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三、解答题(共55分)
10[2026陕西西安质检]如图(1),某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲、乙两人从二楼同时下行,甲乘自动扶梯,乙走步行楼梯,甲离一楼地面的高度h(单位:m)与下行时间x(单位:s)之间的函数关系式为$h=-\dfrac{3}{10}x+6$,乙离一楼地面的高度y(单位:m)与下行时间x(单位:s)之间的函数关系如图(2)所示.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)在下行过程中是否存在某一时刻两人竖直高度相差1米?若存在,求出此时的下行时间.
10[2026陕西西安质检]如图(1),某商场在一楼到二楼之间设有上、下行自动扶梯和步行楼梯.甲、乙两人从二楼同时下行,甲乘自动扶梯,乙走步行楼梯,甲离一楼地面的高度h(单位:m)与下行时间x(单位:s)之间的函数关系式为$h=-\dfrac{3}{10}x+6$,乙离一楼地面的高度y(单位:m)与下行时间x(单位:s)之间的函数关系如图(2)所示.
(1)求y关于x的函数表达式;
(2)在下行过程中是否存在某一时刻两人竖直高度相差1米?若存在,求出此时的下行时间.
答案
10.【解】(1)设 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=kx+b$. 由函数图象,将 $x=15,y=3$;$x=0,y=6$ 代入,得 $b=6$,$15k+b=3$,解得 $k=-\frac{1}{5}$,所以 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式为 $y=-\frac{1}{5}x+6$.
(2)存在. 在 $h=-\frac{3}{10}x+6$ 中,令 $h=0$,则 $-\frac{3}{10}x+6=0$,解得 $x=20$. 在 $y=-\frac{1}{5}x+6$ 中,令 $y=0$,则 $-\frac{1}{5}x+6=0$,解得 $x=30$. 因为 $20＜30$,所以甲先到达一楼地面. ① 令 $(-\frac{1}{5}x+6)-(-\frac{3}{10}x+6)=1$,解得 $x=10$; ②令 $-\frac{1}{5}x+6=1$,解得 $x=25$. 所以当下行 10 s 或 25 s 时,两人的竖直高度差为 1 m.
(2)存在. 在 $h=-\frac{3}{10}x+6$ 中,令 $h=0$,则 $-\frac{3}{10}x+6=0$,解得 $x=20$. 在 $y=-\frac{1}{5}x+6$ 中,令 $y=0$,则 $-\frac{1}{5}x+6=0$,解得 $x=30$. 因为 $20＜30$,所以甲先到达一楼地面. ① 令 $(-\frac{1}{5}x+6)-(-\frac{3}{10}x+6)=1$,解得 $x=10$; ②令 $-\frac{1}{5}x+6=1$,解得 $x=25$. 所以当下行 10 s 或 25 s 时,两人的竖直高度差为 1 m.
解析
【分析】
(1) 要求y关于x的函数表达式，观察可知y是x的一次函数，采用待定系数法求解即可：先设一次函数解析式为$y=kx+b$，再从函数图象中提取两个点的坐标$(0,6)$和$(15,3)$，代入解析式计算k、b的值。
(2) 要判断是否存在时刻两人竖直高度相差1米，首先先求出甲、乙各自到达一楼的时间，明确两人的下行时间范围，再分两种情况讨论：①两人都处于下行过程中（甲未到一楼），此时乙的高度减甲的高度等于1；②甲已经到达一楼，甲的高度为0，此时乙的高度等于1，分别列方程求解后验证解是否符合对应时间范围即可。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
由函数图象可得：当$x=0$时，$y=6$；当$x=15$时，$y=3$。
将两组值代入解析式得：
$\begin{cases}b=6 \\15k+b=3\end{cases}$
把$b=6$代入$15k+b=3$，得$15k+6=3$，解得$k=-\dfrac{1}{5}$。
因此y关于x的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{5}x+6$（$0≤ x≤30$）。
(2) 存在，求解过程如下：
先计算甲、乙到达一楼的时间：
对于甲的高度函数$h=-\dfrac{3}{10}x+6$，令$h=0$，则$-\dfrac{3}{10}x+6=0$，解得$x=20$，即甲20s到达一楼，之后甲的高度始终为0。
