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1[2026湖南长沙期末]下列函数中，是正比例函数的是（
A.$y=3x+1$
B.$y=3x^2$
C.$y=\frac{3}{x}$
D.$y=\frac{x}{3}$
D
）A.$y=3x+1$
B.$y=3x^2$
C.$y=\frac{3}{x}$
D.$y=\frac{x}{3}$
答案
1.D 【解析】A 选项,$y=3x+1$ 是一次函数,不是正比例函数,故不符合题意; B 选项,$y=3x^2$ 不是正比例函数,故不符合题意; C 选项,$y=\frac{3}{x}$不是正比例函数,故不符合题意; D 选项,$y=\frac{x}{3}$是正比例函数,故符合题意. 故选 D.
解析
【分析】
要判断哪个是正比例函数，首先需要明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$是常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数，它需要满足三个特征：①函数表达式是整式；②自变量$x$的次数为1；③没有常数项，且$x$的系数不为0。解题时我们只要对照这三个特征，逐个分析选项即可排除错误选项，选出正确答案。
【解析】
首先回忆正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为正比例函数。
A选项：$y=3x+1$含有常数项1，属于一次函数，不符合正比例函数的定义，排除；
B选项：$y=3x^2$中自变量$x$的次数是2，属于二次函数，不符合正比例函数的定义，排除；
C选项：$y=\frac{3}{x}$可变形为$y=3x^{-1}$，自变量$x$的次数是-1，属于反比例函数，不符合正比例函数的定义，排除；
D选项：$y=\frac{x}{3}$可变形为$y=\frac{1}{3}x$，符合$y=kx$（$k=\frac{1}{3}≠0$）的形式，是正比例函数，符合题意。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的定义、函数类型识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对正比例函数定义的理解和运用，解题时要注意区分正比例函数与一次函数、二次函数、反比例函数的形式差异，熟练掌握各类函数的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断哪个是正比例函数，首先需要明确正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$是常数，且$k≠0$）的函数叫做正比例函数，它需要满足三个特征：①函数表达式是整式；②自变量$x$的次数为1；③没有常数项，且$x$的系数不为0。解题时我们只要对照这三个特征，逐个分析选项即可排除错误选项，选出正确答案。
【解析】
首先回忆正比例函数的定义：形如$y=kx$（$k$为常数，$k≠0$）的函数为正比例函数。
A选项：$y=3x+1$含有常数项1，属于一次函数，不符合正比例函数的定义，排除；
B选项：$y=3x^2$中自变量$x$的次数是2，属于二次函数，不符合正比例函数的定义，排除；
C选项：$y=\frac{3}{x}$可变形为$y=3x^{-1}$，自变量$x$的次数是-1，属于反比例函数，不符合正比例函数的定义，排除；
D选项：$y=\frac{x}{3}$可变形为$y=\frac{1}{3}x$，符合$y=kx$（$k=\frac{1}{3}≠0$）的形式，是正比例函数，符合题意。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
正比例函数的定义、函数类型识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对正比例函数定义的理解和运用，解题时要注意区分正比例函数与一次函数、二次函数、反比例函数的形式差异，熟练掌握各类函数的定义即可快速解题。
【难度系数】
0.9
2[2026江西九江质检]若一次函数$y=mx+1$（$m$为常数，$m≠0$）的图象从左向右呈下降趋势，则函数$y=-mx$的图象经过（
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、二象限
D.第三、四象限
A
）A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、二象限
D.第三、四象限
答案
2.A 【解析】因为一次函数 $y=mx+1$ ($m$ 为常数,$m≠0$) 的图象从左向右呈下降趋势,所以 $m＜0$,所以$-m＞0$,所以函数 $y=-mx$ 的图象经过第一、三象限,故选 A.
