整数部分得到小数部分y，计算出x-y的结果后，根据相反数的定义给整体加负号化简，即可得到最终结果。
【解析】
(1) 大正方形的面积为 $5×5=25$，阴影周围每个直角三角形的面积为 $\frac{1}{2}×2×3=3$，4个三角形总面积为 $4×3=12$，因此阴影部分面积为 $25-12=13$。
因为阴影是正方形，面积等于边长的平方，所以边长 $a=\sqrt{13}$。
(2) 因为 $9＜13＜16$，对三个数同时开算术平方根可得 $\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即 $3＜\sqrt{13}＜4$，因此a的值在整数3和4之间。
(3) 由(2)可知 $3＜\sqrt{13}＜4$，所以a的整数部分 $x=3$，小数部分 $y=\sqrt{13}-3$。
计算得 $x-y=3-(\sqrt{13}-3)=6-\sqrt{13}$，因此$x-y$的相反数为 $-(6-\sqrt{13})=\sqrt{13}-6$。
【答案】
(1) $\boxed{13}$，$\boxed{\sqrt{13}}$
(2) $\boxed{3}$，$\boxed{4}$
(3) $\boxed{\sqrt{13}-6}$
【知识点】
割补法求面积，无理数的估算，相反数的定义
【点评】
本题综合考察了面积计算、无理数估算和实数运算相关知识，解题关键是灵活运用割补法求解不规则图形面积，掌握无理数整数部分、小数部分的确定方法，注重对基础方法运用能力的考察。
【难度系数】
0.7

16[2025广东佛山期中]我们知道$(\sqrt{13}+3)×(\sqrt{13}-3)=4$,因此在计算$\frac{1}{\sqrt{13}-3}$时,分子和分母同时乘$\sqrt{13}+3$,从而将分母中含有的根号通过化简去掉,这就是分母有理化.
(1)化简:$\frac{1}{4+\sqrt{15}}$.
(2)若$a=\frac{1}{3-\sqrt{7}}$,求$4a^2-12a+5$的值.
(3)若$a=\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}$,$b=\frac{1}{\sqrt{5}-2}$,比较$a$和$b$的大小.

16.【解】(1)原式 $=\frac{4-\sqrt{15}}{(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})}=\frac{4-\sqrt{15}}{16-15}=4-\sqrt{15}$.
(2) 因为 $a=\frac{1}{3-\sqrt{7}}=\frac{3+\sqrt{7}}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}=\frac{3+\sqrt{7}}{2}$,所以原式 $=4×(\frac{3+\sqrt{7}}{2})^2 -12×\frac{3+\sqrt{7}}{2} +5=4×\frac{(3+\sqrt{7})^2}{4}-6(3+\sqrt{7})+5=(3+\sqrt{7})^2 -18-6\sqrt{7}+5=9+6\sqrt{7}+7-18-6\sqrt{7}+5=3$.
(3)$a=\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}=\sqrt{6}+\sqrt{5}$,$b=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$.
因为 $\sqrt{6}＞2$,所以 $\sqrt{6}+\sqrt{5}＞2+\sqrt{5}$,所以 $a＞b$.

【分析】
本题三个小问均围绕分母有理化展开，解题思路如下：
(1) 对于形如$\frac{1}{a+\sqrt{b}}$的式子，利用平方差公式，给分子分母同乘$(a-\sqrt{b})$，将分母化为整数即可完成化简；
(2) 先对$a$进行分母有理化得到最简形式，再将$a$代入所求代数式，按照完全平方公式、四则运算顺序逐步计算，计算过程中含根号的项会相互抵消得到结果；
(3) 分别对$a$、$b$进行分母有理化，将二者转化为不含分母的根式和的形式，再通过比较同类项外的剩余项大小，即可判断$a$和$b$的大小关系。
【解析】
(1) 对原式分母有理化，分子分母同乘$(4-\sqrt{15})$：
原式 $=\frac{4-\sqrt{15}}{(4+\sqrt{15})(4-\sqrt{15})}=\frac{4-\sqrt{15}}{16-15}=4-\sqrt{15}$
(2) 先化简$a$：
$a=\frac{1}{3-\sqrt{7}}=\frac{3+\sqrt{7}}{(3-\sqrt{7})(3+\sqrt{7})}=\frac{3+\sqrt{7}}{2}$
将$a=\frac{3+\sqrt{7}}{2}$代入$4a^2-12a+5$：
原式 $=4×(\frac{3+\sqrt{7}}{2})^2 -12×\frac{3+\sqrt{7}}{2} +5$
$=4×\frac{(3+\sqrt{7})^2}{4}-6(3+\sqrt{7})+5$
$=9+6\sqrt{7}+7-18-6\sqrt{7}+5$
$=3$
(3) 分别化简$a$、$b$：
$a=\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{5}}{(\sqrt{6}-\sqrt{5})(\sqrt{6}+\sqrt{5})}=\sqrt{6}+\sqrt{5}$
$b=\frac{1}{\sqrt{5}-2}=\frac{\sqrt{5}+2}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\sqrt{5}+2$
因为$\sqrt{6}＞2$，所以$\sqrt{6}+\sqrt{5}＞2+\sqrt{5}$，即$a＞b$
【答案】
(1) $4-\sqrt{15}$；(2) $3$；(3) $a＞b$
【知识点】
分母有理化，二次根式混合运算，实数大小比较
【点评】
本题核心考查分母有理化的运算方法，利用平方差公式消去分母中的根号是解题的关键。第二问代入求值时要注意完全平方公式的正确展开，运算过程中含根号的同类项会抵消，可简化计算；第三问将两个无理数转化为同结构的根式和再比较大小，运算更简便，属于二次根式的常考基础题型，熟练掌握方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7