对于乙的高度函数$y=-\dfrac{1}{5}x+6$，令$y=0$，则$-\dfrac{1}{5}x+6=0$，解得$x=30$，即乙30s到达一楼。
因为$20＜30$，甲先到一楼，分两种情况讨论：
① 当$0≤ x≤20$时，两人都在下行，高度差为1m即$y-h=1$，代入得：
$(-\dfrac{1}{5}x+6)-(-\dfrac{3}{10}x+6)=1$
化简得$\dfrac{1}{10}x=1$，解得$x=10$，符合$0≤ x≤20$的范围。
② 当$20＜x≤30$时，甲已到一楼，$h=0$，高度差为1m即$y=1$，代入得：
$-\dfrac{1}{5}x+6=1$，解得$x=25$，符合$20＜x≤30$的范围。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{5}x+6$；
(2) 存在，此时的下行时间为10s或25s。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；分类讨论思想
【点评】
本题结合生活常见场景考查一次函数的应用，既考查了一次函数解析式的基础求解方法，也要求学生结合实际情况考虑自变量的取值范围，避免出现漏解的问题，能有效锻炼学生分析解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要求y关于x的函数表达式，观察可知y是x的一次函数，采用待定系数法求解即可：先设一次函数解析式为$y=kx+b$，再从函数图象中提取两个点的坐标$(0,6)$和$(15,3)$，代入解析式计算k、b的值。
(2) 要判断是否存在时刻两人竖直高度相差1米，首先先求出甲、乙各自到达一楼的时间，明确两人的下行时间范围，再分两种情况讨论：①两人都处于下行过程中（甲未到一楼），此时乙的高度减甲的高度等于1；②甲已经到达一楼，甲的高度为0，此时乙的高度等于1，分别列方程求解后验证解是否符合对应时间范围即可。
【解析】
(1) 设y关于x的函数表达式为$y=kx+b$（$k≠0$）。
由函数图象可得：当$x=0$时，$y=6$；当$x=15$时，$y=3$。
将两组值代入解析式得：
$\begin{cases}b=6 \\15k+b=3\end{cases}$
把$b=6$代入$15k+b=3$，得$15k+6=3$，解得$k=-\dfrac{1}{5}$。
因此y关于x的函数表达式为$y=-\dfrac{1}{5}x+6$（$0≤ x≤30$）。
(2) 存在，求解过程如下：
先计算甲、乙到达一楼的时间：
对于甲的高度函数$h=-\dfrac{3}{10}x+6$，令$h=0$，则$-\dfrac{3}{10}x+6=0$，解得$x=20$，即甲20s到达一楼，之后甲的高度始终为0。
对于乙的高度函数$y=-\dfrac{1}{5}x+6$，令$y=0$，则$-\dfrac{1}{5}x+6=0$，解得$x=30$，即乙30s到达一楼。
因为$20＜30$，甲先到一楼，分两种情况讨论：
① 当$0≤ x≤20$时，两人都在下行，高度差为1m即$y-h=1$，代入得：
$(-\dfrac{1}{5}x+6)-(-\dfrac{3}{10}x+6)=1$
化简得$\dfrac{1}{10}x=1$，解得$x=10$，符合$0≤ x≤20$的范围。
② 当$20＜x≤30$时，甲已到一楼，$h=0$，高度差为1m即$y=1$，代入得：
$-\dfrac{1}{5}x+6=1$，解得$x=25$，符合$20＜x≤30$的范围。
【答案】
(1) $y=-\dfrac{1}{5}x+6$；
(2) 存在，此时的下行时间为10s或25s。
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数的实际应用；分类讨论思想
【点评】
本题结合生活常见场景考查一次函数的应用，既考查了一次函数解析式的基础求解方法，也要求学生结合实际情况考虑自变量的取值范围，避免出现漏解的问题，能有效锻炼学生分析解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.65
11[2025福建宁德期中]某数学兴趣小组以“钟表上时针和分针的重合次数”为课题进行研究.研究发现:时针每分转0.5度,分针每分转6度,并且从某时刻开始,经过的时间与时针和分针的重合次数存在一定的关系.如图是某钟表的简化平面示意图,此刻时间恰好为1:00.
(1)此刻分针和时针的夹角为
(2)兴趣小组为了研究经过的时间与时针和分针重合次数之间的关系,制作如下表格,其中x(次)表示从1:00开始,时针和分针重合的次数,y(分)表示从1:00开始经过的时间,请将表格填写完整.