解析
【分析】
解题时先回忆一次函数的增减性规律：一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中，当$k＜0$时，图象从左向右下降，$y$随$x$的增大而减小。首先根据题干给出的一次函数的下降趋势，求出$m$的取值范围；再将$m$的符号代入到正比例函数$y=-mx$中，判断其比例系数的正负，最后结合正比例函数的图象性质，即可确定函数经过的象限。
【解析】
∵ 一次函数$y=mx+1$（$m$为常数，$m≠0$）的图象从左向右呈下降趋势，
∴ 一次项系数$m＜0$，
∴ $-m＞0$，
∵ 正比例函数$y=kx$（$k≠0$）中，当$k＞0$时，图象经过第一、三象限，
∴ 函数$y=-mx$的图象经过第一、三象限，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；正比例函数的性质
【点评】
本题属于函数基础题，核心考查一次函数、正比例函数的系数与图象特征的对应关系，解题的突破口是根据一次函数的增减性判断出$m$的符号，只要熟记相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆一次函数的增减性规律：一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中，当$k＜0$时，图象从左向右下降，$y$随$x$的增大而减小。首先根据题干给出的一次函数的下降趋势，求出$m$的取值范围；再将$m$的符号代入到正比例函数$y=-mx$中，判断其比例系数的正负，最后结合正比例函数的图象性质，即可确定函数经过的象限。
【解析】
∵ 一次函数$y=mx+1$（$m$为常数，$m≠0$）的图象从左向右呈下降趋势，
∴ 一次项系数$m＜0$，
∴ $-m＞0$，
∵ 正比例函数$y=kx$（$k≠0$）中，当$k＞0$时，图象经过第一、三象限，
∴ 函数$y=-mx$的图象经过第一、三象限，故选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数的性质；正比例函数的性质
【点评】
本题属于函数基础题，核心考查一次函数、正比例函数的系数与图象特征的对应关系，解题的突破口是根据一次函数的增减性判断出$m$的符号，只要熟记相关性质就能快速求解。
【难度系数】
0.9
3[2026山西运城期中]某数学兴趣小组的同学根据古代的沙漏模型，制作了一套“沙漏计时装置”，该装置由沙漏和精密电子秤组成，电子秤上放置盛沙容器，沙子缓慢匀速地从沙漏孔漏到精密电子秤上的容器内，可以通过读取电子秤的读数计算时间（假设沙子足够）。该小组进行试验时，每两小时记录一次电子秤读数，得到下表数据：
若本次试验开始记录的时间是上午8:00，由表中数据推测，当精密电子秤的读数为66克时的时间是
（
A.16:00
B.17:00
C.18:00
D.19:00
若本次试验开始记录的时间是上午8:00，由表中数据推测，当精密电子秤的读数为66克时的时间是
（
C
）A.16:00
B.17:00
C.18:00
D.19:00
答案
3.C 【解析】观察表格数据发现每经过 2 小时, $y$ 增加 12 克,即每小时增加 6 克,所以 $y$ 与 $x$ 是一次函数关系,设一次函数表达式为 $y=kx+b$. 将 $x=0,y=6$ 和 $x=2,y=18$ 代入表达式,解得 $b=6,k=6$,所以 $y=6x+6$. 令 $y=66$,则 $66=6x+6$,解得 $x=10$. 因为试验开始记录时间是上午 8:00,漏沙时间是 10 小时,所以精密电子秤的读数为 66 克时的时间是 18:00. 故选 C.
解析
【分析】
解题时首先观察表格中两个变量的变化规律：漏沙时间x每增加2小时，电子秤读数y就增加12克，可知y与x满足一次函数关系。接下来我们可以用待定系数法求出y关于x的函数解析式，再将y=66代入解析式求出对应的漏沙时间x，最后在起始时间上午8:00的基础上加上x小时，就能得到读数为66克时的时间。
【解析】
观察表格数据可知，漏沙时间每增加2小时，电子秤读数增加12克，即每小时读数增加6克，因此y是x的一次函数。
设该一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$x=0,y=6$和$x=2,y=18$代入表达式：
当$x=0$时，$b=6$；
将$b=6$、$x=2$、$y=18$代入得：$18=2k+6$，解得$k=6$。
因此一次函数解析式为$y=6x+6$。
令$y=66$，代入解析式得：$66=6x+6$，
移项计算得：$6x=60$，解得$x=10$，即漏沙时间为10小时。
已知试验开始记录时间是上午8:00，经过10小时后的时间为$8+10=18$（时），即18:00。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数求值
【点评】
本题结合沙漏计时的实际场景考查一次函数的相关应用，需要学生具备从表格数据中提炼变量变化规律的能力，再结合一次函数的相关知识求解，很好地体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察表格中两个变量的变化规律：漏沙时间x每增加2小时，电子秤读数y就增加12克，可知y与x满足一次函数关系。接下来我们可以用待定系数法求出y关于x的函数解析式，再将y=66代入解析式求出对应的漏沙时间x，最后在起始时间上午8:00的基础上加上x小时，就能得到读数为66克时的时间。
【解析】
观察表格数据可知，漏沙时间每增加2小时，电子秤读数增加12克，即每小时读数增加6克，因此y是x的一次函数。
设该一次函数的表达式为$y=kx+b$（$k≠0$），将$x=0,y=6$和$x=2,y=18$代入表达式：
当$x=0$时，$b=6$；
将$b=6$、$x=2$、$y=18$代入得：$18=2k+6$，解得$k=6$。
因此一次函数解析式为$y=6x+6$。
令$y=66$，代入解析式得：$66=6x+6$，
移项计算得：$6x=60$，解得$x=10$，即漏沙时间为10小时。
已知试验开始记录时间是上午8:00，经过10小时后的时间为$8+10=18$（时），即18:00。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数求值
【点评】
本题结合沙漏计时的实际场景考查一次函数的相关应用，需要学生具备从表格数据中提炼变量变化规律的能力，再结合一次函数的相关知识求解，很好地体现了数学知识在实际生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
4[2026浙江舟山期末]如图,在平面直角坐标系中,直线$ l_1 $对应的函数表达式为$ y=2x $,将直线$ l_1 $向上平移得到直线$ l_2 $,直线$ l_2 $与x轴、y轴分别交于点A,B,若OB=6,则线段OA的长为 (
A.3
B.4
C.$ 2\sqrt{2} $
D.$ 2\sqrt{3} $
A
)A.3
B.4
C.$ 2\sqrt{2} $
D.$ 2\sqrt{3} $
答案
4.A 【解析】由题意可设直线 $l_2$ 的表达式为 $y=2x+b$. 因为 $OB=6$,所以 $B(0,6)$,将 $(0,6)$ 代入 $y=2x+b$,得 $b=6$,所以直线 $l_2$ 的表达式为 $y=2x+6$. 令 $y=0$,得 $2x+6=0$,解得 $x=-3$,所以点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$,所以 $OA=3$. 故选 A.