17[2025山东青岛质检]观察图形，认真分析下列各式，然后解答问题：
$OA_1=1$；
$OA_2=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$；$S_1=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$；
$OA_3=\sqrt{2+1^2}=\sqrt{3}$；$S_2=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×1=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
$OA_4=\sqrt{3+1^2}=\sqrt{4}$；$S_3=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
(1)推算出$OA_5=$.
(2)若$n$是正整数，则$S_n=$.
(3)若一个三角形的面积是3，则它是第几个三角形？
(4)求出$S_1^2+S_2^2+S_3^2+\dots+S_{100}^2$的值.

刷晕了鸭

17.【解】(1)观察可得 $OA_n=\sqrt{n}$,所以 $OA_5=\sqrt{5}$. 故答案为 $\sqrt{5}$.
(2)结合已知数据,可得 $S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$. 故答案为 $\frac{\sqrt{n}}{2}$.
(3)若一个三角形的面积是 3,则 $S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}=3$,所以 $\sqrt{n}=2×3=6=\sqrt{36}$,所以 $n=36$,所以它是第 36 个三角形.
(4)$S_1^2+S_2^2+S_3^2+\dots+S_{100}^2=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\dots+\frac{100}{4}=\frac{1+2+3+\dots+100}{4}=\frac{2\ 525}{2}$.

【分析】
先观察题干给出的OA长度、三角形面积的计算过程，归纳通用规律：①$OA_n=\sqrt{n}$（$n$为正整数）；②$S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$（$n$为正整数）。各小问按规律求解：(1)将$n=5$代入$OA_n$的通式即可得到$OA_5$；(2)直接总结面积的规律得到$S_n$的表达式；(3)令$S_n=3$，解关于$n$的方程即可得到对应三角形的序号；(4)先推导$S_n^2=\frac{n}{4}$，再利用等差数列求和公式计算1到100的和，除以4即可得到最终结果。
【解析】
(1) 由已知条件：$OA_1=\sqrt{1}=1$，$OA_2=\sqrt{2}$，$OA_3=\sqrt{3}$，$OA_4=\sqrt{4}$，可归纳出规律$OA_n=\sqrt{n}$，当$n=5$时，$OA_5=\sqrt{5}$。
(2) 观察面积的计算结果：$S_1=\frac{\sqrt{1}}{2}$，$S_2=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{2}$，因此可得规律：$S_n=\frac{\sqrt{n}}{2}$（$n$为正整数）。
(3) 令$S_n=3$，代入通式得：$\frac{\sqrt{n}}{2}=3$，
两边同时乘2得：$\sqrt{n}=6$，
两边同时平方得：$n=36$，即该三角形是第36个。
(4) 先计算$S_n^2=(\frac{\sqrt{n}}{2})^2=\frac{n}{4}$，因此：
$S_1^2+S_2^2+S_3^2+\dots+S_{100}^2=\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}+\dots+\frac{100}{4}$
$=\frac{1+2+3+\dots+100}{4}$
其中$1+2+3+\dots+100=\frac{(1+100)×100}{2}=5050$，代入得：
原式$=\frac{5050}{4}=\frac{2525}{2}$。
【答案】
(1) $\sqrt{5}$
(2) $\frac{\sqrt{n}}{2}$
(3) 第36个
(4) $\frac{2525}{2}$
【知识点】
勾股定理；规律探究；等差数列求和
【点评】
本题是典型的图形规律探究题，结合勾股定理考查归纳推理能力，解题核心是准确总结出$OA_n$和$S_n$的通用表达式，后续问题代入公式即可求解，掌握等差数列求和方法是解决第(4)问的关键。
【难度系数】
0.7