例题 阅读材料:已知$a,b$为非负实数,因为$a+b-2\sqrt{ab}=(\sqrt{a})^2+(\sqrt{b})^2-2\sqrt{a}·\sqrt{b}=(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2≥0$。所以$a+b≥2\sqrt{ab}$,当且仅当“$a=b$”时,等号成立。这个结论就是著名的“均值不等式”,“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用。
例:已知$x＞0$,求代数式$x+\frac{9}{x}$的最小值。解:令$a=x,b=\frac{9}{x}$,则由$a+b≥2\sqrt{ab}$,可得$x+\frac{9}{x}≥2\sqrt{x·\frac{9}{x}}=6$。当且仅当$x=\frac{9}{x}$,因为$x＞0$,即$x=3$时,代数式取到最小值,最小值为6。
根据以上材料解答下列问题:
(1)【灵活运用】已知$x＞0$,则当$x=$时,代数式$x+\frac{2}{x}$取到最小值,最小值为。
(2)已知$x＞0$,求代数式$\frac{2x^2 - 5x + 3}{x}$的最小值。
(3)【拓展运用】某校要对操场的一个区域进行改造,利用一面足够长的墙体将该区域用围栏围成中间隔有两道围栏的矩形花圃,如图1所示,为了围成面积为$500\mathrm{m}^2$的花圃,所用的围栏至少为多少米?
(4)如图2,四边形$ABCD$的对角线$AC,BD$相交于点$O$,$△ AOD$和$△ BOC$的面积分别是4和12,求四边形$ABCD$面积的最小值。


拆解剖析
整体思想与数形结合
$\begin{cases}\mathrm{考查点1:完全平方公式—}(\sqrt{a})^2 - 2\sqrt{a}·\sqrt{b} + (\sqrt{b})^2\mathrm{,根据}a^2 - 2a· b + b^2=(a - b)^2 \\\mathrm{考查点2:分式通分计算—}(2)\mathrm{中}\frac{2x^2 - 5x + 3}{x}=2x+\frac{3}{x}-5 \\\mathrm{考查点3:方程的求解}\begin{cases}\mathrm{分式方程}\begin{cases}(1)\mathrm{中}x=\frac{2}{x} \\(2)\mathrm{中}2x=\frac{3}{x} \\(3)\mathrm{中}4x=\frac{500}{x} \\(4)\mathrm{中}m=\frac{48}{m}\end{cases} \\\mathrm{一元二次方程}\begin{cases}(1)\mathrm{中}x^2=2 \\(2)\mathrm{中}2x^2=3 \\(3)\mathrm{中}4x^2=500 \\(4)\mathrm{中}m^2=48\end{cases}\end{cases} \\\mathrm{考查点4:三角形面积边高关系—}\begin{cases}\frac{OB}{OD}=\frac{S_{△ COB}}{S_{△ COD}} \\\frac{OB}{OD}=\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ AOD}}\end{cases}\mathrm{利用两个三角形高一样,面积之比为底边长之比}\end{cases}$

(1)$\sqrt{2}$ $2\sqrt{2}$ 解析:令$a=x,b=\frac{2}{x}$,则由$a+b≥ 2\sqrt{ab}$,得$x+\frac{2}{x}≥ 2\sqrt{x· \frac{2}{x}}=2\sqrt{2}$。当且仅当$x=\frac{2}{x}$,因为$x＞0$,即$x=\sqrt{2}$时,代数式取到最小值,最小值为$2\sqrt{2}$。
(2)$\frac{2x^2 - 5x + 3}{x}=\frac{2x^2}{x}-\frac{5x}{x}+\frac{3}{x}=2x+\frac{3}{x}-5$。令$a=2x,b=\frac{3}{x}$,则由$a+b≥ 2\sqrt{ab}$,得$2x+\frac{3}{x}≥ 2\sqrt{2x· \frac{3}{x}}=2\sqrt{6}$。当且仅当$2x=\frac{3}{x}$,因为$x＞0$,即$x=\frac{\sqrt{6}}{2}$时,代数式取到最小值,最小值为$2\sqrt{6}$。所以代数式$\frac{2x^2 - 5x + 3}{x}$的最小值为$2\sqrt{6}-5$。
(3)设花圃的宽为$x\ \mathrm{m}$,则长为$\frac{500}{x}\ \mathrm{m}$,所用的围栏总长$=(4x+\frac{500}{x})\ \mathrm{m}$。令$a=4x,b=\frac{500}{x}$,则由$a+b≥ 2\sqrt{ab}$,得$4x+\frac{500}{x}≥ 2\sqrt{4x· \frac{500}{x}}=40\sqrt{5}$。当且仅当$4x=\frac{500}{x}$,因为$x＞0$,即$x=5\sqrt{5}$时,代数式取到最小值,最小值为$40\sqrt{5}$。答:所用的围栏至少为$40\sqrt{5}\ \mathrm{m}$。
(4)作$AE⊥ BD,CF⊥ BD$,如图所示:设$S_{△ AOB}=m$。因为$△ COB$与$△ COD$底边上的高相等,$△ AOB$与$△ AOD$底边上的高相等,所以$\frac{OB}{OD}=\frac{S_{△ COB}}{S_{△ COD}}=\frac{S_{△ AOB}}{S_{△ AOD}}$,所以$\frac{12}{S_{△ COD}}=\frac{m}{4}$,解得:$S_{△ COD}=\frac{48}{m}$,所以四边形$ABCD$面积$=4+12+m+\frac{48}{m}=m+\frac{48}{m}+16$,令$a=m,b=\frac{48}{m}$,则由$a+b≥ 2\sqrt{ab}$,得$m+\frac{48}{m}≥ 2\sqrt{m· \frac{48}{m}}=8\sqrt{3}$。当且仅当$m=\frac{48}{m}$,因为$m＞0$,即$m=4\sqrt{3}$时,代数式取到最小值,最小值为$8\sqrt{3}$。所以四边形$ABCD$面积的最小值为$16+8\sqrt{3}$。