解析
【分析】
解题时首先回忆一次函数的平移规律：直线平移后一次项系数k保持不变，因此可先设出直线$l_2$的解析式。已知$OB=6$，说明直线$l_2$与y轴交点B的坐标为$(0,6)$，将该点代入解析式就能求出未知参数$b$，得到$l_2$的完整解析式。接下来求直线$l_2$与x轴的交点A的坐标，令解析式中$y=0$，解出$x$的值，$x$的绝对值就是线段OA的长度。
【解析】
解：
∵直线$l_2$是直线$l_1:y=2x$向上平移得到的，
∴可设直线$l_2$的函数表达式为$y=2x+b$。
∵$OB=6$，且点B在y轴正半轴，
∴点B的坐标为$(0,6)$，
将$(0,6)$代入$y=2x+b$，得：$6=2×0 + b$，解得$b=6$，
∴直线$l_2$的表达式为$y=2x+6$。
令$y=0$，可得$2x+6=0$，解得$x=-3$，
∴点A的坐标为$(-3,0)$，
∴$OA=|-3|=3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数平移规律，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，解题的核心是掌握一次函数平移时k不变的性质，再结合已知条件求出函数解析式，进而求出与坐标轴的交点坐标得到线段长度，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆一次函数的平移规律：直线平移后一次项系数k保持不变，因此可先设出直线$l_2$的解析式。已知$OB=6$，说明直线$l_2$与y轴交点B的坐标为$(0,6)$，将该点代入解析式就能求出未知参数$b$，得到$l_2$的完整解析式。接下来求直线$l_2$与x轴的交点A的坐标，令解析式中$y=0$，解出$x$的值，$x$的绝对值就是线段OA的长度。
【解析】
解：
∵直线$l_2$是直线$l_1:y=2x$向上平移得到的，
∴可设直线$l_2$的函数表达式为$y=2x+b$。
∵$OB=6$，且点B在y轴正半轴，
∴点B的坐标为$(0,6)$，
将$(0,6)$代入$y=2x+b$，得：$6=2×0 + b$，解得$b=6$，
∴直线$l_2$的表达式为$y=2x+6$。
令$y=0$，可得$2x+6=0$，解得$x=-3$，
∴点A的坐标为$(-3,0)$，
∴$OA=|-3|=3$。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
一次函数平移规律，待定系数法求解析式，一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题是一次函数的基础应用题，解题的核心是掌握一次函数平移时k不变的性质，再结合已知条件求出函数解析式，进而求出与坐标轴的交点坐标得到线段长度，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
5 如图,直线 $ l:y=\frac{1}{2}x+m $ 交x轴于点A,交y轴于点B(0,1),点P(n,2)在直线l上,已知M是x轴上的动点.当以A,P,M为顶点的三角形是直角三角形时,点M的坐标为 (
A.(-2,0)或(3,0)
B.(2,0)或(3,0)
C.(1,0)或(4,0)
D.(2,0)或(4,0)
B
)A.(-2,0)或(3,0)
B.(2,0)或(3,0)
C.(1,0)或(4,0)
D.(2,0)或(4,0)
答案
5.B 思路分析 直角三角形的分类讨论
【解析】因为直线 $l:y=\frac{1}{2}x+m$ 交 $y$ 轴于点 $B(0,1)$,所以 $1=\frac{1}{2}×0+m$,解得 $m=1$,则直线 $l$ 的表达式为 $y=\frac{1}{2}x+1$. 当 $y=0$ 时,$\frac{1}{2}x+1=0$,解得 $x=-2$,所以点 $A$ 的坐标为 $(-2,0)$.