(3)直接写出y与x之间的函数关系式,并求从1:00开始经过24时时,分针和时针重合的次数.
(1)此刻分针和时针的夹角为
$30$
度；(2)兴趣小组为了研究经过的时间与时针和分针重合次数之间的关系,制作如下表格,其中x(次)表示从1:00开始,时针和分针重合的次数,y(分)表示从1:00开始经过的时间,请将表格填写完整.
(3)直接写出y与x之间的函数关系式,并求从1:00开始经过24时时,分针和时针重合的次数.
答案
11.【解】(1)分针和时针的夹角为 $360°÷12=30°$. 故答案为 30.
(2)设从 1:00 开始,经过 $a$ 分时针和分针第 2 次相遇,则 $6a-0.5a=360+30$,解得 $a=\frac{780}{11}$. 设从 1:00 开始,经过 $b$ 分时针和分针第 3 次相遇,则 $6b-0.5b=360×2+30$,解得 $b=\frac{1500}{11}$. 表格如下:
| $x$/次 | 1 | 2 | 3 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$/分 | $\frac{60}{11}$ | $\frac{780}{11}$ | $\frac{1500}{11}$ | … |
故答案为 $\frac{780}{11}$,$\frac{1500}{11}$.
(3)$y=\frac{720}{11}x-60$($x$ 是正整数). 由(2)易知,从第一次重合后,每隔 $\frac{720}{11}$ 分,时针与分针再次重合,所以 $y=\frac{720}{11}(x-1)+\frac{60}{11}=\frac{720}{11}x-60$($x$ 是正整数). 24 时=1 440 分,当 $y=1 440$ 时, $\frac{720}{11}x-60=1 440$,所以 $x=\frac{275}{12}=22\frac{11}{12}$. 因为 $x$ 是正整数,所以 $x=22$,所以从 1:00 开始经过 24 时时,分针和时针重合的次数为 22 次.
关键点拨：(3)由(2)得到从第一次重合后,每隔 $\frac{720}{11}$ 分,时针与分针再次重合是解题的关键.
(2)设从 1:00 开始,经过 $a$ 分时针和分针第 2 次相遇,则 $6a-0.5a=360+30$,解得 $a=\frac{780}{11}$. 设从 1:00 开始,经过 $b$ 分时针和分针第 3 次相遇,则 $6b-0.5b=360×2+30$,解得 $b=\frac{1500}{11}$. 表格如下:
| $x$/次 | 1 | 2 | 3 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| $y$/分 | $\frac{60}{11}$ | $\frac{780}{11}$ | $\frac{1500}{11}$ | … |
故答案为 $\frac{780}{11}$,$\frac{1500}{11}$.
(3)$y=\frac{720}{11}x-60$($x$ 是正整数). 由(2)易知,从第一次重合后,每隔 $\frac{720}{11}$ 分,时针与分针再次重合,所以 $y=\frac{720}{11}(x-1)+\frac{60}{11}=\frac{720}{11}x-60$($x$ 是正整数). 24 时=1 440 分,当 $y=1 440$ 时, $\frac{720}{11}x-60=1 440$,所以 $x=\frac{275}{12}=22\frac{11}{12}$. 因为 $x$ 是正整数,所以 $x=22$,所以从 1:00 开始经过 24 时时,分针和时针重合的次数为 22 次.
关键点拨：(3)由(2)得到从第一次重合后,每隔 $\frac{720}{11}$ 分,时针与分针再次重合是解题的关键.
