1 $-4x^2y + 2xy^2 - 2xy$ 分解因式的结果是（）

A.$-2xy(2x - y + 1)$
B.$2xy(-2x + y)$
C.$2xy(-2xy + y - 1)$
D.$-2xy(2x + y - 1)$

A

【分析】
这是一道用提公因式法分解因式的题目，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先看系数，首项系数为负，优先提取负号，再找各项系数绝对值的最大公约数；再看字母，找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，组合得到公因式。第二步用多项式的每一项分别除以公因式，得到提取公因式后括号内的多项式，注意提取负号时每一项都要变号，最后对照选项选出正确答案即可。
【解析】
对多项式$-4x^2y + 2xy^2 - 2xy$分解因式：
1. 确定公因式：
系数部分：各项系数绝对值为4、2、2，最大公约数是2，且首项系数为负，因此公因式系数取$-2$；
字母部分：各项都含有字母$x$和$y$，$x$的最低次数为1，$y$的最低次数为1，因此字母部分公因式为$xy$；
综上，公因式为$-2xy$。
2. 提取公因式：
原式$=-2xy · 2x + (-2xy) · (-y) + (-2xy) · 1 = -2xy(2x - y + 1)$
对比选项，A符合结果。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题时要注意两个易错点：一是首项为负时提取负号后，括号内的每一项都要变号；二是提取公因式后不要漏写与公因式相等的项对应的常数项1。
【难度系数】
0.8

2 分解因式：
（1）$-9m^2 + 4n^2 = \_\_\_\_\_\_$；
（2）$4x^2 + 12xy + 9y^2 = \_\_\_\_\_\_$。

(1) $(2n+3m)(2n-3m)$ (2) $(2x+3y)^2$

【分析】
分解因式时先观察多项式的特征，优先判断是否有公因式，若无公因式则对照乘法公式的结构选择合适的公式求解。（1）题的多项式可变形为两个整式平方的差，符合平方差公式的结构，直接套用平方差公式分解即可；（2）题是三项式，首末两项均为正的平方项，中间项是首末两项底数乘积的2倍，符合完全平方和公式的结构，套用完全平方公式分解即可。
【解析】
（1）先调整多项式顺序：$-9m^2 +4n^2=4n^2 -9m^2$，
将两项分别写成平方形式：$4n^2=(2n)^2$，$9m^2=(3m)^2$，
根据平方差公式$a^2 -b^2=(a+b)(a-b)$，其中$a=2n$，$b=3m$，
代入得：$4n^2 -9m^2=(2n+3m)(2n-3m)$。
（2）分别整理首末两项：$4x^2=(2x)^2$，$9y^2=(3y)^2$，
验证中间项：$2×2x×3y=12xy$，与原式中间项一致，
根据完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$，其中$a=2x$，$b=3y$，
代入得：$4x^2+12xy+9y^2=(2x+3y)^2$。
【答案】
（1）$(2n+3m)(2n-3m)$；（2）$(2x+3y)^2$
【知识点】
平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查公式法分解因式，解题的关键是准确识别平方差公式和完全平方公式的结构特征，根据多项式的形式灵活选择对应公式，分解后注意检查结果是否正确。
【难度系数】
0.9

3 把多项式 $4x -4x^3$ 分解因式正确的是（）

A.$-x(x+2)(x-2)$
B.$-x(x+2)(2-x)$
C.$-4x(x+1)(1-x)$
D.$4x(x+1)(1-x)$

D 【解析】原式=$4x(1-x^2)=4x(x+1)(1-x)$.