当 $y=2$ 时,$\frac{1}{2}n+1=2$,解得 $n=2$,所以点 $P$ 的坐标为 $(2,2)$.
如图,分两种情况考虑:
① 当 $∠AMP = 90°$ 时, $PM ⊥ x$ 轴,则点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$.
②当 $∠APM' = 90°$ 时,设点 $M'$ 的坐标为 $(a,0)$,则 $AP^2=[2-(-2)]^2+(2-0)^2=20$,$AM'^2=[a-(-2)]^2=a^2+4a+4$,$PM'^2=(2-a)^2+(2-0)^2=a^2-4a+8$. 因为 $AP^2+PM'^2=AM'^2$,所以 $20+a^2-4a+8=a^2+4a+4$,解得 $a=3$,所以点 $M'$ 的坐标为 $(3,0)$. 综上所述,点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$ 或 $(3,0)$. 故选 B.
易错警示：注意分类讨论直角顶点,不要漏解.
解析
【分析】
解题时按照三步思考：第一步，先利用直线过B点的条件，代入B点坐标求出直线解析式中的未知参数m，得到完整的一次函数表达式；第二步，分别令解析式中y=0、y=2，求出点A、点P的坐标；第三步，由于未明确直角三角形的直角顶点，结合M在x轴上的特征，分类讨论直角顶点的位置（经验证直角顶点不可能为A，仅需讨论直角在M、直角在P两种情况），最后针对每种情况利用几何性质或勾股定理计算M的坐标即可。
【解析】
因为直线 $l:y=\frac{1}{2}x+m$ 交 $y$ 轴于点 $B(0,1)$，将B点坐标代入解析式得 $1=\frac{1}{2}×0+m$，解得 $m=1$，则直线 $l$ 的表达式为 $y=\frac{1}{2}x+1$。
当 $y=0$ 时，代入解析式得 $\frac{1}{2}x+1=0$，解得 $x=-2$，所以点 $A$ 的坐标为 $(-2,0)$。
因为点 $P(n,2)$ 在直线 $l$ 上，将P点坐标代入解析式得 $\frac{1}{2}n+1=2$，解得 $n=2$，所以点 $P$ 的坐标为 $(2,2)$。
分两种情况讨论直角三角形的直角顶点：
① 当 $∠AMP = 90°$ 时，$PM ⊥ x$ 轴，此时M点横坐标与P点横坐标相同，纵坐标为0，则点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$。
②当 $∠APM' = 90°$ 时，设点 $M'$ 的坐标为 $(a,0)$，根据勾股定理分别计算三边的平方：
$AP^2=[2-(-2)]^2+(2-0)^2=16+4=20$，
$AM'^2=[a-(-2)]^2=(a+2)^2=a^2+4a+4$，
$PM'^2=(2-a)^2+(2-0)^2=a^2-4a+4+4=a^2-4a+8$。
因为 $∠ APM'=90°$，所以 $AP^2+PM'^2=AM'^2$，代入得：
$20+a^2-4a+8=a^2+4a+4$，
化简得 $28-4a=4a+4$，解得 $a=3$，所以点 $M'$ 的坐标为 $(3,0)$。
综上所述，点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$ 或 $(3,0)$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数解析式求解，直角三角形分类讨论，勾股定理应用
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，解题核心是先求出各已知点坐标，再对直角顶点的位置分类讨论，结合几何性质或勾股定理列方程求解，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
解题时按照三步思考：第一步，先利用直线过B点的条件，代入B点坐标求出直线解析式中的未知参数m，得到完整的一次函数表达式；第二步，分别令解析式中y=0、y=2，求出点A、点P的坐标；第三步，由于未明确直角三角形的直角顶点，结合M在x轴上的特征，分类讨论直角顶点的位置（经验证直角顶点不可能为A，仅需讨论直角在M、直角在P两种情况），最后针对每种情况利用几何性质或勾股定理计算M的坐标即可。
【解析】
因为直线 $l:y=\frac{1}{2}x+m$ 交 $y$ 轴于点 $B(0,1)$，将B点坐标代入解析式得 $1=\frac{1}{2}×0+m$，解得 $m=1$，则直线 $l$ 的表达式为 $y=\frac{1}{2}x+1$。
当 $y=0$ 时，代入解析式得 $\frac{1}{2}x+1=0$，解得 $x=-2$，所以点 $A$ 的坐标为 $(-2,0)$。
因为点 $P(n,2)$ 在直线 $l$ 上，将P点坐标代入解析式得 $\frac{1}{2}n+1=2$，解得 $n=2$，所以点 $P$ 的坐标为 $(2,2)$。
分两种情况讨论直角三角形的直角顶点：