解析
【分析】
(1) 钟面一周为360°，平均分为12个大格，每个大格对应角度为30°，1:00时，时针指向1，分针指向12，相差1个大格，直接计算夹角即可。
(2) 时针与分针重合属于追及问题，分针转速为6°/分，时针转速为0.5°/分，速度差为5.5°/分。第2次重合时分针需要比时针多走1圈加初始夹角30°，第3次重合时分针需要比时针多走2圈加初始夹角30°，根据“速度差×时间=路程差”列方程求解即可。
(3) 观察前几次重合的时间差，可发现重合次数每增加1次，时间增加$\frac{720}{11}$分，符合一次函数特征，推导得到函数解析式后，将24小时换算为分钟代入解析式，结合x为正整数的实际意义取整即可得到重合次数。
【解析】
(1) 钟面每个大格的度数为$360° ÷ 12 = 30°$，1:00时分针与时针相差1个大格，故夹角为30°。
(2) 设从1:00开始，经过$a$分时针和分针第2次相遇，此时分针比时针多走的路程为$360°+30°$，列方程得：
$6a-0.5a=360+30$
解得$a=\frac{780}{11}$
设从1:00开始，经过$b$分时针和分针第3次相遇，此时分针比时针多走的路程为$360°×2+30°$，列方程得：
$6b-0.5b=360×2+30$
解得$b=\frac{1500}{11}$
(3) 每相邻两次重合的时间间隔为$\frac{780}{11}-\frac{60}{11}=\frac{720}{11}}$分，因此y与x的函数关系式为：
$y=\frac{60}{11}+\frac{720}{11}(x-1)=\frac{720}{11}x-60$（x为正整数）
24时换算为分钟为$24×60=1440$分，将$y=1440$代入解析式得：
$\frac{720}{11}x-60=1440$
解得$x=\frac{275}{12}=22\frac{11}{12}$
因为x为正整数，故x取22。
【答案】
(1) $\boxed{30}$
(2) $\boxed{\frac{780}{11}}$，$\boxed{\frac{1500}{11}}$
(3) 函数关系式为$\boxed{y=\frac{720}{11}x-60}$（x是正整数），重合次数为$\boxed{22}$次
【知识点】
钟面角计算，一元一次方程的应用，一次函数的应用
【点评】
本题结合生活中钟表的实际场景，将行程追及问题与函数知识相结合，解题核心是明确时针与分针的转速差，找到追及路程的等量关系，同时需结合实际意义对自变量取值进行取舍，考查了运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
(1) 钟面一周为360°，平均分为12个大格，每个大格对应角度为30°，1:00时，时针指向1，分针指向12，相差1个大格，直接计算夹角即可。
(2) 时针与分针重合属于追及问题，分针转速为6°/分，时针转速为0.5°/分，速度差为5.5°/分。第2次重合时分针需要比时针多走1圈加初始夹角30°，第3次重合时分针需要比时针多走2圈加初始夹角30°，根据“速度差×时间=路程差”列方程求解即可。
(3) 观察前几次重合的时间差，可发现重合次数每增加1次，时间增加$\frac{720}{11}$分，符合一次函数特征，推导得到函数解析式后，将24小时换算为分钟代入解析式，结合x为正整数的实际意义取整即可得到重合次数。
【解析】
(1) 钟面每个大格的度数为$360° ÷ 12 = 30°$，1:00时分针与时针相差1个大格，故夹角为30°。
(2) 设从1:00开始，经过$a$分时针和分针第2次相遇，此时分针比时针多走的路程为$360°+30°$，列方程得：
$6a-0.5a=360+30$
解得$a=\frac{780}{11}$
设从1:00开始，经过$b$分时针和分针第3次相遇，此时分针比时针多走的路程为$360°×2+30°$，列方程得：
$6b-0.5b=360×2+30$
解得$b=\frac{1500}{11}$
(3) 每相邻两次重合的时间间隔为$\frac{780}{11}-\frac{60}{11}=\frac{720}{11}}$分，因此y与x的函数关系式为：
$y=\frac{60}{11}+\frac{720}{11}(x-1)=\frac{720}{11}x-60$（x为正整数）
24时换算为分钟为$24×60=1440$分，将$y=1440$代入解析式得：
$\frac{720}{11}x-60=1440$
解得$x=\frac{275}{12}=22\frac{11}{12}$
因为x为正整数，故x取22。
【答案】
(1) $\boxed{30}$
(2) $\boxed{\frac{780}{11}}$，$\boxed{\frac{1500}{11}}$
(3) 函数关系式为$\boxed{y=\frac{720}{11}x-60}$（x是正整数），重合次数为$\boxed{22}$次
【知识点】
钟面角计算，一元一次方程的应用，一次函数的应用
【点评】
本题结合生活中钟表的实际场景，将行程追及问题与函数知识相结合，解题核心是明确时针与分针的转速差，找到追及路程的等量关系，同时需结合实际意义对自变量取值进行取舍，考查了运用数学知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.6
12 如图,在平面直角坐标系中,已知一次函数$y=-\dfrac{4}{3}x+4$的图象分别与x轴、y轴交于点A,B.