【分析】
解答因式分解类题目遵循“一提二套三核查”的思路：第一步先观察多项式的各项，提取公因式；第二步判断提取公因式后剩余的整式是否符合乘法公式的特征，选用对应的公式继续分解；第三步核查分解是否彻底、符号是否正确，再匹配选项即可。本题先提取公因式，再用平方差公式分解就能得到结果。
【解析】
对多项式$4x-4x^3$分解因式：
1. 提取公因式：多项式两项的公因式为$4x$，提取后得：
$4x-4x^3=4x(1-x^2)$
2. 套用平方差公式分解：$1-x^2$符合$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的特征，其中$a=1$，$b=x$，因此：
$1-x^2=(1+x)(1-x)$
3. 整理得最终结果：$4x-4x^3=4x(x+1)(1-x)$，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查因式分解的常规步骤，易错点是提取公因式时符号处理错误，或分解不彻底，解题时要注意每一步的符号验证，确保分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.8

4 分解因式：
(1) $x^4 - 256y^4 = \_\_\_\_\_\_$；
(2) $mn^2 + 8mn + 16m = \_\_\_\_\_\_$。

(1) $(x^2+16y^2)(x+4y)(x-4y)$ (2) $m(n+4)^2$

【分析】
对于因式分解类题目，遵循“一提二套三查”的思路解题：①先观察多项式是否有公因式，有公因式先提取公因式；②再观察剩余部分是否符合平方差或完全平方公式的结构特征，对应套用公式分解；③最后检查分解结果是否彻底，每个因式都不能再分解为止。
第(1)题：多项式无公因式，观察发现是两个平方项作差的形式，先套用平方差公式第一次分解，分解后得到的其中一个因式仍为平方差结构，需再次套用平方差公式分解至不能再分解；
第(2)题：多项式每一项都含公因式m，先提取公因式m，再观察剩余部分符合完全平方公式的结构，套用完全平方公式分解即可。
【解析】
(1) $x^4 - 256y^4$
$=(x^2)^2 - (16y^2)^2$
$=(x^2 + 16y^2)(x^2 - 16y^2)$
$=(x^2 + 16y^2)(x^2 - (4y)^2)$
$=(x^2 + 16y^2)(x + 4y)(x - 4y)$
(2) $mn^2 + 8mn + 16m$
$=m(n^2 + 8n + 16)$
$=m(n^2 + 2· n· 4 + 4^2)$
$=m(n + 4)^2$
【答案】
(1) $(x^2+16y^2)(x+4y)(x-4y)$；(2) $m(n+4)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的常规应用，牢记“先提公因式、再套公式、最后验彻底”的解题步骤即可顺利求解，是因式分解模块的基础经典题型。
【难度系数】
0.8

5 阅读材料：
对于形如 $x^2 + 2ax + a^2$ 这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成 $(x + a)^2$ 的形式. 但对于二次三项式 $x^2 + 2ax - 3a^2$，就不能直接运用公式了. 此时，我们可以在二次三项式 $x^2 + 2ax - 3a^2$ 中先加上一项 $a^2$，使它与 $x^2 + 2ax$ 的和成为一个完全平方式，再减去 $a^2$，整个式子的值不变，于是有 $x^2 + 2ax - 3a^2 = (x^2 + 2ax + a^2) - a^2 - 3a^2 = (x + a)^2 - (2a)^2 = (x + a + 2a)(x + a - 2a) = (x + 3a) · (x - a)$，像这样，在代数式中加上并减去同一个适当的项，将其中部分项配成完全平方式，再进行后续的恒等变形的方法，就是配方法.
请用“配方法”解决以下问题.
（1）利用“配方法”分解因式：$a^2 - 4a - 12$.
（2）法国数学家苏菲·热尔曼利用“配方法”解决了“把 $x^4 + 4$ 分解因式”这个问题：$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - 4x^2 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$. 请你仿照上面的方法对 $x^4 + 64y^4$ 进行因式分解.

(1) 根据配方法，得 $a^2 - 4a - 12 = (a^2 - 4a + 4) - 4 - 12 = (a-2)^2 - 4^2 = (a-2-4)(a-2+4) = (a-6)(a+2)$
(2) 根据配方法，得 $x^4 + 64y^4 = (x^4 + 16x^2y^2 + 64y^4) - 16x^2y^2 = (x^2 + 8y^2)^2 - (4xy)^2 = (x^2 + 8y^2 - 4xy)(x^2 + 8y^2 + 4xy)$