① 当 $∠AMP = 90°$ 时，$PM ⊥ x$ 轴，此时M点横坐标与P点横坐标相同，纵坐标为0，则点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$。
②当 $∠APM' = 90°$ 时，设点 $M'$ 的坐标为 $(a,0)$，根据勾股定理分别计算三边的平方：
$AP^2=[2-(-2)]^2+(2-0)^2=16+4=20$，
$AM'^2=[a-(-2)]^2=(a+2)^2=a^2+4a+4$，
$PM'^2=(2-a)^2+(2-0)^2=a^2-4a+4+4=a^2-4a+8$。
因为 $∠ APM'=90°$，所以 $AP^2+PM'^2=AM'^2$，代入得：
$20+a^2-4a+8=a^2+4a+4$，
化简得 $28-4a=4a+4$，解得 $a=3$，所以点 $M'$ 的坐标为 $(3,0)$。
综上所述，点 $M$ 的坐标为 $(2,0)$ 或 $(3,0)$，故选B。
【答案】
B
【知识点】
一次函数解析式求解，直角三角形分类讨论，勾股定理应用
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，解题核心是先求出各已知点坐标，再对直角顶点的位置分类讨论，结合几何性质或勾股定理列方程求解，解题时注意不要漏解。
【难度系数】
0.7
6[2026河南平顶山期末]如图，在平面直角坐标系中，点$A(-1,m)$在第二象限，若点A关于x轴对称的点B在直线$y=2x+1$上，则m的值为
（第6题图）
（第7题图）
$1$
。（第6题图）（第7题图）
答案
6.1 【解析】由题意得,点 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点 $B$ 的坐标为 $(-1,-m)$,将点 $B$ 的坐标代入 $y=2x+1$,得 $-m=-2+1$,解得 $m=1$,故答案为 1.
解析
【分析】
解题时首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此可以由点A的坐标写出其对称点B的坐标；其次，若一个点在某条直线上，说明该点的坐标满足直线对应的函数解析式，因此将点B的坐标代入直线y=2x+1中，即可得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
解：
∵点A(-1,m)关于x轴对称的点为B，
∴点B的坐标为(-1,-m)，
∵点B在直线y=2x+1上，
∴将x=-1，y=-m代入解析式得：
$-m = 2×(-1) + 1$，
即$-m = -1$，
解得$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标特征；2. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，结合平面直角坐标系中点的对称性质与一次函数的基本性质进行考察，解题核心是牢记对称点的坐标变化规律，理解函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式。
【难度系数】
0.85
解题时首先回忆关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此可以由点A的坐标写出其对称点B的坐标；其次，若一个点在某条直线上，说明该点的坐标满足直线对应的函数解析式，因此将点B的坐标代入直线y=2x+1中，即可得到关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值。
【解析】
解：
∵点A(-1,m)关于x轴对称的点为B，
∴点B的坐标为(-1,-m)，
∵点B在直线y=2x+1上，
∴将x=-1，y=-m代入解析式得：
$-m = 2×(-1) + 1$，
即$-m = -1$，
解得$m=1$。
【答案】
1
【知识点】
1. 关于x轴对称的点的坐标特征；2. 一次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题属于基础题，结合平面直角坐标系中点的对称性质与一次函数的基本性质进行考察，解题核心是牢记对称点的坐标变化规律，理解函数图象上的点的坐标满足对应函数解析式。
【难度系数】
0.85
7 如图,已知点$A(-2,3),B(2,1)$,当直线$y=kx-k$与线段$AB$有交点时,$k$的取值范围是
$k≤-1$ 或 $k≥1$
.答案
7.$k≤-1$ 或 $k≥1$ 【解析】因为 $y=kx-k=k(x-1)$,所以直线 $y=kx-k$ 恒过点 $(1,0)$. 当直线刚好过点 $A$ 时,将 $A(-2,3)$ 代入 $y=kx-k$ 中得 $3=-2k-k$,解得 $k=-1$. 当直线刚好过点 $B$ 时,将 $B(2,1)$ 代入 $y=kx-k$ 中得 $1=2k-k$,解得 $k=1$,所以当直线 $y=kx-k$ 与线段 $AB$ 有交点时,$k$ 的取值范围为 $k≤-1$ 或 $k≥1$,故答案为 $k≤-1$ 或 $k≥1$.
