1[2025浙江杭州期中,中]小明和小红玩猜数字游戏,小明说:“你随便选定三个一位数,按下列步骤进行计算:①把第一个数乘2;②加上5;③把所得的和乘5;④加上第二个数;⑤再把所得的和乘10;⑥最后加上第三个数,只要你告诉我的最后的得数,我就知道你所选的三个一位数.”若小红告诉小明最后得到的结果是846,则小红所选的第二个一位数是 ()

A.4
B.6
C.8
D.9

1. D 【解析】设这三个一位数依次为 a,b,c,将其按题中步骤进行计算得[(2a+5)×5+b]×10+c,整理得 100a+10b+c+250,所以将得到的结果减去 250 后,百位是 a,十位是 b,个位是 c. 因为 846-250 = 596,所以小红所选的第二个一位数是 9. 故选 D.

2[2025 山东德州期中,中]有一个数字游戏,第一步:取一个自然数$n_1=4$,计算$n_1 · (3n_1+1)$得$a_1$;第二步:算出$a_1$的各位数字之和得$n_2$,计算$n_2 · (3n_2+1)$得$a_2$;第三步:算出$a_2$的各位数字之和得$n_3$,计算$n_3 · (3n_3+1)$得$a_3$;…,以此类推,则$a_{2024}$的值为 ()

A.7
B.52
C.154
D.310

2. C 【解析】因为 $n_1 = 4$, 所以 $a_1 = 4×(3×4+1) = 52$, 则 $n_2 = 5+2 = 7$, 所以 $a_2 = 7×(3×7+1) = 154$, 同理可得, $a_3 = 310$, $a_4 = 52$, …, 由此可见, 这列数从 $a_1$ 开始按 52,154,310 循环. 因为 $2\ 024÷3 = 674······2$, 所以 $a_{2024} = 154$. 故选 C.

3[2026福建厦门期中,中]某魔术师表演一个扑克牌游戏,随机挑选了一位观众,魔术师背对该观众,让该观众按下列四个步骤操作:
第一步 把部分扑克牌分发为张数相等的四堆,分别记为A、B、C、D,且每堆不少于4张牌;
第二步 从A堆拿出3张放入C堆,从D堆拿出1张放入B堆;
第三步 从B堆拿出与A堆现在的张数相同的牌数放入A堆,从C堆拿出与D堆现在的张数相同的牌数放入D堆;
第四步 把B、C两堆的牌叠在一起拿在手上.这时,魔术师准确地说出了该观众手上牌的张数,这个张数是.

3. 8 【解析】设第一步中每堆牌的张数为 x. 由题得第二步完成后 A、B、C、D 四堆牌的张数分别为 x-3,x+1,x+3,x-1,第三步完成后 A、B、C、D 四堆牌的张数分别为 $(x-3)+(x-3)$,$(x+1)-(x-3)$,$(x+3)-(x-1)$,$(x-1)+(x-1)$,即 $2(x-3),4,4,2(x-1)$,则第四步手上牌的张数为 4+4=8. 故答案为 8.

4[2025山西吕梁期末,中]用字母表示数可以帮助我们表达、研究具有普遍意义的数量关系,有助于我们发现一些有趣的结论,并能解释其中的道理.请根据下列步骤来完成一个有趣的游戏吧!
第一步:从1到9中任选一个整数;
第二步:用这个数乘5,再加上1;
第三步:将第二步的结果乘2,再加上7;
第四步:将第三步的结果减去第一步中选择
的数.
(1)若选择的数是3,按以上步骤操作所得的两位数中,个位数字与十位数字的和是;
(2)再换几个数按以上步骤操作,你会发现所得的两位数中,个位数字与十位数字的和发生变化;(填"会"或"不会")
(3)若选择的数为x,请列代数式解释(2)中的结论.(要求:不能将1到9中的整数逐个代入计算)

4. 【解】(1)若选择的数是 3,根据题意得,$(3×5+1)×2+7-3 = 16×2+7-3 = 36$,则个位数字与十位数字的和是 3+6=9. 故答案为 9.
(2)若选择的数是 5,则$(5×5+1)×2+7-5 = 54$,则个位数字与十位数字的和是 5+4=9;若选择的数是 8,则$(8×5+1)×2+7-8 = 81$,则个位数字与十位数字的和是 8+1=9;…. 发现:所得的两位数中,个位数字与十位数字的和不会发生变化. 故答案为不会.
(3)若选择的数为 x,则$(5x+1)×2+7-x = 9x+9 = 10x+9-x$,则所得的两位数中,十位数字为 x,个位数字为 9-x,所以个位数字与十位数字的和是 $x+9-x=9$.

5[2026重庆黔江区期末,中]阅读材料并解答下列问题:
我们知道像12,27,45,108,…这样的自然数能被3整除.一般地,如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除,那么这个自然数就能被3整除.你能说明其中的道理吗?先看两位数的情形,若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a,b,则通常记这个两位数为$\overline{ab}$,于是$\overline{ab}=10a+b=9a+(a+b)$.显然9a能被3整除,因此,如果$a+b$可以被3整除,那么$9a+(a+b)$就能被3整除,即$\overline{ab}$能被3整除.
(1)猜想:一个三位数$\overline{abc}$满足什么条件时能被9整除?并说明理由.
(2)已知一个三位数$\overline{abc}$的十位上的数字比百位上的数字的2倍大3,个位上的数字是百位上数字的3倍,这个三位数能被3整除吗?请说明理由.
(3)直接写出当四位数$\overline{abcd}$满足什么条件时,它可以被4整除.

5. 【解】(1)当三位数 $\overline{abc}$ 满足 $a+b+c$ 能被 9 整除时,三位数 $\overline{abc}$ 能被 9 整除. 理由如下:$\overline{abc} = 100a+10b+c = 90a+9(a+b)+a+b+c$. 因为 90a 和 9(a+b) 都能被 9 整除,所以当 $a+b+c$ 能被 9 整除时,三位数 $\overline{abc}$ 能被 9 整除.
(2)能被 3 整除. 理由如下:由题意得, $b = 2a+3$,$c = 3a$, 则这个三位数可表示为 $100a+10(2a+3)+3a = 123a+30 = 3(41a+10)$. 因为 a 为正整数,所以 $3(41a+10)$ 是 3 的倍数,所以这个三位数能被 3 整除.
(3)当 $2c+d$ 能被 4 整除时,四位数 $\overline{abcd}$ 能被 4 整除.$\overline{abcd} = 1\ 000a+100b+10c+d = 4(250a+25b)+10c+d = 4(250a+25b+2c)+2c+d$. 因为 $4(250a+25b+2c)$ 能被 4 整除,所以当 $2c+d$ 能被 4 整除时,四位数 $\overline{abcd}$ 能被 4 整除.