【分析】
（1）分解二次三项式$a^2 - 4a - 12$时，先根据一次项系数确定要添加的常数项：一次项系数为$-4$，添加$(-4÷2)^2=4$可将前两项凑成完全平方式，为保证式子的值不变，添加4后需再减去4，随后将式子转化为平方差的形式，用平方差公式分解即可。
（2）分解$x^4 + 64y^4$时，仿照题中给出的$x^4+4$的分解思路，先将$x^4$、$64y^4$分别看作完全平方式的首尾两项，补全中间项$16x^2y^2$凑成完全平方，再减去$16x^2y^2$保证式子的值不变，随后转化为平方差形式，用平方差公式分解即可。
【解析】
（1）$\begin{aligned}a^2 - 4a - 12&=(a^2 - 4a + 4) - 4 - 12\\&=(a-2)^2 - 4^2\\&=(a-2-4)(a-2+4)\\&=(a-6)(a+2)\end{aligned}$
（2）$\begin{aligned}x^4 + 64y^4&=(x^4 + 16x^2y^2 + 64y^4) - 16x^2y^2\\&=(x^2 + 8y^2)^2 - (4xy)^2\\&=(x^2 + 8y^2 - 4xy)(x^2 + 8y^2 + 4xy)\end{aligned}$
【答案】
（1）$(a-6)(a+2)$；（2）$(x^2+4xy+8y^2)(x^2-4xy+8y^2)$
【知识点】
配方法因式分解，完全平方公式，平方差公式
【点评】
本题考查配方法在因式分解中的应用，解题关键是根据代数式的结构特征，合理添加并减去相同的项凑出完全平方式，再结合平方差公式完成分解，注意因式分解要分解到不能再分解为止。
【难度系数】
0.7

6 阅读材料：
数学研究发现常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法，但还有很多的多项式只用上述方法无法分解，如：$m^2 - mn + 2m - 2n$，细心观察这个式子就会发现，前两项可以提取公因式，后两项也可提取公因式，前后两部分分别因式分解后产生了新的公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了，过程为 $m^2 - mn + 2m - 2n = (m^2 - mn) + (2m - 2n) = m(m - n) + 2(m - n) = (m - n) · (m + 2)$。
这种因式分解的方法叫作分组分解法，请在这种方法的启发下，解决下面的问题：
（1）分解因式：$a^3 - 3a^2 + 6a - 18$；
（2）已知 $m + n = 5$，$m - n = 1$，求 $m^2 - n^2 + 2m - 2n$ 的值。

(1) $a^3 - 3a^2 + 6a - 18 = a^2(a-3) + 6(a-3) = (a-3)(a^2+6)$
(2) $\because m+n=5,m-n=1,\therefore m^2 - n^2 + 2m - 2n = (m+n)(m-n) + 2(m-n) = (m-n)(m+n+2) = 1×(5+2) =7$

【分析】
（1）观察多项式$a^3 - 3a^2 + 6a - 18$的结构，可将前两项、后两项分别划为一组，两组各自提取公因式后会产生新的公因式$(a-3)$，再提取公因式即可完成分解。
（2）所求代数式中，前两项符合平方差公式结构，先用平方差公式分解，后两项提取公因式2，分解后两组出现公因式$(m-n)$，提取公因式化简后，将已知条件整体代入计算即可，无需单独求解$m、n$的值。
【解析】
（1）对$a^3 - 3a^2 + 6a - 18$进行分组分解：
$\begin{aligned}a^3 - 3a^2 + 6a - 18&=(a^3 - 3a^2)+(6a - 18)\\&=a^2(a-3)+6(a-3)\\&=(a-3)(a^2+6)\end{aligned}$
（2）先化简代数式再代值计算：
已知$m+n=5$，$m-n=1$，
$\begin{aligned}m^2 - n^2 + 2m - 2n&=(m+n)(m-n)+2(m-n)\\&=(m-n)(m+n+2)\\&=1×(5+2)\\&=7\end{aligned}$
【答案】
(1) $(a-3)(a^2+6)$
(2) $7$
【知识点】
分组分解法，公式法因式分解，代数式求值
【点评】
本题重点考查因式分解的灵活应用，核心是要学会观察多项式的结构特征合理分组，确保分组后可继续提取公因式或套用公式分解，第二题运用整体代入思想可简化计算过程，提升运算效率。
【难度系数】
0.7