解析
【分析】
解题时首先对含参数k的直线解析式变形，找到直线恒过的定点；要使直线与线段AB有交点，临界情况为直线恰好经过线段的两个端点A、B，分别将A、B坐标代入解析式算出对应的k值，再结合直线的倾斜变化规律确定k的取值范围即可。
【解析】
首先对直线解析式变形：$y=kx-k=k(x-1)$，由此可知无论k取何值，当$x=1$时，$y=0$，即直线$y=kx-k$恒过定点$(1,0)$。
1. 求直线过点A时的k值：将$A(-2,3)$代入$y=kx-k$，得：
$3=-2k -k$
合并同类项得$3=-3k$，解得$k=-1$。
2. 求直线过点B时的k值：将$B(2,1)$代入$y=kx-k$，得：
$1=2k -k$
解得$k=1$。
当直线绕定点$(1,0)$转动时，要与线段AB有交点，可得k的取值范围为$k≤-1$或$k≥1$。
【答案】
$k≤-1$或$k≥1$
【知识点】
一次函数过定点，待定系数法求参数，一次函数交点问题
【点评】
本题的核心突破点是先识别出含参一次函数所过的定点，再结合线段端点的临界情况计算参数，能够有效考查学生对一次函数性质的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先对含参数k的直线解析式变形，找到直线恒过的定点；要使直线与线段AB有交点，临界情况为直线恰好经过线段的两个端点A、B，分别将A、B坐标代入解析式算出对应的k值，再结合直线的倾斜变化规律确定k的取值范围即可。
【解析】
首先对直线解析式变形：$y=kx-k=k(x-1)$，由此可知无论k取何值，当$x=1$时，$y=0$，即直线$y=kx-k$恒过定点$(1,0)$。
1. 求直线过点A时的k值：将$A(-2,3)$代入$y=kx-k$，得：
$3=-2k -k$
合并同类项得$3=-3k$，解得$k=-1$。
2. 求直线过点B时的k值：将$B(2,1)$代入$y=kx-k$，得：
$1=2k -k$
解得$k=1$。
当直线绕定点$(1,0)$转动时，要与线段AB有交点，可得k的取值范围为$k≤-1$或$k≥1$。
【答案】
$k≤-1$或$k≥1$
【知识点】
一次函数过定点，待定系数法求参数，一次函数交点问题
【点评】
本题的核心突破点是先识别出含参一次函数所过的定点，再结合线段端点的临界情况计算参数，能够有效考查学生对一次函数性质的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
8 已知函数$y=|x-2a|$（$a$为常数），当$1≤ x≤3$时，$y$的最小值为5，则$a$的值为
$-2$ 或 $4$
。答案
8.$-2$ 或 $4$ 【解析】分两种情况讨论:①当 $x≥2a$ 时,$y=x-2a$. 因为 $k=1＞0$,所以当 $1≤x≤3$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而增大,即当 $x=1$ 时,$y=5$,则 $5=1-2a$,解得 $a=-2$. ②当 $x＜2a$ 时,$y=-x+2a$. 因为 $k=-1＜0$,所以当 $1≤x≤3$ 时,$y$ 随 $x$ 的增大而减小,即当 $x=3$ 时,$y=5$,则 $5=-3+2a$,解得 $a=4$,所以 $a=-2$ 或 $4$,故答案为 $-2$ 或 $4$.
关键点拨：根据绝对值的意义分两种情况讨论:①$x≥2a$ 时,得 $y=x-2a$,$y$ 随 $x$ 的增大而增大; ② $x ＜ 2a$ 时,得 $y=-x+2a$,$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
关键点拨：根据绝对值的意义分两种情况讨论:①$x≥2a$ 时,得 $y=x-2a$,$y$ 随 $x$ 的增大而增大; ② $x ＜ 2a$ 时,得 $y=-x+2a$,$y$ 随 $x$ 的增大而减小.
