12.【问题提出】(1)如图1,在平面直角坐标系中,直线 $ l_1: y_1 = -x + 3 $ 与 y 轴相交于点 B, E(m, -1)是直线 $ l_1 $ 上的一点,过点 E 的另一条直线 $ l_2: y_2 = -2x + t $ (t 为常数)与 y 轴相交于点 C. 求 $ △ EBC $ 的面积.
【问题解决】(2)如图2,小王在屋外空地修建一个三角形花园 ABC,点 D 为 BC 的中点,点 E 在 AC 上, AD, BE 为两条小路(路宽忽略不计), E 处为花园的入口,其中 AB = 40 m, $ ∠ ABC = 90° $, $ S_{△ BCE} = \frac{800}{3} \, \mathrm{m}^2 $,小路 BE 与 AD 交点 F 处为一个亭子(大小忽略不计),小王以 BC 所在直线为 x 轴, AB 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系,得到直线 AC 的函数表达式为 $ y = -x + b $ (b 为常数),求亭子 F 的坐标.(平面直角坐标系中每个单位长度代表 1 m)

12.解:(1)将 $ E(m, -1) $ 的坐标代入 $ y_1 = -x + 3 $ 中,得$-1=-m+3$,
$\therefore m=4,\therefore E(4,-1),$
将 $ E(4, -1) $ 的坐标代入 $ y_2 = -2x + t $ 中,得$-1=-2×4+t,\therefore t=7.$
$\therefore$直线 $ l_2 $ 的函数表达式为 $ y_2=-2x+7.$
当 $ x=0 $ 时,$y_1=3,y_2=7,$
$\therefore B(0,3),C(0,7),\therefore BC=7-3=4,$
$\therefore S_{△ BEC}=\frac{1}{2}BC× x_E=\frac{1}{2}×4×4=8.$
(2)$\because AB=40\ \mathrm{m},∠ ABC=90°,$以 $ BC $ 所在直线为 $ x $ 轴,$AB$ 所在直线为 $ y $ 轴建立平面直角坐标系,$\therefore A(0,40),$
将 $ A(0,40) $ 的坐标代入 $ y=-x+b $ 中,得 $ 40=b $,
$\therefore$直线 $ AC $ 的函数表达式为 $ y=-x+40.$
令 $ -x+40=0, $ 解得 $ x=40,\therefore C(40,0).$
$\because$点 $ D $ 为 $ BC $ 的中点,$\therefore D(20,0),$
设直线 $ AD $ 的函数表达式为 $ y=kx+c $,
则$\begin{cases} c=40,\\ 20k+c=0, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} k=-2,\\ c=40, \end{cases}$
$\therefore$直线 $ AD $ 的函数表达式为 $ y=-2x+40.$
$\because S_{△ BCE}=\frac{800}{3},BC=40,$
$\therefore \frac{1}{2}×40y_E=\frac{800}{3},$解得 $ y_E=\frac{40}{3}.$
令 $\frac{40}{3}=-x+40,$解得 $ x=\frac{80}{3},\therefore E(\frac{80}{3},\frac{40}{3}).$
设直线 $ BE $ 的函数表达式为 $ y=ux $,
则 $\frac{40}{3}=\frac{80}{3}u,$解得 $ u=\frac{1}{2},$
$\therefore$直线 $ BE $ 的函数表达式为 $ y=\frac{1}{2}x,$
联立$\begin{cases} y=\frac{1}{2}x,\\ y=-2x+40, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x=16,\\ y=8, \end{cases}$
$\therefore F$ 的坐标为$(16,8).$

13.随着新能源汽车的发展，某公交公司计划用新能源公交车淘汰燃油公交车.新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型新能源公交车3辆，B型新能源公交车1辆，共需260万元；若购买A型新能源公交车2辆，B型新能源公交车3辆，共需360万元.
(1)求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？
(2)经调研，某条线路上的A型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次.公司准备购买10辆A型、B型两种新能源公交车，总费用不超过650万元.为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值.

13.解:(1)设购买 A 型新能源公交车每辆需 $ x $ 万元,购买 B 型新能源公交车每辆需 $ y $ 万元,
由题意得 $\begin{cases} 3x+y=260,\\ 2x+3y=360, \end{cases}$ 解得 $\begin{cases} x=60,\\ y=80, \end{cases}$
答:购买 A 型新能源公交车每辆需 60 万元,购买B 型新能源公交车每辆需 80 万元.
(2)设购买 A 型新能源公交车 $ a $ 辆,则 B 型新能源公交车$(10-a)$辆,
由题意得 $ 60a+80(10-a)≤650,$
解得 $ a≥7.5,$
$\because a≤10,\therefore7.5≤ a≤10,$
$\because a$ 是整数,$\therefore a$ 的取值为 8,9,10.
记该线路的年均载客总量为 $ w $ 万人次,则 $ w $ 与 $ a $ 的关系式为 $ w=70a+100(10-a)=-30a+1000,$
$\because-30＜0,$
$\therefore w$ 随 $ a $ 的增大而减小,
$\therefore$当 $ a=8 $ 时,该线路的年均载客总量最大,最大载客量为 $ w=-30×8+1000=760 $(万人次),
$\therefore10-8=2$(辆),
$\therefore$购买方案为购买 A 型新能源公交车 8 辆,B 型新能源公交车 2 辆,此时该线路的年均载客总量最大,最大为 760 万人次.