(1)点A的坐标是
(2)若点$C(m,6)$是直线$y=-\dfrac{4}{3}x+4$上一点,则直线OC的表达式是
(3)在直线AB上是否存在一点D(不与点B重合),使$△ AOD$的面积等于$△ OAB$的面积?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)点E是y轴上一动点,把线段AB沿着直线AE翻折,使点B落在x轴上,请直接写出折痕所在直线的表达式.
(1)点A的坐标是
$(3,0)$
,点B的坐标是$(0,4)$
.(2)若点$C(m,6)$是直线$y=-\dfrac{4}{3}x+4$上一点,则直线OC的表达式是
$y=-4x$
.(3)在直线AB上是否存在一点D(不与点B重合),使$△ AOD$的面积等于$△ OAB$的面积?若存在,求出点D的坐标;若不存在,请说明理由.
(4)点E是y轴上一动点,把线段AB沿着直线AE翻折,使点B落在x轴上,请直接写出折痕所在直线的表达式.
答案
12.【解】(1)令 $x=0$,则 $y=4$,所以 $B(0,4)$. 令 $y=0$,则 $x=3$,所以 $A(3,0)$. 故答案为 $(3,0)$,$(0,4)$.
(2)将点 $C(m,6)$ 代入 $y=-\frac{4}{3}x+4$,得 $-\frac{4}{3}m+4=6$,解得 $m=-\frac{3}{2}$,所以 $C(-\frac{3}{2},6)$. 设直线 $OC$ 的表达式为 $y=kx$($k≠0$),则 $-\frac{3}{2}k=6$,解得 $k=-4$,所以 $y=-4x$. 故答案为 $y=-4x$.
(3)直线 $AB$ 上存在点 $D$,使$△AOD$ 的面积等于$△OAB$ 的面积.
设 $D(t,-\frac{4}{3}t+4)$, 所以 $S_{△AOD}=\frac{1}{2}×3×\left|-\frac{4}{3}t+4\right|$,$S_{△OAB}=\frac{1}{2}×3×4=6$. 因为 $△AOD$ 的面积等于 $△OAB$ 的面积,所以 $\frac{1}{2}×3×\left|-\frac{4}{3}t+4\right|=6$,解得 $t=0$(舍去)或 $t=6$,所以 $D(6,-4)$.
(4)$y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$或 $y=2x-6$.
设 $E(0,n)$. 思路分析：当 $B$ 点的对应点 $B_1$ 在 $x$ 轴负半轴上时,在 $Rt△B_1EO$ 中,$(4-n)^2=4+n^2$,可求得 $E(0,\frac{3}{2})$; 当 $B$ 点的对应点 $B_2$ 在 $x$ 轴正半轴上时,在 $Rt△OEB_2$ 中,$(4-n)^2=n^2+64$,可求得 $E(0,-6)$. 再由待定系数法求直线 $AE$ 的表达式即可.
如图(1),当 $B$ 点的对应点 $B_1$ 在 $x$ 轴负半轴上时,由翻折可知 $BE=B_1E=4-n$,$AB=AB_1=\sqrt{3^2+4^2}=5$. 因为 $OA=3$,所以 $OB_1=2$. 在 $Rt△B_1EO$ 中,$(4-n)^2=4+n^2$,解得 $n=\frac{3}{2}$,所以 $E(0,\frac{3}{2})$,所以直线 $AE$ 的表达式为 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$. 如图(2),当 $B$ 点的对应点 $B_2$ 在 $x$ 轴正半轴上时,由翻折可知 $BE=B_2E=4-n$,$AB=AB_2=5$,所以 $OB_2=8$. 在 $Rt△OEB_2$ 中,$(4-n)^2=n^2+64$,解得 $n=-6$,所以 $E(0,-6)$,所以直线 $AE$ 的表达式为 $y=2x-6$. 综上所述,折痕所在直线的表达式为 $y=-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}$或 $y=2x-6$.