解析
【分析】
函数$y=|x-2a|$是绝对值型函数，需根据绝对值内表达式的正负去绝对值后转化为一次函数分析性质。已知当$1≤x≤3$时$y$的最小值为5，说明绝对值的零点$x=2a$不在区间$[1,3]$内（若零点在区间内，$y$的最小值为0，与题意矛盾），因此分两种情况讨论：①当零点在区间左侧，即$2a≤1$时，区间内$x≥2a$，去绝对值后函数为增函数，最小值在$x=1$处取得；②当零点在区间右侧，即$2a≥3$时，区间内$x＜2a$，去绝对值后函数为减函数，最小值在$x=3$处取得。分别代入最小值条件求解$a$，再验证是否符合分类前提即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$x≥2a$时，去绝对值得$y=x-2a$，
∵一次项系数$k=1＞0$，
∴$y$随$x$的增大而增大，
在$1≤x≤3$的范围内，$y$的最小值在$x=1$处取得，
代入得$5=1-2a$，解得$a=-2$，
此时$2a=-4$，满足$1≤x≤3$时$x≥2a$，符合条件；
② 当$x＜2a$时，去绝对值得$y=-x+2a$，
∵一次项系数$k=-1＜0$，
∴$y$随$x$的增大而减小，
在$1≤x≤3$的范围内，$y$的最小值在$x=3$处取得，
代入得$5=-3+2a$，解得$a=4$，
此时$2a=8$，满足$1≤x≤3$时$x＜2a$，符合条件。
综上，$a$的值为$-2$或$4$。
【答案】
$-2$或$4$
【知识点】
绝对值的性质，一次函数的增减性，分段函数最值
【点评】
本题是绝对值函数与一次函数的综合题，解题核心是结合绝对值的意义进行分类讨论，根据一次函数的增减性确定区间内取最小值的$x$值，求解后要注意验证结果是否符合对应分类的前提，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
函数$y=|x-2a|$是绝对值型函数，需根据绝对值内表达式的正负去绝对值后转化为一次函数分析性质。已知当$1≤x≤3$时$y$的最小值为5，说明绝对值的零点$x=2a$不在区间$[1,3]$内（若零点在区间内，$y$的最小值为0，与题意矛盾），因此分两种情况讨论：①当零点在区间左侧，即$2a≤1$时，区间内$x≥2a$，去绝对值后函数为增函数，最小值在$x=1$处取得；②当零点在区间右侧，即$2a≥3$时，区间内$x＜2a$，去绝对值后函数为减函数，最小值在$x=3$处取得。分别代入最小值条件求解$a$，再验证是否符合分类前提即可。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$x≥2a$时，去绝对值得$y=x-2a$，
∵一次项系数$k=1＞0$，
∴$y$随$x$的增大而增大，
在$1≤x≤3$的范围内，$y$的最小值在$x=1$处取得，
代入得$5=1-2a$，解得$a=-2$，
此时$2a=-4$，满足$1≤x≤3$时$x≥2a$，符合条件；
② 当$x＜2a$时，去绝对值得$y=-x+2a$，
∵一次项系数$k=-1＜0$，
∴$y$随$x$的增大而减小，
在$1≤x≤3$的范围内，$y$的最小值在$x=3$处取得，
代入得$5=-3+2a$，解得$a=4$，
此时$2a=8$，满足$1≤x≤3$时$x＜2a$，符合条件。
综上，$a$的值为$-2$或$4$。
【答案】
$-2$或$4$
【知识点】
绝对值的性质，一次函数的增减性，分段函数最值
【点评】
本题是绝对值函数与一次函数的综合题，解题核心是结合绝对值的意义进行分类讨论，根据一次函数的增减性确定区间内取最小值的$x$值，求解后要注意验证结果是否符合对应分类的前提，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.6
9《庄子·天下篇》记载“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.如图，直线$l_1:y=\frac{1}{2}x+1$与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交直线$l_2:y=x$于点$O_1$，过点$O_1$作y轴的平行线交直线$l_1$于点$A_1$，以此类推，令$OA=a_1$，$O_1A_1=a_2$，…，$O_{n-1}A_{n-1}=a_n$，若$a_1+a_2+\dots+a_n ≤ S$对任意大于1的整数n恒成立，则S的最小值为
$2$
.答案
9.2 【解析】把 $x=0$ 代入 $y=\frac{1}{2}x+1$,得 $y=1$,所以 $A(0,1)$,所以 $OA=a_1=1$; 把 $y=1$ 代入 $y=x$,得 $x=1$,所以 $O_1(1,1)$; 把 $x=1$ 代入 $y=\frac{1}{2}x+1$,得 $y=\frac{3}{2}$,所以 $A_1(1,\frac{3}{2})$,所以 $O_1A_1=a_2=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$; 把 $y=\frac{3}{2}$ 代入 $y=x$,得 $x=\frac{3}{2}$,所以 $O_2(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$; 把 $x=\frac{3}{2}$ 代入 $y=\frac{1}{2}x+1$,得 $y=\frac{7}{4}$,所以 $A_2(\frac{3}{2},\frac{7}{4})$,所以 $O_2A_2=a_3=\frac{7}{4}-\frac{3}{2}=\frac{1}{4}$;…,所以 $O_{n-1}A_{n-1}=a_n=(\frac{1}{2})^{n-1}$. 因为 $a_1+a_2+\dots+a_n ≤ S$ 对任意大于 1 的整数 $n$ 恒成立,即 $S≥a_1+a_2+\dots+a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+\frac{1}{2^{n-1}}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$,所以 $S$ 的最小值为 2. 故答案为 2.
