1.(真题·温州苍南)如图1是4×4方格绘成的七巧板图案,每个小方格的边长为1,现将它剪拼成一个“天平”造型放入一个矩形框架ABCD中(如图2),天平的上下两侧以及左右两侧均与框架重合,则该矩形框架的周长为________。

1. $16+4\sqrt{2}$ 解析:长方形 ABCD 的周长为$[(4+2\sqrt{2})+4]×2=16+4\sqrt{2}$。故答案为:$16+4\sqrt{2}$。

2.如图,将一张正六边形纸片的阴影部分剪下,拼成一个四边形,若拼成的四边形的面积为$2a$,则纸片的剩余部分的面积为…………………………………………………………（）

A.$5a$
B.$4a$
C.$3a$
D.$2a$

2. B 解析:如图所示：
将正六边形分为6个全等的三角形,因为阴影部分的面积为2a,所以每一个三角形的面积为a,因为剩余部分可分割为4个三角形,所以剩余部分的面积为4a。故选:B。

3.(真题·舟山定海)如图 1,有一张长为 40cm,宽为 $ l $cm 的长方形硬纸片。
(1)若裁去角上的四个小正方形之后,折成平面展开图为如图 2 所示的无盖纸盒,当 $ l=30 $cm,纸盒的底面积为$ 600 $cm²时,求裁去的正方形边长是多少?
(2)若裁去部分图形后,折成平面展开图为如图 3 所示底面是正三角形的无盖纸盒,则此时 $ l $ 为多少? 当纸盒的底面积与侧面积(三个长方形的面积)相等时,底面正三角形的边长是多少?

3. (1)设裁去的正方形边长为 x cm,由题意得:$(40-2x)(30-2x)=600$,解得:x=5 或 x=30(不合题意,舍),答:裁去的正方形边长为5cm。
(2)如图,延长 EF 交 CD 于点 P,因为等边三角形 NEF,所以 NF=EF,∠NFE=60°,由矩形可得:EF=HK=NF=MQ,FK=FQ,∠NFQ=90°,所以设 EF=NF=MQ=HK=2a,由题意得:四边形 CKFP 为矩形,所以 FK=PC,FP=KC=BH,设 FK=FQ=PC=x,因为 ∠NFE=60°,所以 ∠QFP=90°-60°=30°,∠FQP=60°,在 Rt△FQP 中,$QP=\frac{1}{2}FQ=\frac{1}{2}x$,所以 $FP=\sqrt{FQ^2-QP^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}x=KC=BH$,因为 BH+HK+KC=40,所以 $2a+\sqrt{3}x=40$,因为 ∠MQF=90°,所以 ∠MQD=90°-∠FQP=30°,所以在 Rt△MQD 中,$MD=\frac{1}{2}MQ=a$,所以由勾股定理得:$DQ=\sqrt{3}a$,因为 $l=DQ+PQ+PC$,所以 $l=\sqrt{3}a+\frac{3}{2}x$,因为 $2a+\sqrt{3}x=40$,所以$(2a+\sqrt{3}x)×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}a+\frac{3}{2}x=l=20\sqrt{3}$,过点 N 作 NG⊥EF 于点 G,则 GE=GF=a,所以由勾股定理得:$NG=\sqrt{3}a$,所以 $S_{△ NEF}=\frac{1}{2}EF×NG=\frac{1}{2}×2a×\sqrt{3}a=\sqrt{3}a^2$,因为纸盒的底面积与侧面积(三个长方形的面积)相等,$\sqrt{3}a^2=2ax·3$,所以 $x=\frac{\sqrt{3}}{6}a$,将 $x=\frac{\sqrt{3}}{6}a$ 代入 $2a+\sqrt{3}x=40$,则 $2a+\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{6}a=40$,解得:a=16,所以等边三角形边长为32cm。