解析
【分析】
(1)求一次函数与坐标轴交点坐标时，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入函数解析式计算即可得到A、B的坐标；
(2)先将点C坐标代入直线AB的解析式求出m的值，得到点C的坐标，再利用待定系数法设过原点的直线OC解析式为y=kx，代入点C坐标求解k即可；
(3)△AOD和△OAB共底OA，面积相等则OA边上的高相等，即点D纵坐标的绝对值等于点B纵坐标的绝对值，设出点D坐标，结合面积关系列绝对值方程求解，舍去与B重合的解即可；
(4)翻折前后对应边长度相等，分两种情况讨论：①点B的对应点落在x轴负半轴，②点B的对应点落在x轴正半轴，先利用勾股定理求出y轴上点E的坐标，再用待定系数法求直线AE的解析式即可。
【解析】
(1)对于一次函数$y=-\dfrac{4}{3}x+4$，令$x=0$，得$y=4$，所以点B的坐标为$(0,4)$；令$y=0$，得$-\dfrac{4}{3}x+4=0$，解得$x=3$，所以点A的坐标为$(3,0)$。
(2)将点$C(m,6)$代入$y=-\dfrac{4}{3}x+4$，得$-\dfrac{4}{3}m+4=6$，解得$m=-\dfrac{3}{2}$，即$C(-\dfrac{3}{2},6)$。设直线OC的表达式为$y=kx(k≠0)$，将点C坐标代入得$-\dfrac{3}{2}k=6$，解得$k=-4$，所以直线OC的表达式为$y=-4x$。
(3)存在。理由如下：设点D的坐标为$(t,-\dfrac{4}{3}t+4)$，$△ OAB$的面积$S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}× OA× OB=\dfrac{1}{2}×3×4=6$，$△ AOD$的面积$S_{△ AOD}=\dfrac{1}{2}× OA×\left|y_D\right|=\dfrac{1}{2}×3×\left|-\dfrac{4}{3}t+4\right|$。由题意得$\dfrac{1}{2}×3×\left|-\dfrac{4}{3}t+4\right|=6$，化简得$\left|-\dfrac{4}{3}t+4\right|=4$，解得$t=0$或$t=6$。当$t=0$时，点D与点B重合，舍去，所以$t=6$，此时点D的坐标为$(6,-4)$。
(4)设点E的坐标为$(0,n)$，分两种情况讨论：
①如图(1)，当点B的对应点$B_1$落在x轴负半轴时，由翻折的性质得$AB=AB_1$，$BE=B_1E$。由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，所以$AB_1=5$，则$OB_1=AB_1-OA=5-3=2$。$BE=4-n$，$B_1E=4-n$，在$Rt△ B_1OE$中，由勾股定理得$B_1E^2=OB_1^2+OE^2$，即$(4-n)^2=2^2+n^2$，解得$n=\dfrac{3}{2}$，即$E(0,\dfrac{3}{2})$。设直线AE的解析式为$y=ax+b$，代入$A(3,0)$、$E(0,\dfrac{3}{2})$得$\begin{cases}3a+b=0\\b=\dfrac{3}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2}\\b=\dfrac{3}{2}\end{cases}$，所以直线AE的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$。
②如图(2)，当点B的对应点$B_2$落在x轴正半轴时，同理得$AB_2=AB=5$，所以$OB_2=OA+AB_2=3+5=8$，$BE=B_2E=4-n$，在$Rt△ B_2OE$中，由勾股定理得$(4-n)^2=8^2+n^2$，解得$n=-6$，即$E(0,-6)$。设直线AE的解析式为$y=cx+d$，代入$A(3,0)$、$E(0,-6)$得$\begin{cases}3c+d=0\\d=-6\end{cases}$，解得$\begin{cases}c=2\\d=-6\end{cases}$，所以直线AE的解析式为$y=2x-6$。
综上，折痕所在直线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$或$y=2x-6$。
【答案】
(1)$(3,0)$，$(0,4)$
(2)$y=-4x$
(3)存在，点D的坐标为$(6,-4)$
(4)$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$或$y=2x-6$
【知识点】
一次函数的图象与性质，待定系数法，翻折的性质
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，涵盖了一次函数交点求解、解析式计算、三角形面积应用和翻折的几何性质，解题时要注意分类讨论思想的运用，避免漏解，求解后需检验结果是否符合题目的限制条件。