解析
【分析】
解题时可按以下步骤思考：第一步先求直线$l_1$与y轴的交点A的坐标，得到$a_1$的取值；第二步按照题目给出的作图规则，依次求出$O_1$、$A_1$、$O_2$、$A_2$的坐标，计算得到$a_2$、$a_3$的取值，观察推导得到$a_n$的通用规律；第三步计算$a_1$到$a_n$的和的表达式，分析该和的取值范围，要使不等式对任意大于1的整数n恒成立，S需要大于等于这个和的最大值，即可求出S的最小值。
【解析】
1. 求$a_1$：把$x=0$代入$y=\frac{1}{2}x+1$，得$y=1$，即A点坐标为$(0,1)$，因此$OA=a_1=1$。
2. 求$a_2$：过A作x轴平行线交$l_2:y=x$于$O_1$，$O_1$纵坐标为1，把$y=1$代入$y=x$得$x=1$，即$O_1(1,1)$；过$O_1$作y轴平行线交$l_1$于$A_1$，$A_1$横坐标为1，把$x=1$代入$y=\frac{1}{2}x+1$得$y=\frac{3}{2}$，即$A_1(1,\frac{3}{2})$，因此$O_1A_1=a_2=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$。
3. 求$a_3$：过$A_1$作x轴平行线交$l_2$于$O_2$，$O_2$纵坐标为$\frac{3}{2}$，代入$y=x$得$x=\frac{3}{2}$，即$O_2(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$；过$O_2$作y轴平行线交$l_1$于$A_2$，横坐标为$\frac{3}{2}$，代入$y=\frac{1}{2}x+1$得$y=\frac{7}{4}$，因此$O_2A_2=a_3=\frac{7}{4}-\frac{3}{2}=\frac{1}{4}$。
4. 推导规律：观察可得$a_n=(\frac{1}{2})^{n-1}$，前n项和$a_1+a_2+\dots+a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+(\frac{1}{2})^{n-1}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$。
5. 求S的最小值：因为$2-\frac{1}{2^{n-1}}＜2$，且n越大该值越接近2，要使$a_1+a_2+\dots+a_n ≤ S$对任意大于1的整数n恒成立，故S的最小值为2。
【答案】
2
【知识点】
一次函数点坐标求解、数字规律探究、最值计算
【点评】
本题结合传统文化背景，将一次函数的基本应用与规律探究相结合，既考查了一次函数图象上点的坐标的求解方法，也考查了归纳推理能力和对不等式恒成立、最值概念的理解，解题的关键是耐心推导前几项找到数列的变化规律。
【难度系数】
0.6
解题时可按以下步骤思考：第一步先求直线$l_1$与y轴的交点A的坐标，得到$a_1$的取值；第二步按照题目给出的作图规则，依次求出$O_1$、$A_1$、$O_2$、$A_2$的坐标，计算得到$a_2$、$a_3$的取值，观察推导得到$a_n$的通用规律；第三步计算$a_1$到$a_n$的和的表达式，分析该和的取值范围，要使不等式对任意大于1的整数n恒成立，S需要大于等于这个和的最大值，即可求出S的最小值。
【解析】
1. 求$a_1$：把$x=0$代入$y=\frac{1}{2}x+1$，得$y=1$，即A点坐标为$(0,1)$，因此$OA=a_1=1$。
2. 求$a_2$：过A作x轴平行线交$l_2:y=x$于$O_1$，$O_1$纵坐标为1，把$y=1$代入$y=x$得$x=1$，即$O_1(1,1)$；过$O_1$作y轴平行线交$l_1$于$A_1$，$A_1$横坐标为1，把$x=1$代入$y=\frac{1}{2}x+1$得$y=\frac{3}{2}$，即$A_1(1,\frac{3}{2})$，因此$O_1A_1=a_2=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$。
3. 求$a_3$：过$A_1$作x轴平行线交$l_2$于$O_2$，$O_2$纵坐标为$\frac{3}{2}$，代入$y=x$得$x=\frac{3}{2}$，即$O_2(\frac{3}{2},\frac{3}{2})$；过$O_2$作y轴平行线交$l_1$于$A_2$，横坐标为$\frac{3}{2}$，代入$y=\frac{1}{2}x+1$得$y=\frac{7}{4}$，因此$O_2A_2=a_3=\frac{7}{4}-\frac{3}{2}=\frac{1}{4}$。
4. 推导规律：观察可得$a_n=(\frac{1}{2})^{n-1}$，前n项和$a_1+a_2+\dots+a_n=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\dots+(\frac{1}{2})^{n-1}=2-\frac{1}{2^{n-1}}$。
5. 求S的最小值：因为$2-\frac{1}{2^{n-1}}＜2$，且n越大该值越接近2，要使$a_1+a_2+\dots+a_n ≤ S$对任意大于1的整数n恒成立，故S的最小值为2。
【答案】
2
【知识点】
一次函数点坐标求解、数字规律探究、最值计算
【点评】
本题结合传统文化背景，将一次函数的基本应用与规律探究相结合，既考查了一次函数图象上点的坐标的求解方法，也考查了归纳推理能力和对不等式恒成立、最值概念的理解，解题的关键是耐心推导前几项找到数列的变化规律。
【难度系数】
0.6