【难度系数】
0.6
(1)求一次函数与坐标轴交点坐标时，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，分别代入函数解析式计算即可得到A、B的坐标；
(2)先将点C坐标代入直线AB的解析式求出m的值，得到点C的坐标，再利用待定系数法设过原点的直线OC解析式为y=kx，代入点C坐标求解k即可；
(3)△AOD和△OAB共底OA，面积相等则OA边上的高相等，即点D纵坐标的绝对值等于点B纵坐标的绝对值，设出点D坐标，结合面积关系列绝对值方程求解，舍去与B重合的解即可；
(4)翻折前后对应边长度相等，分两种情况讨论：①点B的对应点落在x轴负半轴，②点B的对应点落在x轴正半轴，先利用勾股定理求出y轴上点E的坐标，再用待定系数法求直线AE的解析式即可。
【解析】
(1)对于一次函数$y=-\dfrac{4}{3}x+4$，令$x=0$，得$y=4$，所以点B的坐标为$(0,4)$；令$y=0$，得$-\dfrac{4}{3}x+4=0$，解得$x=3$，所以点A的坐标为$(3,0)$。
(2)将点$C(m,6)$代入$y=-\dfrac{4}{3}x+4$，得$-\dfrac{4}{3}m+4=6$，解得$m=-\dfrac{3}{2}$，即$C(-\dfrac{3}{2},6)$。设直线OC的表达式为$y=kx(k≠0)$，将点C坐标代入得$-\dfrac{3}{2}k=6$，解得$k=-4$，所以直线OC的表达式为$y=-4x$。
(3)存在。理由如下：设点D的坐标为$(t,-\dfrac{4}{3}t+4)$，$△ OAB$的面积$S_{△ OAB}=\dfrac{1}{2}× OA× OB=\dfrac{1}{2}×3×4=6$，$△ AOD$的面积$S_{△ AOD}=\dfrac{1}{2}× OA×\left|y_D\right|=\dfrac{1}{2}×3×\left|-\dfrac{4}{3}t+4\right|$。由题意得$\dfrac{1}{2}×3×\left|-\dfrac{4}{3}t+4\right|=6$，化简得$\left|-\dfrac{4}{3}t+4\right|=4$，解得$t=0$或$t=6$。当$t=0$时，点D与点B重合，舍去，所以$t=6$，此时点D的坐标为$(6,-4)$。
(4)设点E的坐标为$(0,n)$，分两种情况讨论：
①如图(1)，当点B的对应点$B_1$落在x轴负半轴时，由翻折的性质得$AB=AB_1$，$BE=B_1E$。由勾股定理得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，所以$AB_1=5$，则$OB_1=AB_1-OA=5-3=2$。$BE=4-n$，$B_1E=4-n$，在$Rt△ B_1OE$中，由勾股定理得$B_1E^2=OB_1^2+OE^2$，即$(4-n)^2=2^2+n^2$，解得$n=\dfrac{3}{2}$，即$E(0,\dfrac{3}{2})$。设直线AE的解析式为$y=ax+b$，代入$A(3,0)$、$E(0,\dfrac{3}{2})$得$\begin{cases}3a+b=0\\b=\dfrac{3}{2}\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=-\dfrac{1}{2}\\b=\dfrac{3}{2}\end{cases}$，所以直线AE的解析式为$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$。
②如图(2)，当点B的对应点$B_2$落在x轴正半轴时，同理得$AB_2=AB=5$，所以$OB_2=OA+AB_2=3+5=8$，$BE=B_2E=4-n$，在$Rt△ B_2OE$中，由勾股定理得$(4-n)^2=8^2+n^2$，解得$n=-6$，即$E(0,-6)$。设直线AE的解析式为$y=cx+d$，代入$A(3,0)$、$E(0,-6)$得$\begin{cases}3c+d=0\\d=-6\end{cases}$，解得$\begin{cases}c=2\\d=-6\end{cases}$，所以直线AE的解析式为$y=2x-6$。
综上，折痕所在直线的表达式为$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$或$y=2x-6$。
【答案】
(1)$(3,0)$，$(0,4)$
(2)$y=-4x$
(3)存在，点D的坐标为$(6,-4)$
(4)$y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$或$y=2x-6$
【知识点】
一次函数的图象与性质，待定系数法，翻折的性质
【点评】
本题是一次函数与几何的综合题，涵盖了一次函数交点求解、解析式计算、三角形面积应用和翻折的几何性质，解题时要注意分类讨论思想的运用，避免漏解，求解后需检验结果是否符合题目的限制条件。
【难度系数】
0.6
